24 celdas

En la geometría de cuatro dimensiones , las 24 celdas son los 4 politopos regulares convexos [1] con el símbolo de Schläfli {3,4,3}. También se le llama C 24 , o icositetrachoron , [2] octaplex (abreviatura de "complejo octaédrico"), icosatetrahedroid , [3] octacube , hiper-diamante o polioctaedro , al estar construido de células octaédricas .

24 celdas
Estructura alámbrica Schlegel de 24 celdas.png
Diagrama de Schlegel (vértices y aristas)
Tipo4 politopos regulares convexos
Símbolo de Schläfli{3,4,3}
r {3,3,4} =
{3 1,1,1 } =
Diagrama de CoxeterNodo CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 3.pngNodo CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png o Nodo CDel 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel node.pngCDel 3.pngNodo CDel 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png o Nodo CDel 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png
Células24 {3,4} Octaedro.png
Caras96 {3}
Bordes96
Vértices24
Figura de vérticeCubo
Polígono de Petriedodecágono
Grupo CoxeterF 4 , [3,4,3], orden 1152
B 4 , [4,3,3], orden 384
D 4 , [3 1,1,1 ], orden 192
DobleAuto-dual
Propiedadesconvexo , isogonal , isotoxal , isoédrico
Índice uniforme22
Neto

El límite de las 24 celdas se compone de 24 celdas octaédricas con seis en cada vértice y tres en cada borde. Juntos tienen 96 caras triangulares, 96 aristas y 24 vértices. La figura del vértice es un cubo . El de 24 celdas es auto-dual . [a] Este y el tesseract son los únicos 4-politopos regulares convexos en los que la longitud del borde es igual al radio. [B]

El de 24 celdas no tiene un análogo regular en 3 dimensiones. Es el único de los seis politopos regulares convexos 4 que no es el análogo tetradimensional de uno de los cinco sólidos platónicos regulares . Sin embargo, puede verse como el análogo de un par de sólidos irregulares: el cuboctaedro y su doble dodecaedro rómbico .

Las copias traducidas de las 24 celdas pueden colocar un espacio de cuatro dimensiones cara a cara, formando el panal de 24 celdas . Como politopo que se puede teselar por traslación, el de 24 celdas es un ejemplo de paralelopótopo , el más simple que no es también un zonótopo .

El de 24 celdas incorpora las geometrías de cada politopo regular convexo en las primeras cuatro dimensiones, excepto el de 5 celdas, aquellos con un 5 en su símbolo de Schlӓfli, [c] y los polígonos {7} y ​​superiores. Es especialmente útil explorar las 24 celdas, porque se pueden ver las relaciones geométricas entre todos estos politopos regulares en una sola celda de 24 celdas o en su panal .

El de 24 celdas es el cuarto en la secuencia de 6 politopos regulares convexos de 4 (en orden de tamaño y complejidad). [d] Se puede deconstruir en 3 instancias superpuestas de su predecesor el tesseract (8 celdas), ya que el 8 celdas se puede deconstruir en 2 instancias superpuestas de su predecesor el 16 celdas . [5] El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de borde menor. [mi]

Coordenadas

Cuadrícula

La celda de 24 es el casco convexo de sus vértices que se puede describir como las 24 permutaciones de coordenadas de:

.

Esas coordenadas [6] se pueden construir comoCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, rectificando las 16 celdas CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngcon 8 permutaciones de vértices de (± 2,0,0,0). La figura del vértice de una celda de 16 es el octaedro ; así, cortar los vértices de las 16 celdas en el punto medio de sus bordes incidentes produce 8 celdas octaédricas. Este proceso [7] también rectifica las celdas tetraédricas de las 16 celdas que se convierten en 16 octaedros, dando a las 24 celdas 24 octaédricas.

En este marco de referencia, las 24 celdas tienen bordes de longitud √ 2 y están inscritas en una esfera de 3 de radio √ 2 . Sorprendentemente, la longitud del borde es igual al circunradio, como en el hexágono o cuboctaedro . Tales politopos son radialmente equiláteros . [B]

Los 24 vértices pueden verse como los vértices de 3 pares de grandes cuadrados [h] completamente ortogonales [g ] que se cruzan [j] sin vértices.

Hexágonos

Los 24 elementos de cuaternión del grupo tetraédrico binario coinciden con los vértices de las 24 celdas. Visto en proyección de simetría cuádruple: * 1 orden-1: 1 * 1 orden-2: -1 * 6 orden-4: ± i, ± j, ± k * 8 orden-6: (+ 1 ± i ± j ± k) / 2 * 8 orden-3: (-1 ± i ± j ± k) / 2.

La celda de 24 es auto-dual , tiene el mismo número de vértices (24) que las celdas y el mismo número de aristas (96) que las caras.

Si el dual de las 24 celdas anteriores de longitud de borde √ 2 se toma recíprocamente sobre su esfera inscrita , se encuentra otra celda de 24 que tiene una longitud de borde y un radio de circunferencia 1, y sus coordenadas revelan más estructura. En este marco de referencia, las 24 celdas se encuentran en el vértice hacia arriba, y sus vértices se pueden dar de la siguiente manera:

8 vértices obtenidos permutando las coordenadas enteras :

(± 1, 0, 0, 0)

y 16 vértices con coordenadas medio enteras de la forma:

(± 1/2, ± 1/2, ± 1/2, ± 1/2)

los 24 de los cuales se encuentran a una distancia 1 del origen.

Vistos como cuaterniones , estos son los cuaterniones de Hurwitz unitarios .

La celda de 24 tiene un radio unitario y una longitud de borde unitaria [b] en este sistema de coordenadas. Nos referimos al sistema como coordenadas de radio unitario para distinguirlo de otros, como las coordenadas de radio √ 2 utilizadas anteriormente . [k]

Los 24 vértices y 96 aristas forman 16 grandes hexágonos no ortogonales, [l] cuatro de los cuales se cruzan [j] en cada vértice. [metro]

triangulos

Los 24 vértices forman 32 grandes triángulos equiláteros [n] inscritos en los 16 grandes hexágonos. [o]

Acordes hipercúbicos

Geometría de vértice del radialmente equilátero [b] de 24 celdas, que muestra los 3 polígonos del gran círculo y las 4 longitudes de cuerda de vértice a vértice.

Los 24 vértices de las 24 celdas se distribuyen [8] en cuatro longitudes de cuerda diferentes entre sí: √ 1 , √ 2 , √ 3 y √ 4 .

Cada vértice está unido a otros 8 [p] por un borde de longitud 1, que abarca 60 ° =π/3de arco. Los siguientes más cercanos son 6 vértices [q] ubicados a 90 ° =π/2de distancia, a lo largo de una cuerda interior de longitud √ 2 . Otros 8 vértices se encuentran 120 ° =2 π/3de distancia, a lo largo de una cuerda interior de longitud √ 3 . El vértice opuesto está a 180 ° = π a lo largo de un diámetro de longitud 2. Finalmente, como las 24 celdas son radialmente equilátero, su centro puede tratarse [r] como un vértice del vértice canónico número 25, [s] que tiene 1 longitud de borde lejos de todos los demás.

Para visualizar cómo encajan los politopos interiores de las 24 celdas (como se describe a continuación ), tenga en cuenta que las cuatro longitudes de cuerda ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) son los diámetros largos de los hipercubos de dimensiones 1 hasta 4: el diámetro largo del cuadrado es √ 2 ; el diámetro largo del cubo es √ 3 ; y el diámetro largo del tesseract es √ 4 . [t] Además, el diámetro largo del octaedro es √ 2 como el cuadrado; y el diámetro largo de las 24 celdas en sí es √ 4 como el tesseract. En las 24 celdas, los √ 2 acordes son los bordes de los cuadrados centrales, y los √ 4 acordes son las diagonales de los cuadrados centrales.

Geodésicas

Las cuerdas de los vértices de las 24 celdas están dispuestas en polígonos geodésicos de gran círculo . [u] La distancia geodésica entre dos vértices de 24 celdas a lo largo de una ruta de aristas √ 1 es siempre 1, 2 o 3, y es 3 solo para vértices opuestos. [v]

Las aristas √ 1 ocurren en 16 grandes círculos hexagonales (en planos inclinados a 60 grados entre sí), 4 de los cuales cruzan [m] en cada vértice. [x] Las 96 aristas √ 1 distintas dividen la superficie en 96 caras triangulares y 24 celdas octaédricas: una de 24 celdas.

Las √ 2 cuerdas ocurren en 18 grandes círculos cuadrados (3 conjuntos de 6 planos ortogonales [i] ), 3 de los cuales se cruzan en cada vértice. [y] Las 72 cuerdas √ 2 distintas no corren en los mismos planos que los grandes círculos hexagonales; no siguen los bordes de las 24 celdas, pasan a través de sus centros de celdas octogonales. [z]

Las √ 3 cuerdas ocurren en 32 grandes círculos triangulares en 16 planos, 4 de los cuales se cruzan en cada vértice. [aa] Los 96 √ 3 acordes distintos [n] corren de vértice a cada otro vértice en los mismos planos que los grandes círculos hexagonales. [o]

Los √ 4 acordes ocurren como 12 diámetros de vértice a vértice (3 conjuntos de 4 ejes ortogonales), los 24 radios alrededor del 25º vértice central. [s]

Las aristas √ 1 ocurren en 48 pares paralelos, √ 3 separados. Los √ 2 acordes ocurren en 36 pares paralelos, √ 2 separados. Los √ 3 acordes ocurren en 48 pares paralelos, √ 1 aparte. [ab]

Cada plano del gran círculo interseca [j] con cada uno de los otros planos del gran círculo o planos de cara a los que es completamente ortogonal [f] solo en el punto central, y con cada uno de los demás a los que no es completamente ortogonal en un solo punto. borde de algún tipo. En todos los casos, esa arista es una de las cuerdas de vértice de las 24 celdas. [C.A]

Construcciones

Los triángulos y cuadrados se unen de manera única en las 24 celdas para generar, como características interiores, [r] todos los politopos convexos regulares de caras triangulares y cuadradas en las primeras cuatro dimensiones (con salvedades para las 5 celdas y las 600 -célula ). [ad] En consecuencia, existen numerosas formas de construir o deconstruir las 24 celdas.

Construcciones recíprocas de 8 celdas y 16 celdas

Los 8 vértices enteros (± 1, 0, 0, 0) son los vértices de una celda regular de 16 celdas , y los 16 vértices de medio entero (± 1/2, ± 1/2, ± 1/2, ± 1/2) son los vértices de su dual, el tesseract (8 celdas). El tesseract da la construcción de Gosset [11] de las 24 celdas, equivalente a cortar un tesseract en 8 pirámides cúbicas y luego unirlas a las facetas de un segundo tesseract. La construcción análoga en 3 espacios da el dodecaedro rómbico que, sin embargo, no es regular. Las 16 celdas dan la construcción recíproca de las 24 celdas, la construcción de Cesaro, [12] equivalente a rectificar una celda de 16 (truncando sus esquinas en los bordes medios, como se describió anteriormente ). La construcción análoga en 3 espacios da el cuboctaedro (dual del dodecaedro rómbico) que, sin embargo, no es regular. El tesseract y el de 16 celdas son los únicos 4 politopos regulares en el de 24 celdas. [13]

Además, podemos dividir los 16 vértices de medio entero en dos grupos: aquellos cuyas coordenadas contienen un número par de signos menos (-) y aquellos con un número impar. Cada uno de estos grupos de 8 vértices también define una celda regular de 16. Esto muestra que los vértices de las 24 celdas se pueden agrupar en tres conjuntos disjuntos de ocho, cada uno de los cuales define una celda regular de 16, y el complemento define el tesseract dual. [14] Esto también muestra que las simetrías de las 16 celdas forman un subgrupo del índice 3 del grupo de simetría de las 24 celdas.

Disminuciones

Podemos facetar las 24 celdas cortando [ae] a través de celdas interiores limitadas por cuerdas de vértice para eliminar los vértices, exponiendo las facetas de los 4 politopos interiores inscritos en las 24 celdas. Se pueden cortar 24 celdas a través de cualquier hexágono plano de 6 vértices, cualquier rectángulo plano de 4 vértices o cualquier triángulo de 3 vértices. Los planos centrales del gran círculo ( arriba ) son solo algunos de esos planos. Aquí expondremos algunos de los otros: los planos frontales [ag] de los politopos interiores. [ah]

8 celdas

Comenzando con 24 celdas completas, elimine 8 vértices ortogonales (4 pares opuestos en 4 ejes perpendiculares) y los 8 bordes que irradian de cada uno, cortando 8 celdas cúbicas delimitadas por √ 1 bordes para eliminar 8 pirámides cúbicas cuyos vértices son los vértices a eliminar. Esto elimina 4 bordes de cada gran círculo hexagonal (conservando solo un par de bordes opuestos), por lo que no quedan grandes círculos hexagonales continuos. Ahora, 3 aristas perpendiculares se encuentran y forman la esquina de un cubo en cada uno de los 16 vértices restantes, [ai] y las 32 aristas restantes dividen la superficie en 24 caras cuadradas y 8 celdas cúbicas: un tesseract . Hay tres formas de hacer esto (elija un conjunto de 8 vértices ortogonales de 24), por lo que hay tres teseractos de este tipo inscritos en la celda de 24. Se superponen entre sí, pero la mayoría de sus conjuntos de elementos son inconexos: comparten algunos vértices, pero no la longitud del borde, el área de la cara o el volumen de la celda. Comparten 4 contenidos, su núcleo común. [aj]

16 celdas

Comenzando con un total de 24 celdas, elimine los 16 vértices de un tesseract (conservando los 8 vértices que eliminó anteriormente), cortando 16 celdas tetraédricas delimitadas por √ 2 cuerdas para eliminar 16 pirámides tetraédricas cuyos vértices son los vértices que se eliminarán. Esto elimina 12 grandes cuadrados (conservando solo un conjunto ortogonal) y todos los bordes √ 1 , exponiendo √ 2 acordes como los nuevos bordes. Ahora los 6 grandes cuadrados restantes se cruzan perpendicularmente, 3 en cada uno de los 8 vértices restantes, [ak] y sus 24 aristas dividen la superficie en 32 caras triangulares y 16 celdas tetraédricas: una celda de 16 . Hay tres formas de hacer esto (eliminar 1 de 3 conjuntos de vértices tesseract), por lo que hay tres de estas 16 celdas inscritas en las 24 celdas. Se superponen entre sí, pero la mayoría de sus conjuntos de elementos son inconexos: no comparten ningún recuento de vértices, longitud de borde o área de la cara, pero sí comparten el volumen de celda. También comparten 4 contenidos, su núcleo común. [aj]

Construcciones tetraédricas

Las 24 celdas se pueden construir radialmente a partir de 96 triángulos equiláteros de longitud de borde √ 1 que se encuentran en el centro del politopo, cada uno contribuyendo con dos radios y un borde. [b] Forman 96 √ 1 tetraedros (cada uno contribuyendo con una cara de 24 celdas), todos compartiendo el vértice del vértice central número 25. Estos forman 24 pirámides octaédricas (medias 16 celdas) con sus vértices en el centro.

Las 24 celdas se pueden construir a partir de 96 triángulos equiláteros de longitud de borde √ 2 , donde los tres vértices de cada triángulo se encuentran a 90 ° =π/2lejos el uno del otro. Forman 48 √ 2 tetraedros (las celdas de las tres 16 celdas ), centradas en los 24 radios medios de las 24 celdas.

Relaciones entre politopos interiores.

Las 24 celdas, los tres teseractos y las tres de 16 celdas están profundamente entrelazadas alrededor de su centro común y se cruzan en un núcleo común. [aj] Los teseractos están inscritos en la celda [al] de 24 celdas de modo que sus vértices y aristas son elementos exteriores de la celda 24, pero sus caras cuadradas y celdas cúbicas se encuentran dentro de la celda 24 (no son elementos de la celda 24 celdas). Las 16 celdas están inscritas en la [am] de 24 celdas de modo que sólo sus vértices son elementos exteriores de la de 24 celdas: sus bordes, caras triangulares y celdas tetraédricas se encuentran dentro de la de 24 celdas. Los bordes interiores [an] de 16 celdas tienen una longitud √ 2 .

Dibujo de Kepler de tetraedros inscrito en el cubo. [15]

Las 16 celdas también están inscritas en los tesseracts: sus √ 2 aristas son las diagonales de la cara del tesseract, y sus 8 vértices ocupan cada otro vértice del tesseract. Cada tesseract tiene dos 16 celdas inscritas en él (que ocupan los vértices opuestos y las diagonales de las caras), por lo que cada 16 celdas está inscrito en dos de las tres 8 celdas. [16] Esto recuerda la forma en que, en 3 dimensiones, dos tetraedros pueden inscribirse en un cubo, como lo descubrió Kepler. [15] De hecho, es la analogía dimensional exacta (los demihipercubos ), y las 48 células tetraédricas están inscritas en las 24 células cúbicas de esa manera. [17]

La celda de 24 encierra los tres teseractos dentro de su envoltura de facetas octaédricas, dejando un espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre su envoltura y la envoltura de cubos de cada teseracto. Cada tesseract encierra dos de las tres 16 celdas, dejando un espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre su envoltura y la envoltura de tetraedros de cada 16 celdas. Por tanto, existen [4] intersticios de 4 dimensiones [ao] medibles entre las envolturas de 24 celdas, 8 celdas y 16 celdas. Las formas que llenan estos huecos son 4 pirámides, [ap] aludido anteriormente.

Celdas de límite

A pesar de los intersticios de 4 dimensiones entre los sobres de 24 celdas, 8 celdas y 16 celdas, sus volúmenes tridimensionales se superponen. Los diferentes envoltorios están separados en algunos lugares y en contacto en otros lugares (donde no hay 4 pirámides entre ellos). Donde están en contacto, se fusionan y comparten el volumen celular: son las mismas 3 membranas en esos lugares, no dos capas tridimensionales separadas sino adyacentes. [ar] Debido a que hay un total de 7 sobres, hay lugares donde varios sobres se juntan y fusionan volumen, y también lugares donde los sobres se interpenetran (cruzan de adentro hacia afuera).

Algunas características interiores se encuentran dentro del espacio tridimensional de la envolvente límite (exterior) de las 24 celdas en sí: cada celda octaédrica está dividida en dos por tres cuadrados perpendiculares (uno de cada uno de los teseractos), y las diagonales de esos cuadrados (que se cruzan entre sí perpendicularmente en el centro del octaedro) son bordes de 16 celdas (uno de cada 16 celdas). Cada cuadrado divide un octaedro en dos pirámides cuadradas, y también une dos celdas cúbicas adyacentes de un tesseract juntas como su cara común. [aq]

Como vimos anteriormente, 16 celdas √ 2 tetraédricas están inscritas en tesseract √ 1 celdas cúbicas, compartiendo el mismo volumen. Las celdas octaédricas √ 1 de 24 celdas solapan su volumen con celdas cúbicas √ 1 : están divididas en dos por una cara cuadrada en dos pirámides cuadradas, [19] cuyos vértices también se encuentran en el vértice de un cubo. [as] Los octaedros comparten volumen no sólo con los cubos, sino con los tetraedros inscritos en ellos; por lo tanto, las 24 celdas, los tesseracts y las 16 celdas comparten algún volumen límite. [Arkansas]

Como configuración

Esta matriz de configuración [20] representa las 24 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en las 24 celdas completas. Los números no diagonales dicen cuántos de los elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila.

Dado que la celda de 24 celdas es auto-dual, su matriz es idéntica a su rotación de 180 grados.

El compuesto de los 24 vértices de las 24 celdas (nodos rojos), y su doble sin escala (nodos amarillos), representan los 48 vectores raíz del grupo F 4 , como se muestra en esta proyección del plano de Coxeter F 4

Los 24 vectores raíz del sistema de raíces D 4 del grupo de Lie simple SO (8) forman los vértices de una celda de 24. Los vértices se pueden ver en 3 hiperplanos , [af] con los 6 vértices de una celda octaedro en cada uno de los hiperplanos exteriores y 12 vértices de un cuboctaedro en un hiperplano central. Estos vértices, combinados con los 8 vértices de las 16 celdas , representan los 32 vectores raíz de los grupos de Lie simples B 4 y C 4 .

Los 48 vértices (o estrictamente hablando sus vectores de radio) de la unión de las 24 celdas y su dual forman el sistema de raíces de tipo F 4 . [22] Los 24 vértices de las 24 celdas originales forman un sistema de raíces de tipo D 4 ; su tamaño tiene la relación √ 2 : 1. Esto también es cierto para los 24 vértices de su dual. El grupo de simetría completo de las 24 celdas es el grupo de Weyl de F 4 , que se genera por reflexiones a través de los hiperplanos ortogonales a las raíces de F 4 . Este es un grupo solucionable de orden 1152. El grupo de simetría rotacional de las 24 celdas es de orden 576.

Interpretación cuaterniónica

Cuando se interpreta como los cuaterniones , el enrejado de la raíz F 4 (que es el tramo integral de los vértices de las 24 celdas) se cierra mediante la multiplicación y, por lo tanto, es un anillo . Este es el anillo de los cuaterniones integrales de Hurwitz . Los vértices de las 24 celdas forman el grupo de unidades (es decir, el grupo de elementos invertibles) en el anillo de cuaternión de Hurwitz (este grupo también se conoce como grupo tetraédrico binario ). Los vértices de las 24 celdas son precisamente los 24 cuaterniones de Hurwitz con norma al cuadrado 1, y los vértices de las 24 celdas dobles son aquellos con norma al cuadrado 2. El enrejado de la raíz D 4 es el dual de F 4 y está dado por el subanillo de cuaterniones de Hurwitz con norma par al cuadrado.

Los vértices de otros 4-politopos regulares convexos también forman grupos multiplicativos de cuaterniones, pero pocos de ellos generan una red de raíces.

Células de Voronoi

Las células de Voronoi del enrejado de la raíz D 4 son 24 células regulares. La teselación de Voronoi correspondiente da la teselación del espacio euclidiano de 4 dimensiones por 24 celdas regulares, el panal de 24 celdas . Las 24 celdas están centradas en los puntos de celosía D 4 (cuaterniones de Hurwitz con norma par al cuadrado) mientras que los vértices están en los puntos de celosía F 4 con norma cuadrada impar. Cada 24 celdas de esta teselación tiene 24 vecinos. Con cada uno de ellos comparte un octaedro. También tiene otros 24 vecinos con los que comparte un solo vértice. Ocho 24 celdas se encuentran en cualquier vértice dado en esta teselación. El símbolo de Schläfli para esta teselación es {3,4,3,3}. Es uno de los tres únicos teselados regulares de R 4 .

Las bolas unitarias inscritas en las 24 celdas de esta teselación dan lugar al empaquetamiento reticular de hiperesferas más denso conocido en 4 dimensiones. También se ha demostrado que la configuración de vértice de las 24 celdas da el mayor número posible de besos en 4 dimensiones .

Nido de abeja radialmente equilátero

La teselación dual del panal de abejas de 24 celdas {3,4,3,3} es el panal de abejas de 16 celdas {3,3,4,3} . La tercera teselación regular del espacio de cuatro dimensiones es el panal teseractic {4,3,3,4} , cuyos vértices pueden describirse mediante coordenadas cartesianas de 4 enteros. Las relaciones congruentes entre estos tres teselados pueden ser útiles para visualizar las 24 celdas, en particular la simetría equilátera radial que comparte con el tesseract. [B]

Un panal de 24 celdas de longitud de borde unitario puede superponerse en un panal de teseractos de longitud de borde unitario de modo que cada vértice de un tesseract (cada coordenada de 4 enteros) sea también el vértice de un 24 celdas (y los bordes de tesseract también son 24 -bordes de celda), y cada centro de una celda de 24 es también el centro de un tesseract. [23] Las 24 celdas son dos veces más grandes que los tesseracts por su contenido de 4 dimensiones (hipervolumen), por lo que en general hay dos tesseracts por cada 24 celdas, solo la mitad de las cuales están inscritas en una de 24 celdas. Si esos tesseracts son de color negro, y sus tesseracts adyacentes (con los que comparten una faceta cúbica) son de color rojo, se obtiene un tablero de ajedrez de 4 dimensiones. [24] De los 24 radios de centro a vértice [en] de cada 24 celdas, 16 son también los radios de un tesseract negro inscrito en las 24 celdas. Los otros 8 radios se extienden fuera del teseracto negro (a través de los centros de sus facetas cúbicas) hasta los centros de los 8 teseractos rojos adyacentes. Por lo tanto, el panal de 24 celdas y el panal tesseractic coinciden de una manera especial: 8 de los 24 vértices de cada 24 celdas no se encuentran en un vértice de un tesseract (en cambio, ocurren en el centro de un tesseract). Cada tesseract negro se corta de una celda de 24 truncando en estos 8 vértices, cortando 8 pirámides cúbicas (como al revertir la construcción de Gosset, [11] pero en lugar de eliminarse, las pirámides simplemente se colorean de rojo y se dejan en su lugar). Ocho 24 celdas se encuentran en el centro de cada tesseract rojo: cada una se encuentra con su opuesto en ese vértice compartido, y las otras seis en una celda octaédrica compartida.

Los teseractos rojos son celdas llenas (contienen un vértice central y radios); los teseractos negros son celdas vacías. El conjunto de vértices de esta unión de dos panales incluye los vértices de todas las 24 celdas y tesseracts, más los centros de los tesseracts rojos. Al agregar los centros de 24 celdas (que también son los centros de tesseract negros) a este panal se obtiene un panal de 16 celdas, cuyo conjunto de vértices incluye todos los vértices y centros de todas las 24 celdas y tesseracts. Los centros antes vacíos de 24 celdas adyacentes se convierten en los vértices opuestos de una unidad de longitud de borde de 16 celdas. 24 medias 16 celdas (pirámides octaédricas) se encuentran en cada centro anteriormente vacío para llenar cada 24 celdas, y sus bases octaédricas son las facetas octaédricas de 6 vértices de las 24 celdas (compartidas con una celda adyacente de 24 celdas). [au]

Rotaciones

Hay tres orientaciones distintas del panal teseractic que podrían coincidir con el panal de 24 celdas de esta manera, dependiendo de cuál de los tres conjuntos disjuntos de 8 vértices ortogonales de las 24 celdas (qué conjunto de 4 ejes perpendiculares) fue elegido. para alinearlo, del mismo modo que se pueden inscribir tres teseractos en la celda de 24, rotados entre sí. La distancia de una de estas orientaciones a otra es una rotación isoclínica de 60 grados (una rotación doble de 60 grados en cada par de planos invariantes ortogonales, alrededor de un único punto fijo). [ax] Esta rotación se puede ver más claramente en los planos centrales hexagonales, donde el hexágono gira para cambiar cuál de sus tres diámetros está alineado con un eje del sistema de coordenadas. [l]

El conjunto de vértices de las 24 celdas es el grupo tetraédrico binario . Visto como los cuaterniones de Hurwitz de 24 unidades , las coordenadas de radio unitarias de las 24 celdas representan (en pares antípodas) las 12 rotaciones de un tetraedro regular. [26]

Proyecciones paralelas

Sobres de proyección de 24 celdas. (Cada celda se dibuja con caras de diferentes colores, las celdas invertidas no se dibujan)

La proyección paralela del primer vértice de las 24 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura dodecaédrica rómbica . Doce de las 24 células octaédricas se proyectan en pares sobre seis bipirámides cuadradas que se encuentran en el centro del dodecaedro rómbico. Las 12 células octaédricas restantes se proyectan sobre las 12 caras rómbicas del dodecaedro rómbico.

La proyección paralela de la primera celda de las 24 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura cuboctaédrica . Dos de las celdas octaédricas, la más cercana y la más alejada del espectador a lo largo del eje w , se proyectan sobre un octaedro cuyos vértices se encuentran en el centro de las caras cuadradas del cuboctaedro. Rodeando este octaedro central se encuentran las proyecciones de otras 16 celdas, con 8 pares que se proyectan cada uno a uno de los 8 volúmenes que se encuentran entre una cara triangular del octaedro central y la cara triangular más cercana del cuboctaedro. Las 6 celdas restantes se proyectan sobre las caras cuadradas del cuboctaedro. Esto se corresponde con la descomposición del cuboctaedro en un octaedro regular y 8 octaedros irregulares pero iguales, cada uno de los cuales tiene la forma del casco convexo de un cubo con dos vértices opuestos eliminados.

El borde-primera proyección paralela tiene una alargada hexagonal bipiramidal sobre, y la cara primera proyección paralela tiene una no uniforme hexagonal bi- antiprismic sobre.

Proyecciones de perspectiva

La proyección en perspectiva del primer vértice de las 24 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura tetraquis hexaédrica . El diseño de las celdas en esta imagen es similar a la imagen en proyección paralela.

La siguiente secuencia de imágenes muestra la estructura de la proyección en perspectiva de la celda primero de las 24 celdas en 3 dimensiones. El punto de vista 4D se coloca a una distancia de cinco veces el radio del centro del vértice de las 24 celdas.

Proyección en perspectiva de celda primero
24cell-perspective-cell-first-01.png
En esta imagen, la celda más cercana se representa en rojo y las celdas restantes están en contorno de borde. Para mayor claridad, se han eliminado las células que miran en dirección opuesta al punto de vista 4D.		24cell-perspective-cell-first-02.png
En esta imagen, cuatro de las 8 celdas que rodean la celda más cercana se muestran en verde. La cuarta celda está detrás de la celda central en este punto de vista (ligeramente perceptible ya que el glóbulo rojo es semitransparente).		24cell-perspective-cell-first-03.png
Finalmente, se muestran las 8 celdas que rodean la celda más cercana, con las últimas cuatro representadas en magenta.
Tenga en cuenta que estas imágenes no incluyen las celdas que están de espaldas al punto de vista 4D. Por lo tanto, aquí solo se muestran 9 celdas. En el lado más alejado de las 24 celdas hay otras 9 celdas en una disposición idéntica. Las 6 celdas restantes se encuentran en el "ecuador" de las 24 celdas y unen los dos conjuntos de celdas.
Stereographic polytope 24cell faces.png
Proyección estereográfica 		24-cell.gif
Proyección 3D de una celda de 24 que realiza una rotación simple .
24cell section anim.gif
Sección transversal animada de 24 celdas
3D stereoscopic projection icositetrachoron.PNG
Una proyección 3D estereoscópica de un icositetrachoron (24 celdas).
"> Reproducir medios

Proyección ortogonal isométrica de: 8 celdas (Tesseract) + 16 celdas = 24 celdas

Proyecciones ortogonales

proyecciones ortográficas
Avión de Coxeter F 4
Grafico 24-cell t0 F4.svg
Simetría diedro [12]
Avión de Coxeter B 3 / A 2 (a)B 3 / A 2 (b)
Grafico 24-cell t0 B3.svg 24-cell t3 B3.svg
Simetría diedro [6] [6]
Avión de Coxeter B 4B 2 / A 3
Grafico 24-cell t0 B4.svg 24-cell t0 B2.svg
Simetría diedro [8] [4]

La celda de 24 está delimitada por 24 celdas octaédricas . Para fines de visualización, es conveniente que el octaedro tenga caras paralelas opuestas (un rasgo que comparte con las celdas del tesseract y el de 120 celdas ). Uno puede apilar octaedros cara a cara en una línea recta doblada en la cuarta dirección en un gran círculo con una circunferencia de 6 celdas. Las ubicaciones de las celdas se prestan a una descripción hiperesférica . Elija una celda arbitraria y etiquétela como " Polo Norte ". Ocho meridianos del gran círculo (dos celdas de largo) se irradian en 3 dimensiones, convergiendo en la tercera celda del " Polo Sur ". Este esqueleto representa 18 de las 24 células (2 +  8 × 2 ). Consulte la tabla siguiente.

Hay otro gran círculo relacionado en las 24 celdas, el dual del anterior. Un camino que atraviesa 6 vértices únicamente a lo largo de los bordes reside en el dual de este politopo, que es en sí mismo ya que es auto dual. Estas son las geodésicas hexagonales descritas anteriormente . Se puede seguir fácilmente este camino en una representación de la sección transversal del cuboctaedro ecuatorial .

Comenzando en el Polo Norte, podemos construir las 24 celdas en 5 capas latitudinales. Con la excepción de los polos, cada capa representa una 2-esfera separada, siendo el ecuador una gran 2-esfera. Las celdas etiquetadas como ecuatoriales en la siguiente tabla son intersticiales con las celdas del gran círculo meridiano. Las células intersticiales "ecuatoriales" tocan las células meridianas en sus caras. Se tocan entre sí y las células polares en sus vértices. Este último subconjunto de ocho celdas polares y no meridianas tiene la misma posición relativa entre sí que las celdas de un tesseract (8 celdas), aunque se tocan en sus vértices en lugar de en sus caras.

Capa # Número de celdas Descripción Colatitude Región
1 1 celda Polo Norte 0 ° Hemisferio norte
2 8 celdas Primera capa de células meridianas 60 °
3 6 celdas No meridiano / intersticial 90 ° Ecuador
4 8 celdas Segunda capa de células meridianas 120 ° Hemisferio sur
5 1 celda Polo Sur 180 °
Total 24 celdas
Una proyección en perspectiva del centro del borde, que muestra uno de los cuatro anillos de 6 octaedros alrededor del ecuador.

Las 24 celdas se pueden dividir en conjuntos separados de cuatro de estos anillos de gran círculo de 6 celdas, formando una fibración de Hopf discreta de cuatro anillos entrelazados. [27] Un anillo es "vertical", que abarca las células polares y cuatro células meridianas. Los otros tres anillos abarcan cada uno dos celdas ecuatoriales y cuatro celdas meridianas, dos del hemisferio norte y dos del sur.

Tenga en cuenta que esta trayectoria del círculo máximo hexagonal implica que el ángulo interior / diedro entre celdas adyacentes es 180 - 360/6 = 120 grados. Esto sugiere que puede apilar de forma adyacente exactamente tres 24 celdas en un plano y formar un panal 4-D de 24 celdas como se describió anteriormente.

También se puede seguir una ruta de gran círculo , a través de los vértices opuestos de los octaedros, que tiene cuatro celdas de largo. Estas son las geodésicas cuadradas a lo largo de cuatro cuerdas √ 2 descritas anteriormente . Este camino corresponde a atravesar diagonalmente los cuadrados de la sección transversal del cuboctaedro. El de 24 celdas es el único politopo regular en más de dos dimensiones donde puede atravesar un gran círculo puramente a través de vértices opuestos (y el interior) de cada celda. Este gran círculo es uno mismo dual. Este camino se mencionó anteriormente con respecto al conjunto de 8 celdas no meridianas (ecuatoriales) y polares. Las 24 celdas se pueden dividir en tres subconjuntos de 8 celdas, cada uno con la organización de un tesseract. Cada uno de estos subconjuntos se puede dividir en dos cadenas de gran círculo entrelazadas, de cuatro celdas de largo. En conjunto, estos tres subconjuntos producen ahora otra fibración Hopf discreta de seis anillos.

Hay dos formas de simetría más baja de 24 celdas, derivadas como 16 celdas rectificadas , con simetría B 4 o [3,3,4] dibujada bicolor con 8 y 16 celdas octaédricas . Por último, se puede construir a partir de simetría D 4 o [3 1,1,1 ], y dibujar tricolor con 8 octaedros cada uno.

Tres redes de 24 celdas con celdas coloreadas por simetría D 4 , B 4 y F 4
Demitisseract rectificado 16 celdas rectificadas 24 celdas regulares
D 4 , [3 1,1,1 ], orden 192B 4 , [3,3,4], orden 384F 4 , [3,4,3], orden 1152
24-cell net 3-symmetries.png
Tres juegos de 8 celdas tetraédricas rectificadasUn juego de 16 celdas tetraédricas rectificadas y un juego de 8 celdas octaédricas .Un conjunto de 24 celdas octaédricas
Figura de vértice
(cada borde corresponde a una cara triangular, coloreada por disposición de simetría)
Rectified demitesseract verf.png Rectified 16-cell verf.png 24 cell verf.png

El polígono complejo regular 4 {3} 4 ,CDel 4node 1.pngCDel 3.pngCDel 4node.png o CDel node h.pngCDel 6.pngCDel 4node.pngcontiene los 24 vértices de las 24 celdas y los 24 de 4 aristas que corresponden a los cuadrados centrales de 24 de las 48 celdas octaédricas. Su simetría es 4 [3] 4 , orden 96. [28]

El politopo complejo regular 3 {4} 3 ,CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png o CDel node h.pngCDel 8.pngCDel 3node.png, en tiene una representación real como un espacio de 24 celdas en 4 dimensiones. 3 {4} 3 tiene 24 vértices y 24 3 aristas. Su simetría es 3 [4] 3 , orden 72.

Figuras relacionadas en proyecciones ortogonales
Nombre {3,4,3}, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4 {3} 4 ,CDel 4node 1.pngCDel 3.pngCDel 4node.png 3 {4} 3 ,CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png
Simetría [3,4,3], CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, orden 1152 4 [3] 4 ,CDel 4node.pngCDel 3.pngCDel 4node.png, orden 96 3 [4] 3 ,CDel 3node.pngCDel 4.pngCDel 3node.png, orden 72
Vértices 242424
Bordes 96 2 filos24 de 4 filos24 3 filos
Imagen 24-cell t0 F4.svg
24 celdas en el plano F4 Coxeter, con 24 vértices en dos anillos de 12 y 96 aristas. 		Complex polygon 4-3-4.png
4 {3} 4 ,CDel 4node 1.pngCDel 3.pngCDel 4node.png tiene 24 vértices y 32 de 4 aristas, como se muestra aquí con 8 cuadrados de 4 aristas rojos, verdes, azules y amarillos. 		Complex polygon 3-4-3-fill1.png
3 {4} 3 oCDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png tiene 24 vértices y 24 3 bordes, que se muestran aquí con 8 rojos, 8 verdes y 8 azules cuadrados de 3 bordes, con bordes azules rellenos.

Se pueden derivar varios 4 politopos uniformes a partir de las 24 celdas mediante el truncamiento :

  • truncar a 1/3 de la longitud del borde produce las 24 celdas truncadas ;
  • truncar a la mitad de la longitud del borde produce las 24 celdas rectificadas ;
  • y truncar a la mitad de la profundidad al doble de 24 celdas produce el bit truncado de 24 celdas , que es transitivo de celda .

Los 96 bordes de las 24 celdas se pueden dividir en la proporción áurea para producir los 96 vértices de las 24 celdas chatas . Esto se hace colocando primero vectores a lo largo de los bordes de las 24 celdas de manera que cada cara bidimensional esté delimitada por un ciclo, luego dividiendo de manera similar cada borde en la proporción áurea a lo largo de la dirección de su vector. Una modificación análoga a un octaedro produce un icosaedro o "octaedro chato".

El 24-celdas es el único politopo euclidiano regular convexo autodual que no es ni un polígono ni un simplex . Relajar la condición de convexidad admite dos figuras más: la gran celda de 120 celdas y la gran celda estrellada de 120 celdas . Por sí mismo, puede formar un compuesto politopo : el compuesto de dos 24 células .

Policora uniforme D 4
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 		CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 		CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 		CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 		CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png 		CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png 		CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png 		CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
CDel node h.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 hh.pngCDel node h.png
4-demicube t0 D4.svg 4-cube t1 B3.svg 4-demicube t01 D4.svg 4-cube t12 B3.svg 4-demicube t1 D4.svg 24-cell t2 B3.svg 24-cell t23 B3.svg 24-cell h01 B3.svg
{3,3 1,1 }
h {4,3,3}		2r {3,3 1,1 }
h 3 {4,3,3}		t {3,3 1,1 }
h 2 {4,3,3}		2 t {3,3 1,1 }
h 2,3 {4,3,3}		r {3,3 1,1 }
{3 1,1,1 } = {3,4,3}		rr {3,3 1,1 }
r {3 1,1,1 } = r {3,4,3}		tr {3,3 1,1 }
t {3 1,1,1 } = t {3,4,3}		sr {3,3 1,1 }
s {3 1,1,1 } = s {3,4,3}
Politopos de la familia de 24 células
Nombre 24 celdas 24 celdas truncadas desaire 24 celdas rectificado de 24 celdas 24 celdas canteladas bitruncado de 24 celdas cantitruncado de 24 celdas runcinated de 24 celdas runcitruncated 24 celdas 24 celdas omnitruncadas
Símbolo de Schläfli {3,4,3} t 0,1 {3,4,3}
t {3,4,3}		s {3,4,3} t 1 {3,4,3}
r {3,4,3}		t 0,2 {3,4,3}
rr {3,4,3}		t 1,2 {3,4,3}
2t {3,4,3}		t 0,1,2 {3,4,3}
tr {3,4,3}		t 0,3 {3,4,3}t 0,1,3 {3,4,3}t 0,1,2,3 {3,4,3}
Diagrama de Coxeter CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Diagrama de Schlegel Schlegel wireframe 24-cell.png Schlegel half-solid truncated 24-cell.png Schlegel half-solid alternated cantitruncated 16-cell.png Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png Cantel 24cell1.png Bitruncated 24-cell Schlegel halfsolid.png Cantitruncated 24-cell schlegel halfsolid.png Runcinated 24-cell Schlegel halfsolid.png Runcitruncated 24-cell.png Omnitruncated 24-cell.png
F 424-cell t0 F4.svg 24-cell t01 F4.svg 24-cell h01 F4.svg 24-cell t1 F4.svg 24-cell t02 F4.svg 24-cell t12 F4.svg 24-cell t012 F4.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t013 F4.svg 24-cell t0123 F4.svg
B 424-cell t0 B4.svg 4-cube t123.svg 24-cell h01 B4.svg 24-cell t1 B4.svg 24-cell t02 B4.svg 24-cell t12 B4.svg 24-cell t012 B4.svg 24-cell t03 B4.svg 24-cell t013 B4.svg 24-cell t0123 B4.svg
B 3 (a)4-cube t0 B3.svg 24-cell t01 B3.svg 24-cell h01 B3.svg 24-cell t1 B3.svg 24-cell t02 B3.svg 24-cell t12 B3.svg 24-cell t012 B3.svg 24-cell t03 B3.svg 24-cell t013 B3.svg 24-cell t0123 B3.svg
B 3 (b)24-cell t3 B3.svg 24-cell t23 B3.svg 24-cell t2 B3.svg 24-cell t13 B3.svg 24-cell t123 B3.svg 24-cell t023 B3.svg
B 224-cell t0 B2.svg 24-cell t01 B2.svg 24-cell h01 B2.svg 24-cell t1 B2.svg 24-cell t02 B2.svg 24-cell t12 B2.svg 24-cell t012 B2.svg 24-cell t03 B2.svg 24-cell t013 B2.svg 24-cell t0123 B2.svg

El de 24 celdas también se puede derivar como un rectificado de 16 celdas:

Politopos de simetría B4
Nombre tesseract tesseract rectificado tesseract truncado tesseract cantelado tesseract runcinated tesseract bitruncado tesseract cantitruncado tesseract truncado tesseract omnitruncado
Diagrama de Coxeter CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 		CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 		CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Símbolo de Schläfli {4,3,3} t 1 {4,3,3}
r {4,3,3}		t 0,1 {4,3,3}
t {4,3,3}		t 0,2 {4,3,3}
rr {4,3,3}		t 0,3 {4,3,3}t 1,2 {4,3,3}
2t {4,3,3}		t 0,1,2 {4,3,3}
tr {4,3,3}		t 0,1,3 {4,3,3}t 0,1,2,3 {4,3,3}
Diagrama de Schlegel Schlegel wireframe 8-cell.png Schlegel half-solid rectified 8-cell.png Schlegel half-solid truncated tesseract.png Schlegel half-solid cantellated 8-cell.png Schlegel half-solid runcinated 8-cell.png Schlegel half-solid bitruncated 8-cell.png Schlegel half-solid cantitruncated 8-cell.png Schlegel half-solid runcitruncated 8-cell.png Schlegel half-solid omnitruncated 8-cell.png
B 44-cube t0.svg 4-cube t1.svg 4-cube t01.svg 4-cube t02.svg 4-cube t03.svg 4-cube t12.svg 4-cube t012.svg 4-cube t013.svg 4-cube t0123.svg
 
Nombre 16 celdas rectificado de 16 celdas 16 celdas truncadas 16 celdas canteladas runcinated de 16 celdas bitruncado de 16 celdas cantitruncado de 16 celdas runcitruncated 16 celdas 16 celdas omnitruncadas
Diagrama de Coxeter CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 		CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 		CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 		CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 		CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 		CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 		CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Símbolo de Schläfli {3,3,4} t 1 {3,3,4}
r {3,3,4}		t 0,1 {3,3,4}
t {3,3,4}		t 0,2 {3,3,4}
rr {3,3,4}		t 0,3 {3,3,4}t 1,2 {3,3,4}
2t {3,3,4}		t 0,1,2 {3,3,4}
tr {3,3,4}		t 0,1,3 {3,3,4}t 0,1,2,3 {3,3,4}
Diagrama de Schlegel Schlegel wireframe 16-cell.png Schlegel half-solid rectified 16-cell.png Schlegel half-solid truncated 16-cell.png Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png Schlegel half-solid runcinated 16-cell.png Schlegel half-solid bitruncated 16-cell.png Schlegel half-solid cantitruncated 16-cell.png Schlegel half-solid runcitruncated 16-cell.png Schlegel half-solid omnitruncated 16-cell.png
B 44-cube t3.svg 24-cell t0 B4.svg 4-cube t23.svg 24-cell t1 B4.svg 4-cube t03.svg 4-cube t12.svg 4-cube t123.svg 4-cube t023.svg 4-cube t0123.svg
{3, p , 3} politopos
Espacio S 3 H 3
Formulario Finito Compacto Paracompacto No compacto
{3, p , 3}{3,3,3} {3,4,3} {3,5,3} {3,6,3} {3,7,3} {3,8,3} ... {3, ∞, 3}
Imagen Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 24cell.png H3 353 CC center.png H3 363 FC boundary.png Hyperbolic honeycomb 3-7-3 poincare.png Hyperbolic honeycomb 3-8-3 poincare.png Hyperbolic honeycomb 3-i-3 poincare.png
Células Tetrahedron.png
{3,3} 		Octahedron.png
{3,4} 		Icosahedron.png
{3,5} 		Uniform tiling 63-t2.svg
{3,6} 		Order-7 triangular tiling.svg
{3,7} 		H2-8-3-primal.svg
{3,8} 		H2 tiling 23i-4.png
{3, ∞}

Figura de vértice		5-cell verf.png
{3,3} 		24 cell verf.png
{4,3} 		Order-3 icosahedral honeycomb verf.png
{5,3} 		Uniform tiling 63-t0.svg
{6,3} 		Heptagonal tiling.svg
{7,3} 		H2-8-3-dual.svg
{8,3} 		H2-I-3-dual.svg
{∞, 3}

  • Octacube (escultura)
  • Uniforme de 4 politopos # La familia F4

  1. ^ El de 24 celdas es uno de los tres politopos euclidianos regulares auto-duales que no son ni un polígono ni un simplex . Los otros dos también son 4-politopos, pero no convexos: el gran 120 celdas estrelladas y el gran 120 celdas . El de 24 celdas es casi único entre los politopos convexos regulares auto-duales en que él y los polígonos pares son los únicos politopos en los que una cara no está opuesta a un borde.
  2. ^ a b c d e f g El radio largo (de centro a vértice) de las 24 celdas es igual a la longitud de su borde; por tanto, su diámetro largo (vértice a vértice opuesto) es de 2 longitudes de borde. Solo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluidos el tesseract y el tesseract de 24 celdas en cuatro dimensiones , el cuboctaedro tridimensional y el hexágono bidimensional . (El cuboctaedro es la sección transversal ecuatorial de las 24 celdas y el hexágono es la sección transversal ecuatorial del cuboctaedro.) Los politopos radialmente equiláteros son aquellos que pueden construirse, con sus radios largos, a partir de triángulos equiláteros que se encuentran en el centro. del politopo, cada uno contribuyendo con dos radios y un borde.
  3. ^ Los politopos regulares convexos en las primeras cuatro dimensiones con un 5 en su símbolo de Schlӓfli son el pentágono {5}, el dodecaedro {5, 3}, el de 600 celdas {3,3,5} y el de 120 celdas {5 , 3,3}. En otras palabras, la celda de 24 posee todas las características triangulares y cuadradas que existen en cuatro dimensiones, excepto la celda regular de 5 celdas, pero ninguna de las características pentagonales.
  4. ^ Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, encerrando más contenido [4] dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida mediante la comparación de matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de nomenclatura numérico alternativo para politopos regulares en el que las 24 celdas son el 4-politopo de 24 puntos: el cuarto en la secuencia ascendente que va desde el 4-politopo de 5 puntos al 4-politopo de 600 puntos.
  5. ^ La longitud de la arista siempre será diferente a menos que el predecesor y el sucesor sean ambos radialmente equiláteros, es decir, la longitud de la arista sea la misma que su radio (por lo que ambos se conservan). Dado que los politopos radialmente equiláteros [b] son raros, parece que la única construcción de este tipo (en cualquier dimensión) es de 8 celdas a 24 celdas, lo que hace que el de 24 celdas sea el politopo regular único (en cualquier dimensión) que tiene la misma longitud de borde que su predecesor del mismo radio.
  6. ^ a b c Dos planos A y B de un espacio euclidiano de cuatro dimensiones se llaman completamente ortogonales si y solo si cada línea en A es ortogonal a cada línea en B. En ese caso, los planos A y B se intersecan en un solo punto O, de modo que si una línea en A se cruza con una línea en B, se cruzan en O. [i]
  7. ^ Hasta 6 planos pueden ser mutuamente ortogonales en 4 dimensiones. El espacio tridimensional admite solo 3 ejes perpendiculares y 3 planos perpendiculares a través de un solo punto. En un espacio de 4 dimensiones podemos tener 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares a través de un punto (por la misma razón que el tetraedro tiene 6 aristas, no 4): hay 6 formas de tomar 4 dimensiones 2 a la vez. Tres de esos planos perpendiculares (pares de ejes) se encuentran en cada vértice de las 24 celdas (por la misma razón que tres aristas se encuentran en cada vértice del tetraedro). Cada uno de los 6 planos es completamente ortogonal [f] a solo uno de los otros planos: el único con el que no comparte una línea (por la misma razón que cada borde del tetraedro es ortogonal a solo uno de los otros bordes : el único con el que no comparte punto).
  8. ^ Los bordes de los cuadrados están alineados con las líneas de cuadrícula de este sistema de coordenadas. Por ejemplo:
         (  0, –1,  1,  0)   (  0,  1,  1,  0)
         (  0, –1, –1,  0)   (  0,  1, –1,  0)
    es el cuadrado en elplano xy . Las aristas de los cuadrados no son aristas de 24 celdas, son cuerdas interiores que unen dos vértices a 90o de distancia entre sí; por lo que los cuadrados son simplemente configuraciones invisibles de cuatro de los vértices de 24 celdas, no entidades visibles de 24 celdas.
  9. ^ a b En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares a través de un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos considerar que estos son los ejes y los planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesiano (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte un eje con 4 de los demás, y es completamente ortogonal a solo uno de los otros: el único con el que no comparte eje. Por lo tanto, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se cruzan solo en el origen; xz y wy se cruzan solo en el origen; yz y wx se cruzan solo en el origen.
  10. ^ a b c d Dos planos en un espacio de 4 dimensiones pueden tener cuatro posibles posiciones recíprocas: (1) pueden coincidir (ser exactamente el mismo plano); (2) pueden ser paralelos (la única forma en que pueden dejar de cruzarse); (3) pueden cruzarse en una sola línea, como lo hacen dos planos no paralelos en un espacio tridimensional; o (4) pueden cruzarse en un solo punto: y deben , si y sólo si son completamente ortogonales [f] .
  11. ^ Los bordes de los grandes cuadrados ortogonales no estánalineados con las líneas de la cuadrícula del sistema de coordenadas de radio unitario. Los cuadrados se encuentran en los 6 planos ortogonales del sistema de coordenadas, pero sus bordes son las √ 2 diagonales de los cuadrados de longitud de los bordes unitarios del retículo de coordenadas. Por ejemplo:
                     (  0,  0,  1,  0)
         (  0, –1,  0,  0)   (  0,  1,  0,  0)
                     (  0,  0, –1,  0)
    es el cuadrado en elplano xy . Observe que las 8coordenadas enteras comprenden los vértices de los 6 cuadrados ortogonales.
  12. ^ a b c Los hexágonos están inclinados (inclinados) con respecto a los planos ortogonales del sistema de coordenadas de radio unitario. Cada plano hexagonal contiene solo uno de los 4 ejes del sistema de coordenadas. El hexágono consta de 3 pares de vértices opuestos (tres diámetros de 24 celdas): un par opuesto de vértices de coordenadas enteras (uno de los cuatro ejes de coordenadas) y dos pares opuestos de vértices de coordenadas de medio entero (no ejes de coordenadas). Por ejemplo:
                     (   0,   0,   1,   0)
         (  1/2, -1/2,  1/2, -1/2)    (  1/2,  1/2,  1/2,  1/2)
         (-1/2, -1/2, -1/2, -1/2)    (-1/2,  1/2, -1/2,  1/2)
                     (   0,   0, –1,   0)
    es un hexágono en el eje y . A diferencia de los cuadrados √ 2 , los hexágonos en realidad están hechos de bordes de 24 celdas, por lo que son características visibles de las 24 celdas.
  13. ^ a b Por supuesto, es difícil visualizar cuatro planos hexagonales que se cruzan a 60 grados entre sí. Uno puede ver algunos de ellos en la proyección cuboctaedro de las 24 celdas en 3 dimensiones, donde dos de 4 hexágonos se cruzan a 60 grados en cada uno de los 12 vértices, pero en realidad hay 16 hexágonos (4 en cada uno de los 24 vértices) ocultos en la proyección.
  14. ^ a b Los bordes de estos triángulos de longitud √ 3 son las diagonales de celdas cúbicas de longitud de borde unitario que se encuentran dentro de las 24 celdas, pero esas celdas cúbicas (tesseract) no son celdas de la retícula de coordenadas de radio unitario.
  15. ^ a b Estos triángulos se encuentran en los mismos planos que contienen los hexágonos; [l] dos triángulos de longitud de borde √ 3 están inscritos en cada hexágono. Por ejemplo, en coordenadas de radio de unidad:
                     (   0,   0,   1,   0)
         (  1/2, -1/2,  1/2, -1/2)    (  1/2,  1/2,  1/2,  1/2)
         (-1/2, -1/2, -1/2, -1/2)    (-1/2,  1/2, -1/2,  1/2)
                     (   0,   0, –1,   0)
    son dos triángulos centrales opuestos en el eje y , con cada triángulo formado por los vértices en filas alternas. A diferencia de los hexágonos, los triángulos √ 3 no están hechos de bordes reales de 24 celdas, por lo que son características invisibles de las 24 celdas, como los √ 2 cuadrados.
  16. ^ Rodean el vértice (en el espacio tridimensional de la superficie límite de las 24 celdas) de la misma manera que las 8 esquinas de un cubo rodean su centro. (La figura del vértice de las 24 celdas es un cubo).
  17. ^ Rodean el vértice en un espacio tridimensional de la misma manera que las 6 esquinas de un octaedro rodean su centro.
  18. ^ a b Las características interiores no se consideran elementos del politopo. Por ejemplo, el centro de una celda de 24 es una característica digna de mención (al igual que sus radios largos), pero estas características interiores no cuentan como elementos en su matriz de configuración , que cuenta solo características elementales (que no son interiores a ninguna otra característica incluido el propio politopo). Las características interiores no se representan en la mayoría de los diagramas e ilustraciones de este artículo (normalmente son invisibles). En las ilustraciones que muestran características interiores, siempre dibujamos los bordes interiores como líneas discontinuas, para distinguirlos de los bordes elementales.
  19. ^ a b El vértice central es un vértice canónico porque tiene una longitud de borde equidistante de los vértices ordinarios en la 4ª dimensión, ya que el vértice de una pirámide canónica es una longitud de borde equidistante de sus otros vértices.
  20. ^ Por lo tanto ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) son las longitudes de las cuerdas del vértice del tesseract así como de las 24 celdas. También son los diámetros del tesseract (de corto a largo), aunque no del de 24 celdas.
  21. ^ Un gran círculo geodésico se encuentra en un plano bidimensional que pasa por el centro del politopo. Observe que en 4 dimensiones este plano central no biseca el politopo en dos partes de igual tamaño, como lo haría en 3 dimensiones, al igual que un diámetro (una línea central) biseca un círculo pero no biseca una esfera.
  22. ^ Si la distancia pitagórica entre dos vértices es √ 1 , su distancia geodésica es 1; pueden ser dos vértices adyacentes (en el espacio tridimensional curvo de la superficie), o un vértice y el centro (en el espacio cuádruple). Si su distancia pitagórica es √ 2 , su distancia geodésica es 2 (ya sea a través de 3 espacios o 4 espacios, porque el camino a lo largo de los bordes es la misma línea recta con unacurva de90 o como el camino a través del centro). Si su distancia pitagórica es √ 3 , su distancia geodésica sigue siendo 2 (ya sea en un gran círculo hexagonal más allá de unacurva de60 o , o como una línea recta con unacurva de60 o en el centro). Finalmente, si su distancia pitagórica es √ 4 , su distancia geodésica sigue siendo 2 en 4 espacios (recto a través del centro), pero llega a 3 en 3 espacios (yendo a la mitad de un gran círculo hexagonal).
  23. ^ a b c d e La figura del vértice es la faceta que se forma truncando un vértice; canónicamente, en los bordes medios incidentes al vértice. Pero se pueden hacer figuras de vértices similares de diferentes radios truncando en cualquier punto a lo largo de esos bordes, hasta e incluso truncando en los vértices adyacentes para hacer una figura de vértice de tamaño completo . Eso es lo que sirve al propósito ilustrativo aquí.
  24. ^ Ochoaristas √ 1 convergen en un espacio tridimensional desde las esquinas de la figura del vértice cúbico de 24 celdas [w] y se encuentran en su centro (el vértice), donde forman 4 líneas rectas que se cruzan allí. Los 8 vértices del cubo son los otros ocho vértices más cercanos de las 24 celdas. Las líneas rectas son geodésicas: dossegmentos de √ 1 de longitud de una línea aparentemente recta (en el espacio 3 de la superficie curva de 24 celdas) que se dobla en la 4ª dimensión en un gran círculo hexagonal (en 4 espacios). Imaginado desde el interior de este 3-espacio curvo, las curvas en los hexágonos son invisibles. Desde afuera (si pudiéramos ver las 24 celdas en 4 espacios), las líneas rectas se verían dobladas en la cuarta dimensión en los centros del cubo, porque el centro se desplaza hacia afuera en la cuarta dimensión, fuera del hiperplano definido. por los vértices del cubo. Por tanto, el vértice del cubo es en realidad una pirámide cúbica .
  25. ^ Seis √ 2 cuerdas convergen en 3 espacios desde los centros de las caras de la figura del vértice cúbico [w] de las 24 celdasy se encuentran en su centro (el vértice), donde forman 3 líneas rectas que se cruzan allí perpendicularmente. Los 8 vértices del cubo son los otros ocho vértices más cercanos de las 24 celdas, y ochoaristas √ 1 convergen desde allí, pero ignorémoslos ahora, ya que 7 líneas rectas que se cruzan en el centro es confuso de visualizar todas a la vez. Cada uno de los seis √ 2 acordes va desde el centro de este cubo (el vértice) a través de un centro de cara hasta el centro de un cubo adyacente (unido por caras), que es otro vértice de las 24 celdas: no un vértice más cercano (en el esquinas del cubo), pero una ubicada a 90 ° de distancia en una segunda capa concéntrica de seisvértices √ 2 distantes que rodea la primera capa de ochovértices √ 1 distantes. El centro de la cara a través del cualpasa el acorde √ 2 es el punto medio delacorde √ 2 , por lo que se encuentra dentro de las 24 celdas.
  26. ^ Se pueden cortar las 24 celdas a través de 6 vértices (en cualquier plano del gran círculo hexagonal), o a través de 4 vértices (en cualquier plano del gran círculo cuadrado). Se puede ver esto en el cuboctaedro (el hiperplano centralde las 24 celdas), donde hay cuatro grandes círculos hexagonales (a lo largo de los bordes) y seis grandes círculos cuadrados (a través de las caras cuadradas en diagonal).
  27. ^ Ocho √ 3 cuerdas convergen desde las esquinas de la figura del vértice cúbico de 24 celdas [w] y se encuentran en su centro (el vértice), donde forman 4 líneas rectas que se cruzan allí. Cada uno de los ocho √ 3 acordes va desde el centro de este cubo hasta el centro de un cubo diagonalmente adyacente (unido a vértices), que es otro vértice de las 24 celdas: uno ubicado a 120 ° de distancia en una tercera capa concéntrica de ocho √ 3 -Vértices distantes que rodean la segunda capa de seis √ 2 -vértices distantes que rodean la primera capa de ocho √ 1 -vértices distantes.
  28. ^ Cada par de √ 1 aristasparalelasune un par de √ 3 cuerdasparalelaspara formar uno de 48 rectángulos (inscritos en los 16 hexágonos centrales), y cada par de √ 2 cuerdasparalelasune otro par de √ 2 cuerdasparalelaspara formar una de las 18 plazas centrales.
  29. ^ Cada plano del gran círculo se cruza con los otros planos del gran círculo a los que no es completamente ortogonal en undiámetro √ 4 de las 24 celdas. Así, dos grandes hexágonos que se cruzan comparten dos vértices opuestos. Dos grandes triángulos que se cruzan comparten solo un vértice, ya que carecen de vértices opuestos. Dos grandes cuadrados que se cruzan comparten dos vértices opuestos a menos que los cuadrados sean completamente ortogonales, en cuyo caso no comparten vértices. Un gran cuadrado y un gran hexágono se cruzan en dos vértices opuestos, ya que no son ortogonales.
  30. ^ El de 600 celdas es más grande que el de 24 celdas y contiene el de 24 celdas como elemento interior. [9] El 5-celda regular no se encuentra en el interior de ningún 4-politopo regular convexo excepto el de 120 celdas , [10] aunque cada 4-politopo se puede deconstruir en 5-celdas irregulares.
  31. ^ Podemos cortar un vértice de un polígono con un instrumento de corte de dimensión 0 (como la punta de un cuchillo o la cabeza de una cremallera) barriéndolo a lo largo de una línea unidimensional, exponiendo un nuevo borde. Podemos cortar un vértice de un poliedro con un filo de corte unidimensional (como un cuchillo) barriéndolo a través de un plano de cara bidimensional, exponiendo una nueva cara. Podemos cortar un vértice de un policoron (un politopo 4) con un plano de corte bidimensional (como un quitanieves), barriéndolo a través de un volumen de celda tridimensional, exponiendo una nueva celda. Observe que, como dentro de la nueva longitud del borde del polígono o la nueva área de la cara del poliedro, cada punto dentro del nuevo volumen de celda ahora está expuesto en la superficie del policorón.
  32. ^ a b Una forma de visualizar los hiperplanos n- dimensionales es como los n -espacios que pueden ser definidos por n + 1 puntos. Un punto es el espacio 0 que está definido por 1 punto. Una línea es el espacio 1 que está definido por 2 puntos que no son coincidentes. Un plano es el 2-espacio que está definido por 3 puntos que no son colineales (cualquier triángulo). En el espacio 4, un hiperplano tridimensional es el espacio 3 que está definido por 4 puntos que no son coplanares (cualquier tetraedro). En el espacio de 5, un hiperplano de 4 dimensiones es el espacio de 4 que está definido por 5 puntos que no son cocelulares (cualquier de 5 celdas). Estas figuras simplex dividen el hiperplano en dos partes (dentro y fuera de la figura), pero además dividen el universo (el espacio circundante) en dos partes (arriba y abajo del hiperplano). Los n puntos delimitan una figura simplex finita (desde el exterior) y definen un hiperplano infinito (desde el interior). [21] Estas dos divisiones son ortogonales, por lo que el símplex que la define divide el espacio en seis regiones: dentro del símplex y en el hiperplano, dentro del símplex pero arriba o debajo del hiperplano, fuera del símplex pero en el hiperplano, y fuera del símplex arriba o debajo del hiperplano.
  33. ^ Cada plano de la cara de la celda se cruza con los otros planos de la cara de su tipo a los que no es completamente ortogonal o paralelo en su borde característico de la cuerda del vértice. Los planos de caras adyacentes de celdas con caras ortogonales (como cubos) se cruzan en un borde, ya que no son completamente ortogonales. [j] Aunque su ángulo diedro es de 90 grados en el espaciotridimensionallímite, se encuentran en el mismo hiperplano [af] (son coincidentes en lugar de perpendiculares en la cuarta dimensión); por lo tanto, se intersecan en una línea, como lo hacen los planos no paralelos en cualquier espacio tridimensional.
  34. ^ Los únicos planos que atraviesan exactamente 6 vértices de las 24 celdas (sin contar el vértice central) son los 16 grandes círculos hexagonales. No hay planos que atraviesen exactamente 5 vértices. Hay varios tipos de planos a través de exactamente 4 vértices: losgrandes círculos cuadrados de18 √ 2 , lascaras cuadradas de72 √ 1 (tesseract) y losrectángulos de144 √ 1 por √ 2 . Los planos que atraviesan exactamente 3 vértices son lascaras del triángulo equilátero96 √ 2 (16 celdas) y las caras deltriángulo equilátero96 √ 1 (24 celdas).
  35. ^ La figura del vértice cúbico de 24 celdas [w] se ha truncado a una figura de vértice tetraédrico (ver el dibujo de Kepler ). El cubo del vértice se ha desvanecido, y ahora solo quedan 4 esquinas de la figura del vértice donde antes había 8. Cuatro aristas tesseract convergen desde los vértices del tetraedro y se encuentran en su centro, donde no se cruzan (ya que el tetraedro no tiene vértices).
  36. ^ a b c El núcleo común son las 24 celdas dobles inscritas en insferas de 24 celdas de longitud de borde y radio 1/2. La rectificación de cualquiera de las tres 16 celdas revela esta pequeña de 24 celdas, que tiene un contenido de 4 de solo 1/8 (1/16 del de las 24 celdas). Sus vértices se encuentran en los centros de las celdas octaédricas de las 24 celdas, que también son los centros de las caras cuadradas de los teseractos, y también son los centros de los bordes de las 16 celdas.
  37. ^ La figura de vértice cúbico de 24 celdas [w] se ha truncado a una figura de vértice octaédrico. El cubo del vértice se ha desvanecido, y ahora solo hay 6 esquinas de la figura del vértice donde antes había 8. Lascuerdas6 √ 2 que antes convergían desde los centros de las caras del cubo ahora convergen desde los vértices del octaedro; pero al igual que antes, se encuentran en el centro donde 3 líneas rectas se cruzan perpendicularmente. Los vértices del octaedro se encuentran a 90 ° fuera del cubo desaparecido, en los nuevos vértices más cercanos; antes del truncamiento, esos eran vértices de 24 celdas en la segunda capa de vértices circundantes.
  38. ^ Los 24 vértices de las 24 celdas, cada uno usado dos veces, son los vértices de tres teseractos de 16 vértices.
  39. ^ Los 24 vértices de las 24 celdas, cada uno usado una vez, son los vértices de tres 16 celdas de 8 vértices.
  40. ^ Los bordes de las 16 celdas no se muestran en ninguna de las representaciones de este artículo; si quisiéramos mostrar los bordes interiores, se podrían dibujar como líneas discontinuas. Los bordes de los teseractos inscritos son siempre visibles, porque también son bordes de las 24 celdas.
  41. ^ El contenido de 4 dimensiones del tesseract de longitud de borde unitario es 1 (por definición). El contenido de la unidad de longitud de borde de 24 celdas es 2, por lo que la mitad de su contenido está dentro de cada tesseract y la mitad entre sus sobres. Cada 16 celdas (longitud del borde √ 2 ) encierra un contenido de 2/3, dejando 1/3 de un tesseract adjunto entre sus sobres.
  42. ^ Entre el sobre de 24 celdas y el sobre de 8 celdas, tenemos las 8 pirámides cúbicas de la construcción de Gosset. Entre la envoltura de 8 celdas y la envoltura de 16 celdas, tenemos 16 pirámides tetraédricas derechas, con sus vértices llenando las esquinas del tesseract.
  43. ^ a b Considere los tres diámetros largos √ 2 perpendiculares de la celda octaédrica. [18] Dos de ellas son las diagonales de la cara cuadrada entre dos cubos; cada uno es un acorde √ 2 que conecta dos vértices de esos cubos de 8 celdas a través de una cara cuadrada, conecta dos vértices de dos tetraedros de 16 celdas (inscritos en los cubos) y conecta dos vértices opuestos de un octaedro de 24 celdas (diagonalmente en dos de las tres secciones centrales cuadradas ortogonales). El tercer diámetro largo perpendicular del octaedro hace exactamente lo mismo (por simetría); por lo que también conecta dos vértices de un par de cubos a través de su cara cuadrada común (pero un par de cubos diferente, de uno de los otros tesseracts en las 24 celdas).
  44. ^ a b c Debido a que hay tres teseractos superpuestos inscritos en las 24 celdas, cada celda octaédrica se encuentra en una celda cúbica de un tesseracto (en la pirámide cúbica basada en el cubo, pero no en el volumen del cubo), y en dos células de cada uno de los otros dos tesseracts (células cúbicas que abarca, compartiendo su volumen). [aq]
  45. ^ Esto podría parecer al principio angularmente imposible, y de hecho sería en un espacio plano de sólo tres dimensiones. Si dos cubos descansan cara a cara en un espacio tridimensional ordinario (por ejemplo, en la superficie de una mesa en una habitación tridimensional ordinaria), un octaedro encajará dentro de ellos de manera que cuatro de sus seis vértices estén en los cuatro esquinas de la cara cuadrada entre los dos cubos; pero entonces los otros dos vértices octaédricos no estarán en una esquina del cubo (caerán dentro del volumen de los dos cubos, pero no en un vértice del cubo). En cuatro dimensiones, ¡esto no es menos cierto! Los otros dos vértices octaédricos no se encuentran en la esquina del cubo adyacente unido por caras en el mismo teseracto. Sin embargo, en las 24 celdas no hay solo un tesseract inscrito (de 8 cubos), hay tres tesseracts superpuestos (de 8 cubos cada uno). Los otros dos vértices octaédricos hacen mentira en la esquina de un cubo: un cubo, pero en otro Tesseract (superposición). [Arkansas]
  46. ^ Es importante visualizar los radios solo como características interiores invisibles de las 24 celdas (líneas discontinuas), ya que no son bordes del panal. De manera similar, el centro de las 24 celdas está vacío (no es un vértice del panal).
  47. ^ A diferencia del tesseract de 24 celdas, el de 16 celdas no es radialmente equilátero; por lo tanto, 16 celdas de dos tamaños diferentes (unidad de longitud de borde versus unidad de radio) ocurren en el panal de unidad de longitud de borde. Las veinticuatro 16 celdas que se encuentran en el centro de cada 24 celdas tienen una unidad de longitud de borde y un radio √ 2/2. Las tres 16 celdas inscritas en cada 24 celdas tienen una longitud de borde √ 2 y un radio de unidad.
  48. ^ Las rotaciones tridimensionalesocurren alrededor de una línea de eje. Pueden ocurrir rotaciones en cuatro dimensiones alrededor de un plano. Entonces, en tres dimensiones podemos doblar planos alrededor de una línea común (como cuando se dobla una red plana de 6 cuadrados en un cubo), y en cuatro dimensiones podemos doblar celdas alrededor de un plano común (como cuando se dobla una red plana de 8 cubos en un tesseract ). Doblar alrededor de una cara cuadrada es simplemente doblar alrededor de dos de sus bordes ortogonales al mismo tiempo ; no hay suficiente espacio en tres dimensiones para hacer esto, al igual que no hay suficiente espacio en dos dimensiones para doblar alrededor de una línea (solo lo suficiente para doblar alrededor de un punto).
  49. ^ Hay (al menos) dos tipos de analogías dimensionales correctas: el tipo habitual entre la dimensión ny la dimensión n + 1, y el tipo mucho más raro y menos obvio entre la dimensión n y la dimensión n + 2. Un ejemplo de esta última es que las rotaciones en 4 espacios pueden tener lugar alrededor de un solo punto, al igual que las rotaciones en 2 espacios. Otra es la regla de n- esferas de que el área dela superficie de la esfera incrustada en n +2 dimensiones es exactamente 2 π r veces el volumen encerrado por la esfera incrustada en n dimensiones, siendo los ejemplos más conocidos que la circunferencia de un círculo es 2 π r por 1, y el área de la superficie de la esfera ordinaria es 2 π r por 2 r . Coxeter cita [25] esto como un ejemplo en el que la analogía dimensional puede fallarnos como método, pero en realidad es nuestro fracaso en reconocer si una analogía unidimensional o bidimensional es el método apropiado.
  50. ^ Pueden ocurrir rotaciones en cuatro dimensiones alrededor de un plano, como cuando las celdas adyacentes se pliegan alrededor de su plano de intersección (por analogía con la forma en que las caras adyacentes se pliegan alrededor de su línea de intersección). [av] Pero en cuatro dimensiones hay otra forma en que pueden ocurrir las rotaciones, llamada doble rotación . Las rotaciones dobles son un fenómeno emergente en la cuarta dimensión y no tienen analogía en tres dimensiones: doblar caras cuadradas y doblar celdas cúbicas son ejemplos de rotaciones simples, el único tipo que ocurre en menos de cuatro dimensiones. En rotaciones tridimensionales, los puntos de una línea permanecen fijos durante la rotación, mientras que todos los demás puntos se mueven. En rotaciones simples de 4 dimensiones, los puntos en un plano permanecen fijos durante la rotación, mientras que todos los demás puntos se mueven. En las rotaciones dobles de 4 dimensiones, un punto permanece fijo durante la rotación y todos los demás puntos se mueven (¡como en una rotación de 2 dimensiones!). [aw]

  1. ^ Coxeter 1973 , p. 118, Capítulo VII: Politopos ordinarios en el espacio superior.
  2. ^ Johnson , 2018 , p. 249, 11,5.
  3. ^ Ghyka 1977 , p. 68.
  4. ^ a b Coxeter 1973 , págs. 292-293, Tabla I (ii): Los dieciséis politopos regulares { p, q, r } en cuatro dimensiones: [Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4-politopo en unidades de longitud de borde . Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de unidad de radio.]
  5. ^ Coxeter 1973 , p. 302, Tabla VI (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: consulte la columna de resultados
  6. ^ Coxeter 1973 , p. 156, §8.7. Coordenadas cartesianas.
  7. ^ Coxeter 1973 , págs. 145-146, §8.1 Los simples truncamientos del politopo regular general.
  8. ^ Coxeter 1973 , p. 298, Tabla V: Distribución de vértices de politopos tetradimensionales en secciones sólidas paralelas (§13.1); (i) Secciones de {3,4,3} (borde 2) que comienzan con un vértice; ver columna a .
  9. ^ Coxeter 1973 , p. 153, 8.5. Construcción de Gosset para {3,3,5}: "De hecho, los vértices de {3,3,5}, cada uno tomado 5 veces, son los vértices de 25 {3,4,3}".
  10. ^ Coxeter 1973 , p. 304, Tabla VI (iv) II = {5,3,3}: El facetado {5,3,3} [120𝛼 4 ] {3,3,5} de las 120 celdas revela 120 5 celdas regulares.
  11. ↑ a b Coxeter 1973 , p. 150, Gosset.
  12. ^ Coxeter 1973 , p. 148, §8.2. Construcción de Cesaro para {3, 4, 3} ..
  13. ^ Coxeter 1973 , p. 302, cuadro VI (ii) II = {3,4,3}, columna de resultados.
  14. ^ Coxeter 1973 , págs. 149-150, §8.22. ver ilustraciones Fig. 8.2 A y Fig 8.2 B
  15. ↑ a b Kepler , 1619 , pág. 181.
  16. ^ van Ittersum 2020 , págs. 73-79, §4.2.
  17. ^ Coxeter 1973 , p. 269, §14.32. "Por ejemplo, en el caso de.... "
  18. ↑ van Ittersum , 2020 , pág. 79.
  19. ^ Coxeter 1973 , p. 150: "Por lo tanto, las 24 celdas de {3, 4, 3} son bipirámides basadas en los 24 cuadrados de la. (Sus centros son los puntos medios de los 24 bordes del.) "
  20. ^ Coxeter 1973 , p. 12, §1.8. Configuraciones.
  21. ^ Coxeter 1973 , p. 120, §7.2 .: "... cualquier n +1 puntos que no se encuentren en unespacio( n -1) son los vértices de un simplex n- dimensional... Por lo tanto, el simplex general puede definirse alternativamente como una región finita de n -espacio encerrada por n +1 hiperplanos o ( n -1) -espacios ".
  22. ↑ van Ittersum , 2020 , pág. 78, §4.2.5.
  23. ^ Coxeter 1973 , p. 163: Coxeter señala que Gosset fue aparentemente el primero en comentar que las celdas del panal de 24 celdas {3,4,3,3} son concéntricas con las celdas alternas del panal tesseractic {4,3,3,4}, y que esta observación permitió el método de construcción de Gosset del conjunto completo de politopos regulares y panales.
  24. ^ Coxeter 1973 , p. 156: "... el tablero de ajedrez tiene un análogo n-dimensional".
  25. ^ Coxeter 1973 , p. 119, §7.1. Analogía dimensional: "Por ejemplo, al ver que la circunferencia de un círculo es 2 π r , mientras que la superficie de una esfera es 4 π r 2 , ... es poco probable que el uso de la analogía, sin ayuda de cálculos, lleve a usamos la expresión correcta, 2 π 2 r 3 ".
  26. ^ Stillwell 2001 , p. 22.
  27. ^ Banchoff , 2013 , págs. 265-266.
  28. ^ Coxeter 1991 .

  • Kepler, Johannes (1619). Harmonices Mundi (La armonía del mundo) . Johann Planck.
  • Banchoff, Thomas F. (2013). "Descomposiciones en toro de politopos regulares en 4 espacios". En Senechal, Marjorie (ed.). Dar forma al espacio . Springer Nueva York. pp.  257 -266. doi : 10.1007 / 978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8.
  • Coxeter, HSM (1973) [1948]. Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Dover.
  • Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares (2a ed.), Cambridge: Cambridge University Press
  • Coxeter, HSM (1995), Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C .; Weiss, Asia Ivic (eds.), Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter (2a ed.), Publicación Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
  • Ghyka, Matila (1977). La geometría del arte y la vida . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-23542-4.
  • Johnson, Norman (2018), Geometrías y Transformaciones , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-10340-5
  • Johnson, Norman (1991), Politopos uniformes (Manuscript ed.)
  • Johnson, Norman (1966), La teoría de politopos uniformes y panales (Ph.D. ed.)
  • Weisstein, Eric W. "24-Cell" . MathWorld . (también bajo Icositetrachoron)
  • Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora) x3o4o3o - ico" .
  • Olshevsky, George. "Icositetrachoron" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
    • [1] [3,4,3]: Icositetrachoron (22)
    • [2] [4,3,3]: 16 celdas rectificadas (22)
    • [3] [3 1,1,1 ]: Icositetrachoron (22)
  • Der 24-Zeller (24 celdas) Politopos regulares de Marco Möller en R 4 (alemán)
  • Stillwell, John (enero de 2001). "La historia de las 120 células" (PDF) . Avisos del AMS . 48 (1): 17-25.
  • van Ittersum, Clara (2020). "Grupos de simetría de politopos regulares en tres y cuatro dimensiones" . TUDelft .

  • Animaciones de 24 celdas
  • 24 celdas en proyecciones estereográficas
  • Diagramas y descripción de 24 celdas
  • Dodecágonos de Petrie en las 24 celdas: software de matemáticas y animación
  • v
  • t
  • mi
Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia Un n B n Yo 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Polígono regular Triángulo Cuadrado p-gon Hexágono Pentágono
Poliedro uniforme Tetraedro Octaedro • Cubo Demicubo Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme Pentacoron 16 celdas • Tesseract Demitesseract 24 celdas 120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes 5 simplex 5-ortoplex • 5-cubo 5-demicubo
6 politopos uniformes 6-simplex 6 ortoplex • 6 cubos 6-demicubo 1 22 • 2 21
7 politopos uniformes 7-simplex 7-ortoplex • 7-cubo 7-demicubo 1 32 • 2 31 • 3 21
Politopo uniforme de 8 8 simplex 8 ortoplex • 8 cubos 8-demicubo 1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes 9 simplex 9-ortoplex • 9-cubo 9-demicubo
Politopo uniforme 10 10-simplex 10-ortoplex • 10-cubo 10-demicubo
Uniforme n - politopo n - simplex n - ortoplejo • n - cubo n - demicube 1 k2 • 2 k1 • k 21 n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos