Espacio métrico


En matemática, un espacio métrico es un conjunto que lleva asociada una función distancia, es decir, que esta función está definida sobre dicho conjunto, cumpliendo propiedades atribuidas a la distancia, de modo que para cualquier par de puntos del conjunto, estos están a una cierta distancia asignada por dicha función.

En particular, cualquier espacio métrico será, además, un espacio topológico porque cualquier función de distancia definida sobre un conjunto dado induce una topología sobre dicho conjunto. Se trata de la topología inducida por las bolas abiertas asociadas a la función distancia del espacio métrico.

Formalmente, un espacio métrico es un conjunto (a cuyos elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada (también llamada una métrica) (donde es el conjunto de los números reales). Decir que es una distancia sobre es decir que para todo , , en , esta función debe satisfacer las siguientes condiciones o propiedades de una distancia:

(no negatividad)

Sea un espacio métrico, y sean y un punto de y un número real positivo o cero, respectivamente:

La distancia del espacio métrico induce en una topología, y por tanto el espacio es, a su vez, un espacio topológico al tomar como subconjuntos abiertos para la topología a todos los subconjuntos que cumplen