En matemáticas , -1 (también conocido como uno negativo ) es el inverso aditivo de 1 , es decir, el número que cuando se suma a 1 da el elemento de identidad aditivo , 0. Es el número entero negativo mayor que dos negativos (-2) y menos de 0 .
← −2 −1 0 → | |||||
---|---|---|---|---|---|
Cardenal | −1, menos uno , negativo uno | ||||
Ordinal | −1er (negativo primero) | ||||
Arábica | - ١ | ||||
Numeral chino | 负 一 , 负 弌 , 负 壹 | ||||
bengalí | - ১ | ||||
Binario ( byte ) |
| ||||
Hex ( byte ) |
|
El negativo tiene algunas propiedades similares pero ligeramente diferentes al positivo. [1]
Propiedades algebraicas
Multiplicar un número por −1 es equivalente a cambiar el signo del número; es decir, para cualquier x tenemos (−1) ⋅ x = - x . Esto se puede demostrar usando la ley distributiva y el axioma de que 1 es la identidad multiplicativa :
- x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0 .
Aquí hemos utilizado el hecho de que cualquier número x multiplicado por 0 es igual a 0, lo que se sigue de la cancelación de la ecuación
- 0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x .
En otras palabras,
- x + (−1) ⋅ x = 0 ,
entonces (−1) ⋅ x es el inverso aditivo de x , es decir, (−1) ⋅ x = - x , como se mostró.
Cuadrado de −1
El cuadrado de -1, es decir, -1 multiplicado por -1, es igual a 1. Como consecuencia, un producto de dos números negativos es positivo.
Para una prueba algebraica de este resultado, comience con la ecuación
- 0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] .
La primera igualdad se sigue del resultado anterior, y la segunda se sigue de la definición de -1 como inverso aditivo de 1: es precisamente ese número el que cuando se suma a 1 da 0. Ahora, usando la ley distributiva, vemos que
- 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1) .
La tercera igualdad se deriva del hecho de que 1 es una identidad multiplicativa. Pero ahora sumar 1 a ambos lados de esta última ecuación implica
- (−1) ⋅ (−1) = 1 .
Los argumentos anteriores se sostienen en cualquier anillo , un concepto de álgebra abstracta que generaliza enteros y números reales .
Raíces cuadradas de −1
Aunque no hay raíces cuadradas reales de −1, el número complejo i satisface i 2 = −1 y, como tal, se puede considerar como una raíz cuadrada de −1. [2] [3] El único otro número complejo cuyo cuadrado es −1 es - i porque hay exactamente dos raíces cuadradas de cualquier número complejo distinto de cero, lo que se deriva del teorema fundamental del álgebra . En el álgebra de cuaterniones , donde no se aplica el teorema fundamental, que contiene los números complejos, la ecuación x 2 = −1 tiene infinitas soluciones .
Exponenciación a enteros negativos
La exponenciación de un número real distinto de cero se puede extender a números enteros negativos . Hacemos la definición de que x −1 =1/X, lo que significa que definimos elevar un número a la potencia −1 para que tenga el mismo efecto que tomar su recíproco . Esta definición se extiende entonces a enteros negativos, la preservación de la ley exponencial x un x b = x ( un + b ) para los números reales a y b .
La exponenciación a números enteros negativos se puede extender a elementos invertibles de un anillo, definiendo x −1 como el inverso multiplicativo de x .
Un -1 que aparece como un superíndice de una función no significa tomar el recíproco (puntual) de esa función, sino más bien la función inversa de la función. Por ejemplo, pecado -1 ( x ) es una notación para el arcoseno función, y en general f -1 ( x ) denota la función inversa de f ( x ) ,. Cuando se especifica un subconjunto del codominio dentro de la función, en cambio denota la preimagen de ese subconjunto bajo la función.
Usos
- En el desarrollo de software , −1 es un valor inicial común para números enteros y también se usa para mostrar que una variable no contiene información útil .
- El negativo tiene relación con la identidad de Euler ya que e iπ = −1 .
Ver también
- Ternario equilibrado
- Teorema de menelao
Referencias
- ^ Análisis y aplicaciones matemáticas por Jayant V. Deshpande, ISBN 1-84265-189-7
- ^ "Números imaginarios" . Las matemáticas son divertidas . Consultado el 15 de febrero de 2021 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Número imaginario" . MathWorld . Consultado el 15 de febrero de 2021 .