Dodecaedro
| Yo h , orden 120 | |||
|---|---|---|---|
| Regular- | Pequeño estrellado | Excelente- | Gran estrellado |
 |  |  |  |
| T h , orden 24 | T, orden 12 | O h , orden 48 | Johnson (J 84 ) |
| Piritoedro | Tetartoide | Rómbico- | Triangular- |
 |  |  |  |
| D 4h , orden 16 | D 3h , orden 12 | ||
| Rombo-hexagonal- | Rombo-cuadrado- | Trapezo-rómbico | Rombo-triangular- |
 |  |  |  |
En geometría , un dodecaedro (griego δωδεκάεδρον , de δώδεκα dōdeka "doce" + ἕδρα hédra "base", "asiento" o "cara") o duodecaedro [1] es cualquier poliedro con doce caras planas. El dodecaedro más familiar es el dodecaedro regular con pentágonos regulares como caras, que es un sólido platónico . También hay tres dodecaedros de estrellas regulares , que se construyen como estelas de forma convexa. Todos estos tienen simetría icosaédrica , orden 120.
Algunos dodecaedros tienen la misma estructura combinatoria que el dodecaedro regular (en términos del gráfico formado por sus vértices y aristas), pero sus caras pentagonales no son regulares: el piritoedro , una forma de cristal común en la pirita , tiene simetría piritoédrica , mientras que el tetartádico tiene simetría tetraédrica .
El dodecaedro rómbico puede verse como un caso límite del piritoedro y tiene simetría octaédrica . El dodecaedro alargado y las variaciones del dodecaedro trapezo-rómbico , junto con el dodecaedro rómbico, llenan el espacio . Hay muchos otros dodecaedros .
Si bien el dodecaedro regular comparte muchas características con otros sólidos platónicos, una propiedad única es que se puede comenzar en una esquina de la superficie y dibujar un número infinito de líneas rectas a través de la figura que regresan al punto original sin cruzar ninguna otra. esquina. [2]
Dodecaedro regular
El dodecaedro regular convexo es uno de los cinco sólidos platónicos regulares y puede ser representado por su símbolo de Schläfli {5, 3}.
El poliedro dual es el icosaedro regular {3, 5}, que tiene cinco triángulos equiláteros alrededor de cada vértice.
Dodecaedro regular convexo | Pequeño dodecaedro estrellado | Gran dodecaedro | Gran dodecaedro estrellado |
El dodecaedro regular convexo también tiene tres estelas , todas las cuales son dodecaedros regulares en estrella. Forman tres de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot . Son el pequeño dodecaedro estrellado {5/2, 5}, el gran dodecaedro {5, 5/2} y el gran dodecaedro estrellado {5/2, 3}. El pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro son duales entre sí; el gran dodecaedro estrellado es dual con el gran icosaedro {3, 5/2}. Todos estos dodecaedros estelares regulares tienen caras pentagonales o pentagrammicas regulares . El dodecaedro regular convexo y el gran dodecaedro estrellado son realizaciones diferentes del mismopoliedro regular abstracto ; el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro son realizaciones diferentes de otro poliedro regular abstracto.
Otro dodecaedro pentagonal
En cristalografía , dos importantes dodecaedros pueden ocurrir como formas cristalinas en algunas clases de simetría del sistema cristalino cúbico que son topológicamente equivalentes al dodecaedro regular pero menos simétrico: el piritoedro con simetría piritoédrica y el tetartoide con simetría tetraédrica :
Piritoedro
| Piritoedro | |
|---|---|
(Consulte aquí para ver un modelo giratorio). | |
| Polígono de caras | pentágono irregular |
| Diagramas de Coxeter |     |
| Caras | 12 |
| Bordes | 30 (6 + 24) |
| Vértices | 20 (8 + 12) |
| Grupo de simetría | T h , [4,3 + ], (3 * 2), orden 24 |
| Grupo de rotacion | T , [3,3] + , (332), orden 12 |
| Poliedro doble | Pseudoicosaedro |
| Propiedades | cara transitiva |
| Neto | |
Un piritoedro es un dodecaedro con simetría piritoédrica (T h ). Como el dodecaedro regular , tiene doce caras pentagonales idénticas , con tres juntas en cada uno de los 20 vértices (ver figura). [3] Sin embargo, los pentágonos no están obligados a ser regulares, y la disposición atómica subyacente no tiene un verdadero eje de simetría quíntuple. Sus 30 bordes se dividen en dos conjuntos, que contienen 24 y 6 bordes de la misma longitud. Los únicos ejes de simetría rotacional son tres ejes dobles perpendiculares entre sí y cuatro ejes triples.
Aunque los dodecaedros regulares no existen en los cristales, la forma piritoedro ocurre en los cristales del mineral pirita , y puede ser una inspiración para el descubrimiento de la forma sólida platónica regular . El verdadero dodecaedro regular puede presentarse como una forma de cuasicristales (como el cuasicristal de holmio, magnesio y zinc ) con simetría icosaédrica , que incluye verdaderos ejes de rotación quíntuple.
Pirita de cristal
El nombre pirita de cristal proviene de uno de los dos hábitos cristalinos comunes que muestra la pirita (el otro es el cubo ). En pirita piritoédrica, las caras tienen un índice de Miller de (210), lo que significa que el ángulo diedro es 2 · arctan (2) ≈ 126.87 ° y cada cara pentagonal tiene un ángulo de aproximadamente 121.6 ° entre dos ángulos de aproximadamente 106.6 ° y dos ángulos opuestos de aproximadamente 102,6 °. Las siguientes fórmulas muestran las medidas de la cara de un cristal perfecto (que rara vez se encuentra en la naturaleza).
Pirita natural (con ángulos de cara a la derecha) |
Coordenadas cartesianas
Los ocho vértices de un cubo tienen las coordenadas (± 1, ± 1, ± 1).
Las coordenadas de los 12 vértices adicionales son ( 0, ± (1 + h ), ± (1 - h 2 ) ) , ( ± (1 + h ), ± (1 - h 2 ), 0 ) y ( ± (1 - h 2 ), 0, ± (1 + h ) ) .
h es la altura del "techo" en forma de cuña sobre las caras de ese cubo con una longitud de borde 2.
Un caso importante es h = 1 / 2 (un cuarto de la longitud del borde cubo) para pirita natural perfecto (también la piritoedro en la estructura Weaire-Phelan ).
Otro es h = 1 / φ = 0.618 ... para el dodecaedro regular . Consulte la sección Libertad geométrica para otros casos.
Dos piritoedros con coordenadas distintas de cero intercambiadas están en posiciones duales entre sí como el dodecaedro en el compuesto de dos dodecaedros .
Proyecciones ortográficas del piritoedro con h = 1/2 | Alturas 1/2 y 1 / φ |
| Animaciones | |
|---|---|
| Panal de piritoedros alternantes convexos y cóncavos con alturas entre ± 1 / φ | Alturas entre 0 (cubo) y 1 (dodecaedro rómbico) |
Libertad geométrica
El piritoedro tiene un grado de libertad geométrico con casos límite de un casco convexo cúbico en un límite de bordes colineales y un dodecaedro rómbico como el otro límite, ya que 6 bordes se degeneran a longitud cero. El dodecaedro regular representa un caso intermedio especial donde todos los bordes y ángulos son iguales.
Es posible superar estos casos limitantes, creando piritoedros cóncavos o no convexos. El endododecaedro es cóncavo y equilátero; puede teselar el espacio con el dodecaedro regular convexo. Continuando desde allí en esa dirección, pasamos por un caso degenerado donde coinciden doce vértices en el centro, y luego al gran dodecaedro estrellado regular donde todas las aristas y ángulos son nuevamente iguales, y las caras han sido distorsionadas en pentagramas regulares . En el otro lado, más allá del dodecaedro rómbico, obtenemos un dodecaedro equilátero no convexo con caras pentagonales equiláteras autoincrustadas en forma de pez.
| Casos especiales del piritoedro | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Las versiones con valores absolutos iguales y signos opuestos forman un panal de abejas juntas. (Compare esta animación .) La relación que se muestra es la de las longitudes de los bordes, es decir, las de un conjunto de 24 (tocando los vértices del cubo) y las de un conjunto de 6 (correspondientes a las caras del cubo). | |||||||
| Proporción | 1: 1 | 0: 1 | 1: 1 | 2: 1 | 1: 1 | 0: 1 | 1: 1 |
| h | - √ 5 + 1 / 2 | −1 | - √ 5 + 1 / 2 | 0 | √ 5 - 1 / 2 | 1 | √ 5 + 1 / 2 |
| −1,618 ... | −0,618 ... | 0,618 ... | 1.618 ... | ||||
| Imagen | Estrella regular, gran dodecaedro estrellado , con caras de pentagrama regulares | Degenerado, 12 vértices en el centro | El dodecaedro equilátero cóncavo, llamado endododecaedro . [ aclaración necesaria ] | Un cubo se puede dividir en un piritoedro dividiendo todos los bordes y caras en direcciones alternas. | Un dodecaedro regular es un caso intermedio con longitudes de borde iguales. | Un dodecaedro rómbico es un caso degenerado con los 6 cruces reducidos a la longitud cero. | Dodecaedro equilátero auto-intersecante |
Tetartoide
| Tetartoide tetragonal pentagonal dodecaedro | |
|---|---|
(Consulte aquí para ver un modelo giratorio). | |
| Polígono de caras | pentágono irregular |
| Notación de Conway | gT |
| Caras | 12 |
| Bordes | 30 (6 + 12 + 12) |
| Vértices | 20 (4 + 4 + 12) |
| Grupo de simetría | T , [3,3] + , (332), orden 12 |
| Propiedades | convexo , cara transitiva |
Un tetartoide (también dodecaedro pentagonal tetragonal , pentágono-tritetraedro y pentágono dodecaedro tetraédrico ) es un dodecaedro con simetría tetraédrica quiral (T). Como el dodecaedro regular , tiene doce caras pentagonales idénticas , con tres juntas en cada uno de los 20 vértices. Sin embargo, los pentágonos no son regulares y la figura no tiene cinco ejes de simetría.
Aunque los dodecaedros regulares no existen en cristales, la forma tetartoidea sí. El nombre tetartoide proviene de la raíz griega para un cuarto porque tiene un cuarto de simetría octaédrica completa y la mitad de simetría piritoédrica. [4] El mineral cobaltita puede tener esta forma de simetría. [5]
Las abstracciones que comparten la topología y la simetría del sólido se pueden crear a partir del cubo y el tetraedro. En el cubo, cada cara está dividida en dos por un borde inclinado. En el tetraedro, cada borde está trisecado y cada uno de los nuevos vértices está conectado al centro de una cara. (En la notación de poliedro de Conway, esto es un giroscopio tetraedro).
Proyecciones ortográficas de 2 y 3 ejes | Forma cúbica y tetraédrica | Cobaltita |
| Relación con el dodecaedro dyakis | ||
|---|---|---|
Se puede crear un teteroide agrandando 12 de las 24 caras de un dodecaedro dyakis . (El teteroide que se muestra aquí se basa en uno que se crea al agrandar 24 de las 48 caras del dodecaedro disdyakis ).
El modelo de cristal de la derecha muestra un tetartoide creado al agrandar las caras azules del núcleo dodecaédrico de dyakis. Por lo tanto, los bordes entre las caras azules están cubiertos por los bordes del esqueleto rojo. |
Coordenadas cartesianas
Los siguientes puntos son vértices de un pentágono tetartoideo bajo simetría tetraédrica :
- ( a , b , c ); (- a , - b , c ); (- n / d 1 , - n / d 1 , n / d 1 ); (- c , - a , b ); (- n / d 2 , n / d 2 , n / d 2 ),
en las siguientes condiciones: [6]
- 0 ≤ a ≤ b ≤ c ,
- n = a 2 c - bc 2 ,
- d 1 = a 2 - ab + b 2 + ac - 2 bc ,
- d 2 = a 2 + ab + b 2 - ac - 2 bc ,
- nd 1 d 2 ≠ 0 .
Libertad geométrica
El dodecaedro regular es un tetartoide con más de la simetría requerida. El triakis tetraedro es un caso degenerado con 12 aristas de longitud cero. (En términos de los colores utilizados anteriormente, esto significa que los vértices blancos y los bordes verdes son absorbidos por los vértices verdes).
| Variaciones tetartoides del dodecaedro regular al triakis tetraedro | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Doble de girobianticúpola triangular
Una forma de simetría más baja del dodecaedro regular se puede construir como el dual de un poliedro construido a partir de dos anticúpolas triangulares conectadas de base a base, llamada girobianticúpola triangular. Tiene simetría D 3d , orden 12. Tiene 2 juegos de 3 pentágonos idénticos en la parte superior e inferior, conectados 6 pentágonos alrededor de los lados que se alternan hacia arriba y hacia abajo. Esta forma tiene una sección transversal hexagonal y se pueden conectar copias idénticas como un panal hexagonal parcial, pero no todos los vértices coincidirán.
Dodecaedro rómbico
El dodecaedro rómbico es un zonoedro con doce caras rómbicas y simetría octaédrica. Es dual con el cuboctaedro cuasirregular (un sólido de Arquímedes ) y se presenta en la naturaleza como una forma de cristal. El dodecaedro rómbico se empaqueta para llenar el espacio.
El dodecaedro rómbico puede verse como un piritoedro degenerado donde los 6 bordes especiales se han reducido a longitud cero, reduciendo los pentágonos en caras rómbicas.
El dodecaedro rómbico tiene varias estelaciones , la primera de las cuales también es un relleno espacial paraleloédrico .
Otro dodecaedro rómbico importante, el dodecaedro de Bilinski , tiene doce caras congruentes con las del triacontaedro rómbico , es decir, las diagonales están en la proporción de la proporción áurea . También es un zonoedro y fue descrito por Bilinski en 1960. [7] Esta figura es otro relleno espacial, y también puede ocurrir en rellenos espaciales no periódicos junto con el triacontaedro rómbico, el icosaedro rómbico y los hexaedros rómbicos. [8]
Otros dodecaedros
Hay 6.384.634 dodecaedros convexos topológicamente distintos , excluidas las imágenes especulares; el número de vértices varía de 8 a 20. [9] (Dos poliedros son "topológicamente distintos" si tienen disposiciones intrínsecamente diferentes de caras y vértices, de modo que es imposible distorsionar uno en el otro simplemente cambiando la longitud de los bordes o los ángulos entre los bordes o las caras).
Dodecaedros topológicamente distintos (excluyendo formas pentagonales y rómbicas)
- Poliedros uniformes:
- Prisma decagonal - 10 cuadrados, 2 decagones, simetría D 10h , orden 40.
- Antiprisma pentagonal : 10 triángulos equiláteros, 2 pentágonos, simetría D 5d , orden 20
- Sólidos de Johnson (cara regular):
- Cúpula pentagonal - 5 triángulos, 5 cuadrados, 1 pentágono, 1 decágono, simetría C 5v , orden 10
- Disfenoide chato - 12 triángulos, D 2d , orden 8
- Bipirámide cuadrada alargada - 8 triángulos y 4 cuadrados, simetría D 4h , orden 16
- Iicosaedro metabidiminado - 10 triángulos y 2 pentágonos, simetría C 2v , orden 4
- Cara irregular congruente: ( cara transitiva )
- Bipirámide hexagonal - 12 triángulos isósceles , prisma dual de hexagonal , simetría D 6h , orden 24
- Trapezoedro hexagonal - 12 cometas , antiprisma dual de hexagonal , simetría D 6d , orden 24
- Triakis tetraedro - 12 triángulos isósceles, dual de tetraedro truncado , simetría T d , orden 24
- Otras caras menos regulares:
- Pirámide hedecagonal : 11 triángulos isósceles y 1 endecágono regular , C 11v , orden 11
- Dodecaedro trapezo-rómbico - 6 rombos, 6 trapezoides - dual de ortobicúpula triangular , simetría D 3h , orden 12
- Dodecaedro rombo-hexagonal o dodecaedro alargado - 8 rombos y 4 hexágonos equiláteros , simetría D 4h , orden 16
- Trapezoedro pentagonal truncado , D 5d , orden 20, topológicamente equivalente al dodecaedro regular
Uso practico
Armand Spitz usó un dodecaedro como equivalente en "globo" para su proyector planetario Digital Dome . [10] basado en una sugerencia de Albert Einstein .
Ver también
- 120 celdas : un policoron regular (politopo 4D) cuya superficie consta de 120 celdas dodecaédricas.
- Braarudosphaera bigelowii : un cocolitóforo con forma de dodecaedro(un alga de fitoplancton unicelular ).
- Pentakis dodecaedro
- Dodecaedro romano
- Dodecaedro chato
- Dodecaedro truncado
Referencias
- ^ 1908 Chambers's Twentieth Century Dictionary of the English Language, 1913 Diccionario completo revisado de Webster
- ↑ Athreya, Jayadev S .; Aulicino, David; Hooper, W. Patrick (27 de mayo de 2020). "Sólidos platónicos y cubiertas de alto género de superficies de celosía" . Matemáticas experimentales : 1–31. arXiv : 1811.04131 . doi : 10.1080 / 10586458.2020.1712564 . S2CID 119318080 .
- ^ Hábito de cristal . Galleries.com. Consultado el 2 de diciembre de 2016.
- ^ Holandés, Steve. Las 48 formas especiales de cristal Archivado el 18 de septiembre de 2013 en la Wayback Machine . Ciencias naturales y aplicadas, Universidad de Wisconsin-Green Bay , EE. UU.
- ^ Hábito de cristal . Galleries.com. Consultado el 2 de diciembre de 2016.
- ^ El Tetartoide . Demonstrations.wolfram.com. Consultado el 2 de diciembre de 2016.
- ^ Hafner, I. y Zitko, T. Introducción a los poliedros rómbicos dorados . Facultad de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Ljubljana , Eslovenia.
- ^ Señor, EA; Ranganathan, S .; Kulkarni, UD (2000). "Alicatados, revestimientos, racimos y cuasicristales" . Curr. Sci . 78 : 64–72.
- ^ Contando poliedros . Numericana.com (31 de diciembre de 2001). Consultado el 2 de diciembre de 2016.
- ^ Ley, Willy (febrero de 1965). "Precursores del Planetario" . Para tu información. Ciencia ficción de la galaxia . págs. 87–98.
enlaces externos
 | Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Poliedros con 12 caras . |
- El cuarto sólido de Platón y el "piritoedro" , de Paul Stephenson, 1993, The Mathematical Gazette, vol. 77, núm. 479 (julio de 1993), págs. 220–226 [1]
- Estelación de modelos VRML de piritoedro y animaciones de piritoedro y sus estelaciones
- Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D o3o5x - doe" .
- Red editable e imprimible de un dodecaedro con vista 3D interactiva
- Los poliedros uniformes
- Poliedros de origami - Modelos hechos con Origami modular
- Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- KJM MacLean, un análisis geométrico de los cinco sólidos platónicos y otros poliedros semirregulares
- Visualización 3D del dodecaedro
- Stella: Polyhedron Navigator : software utilizado para crear algunas de las imágenes de esta página.
- Cómo hacer un dodecaedro a partir de un cubo de espuma de poliestireno
- Dodecaedros romanos: objetos misteriosos que se han encontrado en todo el territorio del Imperio Romano.
| Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
| Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
| Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
| 5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
| 6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
| 7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
| Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
| 9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
| Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
| Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
| Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos | ||||||||||||
- Gráficos individuales
- Gráficos planos
- Sólidos platónicos
