Numero abundante

Number that is smaller than the sum of its proper divisors

Demostración, con varillas Cuisenaire , de la abundancia del número 12

En teoría de números , un número abundante o excesivo es un número que es menor que la suma de sus divisores propios . El entero 12 es el primer número abundante. Sus divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 para un total de 16. La cantidad por la cual la suma excede el número es la abundancia . El número 12 tiene una abundancia de 4, por ejemplo.

Definición

Un número n para el cual la suma de los divisores σ ( n ) > 2 n , o, de manera equivalente, la suma de los divisores propios (o suma alícuota ) s ( n )> n .

La abundancia es el valor σ ( n ) - 2n (o s ( n ) - n ).

Ejemplos

Los primeros 28 números abundantes son:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (secuencia A005101 en la OEIS ).

Por ejemplo, los divisores propios de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12, cuya suma es 36. Como 36 es más que 24, el número 24 es abundante. Su abundancia es 36-24 = 12.

Propiedades

• El número abundante impar más pequeño es 945.
• El número abundante más pequeño no divisible por 2 o por 3 es 5391411025 cuyos factores primos distintos son 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 (secuencia A047802 en la OEIS ). Un algoritmo dado por Iannucci en 2005 muestra cómo encontrar el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos . ^[1] Si representa el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos, entonces para todos tenemos${\displaystyle A(k)}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$

para k suficientemente grande .

• Cada múltiplo de un número perfecto es abundante. ^[2] Por ejemplo, cada múltiplo de 6 es abundante porque${\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.}$
• Cada múltiplo de un número abundante es abundante. ^[2] Por ejemplo, cada múltiplo de 20 (incluido el propio 20) es abundante porque${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.}$
• En consecuencia, existen infinitos números abundantes pares e impares .
• Además, el conjunto de números abundantes tiene una densidad natural distinta de cero . ^[3] Marc Deléglise demostró en 1998 que la densidad natural del conjunto de números abundantes y números perfectos está entre 0,2474 y 0,2480. ^[4]
• Un número abundante que no es el múltiplo de un número abundante o un número perfecto (es decir, todos sus divisores propios son deficientes) se denomina número abundante primitivo.
• Un número abundante cuya abundancia es mayor que cualquier número menor se denomina número muy abundante, y uno cuya abundancia relativa (es decir, s (n) / n) es mayor que cualquier número inferior se denomina número superabundante.
• Todo número entero mayor que 20161 se puede escribir como la suma de dos números abundantes. ^[5]
• Un número abundante que no es un número semiperfecto se llama número extraño . ^[6] Un número abundante con abundancia 1 se llama número cuasiperfecto , aunque todavía no se ha encontrado ninguno.

Conceptos relacionados

Diagrama de Euler de números abundantes , primitivos abundantes , muy abundantes , sobreabundantes , colosalmente abundantes , muy compuestos , superiores muy compuestos , extraños y perfectos menores de 100 en relación con los números deficientes y compuestos

Los números cuya suma de factores propios es igual al número en sí (como 6 y 28) se denominan números perfectos , mientras que los números cuya suma de factores propios es menor que el número en sí se denominan números deficientes . La primera clasificación conocida de números como deficientes, perfectos o abundantes fue la de Nicomachus en su Introductio Arithmetica (alrededor del año 100 d.C.), que describió los números abundantes como animales deformados con demasiados miembros.

El índice de abundancia de n es la relación σ ( n ) / n . ^[7] Los números distintos n ₁ , n ₂ , ... (abundantes o no) con el mismo índice de abundancia se denominan números amigos .

La secuencia ( a _k ) de menores números n tal que σ ( n )> kn , en la que a ₂ = 12 corresponde al primer número abundante, crece muy rápidamente (secuencia A134716 en la OEIS ).

El número entero impar más pequeño con un índice de abundancia superior a 3 es 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29. ^[8]

Si p = ( p ₁ , ..., p _n ) es una lista de primos, entonces p se denomina abundante si algún número entero compuesto solo por primos en p es abundante. Una condición necesaria y suficiente para esto es que el producto de p _i / ( p _i - 1) sea al menos 2. ^[9]

Referencias

1. D. Iannucci (2005), "Sobre el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos" , Boletín de la Sociedad Matemática Belga , 12 (1): 39-44
2. Tattersall (2005) p.134
3. Hall, Richard R .; Tenenbaum, Gérald (1988). Divisores . Cambridge Tracts in Mathematics. 90 . Cambridge: Cambridge University Press . pag. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl  0653.10001 .
4. Deléglise, Marc (1998). "Límites para la densidad de números enteros abundantes" . Matemáticas experimentales . 7 (2): 137–143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi : 10.1080 / 10586458.1998.10504363 . ISSN 1058-6458 . Señor 1677091 . Zbl 0923.11127 .    
5. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A048242 (Números que no son la suma de dos números abundantes)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
6. Tatersall (2005) p.144
7. Laatsch, Richard (1986). "Midiendo la abundancia de números enteros". Revista de Matemáticas . 59 (2): 84–92. doi : 10.2307 / 2690424 . ISSN 0025-570X . JSTOR 2690424 . Señor 0835144 . Zbl 0601.10003 .    
8. Para el entero impar más pequeño k con un índice de abundancia superior a n , consulte Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A119240 (Mínimo número impar k tal que sigma (k) / k> = n.)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
9. Friedman, Charles N. (1993). "Sumas de divisores y fracciones egipcias" . Revista de teoría de números . 44 (3): 328–339. doi : 10.1006 / jnth.1993.1057 . Señor 1233293 . Zbl 0781.11015 . Archivado desde el original el 10 de febrero de 2012 . Consultado el 29 de septiembre de 2012 .  

• Tattersall, James J. (2005). Teoría elemental de números en nueve capítulos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-85014-8. Zbl  1071.11002 .

Enlaces externos

• The Prime Glossary: Abundant number
• Weisstein, Eric W. "Abundant Number". MathWorld.
• Abundant number at PlanetMath.