Número real


En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ) incluye tanto los números racionales (positivos, negativos y el cero) como los números irracionales;[1]​ y en otro enfoque, a los trascendentes y a los algebraicos. Los irracionales y los trascendentes[2]​ no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como , π, o el número real , cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.[2]

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples, aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de las matemáticas, y otras más complejas, pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos siglo XVI y siglo XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, que consistió en definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[3]​ En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortes de Dedekind.

Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.


Diferentes clases de números reales
Recta real, en la que todos y cada uno de sus puntos se corresponden biunívocamente con un número real, estableciéndose una aplicación biyectiva.
Ojo de Horus o Udyat, que representa un sistema de cuantificación mediante números racionales de las partes de un todo.[4]