Proporcionalidad (matemáticas)

En matemáticas , se dice que dos cantidades variables están en una relación de proporcionalidad , conectadas multiplicativamente a una constante ; es decir, cuando su relación o su producto arroja una constante. El valor de esta constante se llama coeficiente de proporcionalidad o constante de proporcionalidad .

Si la relación ( $y / X$ ) De dos variables ( $x$ y $Y$ ) es igual a una constante $(k = y / X)$ , entonces la variable en el numerador de la razón ( $y$ ) puede ser el producto de la otra variable y la constante $(y = k \cdot x)$ . En este caso $y$ se dice que es directamente proporcional a $x$ con constante de proporcionalidad $k$ . De manera equivalente, se puede escribir $x = 1 / k \cdot y$ ; es decir, $x$ es directamente proporcional $ay$ con proporcionalidad constante $1 / k (= X / y)$ . Si el término proporcional está conectado a dos variables sin más calificación, generalmente se puede suponer proporcionalidad directa.
Si el producto de dos variables $(x \cdot y)$ es igual a una constante $(k = x \cdot y)$ , entonces se dice que las dos son inversamente proporcionales entre sí con la constante de proporcionalidad $k$ . De manera equivalente, ambas variables son directamente proporcionales al recíproco de la otra respectiva con constante de proporcionalidad $k$ $(x = k \cdot 1 / y$ y $y = k \cdot 1 / X)$ .

La variable y es directamente proporcional a la variable x con constante de proporcionalidad ~ 0.6.

La variable y es inversamente proporcional a la variable x con constante de proporcionalidad 1.

Si varios pares de variables comparten la misma constante de proporcionalidad directa, la ecuación que expresa la igualdad de estas razones se llama proporción , por ejemplo, $a / B = X / y = ... = k$ (para obtener más información, consulte Relación ).

Proporcionalidad directa

Dadas dos variables de x y y , y es directamente proporcional a x ^[1] si hay una constante no cero k tal que

{\ Displaystyle y = kx.}

Caracteres Unicode
U + 221D ∝ PROPORCIONAL A (HTML `∝` · `∝, &Proportional, &propto, &varpropto, &vprop` ) U + 007E ~ TILDE (HTML `~`) U + 223C ∼ OPERADOR TILDE (HTML `∼` · `∼, &thicksim, &thksim, &Tilde` ) U + 223A ∺ PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (HTML `∺` · `&mDDot` )

La relación a menudo se denota usando los símbolos "∝" (que no debe confundirse con la letra griega alfa ) o "~":

{\ Displaystyle y \ propto x,}

o

{\ Displaystyle y \ sim x.}

Para ${\ Displaystyle x \ neq 0}$ la constante de proporcionalidad se puede expresar como la relación

{\ Displaystyle k = {\ frac {y} {x}}.}

También se le llama constante de variación o constante de proporcionalidad .

Una proporcionalidad directa también puede verse como una ecuación lineal en dos variables con una intersección en y de $0$ y una pendiente de k . Esto corresponde a un crecimiento lineal .

Ejemplos de

Si un objeto viaja a una velocidad constante , entonces la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo dedicado a viajar, siendo la velocidad la constante de proporcionalidad.
La circunferencia de un círculo es directamente proporcional a su diámetro , con la constante de proporcionalidad igual a $π$ .
En un mapa de un área geográfica suficientemente pequeña, dibujada a escala de distancias, la distancia entre dos puntos cualesquiera en el mapa es directamente proporcional a la distancia en línea recta entre las dos ubicaciones representadas por esos puntos; la constante de proporcionalidad es la escala del mapa.
La fuerza , que actúa sobre un objeto pequeño con masa pequeña por una masa extendida grande cercana debido a la gravedad , es directamente proporcional a la masa del objeto; la constante de proporcionalidad entre la fuerza y la masa se conoce como aceleración gravitacional .
La fuerza neta que actúa sobre un objeto es proporcional a la aceleración de ese objeto con respecto a un marco de referencia inercial. La constante de proporcionalidad en esta, la segunda ley de Newton , es la masa clásica del objeto.

Proporcionalidad inversa

Proporcionalidad inversa con una función de y = 1 / x

El concepto de proporcionalidad inversa puede contrastarse con el de proporcionalidad directa . Considere dos variables que se dice que son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las demás variables se mantienen constantes , la magnitud o el valor absoluto de una variable inversamente proporcional disminuye si la otra variable aumenta, mientras que su producto (la constante de proporcionalidad k ) es siempre el mismo. Por ejemplo, el tiempo necesario para un viaje es inversamente proporcional a la velocidad del viaje.

Formalmente, dos variables son inversamente proporcionales (también llamado variando inversamente , en variación inversa , en proporción inversa , en proporción recíproca ) si cada una de las variables es directamente proporcional al inverso multiplicativo (recíproco) de la otra, o de manera equivalente si su producto es una constante. ^[2] Se deduce que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que

{\ Displaystyle y = {\ frac {k} {x}},}

o equivalente, ${\ Displaystyle xy = k.}$ Por tanto, la constante " k " es el producto de x e y .

La gráfica de dos variables que varían inversamente en el plano cartesiano de coordenadas es una hipérbola rectangular . El producto de las x y Y valores de cada punto de la curva es igual a la constante de proporcionalidad ( k ). Dado que ni x ni y pueden ser iguales a cero (porque k no es cero), la gráfica nunca cruza ninguno de los ejes.

Coordenadas hiperbólicas

Los conceptos de proporción directa e inversa conducen a la ubicación de puntos en el plano cartesiano mediante coordenadas hiperbólicas ; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que especifica que un punto está en un rayo particular y la constante de proporcionalidad inversa que especifica que un punto está en una hipérbola particular.

Ver también

Mapa lineal
Correlación
Eudoxo de Cnidus
Proporción áurea
Ley del cuadrado inverso
Fuente proporcional
Proporción
Regla de tres (matemáticas)
Tamaño de la muestra
Semejanza
Teorema de proporcionalidad básica
∷ la una es a b como c es a d símbolo (U + 2237 PROPORCIÓN )

Crecimiento

Crecimiento lineal
Crecimiento hiperbólico

Notas

^ Weisstein, Eric W. "Directamente proporcional" . MathWorld : un recurso web de Wolfram.
^ Weisstein, Eric W. "Inversamente proporcional" . MathWorld : un recurso web de Wolfram.

Referencias

Ya. B. Zeldovich, I. M. Yaglom : Matemáticas superiores para principiantes , p. 34–35 .
Brian Burrell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , pág. 85–101 .
Lanius, Cynthia S .; Williams Susan E . : PROPORCIONALIDAD: Un tema unificador para los grados medios . La enseñanza de las matemáticas en la escuela media 8.8 (2003), pág. 392–396.
Seeley, Cathy; Schielack Jane F .: Una mirada al desarrollo de razones, tasas y proporcionalidad . La enseñanza de las matemáticas en la escuela media, 13.3, 2007, p. 140-142.
Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers Marleen; Verschaffel Lieven: Uso excesivo de proporcionalidad por parte de los estudiantes en problemas con valores perdidos: cómo los números pueden cambiar las soluciones . Revista de Investigación en Educación Matemática, 40.2, 2009, p. 187–211.

[1] Weisstein, Eric W. "Directamente proporcional" . MathWorld : un recurso web de Wolfram.

[2] Weisstein, Eric W. "Inversamente proporcional" . MathWorld : un recurso web de Wolfram.

[1]