Teoría de modelos


En matemática, teoría de modelos es el estudio de (clases de) estructuras matemáticas tales como grupos, cuerpos, grafos, o incluso universos de teoría de conjuntos, en relación con las teorías axiomáticas y la lógica matemática. La teoría de modelos permite atribuir una interpretación semántica a las expresiones puramente formales de los lenguajes formales. Además permite estudiar en sí mismos los conjuntos de axiomas, su completitud, consistencia, independencia mutua, y permiten introducir un importante número de cuestiones metalógicas.

Informalmente una teoría matemática está formada por un conjunto de teoremas y axiomas. Los teoremas son proposiciones lógicamente deducibles de los axiomas. En el enfoque moderno, las teorías se conciben como un conjunto de proposiciones expresables en un cierto lenguaje formal que recoge explícitamente el conjunto de símbolos de la teoría, los axiomas y las reglas de deducción. El aparataje anterior define la sintaxis de la teoría.

En ese punto, la teoría de modelos permite definir la semántica de una teoría. Así un modelo es una L-estructura donde una cadena de signos o sentencia del lenguaje formal de la teoría correctamente formada puede ser interpretada y verificada (es decir, o bien la proposición o su negación se satisfacen en el modelo). Un modelo para una teoría es una estructura donde los axiomas y teoremas de la teoría se satisfacen. Por ejemplo, el conjunto de números naturales constituyen un modelo para los axiomas de Peano. Un grupo matemático es un modelo de la teoría de grupos (aunque en este caso existe más de un modelo posible, cada grupo de hecho es un modelo de la teoría).