Valor absoluto

En matemáticas , el valor absoluto o módulo de un número real  x , denotado | x | , es el valor no negativo de  x sin tener en cuenta su signo . A saber, | x | = x si x es positivo y | x | = - x si x es negativo (en cuyo caso - x es positivo), y | 0 | = 0. Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de −3 también es 3. El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia desde cero.

La gráfica de la función de valor absoluto para números reales.

El valor absoluto de un número se puede considerar como su distancia desde cero.

Las generalizaciones del valor absoluto de los números reales se producen en una amplia variedad de entornos matemáticos. Por ejemplo, también se define un valor absoluto para los números complejos , los cuaterniones , los anillos ordenados , los campos y los espacios vectoriales . El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud , distancia y norma en varios contextos matemáticos y físicos.

Terminología y notación

En 1806, Jean-Robert Argand introdujo el término módulo , que significa unidad de medida en francés, específicamente para el valor absoluto complejo , ^{[1] [2]} y fue tomado prestado al inglés en 1866 como módulo equivalente latino . ^[1] El término valor absoluto se ha utilizado en este sentido desde al menos 1806 en francés ^[3] y 1857 en inglés. ^[4] La notación | x | , con una barra vertical a cada lado, fue introducido por Karl Weierstrass en 1841. ^[5] Otros nombres para el valor absoluto incluyen valor numérico ^[1] y magnitud . ^[1] En lenguajes de programación y paquetes de software computacional, el valor absoluto de x generalmente está representado por una expresión similar.abs(x)

La notación de barra vertical también aparece en varios otros contextos matemáticos: por ejemplo, cuando se aplica a un conjunto, denota su cardinalidad ; cuando se aplica a una matriz , denota su determinante . Las barras verticales denotan el valor absoluto solo para los objetos algebraicos para los que se define la noción de valor absoluto, en particular un elemento de un álgebra de división normalizada , por ejemplo, un número real, un número complejo o un cuaternión. Una notación estrechamente relacionada pero distinta es el uso de barras verticales para la norma euclidiana ^[6] o la norma sup ^[7] de un vector en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, aunque barras verticales dobles con subíndices (${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ y ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$, respectivamente) son una notación más común y menos ambigua.

Definición y propiedades

Numeros reales

Para cualquier número real  x , el valor absoluto o módulo de  x se denota por | x | (una barra vertical a cada lado de la cantidad) y se define como ^[8]

${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$

Por tanto, el valor absoluto de  x es siempre positivo o cero , pero nunca negativo : cuando x mismo es negativo ( x <0 ), entonces su valor absoluto es necesariamente positivo ( | x | = - x > 0 ).

Desde el punto de vista de la geometría analítica , el valor absoluto de un número real es la distancia de ese número desde cero a lo largo de la recta numérica real y, de manera más general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. La noción de una función de distancia abstracta en matemáticas puede verse como una generalización del valor absoluto de la diferencia (ver "Distancia" más abajo).

Dado que el símbolo de raíz cuadrada representa la raíz cuadrada positiva única (cuando se aplica a un número positivo), se sigue que

${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

es equivalente a la definición anterior y puede usarse como una definición alternativa del valor absoluto de los números reales. ^[9]

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales ( a , b son números reales), que se utilizan para generalizar esta noción a otros dominios:

${\displaystyle |a|\geq 0}$	No negatividad
${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$	Definición positiva
${\displaystyle |ab|=\left|a\right|\left|b\right|}$	Multiplicatividad
${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$	Subaditividad , específicamente la desigualdad del triángulo

La no negatividad, la definición positiva y la multiplicatividad son evidentes en la definición. Para ver que la subaditividad se cumple, primero tenga en cuenta que una de las dos alternativas de tomar s como –1 o +1 garantiza que${\displaystyle s\cdot (a+b)=|a+b|\geq 0.}$ Ahora, desde ${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$ y ${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$, se sigue que, cualquiera que sea el valor de s , uno tiene${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$ por todo real ${\displaystyle x}$. Como consecuencia,${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$, como se desee. (Para una generalización de este argumento a números complejos, consulte "Prueba de la desigualdad del triángulo para números complejos" a continuación).

A continuación se dan algunas propiedades útiles adicionales. Estas son consecuencias inmediatas de la definición o están implícitas en las cuatro propiedades fundamentales anteriores.

${\displaystyle {\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|}$	Idempotencia (el valor absoluto del valor absoluto es el valor absoluto)
${\displaystyle \left|-a\right|=|a|}$	Uniformidad ( simetría de reflexión del gráfico)
${\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}$	Identidad de indiscernibles (equivalente a definición positiva)
${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$	Desigualdad triangular (equivalente a subaditividad)
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\ }$ (Si ${\displaystyle b\neq 0}$)	Preservación de la división (equivalente a multiplicatividad)
${\displaystyle |a-b|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}}$	Desigualdad del triángulo inverso (equivalente a subaditividad)

Otras dos propiedades útiles relativas a las desigualdades son:

${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\ }$ o ${\displaystyle a\geq b}$

Estas relaciones pueden usarse para resolver desigualdades que involucran valores absolutos. Por ejemplo:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$

El valor absoluto, como "distancia desde cero", se utiliza para definir la diferencia absoluta entre números reales arbitrarios, la métrica estándar de los números reales.

Números complejos

El valor absoluto de un número complejo  ${\displaystyle z}$ es la distancia  ${\displaystyle r}$ de ${\displaystyle z}$desde el origen. También se ve en la imagen que ${\displaystyle z}$y su complejo conjugado  ${\displaystyle {\bar {z}}}$ tienen el mismo valor absoluto.

Dado que los números complejos no están ordenados , la definición dada en la parte superior del valor absoluto real no se puede aplicar directamente a los números complejos. Sin embargo, la interpretación geométrica del valor absoluto de un número real como su distancia de 0 se puede generalizar. El valor absoluto de un número complejo se define por la distancia euclidiana de su punto correspondiente en el plano complejo desde el origen . Esto se puede calcular usando el teorema de Pitágoras : para cualquier número complejo

${\displaystyle z=x+iy,}$

donde x y y son números reales, el valor absoluto o el módulo de  z se denota | z | y está definido por ^[10]

${\displaystyle |z|={\sqrt {[\operatorname {Re} (z)]^{2}+[\operatorname {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

donde Re ( z ) = x e Im ( z ) = y denotan las partes real e imaginaria de z , respectivamente. Cuando la parte imaginaria y es cero, esto coincide con la definición del valor absoluto del número real  x .

Cuando un número complejo  z se expresa en su forma polar como

${\displaystyle z=re^{i\theta },}$

con ${\textstyle r={\sqrt {[\operatorname {Re} (z)]^{2}+[\operatorname {Im} (z)]^{2}}}\geq 0}$(y θ ∈ arg ( z ) es el argumento (o fase) de z ), su valor absoluto es

${\displaystyle |z|=r.}$

Dado que el producto de cualquier número complejo  zy su complejo conjugado ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$, con el mismo valor absoluto, es siempre el número real no negativo${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$, el valor absoluto de un número complejo z es la raíz cuadrada de${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$que por lo tanto se llama el cuadrado absoluto o módulo cuadrado de z :

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.}$

Esto generaliza la definición alternativa de reales: ${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$.

El valor absoluto complejo comparte las cuatro propiedades fundamentales dadas anteriormente para el valor absoluto real.

En el lenguaje de la teoría de grupos , la propiedad multiplicativa puede reformularse de la siguiente manera: el valor absoluto es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de números complejos al grupo bajo la multiplicación de números reales positivos . ^[11]

Es importante destacar que la propiedad de la subaditividad (" desigualdad triangular ") se extiende a cualquier colección finita de n números  complejos${\textstyle (z_{k})_{k=1}^{n}}$ como

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|.}$

( ⁎ )

Esta desigualdad también se aplica a familias infinitas , siempre que la serie infinita ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }z_{k}}$es absolutamente convergente . Si la integración de Lebesgue se ve como el análogo continuo de la suma, entonces esta desigualdad es obedecida análogamente por funciones medibles de valores complejos ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$cuando se integra sobre un subconjunto medible ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \left|\int _{E}f\,dx\right|\leq \int _{E}\left|f\right|dx.}$

( ⁎⁎ )

(Esto incluye funciones integrables de Riemann sobre un intervalo acotado${\displaystyle [a,b]}$ como un caso especial.)

Prueba de la desigualdad del triángulo complejo

La desigualdad del triángulo, dada por ( ⁎ ), se puede demostrar aplicando tres propiedades de los números complejos que se pueden verificar fácilmente: a saber, para cada número complejo${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$,

1. existe ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ tal que ${\displaystyle |c|=1}$ y ${\displaystyle |z|=c\cdot z}$;
2. ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\leq |z|}$.

Además, para una familia de números complejos ${\displaystyle (w_{k})_{k=1}^{n}}$, ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\operatorname {Re} (w_{k})+i\sum _{k}\operatorname {Im} (w_{k})}$. En particular,

3. Si ${\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} }$, luego ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\operatorname {Re} (w_{k})}$.

Prueba de ( ⁎ ) : Elija${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ tal que ${\displaystyle |c|=1}$ y ${\textstyle \left|\sum _{k}z_{k}\right|=c\left(\sum _{k}z_{k}\right)}$ (resumido sobre ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$). El siguiente cálculo proporciona la desigualdad deseada:

${\displaystyle \left|\sum _{k}z_{k}\right|\;{\overset {(1)}{=}}\;c\left(\sum _{k}z_{k}\right)=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(3)}{=}}\;\sum _{k}\operatorname {Re} (cz_{k})\;{\overset {(2)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}\left|c\right|\left|z_{k}\right|=\sum _{k}\left|z_{k}\right|.}$

De esta prueba se desprende claramente que la igualdad se cumple en ( ⁎ ) exactamente si todos los${\displaystyle cz_{k}}$ son números reales no negativos, que a su vez ocurre exactamente si todos los valores distintos de cero ${\displaystyle z_{k}}$tienen el mismo argumento , es decir,${\displaystyle z_{k}=a_{k}\zeta }$ para una constante compleja ${\displaystyle \zeta }$ y constantes reales ${\displaystyle a_{k}\geq 0}$ por ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$.

Desde ${\displaystyle f}$ mensurable implica que ${\displaystyle |f|}$también es medible, la prueba de la desigualdad ( ⁎⁎ ) procede mediante la misma técnica, reemplazando${\textstyle \sum _{k}(\cdot )}$ con ${\textstyle \int _{E}(\cdot )\,dx}$ y ${\displaystyle z_{k}}$ con ${\displaystyle f(x)}$. ^[12]

Función de valor absoluto

La gráfica de la función de valor absoluto para números reales.

Composición de valor absoluto con función cúbica en diferentes órdenes

La función de valor absoluto real es continua en todas partes. Es diferenciable en todas partes excepto en x = 0 . Se monótonamente decreciente en el intervalo (-∞, 0] y monótonamente creciente en el intervalo [0, + ∞) . Dado que un número real y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, es una función par y, por lo tanto, no es invertible . La función de valor absoluto real es un lineal a trozos , función convexa .

Tanto la función real como la compleja son idempotentes .

Relación con la función del signo

La función de valor absoluto de un número real devuelve su valor independientemente de su signo, mientras que la función de signo (o signum) devuelve el signo de un número independientemente de su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

o

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

y para x ≠ 0 ,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

Derivado

La función de valor absoluto real tiene una derivada para todo x ≠ 0 , pero no es diferenciable en x = 0 . Su derivada para x ≠ 0 viene dada por la función escalón : ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}}$

La función de valor absoluto real es un ejemplo de una función continua que logra un mínimo global donde la derivada no existe.

El subdiferencial de  | x | en  x = 0 es el intervalo  [−1, 1] . ^[15]

La función compleja de valor absoluto es continua en todas partes, pero compleja diferenciable en ninguna parte porque viola las ecuaciones de Cauchy-Riemann . ^[13]

La segunda derivada de  | x | con respecto a  x es cero en todas partes excepto cero, donde no existe. Como función generalizada , la segunda derivada puede tomarse como dos veces la función delta de Dirac .

Antiderivada

La antiderivada (integral indefinida) de la función de valor absoluto real es

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

donde C es una constante arbitraria de integración . Esta no es una antiderivada compleja porque las antiderivadas complejas solo pueden existir para funciones diferenciables complejas ( holomórficas ), lo que no es la función de valor absoluto complejo.

Distancia

El valor absoluto está íntimamente relacionado con la idea de distancia. Como se señaló anteriormente, el valor absoluto de un número real o complejo es la distancia desde ese número hasta el origen, a lo largo de la recta numérica real, para números reales, o en el plano complejo, para números complejos y, de manera más general, el valor absoluto. de la diferencia de dos números reales o complejos es la distancia entre ellos.

La distancia euclidiana estándar entre dos puntos

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

y

${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

en euclidiano n -espacio se define como:

${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Esto puede verse como una generalización, ya que para ${\displaystyle a_{1}}$ y ${\displaystyle b_{1}}$ real, es decir, en un espacio 1, según la definición alternativa del valor absoluto,

${\displaystyle |a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

y para ${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$ y ${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$ números complejos, es decir, en un espacio de 2,

${\displaystyle |a-b|}$	${\displaystyle =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|}$
	${\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|}$
	${\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Lo anterior muestra que la distancia de "valor absoluto", para números reales y complejos, concuerda con la distancia euclidiana estándar, la cual heredan como resultado de considerarlos como espacios euclidianos unidimensionales y bidimensionales, respectivamente.

Se puede ver que las propiedades del valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos: no negatividad, identidad de indiscernibles, simetría y la desigualdad triangular dadas anteriormente, motivan la noción más general de una función de distancia de la siguiente manera:

Una función d con valor real en un conjunto X  ×  X se llama métrica (o función de distancia ) en  X , si satisface los siguientes cuatro axiomas: ^[16]

${\displaystyle d(a,b)\geq 0}$	No negatividad
${\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}$	Identidad de indiscernibles
${\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}$	Simetría
${\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}$	Desigualdad triangular

Generalizaciones

Anillos ordenados

La definición de valor absoluto dada anteriormente para los números reales puede extenderse a cualquier anillo ordenado . Es decir, si  a es un elemento de un anillo ordenado  R , entonces el valor absoluto de  a , denotado por | a | , se define como: ^[17]

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$

donde - a es el inverso aditivo de  a , 0 es la identidad aditiva y

Campos

Las cuatro propiedades fundamentales del valor absoluto para números reales se pueden usar para generalizar la noción de valor absoluto a un campo arbitrario, como sigue.

Una función de valor real  v en un campo  F se llama valor absoluto (también módulo , magnitud , valor o valoración ) ^[18] si satisface los siguientes cuatro axiomas:

${\displaystyle v(a)\geq 0}$	No negatividad
${\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }$	Definición positiva
${\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}$	Multiplicatividad
${\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}$	Subaditividad o desigualdad triangular

Donde 0 indica el neutro de la suma de  M . Se deduce de positivo-precisión y multiplicabilidad que v ( 1 ) = 1 , donde 1 indica la identidad multiplicativa de  F . Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un campo arbitrario.

Si v es un valor absoluto en  F , entonces la función  d en F  ×  F , definida por d ( a ,  b ) = v ( a - b ) , es una métrica y las siguientes son equivalentes:

• d satisface la desigualdad ultramétrica${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$para todos x , y , z en  F .
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$está delimitada en  R .
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$ para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$ para todos ${\displaystyle a\in F.}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$ para todos ${\displaystyle a,b\in F}$.

Un valor absoluto que satisface cualquiera (por lo tanto, todas) de las condiciones anteriores se dice que no es de Arquímedes ; de lo contrario, se dice que es de Arquímedes . ^[19]

Espacios vectoriales

Nuevamente, las propiedades fundamentales del valor absoluto para números reales pueden usarse, con una ligera modificación, para generalizar la noción a un espacio vectorial arbitrario.

Una función de valor real en un espacio vectorial  V sobre un campo  F , representada como || · || , se llama valor absoluto , pero más habitualmente norma , si satisface los siguientes axiomas:

Para todo  a en  F y v , u en  V ,

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|\geq 0}$	No negatividad
${\displaystyle \|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0}$	Definición positiva
${\displaystyle \|a\mathbf {v} \|=|a|\|\mathbf {v} \|}$	Homogeneidad positiva o escalabilidad positiva
${\displaystyle \|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|}$	Subaditividad o desigualdad triangular

La norma de un vector también se llama longitud o magnitud .

En el caso del espacio euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la función definida por

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

es una norma llamada norma euclidiana . Cuando los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$ se consideran como el espacio vectorial unidimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, el valor absoluto es una norma , y es la p -norm (ver espacio L p ) para cualquier  p . De hecho, el valor absoluto es la "única" norma en${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, en el sentido de que, para cada norma || · || en${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, || x || = || 1 || ⋅ | x | .

El valor absoluto complejo es un caso especial de la norma en un espacio de producto interno , que es idéntico a la norma euclidiana cuando el plano complejo se identifica como el plano euclidiano. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Álgebras de composición

Cada álgebra de composición A tiene una involución x → x * llamada su conjugación . El producto en A de un elemento x y su conjugado x * se escribe N ( x ) = xx * y se llama la norma de x .

Los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$, números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$y cuaterniones ${\displaystyle \mathbb {H} }$son todas álgebras de composición con normas dadas por formas cuadráticas definidas . El valor absoluto en estas álgebras de división viene dado por la raíz cuadrada de la norma de álgebra de composición.

En general, la norma de un álgebra de composición puede ser una forma cuadrática que no es definida y tiene vectores nulos . Sin embargo, como en el caso de las álgebras de división, cuando un elemento x tiene una norma distinta de cero, entonces x tiene un inverso multiplicativo dado por x * / N ( x ).

Notas

1. Diccionario de inglés de Oxford , borrador de revisión, junio de 2008
2. Nahin, O'Connor y Robertson y functions.Wolfram.com. ; para el sentido francés, véase Littré , 1877
3. Lazare Nicolas M. Carnot , Mémoire sur la Relations Qui existe entre les distance respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace , p. 105 en Google Libros
4. James Mill Peirce, un libro de texto de geometría analítica en Internet Archive . La cita más antigua de la segunda edición del Oxford English Dictionary es de 1907. El término valor absoluto también se utiliza en contraste con el valor relativo .
5. Nicholas J. Higham, Manual de escritura para las ciencias matemáticas , SIAM. ISBN  0-89871-420-6 , pág. 25
6. Spivak, Michael (1965). Cálculo en colectores . Boulder, CO: Westview. pag. 1. ISBN 0805390219.
7. Munkres, James (1991). Análisis de colectores . Boulder, CO: Westview. pag. 4. ISBN 0201510359.
8. Mendelson, pág. 2 .
9. Stewart, James B. (2001). Cálculo: conceptos y contextos . Australia: Brooks / Cole. ISBN 0-534-37718-1., pag. A5
10. González, Mario O. (1992). Análisis complejo clásico . Prensa CRC. pag. 19. ISBN 9780824784157.
11. Lorenz, Falko (2008), Álgebra. Vol. II. Campos con estructura, álgebras y temas avanzados , Universitext, Nueva York: Springer, p. 39, doi : 10.1007 / 978-0-387-72488-1 , ISBN 978-0-387-72487-4, MR  2371763.
12. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 325. ISBN 0-07-054235-X.
13. Weisstein, Eric W. Valor absoluto. De MathWorld - Un recurso web de Wolfram.
14. Bartel y Sherbert, p. 163
15. Peter Wriggers, Panagiotis Panatiotopoulos, eds., Nuevos desarrollos en problemas de contacto , 1999, ISBN  3-211-83154-1 , pág. 31–32
16. Estos axiomas no son mínimos; por ejemplo, la no negatividad puede derivarse de los otros tres: 0 = d ( a ,  a ) ≤ d ( a ,  b ) + d ( b ,  a ) = 2 d ( a ,  b ) .
17. Mac Lane, pág. 264 .
18. Shechter, pág. 260 . Este significado de valoración es raro. Por lo general, una valoración es el logaritmo de la inversa de un valor absoluto.
19. Shechter, págs. 260-261 .

Referencias

• Bartle; Sherbert; Introducción al análisis real (4a ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN  978-0-471-43331-6 .
• Nahin, Paul J .; Un cuento imaginario ; Prensa de la Universidad de Princeton; (tapa dura, 1998). ISBN  0-691-02795-1 .
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Álgebra , American Mathematical Soc., 1999. ISBN  978-0-8218-1646-2 .
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus , McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN  978-0-07-148754-2 .
• O'Connor, JJ y Robertson, EF; "Jean Robert Argand" .
• Schechter, Eric; Manual de análisis y sus fundamentos , págs. 259-263, "Valores absolutos" , Academic Press (1997) ISBN  0-12-622760-8 .

enlaces externos

• "Valor absoluto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• valor absoluto en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Valor absoluto" . MathWorld .