En el análisis funcional , un álgebra abeliana de von Neumann es un álgebra de operadores de von Neumann en un espacio de Hilbert en el que todos los elementos se conmutan .
El ejemplo prototípico de un álgebra abeliana de von Neumann es el álgebra L ∞ ( X , μ) para μ una medida σ-finita en X realizada como un álgebra de operadores en el espacio de Hilbert L 2 ( X , μ) como sigue: Cada f ∈ L ∞ ( X , μ) se identifica con el operador de multiplicación
De particular importancia son las álgebras abelianas de von Neumann en espacios de Hilbert separables , particularmente porque son completamente clasificables por invariantes simples.
Aunque existe una teoría para las álgebras de von Neumann sobre espacios de Hilbert no separables (y de hecho, gran parte de la teoría general todavía se mantiene en ese caso), la teoría es considerablemente más simple para las álgebras en espacios separables y la mayoría de las aplicaciones solo en otras áreas de las matemáticas o la física utilice espacios de Hilbert separables. Tenga en cuenta que si los espacios de medida ( X , μ) es un espacio de medida estándar (es decir, X - N es un espacio de Borel estándar para algún conjunto nulo N y μ es una medida σ-finita) entonces L 2 ( X , μ) es separable.
Clasificación
La relación entre conmutativos álgebra de von Neumann y espacios de medida es análoga a la existente entre conmutativos C * -álgebras y localmente compactos espacios de Hausdorff . Cada álgebra de von Neumann conmutativa en un espacio de Hilbert separable es isomórfica a L ∞ ( X ) para algún espacio de medida estándar ( X , μ) y, a la inversa, para cada espacio de medida estándar X , L ∞ ( X ) es un álgebra de von Neumann. Este isomorfismo, como se indicó, es un isomorfismo algebraico. De hecho, podemos afirmar esto con mayor precisión de la siguiente manera:
Teorema . Cualquier álgebra abeliana de operadores de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es * -isomórfico a exactamente uno de los siguientes
El isomorfismo se puede elegir para preservar la topología del operador débil.
En la lista anterior, el intervalo [0,1] tiene medida de Lebesgue y los conjuntos {1, 2, ..., n } y N tienen medida de conteo. Los sindicatos son sindicatos disjuntos. Esta clasificación es esencialmente una variante del teorema de clasificación de Maharam para álgebras de medidas separables. La versión del teorema de clasificación de Maharam que es más útil implica una comprensión puntual de la equivalencia y es algo así como un teorema popular .
Aunque cada espacio de medida estándar es isomorfo a uno de los anteriores y la lista es exhaustiva en este sentido, existe una opción más canónica para el espacio de medida en el caso de las álgebras abelianas de von Neumann A : El conjunto de todos los proyectores es un-algebra booleana completa, que es un punto libre -álgebra. En el caso especial uno recupera lo abstracto -álgebra . Este enfoque sin puntos se puede convertir en un teorema de dualidad análogo a Gelfand-dualidad entre la categoría de álgebras abelianas de von Neumann y la categoría de abstracto-álgebras.
- Sean μ y ν medidas de probabilidad no atómicas en los espacios estándar de Borel X e Y, respectivamente. Entonces hay un subconjunto nulo μ N de X , un subconjunto nulo ν M de Y y un isomorfismo de Borel
- que lleva μ en ν. [1]
Tenga en cuenta que en el resultado anterior, es necesario recortar conjuntos de medida cero para que el resultado funcione.
En el teorema anterior, se requiere el isomorfismo para preservar la topología del operador débil. Como resulta (y se deduce fácilmente de las definiciones), para las álgebras L ∞ ( X , μ), las siguientes topologías concuerdan en conjuntos delimitados por normas:
- La topología de operador débil en L ∞ ( X , μ);
- La topología de operador ultradebil en L ∞ ( X , μ);
- La topología de convergencia débil * en L ∞ ( X , μ) considerada como el espacio dual de L 1 ( X , μ).
Sin embargo, para un álgebra A abeliana de von Neumann, la realización de A como un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert separable es altamente no única. La clasificación completa de las realizaciones del álgebra de operadores de A viene dada por la teoría de la multiplicidad espectral y requiere el uso de integrales directas .
Isomorfismo espacial
Usando la teoría de la integral directa, se puede demostrar que las álgebras abelianas de von Neumann de la forma L ∞ ( X , μ) que actúan como operadores en L 2 ( X , μ) son todas abelianas máximas. Esto significa que no pueden extenderse a álgebras abelianas más grandes. También se les conoce como álgebras autoadjuntos abelianas máximas (o MASA). Otra frase utilizada para describirlos es álgebras abelianas de von Neumann de multiplicidad uniforme 1 ; esta descripción sólo tiene sentido en relación con la teoría de la multiplicidad que se describe a continuación.
Las álgebras de Von Neumann A sobre H , B sobre K son espacialmente isomórficas (o unitariamente isomórficas ) si y solo si hay un operador unitario U : H → K tal que
En particular, las álgebras de von Neumann espacialmente isomórficas son algebraicamente isomórficas.
Para describir el álgebra abeliano más general von Neumann en un espacio de Hilbert separable H hasta el isomorfismo espacial, es necesario hacer referencia integrante de la descomposición directa de H . Los detalles de esta descomposición se discuten en la descomposición de álgebras abelianas de von Neumann . En particular:
Teorema Cualquier álgebra abeliana de von Neumann en un espacio de Hilbert separable H es espacialmente isomorfo a L ∞ ( X , μ) actuando sobre
por alguna familia medible de los espacios de Hilbert { H x } x ∈ X .
Tenga en cuenta que para las álgebras abelianas de von Neumann que actúan sobre tales espacios integrales directos, la equivalencia de la topología del operador débil, la topología ultradebil y la topología débil * en conjuntos delimitados por normas aún se mantienen.
Realización puntual y espacial de automorfismos
Muchos problemas en la teoría ergódica se reducen a problemas sobre automorfismos de álgebras abelianas de von Neumann. En ese sentido, los siguientes resultados son útiles:
Teorema . [2] Suponga que μ, ν son medidas estándar en X , Y respectivamente. Entonces cualquier isomorfismo involutivo
que es débil * - bicontinuo corresponde a una transformación puntual en el siguiente sentido: Hay subconjuntos nulos de Borel M de X y N de Y y un isomorfismo de Borel
tal que
- η lleva la medida μ a una medida μ 'en Y que es equivalente a ν en el sentido de que μ' y ν tienen los mismos conjuntos de medidas cero;
- η se da cuenta de la transformación Φ, es decir
Tenga en cuenta que, en general, no podemos esperar que η lleve μ a ν.
El siguiente resultado se refiere a transformaciones unitarias que inducen un isomorfismo débil * -bicontinuo entre álgebras abelianas de von Neumann.
Teorema . [3] Suponga que μ, ν son medidas estándar en X , Y y
para las familias mensurables de los espacios de Hilbert { H x } x ∈ X , { K y } y ∈ Y . Si U : H → K es un unitario tal que
entonces hay una transformación de puntos de Borel definida casi en todas partes η: X → Y como en el teorema anterior y una familia medible { U x } x ∈ X de operadores unitarios
tal que
donde la expresión en el signo de la raíz cuadrada es la derivada Radon-Nikodym de μ η −1 con respecto a ν. El enunciado sigue combinando el teorema sobre la realización puntual de automorfismos establecido anteriormente con el teorema que caracteriza el álgebra de operadores diagonalizables establecido en el artículo sobre integrales directas .
Notas
- ^ Bogachev, VI (2007). Teoría de la medida. Vol. II . Springer-Verlag. pag. 275. ISBN 978-3-540-34513-8.
- ^ Takesaki, Masamichi (2001), Teoría de las álgebras del operador I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Capítulo IV, Lema 8.22, pág. 275
- ^ Takesaki, Masamichi (2001), Teoría de las álgebras del operador I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Capítulo IV, Teorema 8.23, pág. 277
Referencias
- J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien , Gauthier-Villars, 1969. Véase el capítulo I, sección 6.
- Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", enciclopedia de ciencias matemáticas, Springer-Verlag, 2001-2003 (el primer volumen se publicó en 1979 en 1. Edición) ISBN 3-540-42248-X