En física , la ecuación de ondas acústicas gobierna la propagación de ondas acústicas a través de un medio material. La forma de la ecuación es una ecuación diferencial parcial de segundo orden . La ecuación describe la evolución de la presión acústica. o la velocidad de la partícula u en función de la posición xy el tiempo. Una forma simplificada de la ecuación describe las ondas acústicas en una sola dimensión espacial, mientras que una forma más general describe las ondas en tres dimensiones.
Para medios con pérdida, es necesario aplicar modelos más complejos para tener en cuenta la atenuación dependiente de la frecuencia y la velocidad de fase. Dichos modelos incluyen ecuaciones de ondas acústicas que incorporan términos de derivadas fraccionarias; consulte también el artículo sobre atenuación acústica o el documento de encuesta. [1]
En una dimensión
Ecuación
La ecuación de onda que describe el sonido en una dimensión (posición ) es
dónde es la presión acústica (la decoración local de la presión ambiental), y dondees la velocidad del sonido . [2] igual
Solución
Siempre que la velocidad es una constante, que no depende de la frecuencia (el caso sin dispersión), entonces la solución más general es
dónde y son dos funciones dos veces diferenciables. Esto puede representarse como la superposición de dos formas de onda de perfil arbitrario, una () viajando hacia arriba por el eje xy el otro () por el eje x a la velocidad . El caso particular de una onda sinusoidal que viaja en una dirección se obtiene eligiendo ya sea o para ser una sinusoide, y el otro para ser cero, dando
- .
dónde es la frecuencia angular de la onda yes su número de onda .
Derivación
La derivación de la ecuación de onda implica tres pasos: la derivación de la ecuación de estado, la ecuación de continuidad unidimensional linealizada y la ecuación de fuerza unidimensional linealizada.
La ecuación de estado ( ley de los gases ideales )
En un proceso adiabático , la presión P en función de la densidad se puede linealizar a
donde C es una constante. Romper la presión y la densidad en sus componentes medios y totales y observar que:
- .
El módulo de volumen adiabático de un fluido se define como
que da el resultado
- .
La condensación, s , se define como el cambio de densidad para una determinada densidad de fluido ambiental.
La ecuación de estado linealizada se convierte en
- donde p es la presión acústica ( ).
La ecuación de continuidad (conservación de masa) en una dimensión es
- .
Donde u es la velocidad de flujo del fluido. Nuevamente, la ecuación debe linealizarse y las variables divididas en componentes media y variable.
Reordenando y observando que la densidad ambiental cambia sin tiempo ni posición y que la condensación multiplicada por la velocidad es un número muy pequeño:
La ecuación de la fuerza de Euler (conservación del momento) es el último componente necesario. En una dimensión, la ecuación es:
- ,
dónde representa la derivada convectiva, sustancial o material , que es la derivada en un punto que se mueve junto con el medio en lugar de en un punto fijo.
Linealizar las variables:
- .
Reordenando y despreciando términos pequeños, la ecuación resultante se convierte en la Ecuación de Euler unidimensional linealizada:
- .
Tomando la derivada en el tiempo de la ecuación de continuidad y la derivada espacial de la ecuación de fuerza se obtiene:
- .
Multiplicando el primero por , restando los dos y sustituyendo la ecuación de estado linealizada,
- .
El resultado final es
dónde es la velocidad de propagación.
En tres dimensiones
Ecuación
Feynman [3] proporciona una derivación de la ecuación de onda para el sonido en tres dimensiones como
dónde es el operador de Laplace ,es la presión acústica (la desviación local de la presión ambiental), yes la velocidad del sonido .
Una ecuación de onda de aspecto similar, pero para el campo vectorial, la velocidad de las partículas viene dada por
- .
En algunas situaciones, es más conveniente resolver la ecuación de onda para un potencial de velocidad de campo escalar abstracto que tiene la forma
y luego derivar las cantidades físicas de velocidad de partícula y presión acústica mediante las ecuaciones (o definición, en el caso de la velocidad de partícula):
- ,
- .
Solución
Las siguientes soluciones se obtienen por separación de variables en diferentes sistemas de coordenadas. Son soluciones fasoriales , es decir, tienen un factor de dependencia temporal implícito de dónde es la frecuencia angular . La dependencia explícita del tiempo viene dada por
Aquí es el número de oleada .
Coordenadas cartesianas
- .
Coordenadas cilíndricas
- .
donde las aproximaciones asintóticas a las funciones de Hankel , cuando, están
- .
Coordenadas esféricas
- .
Dependiendo de la convención de Fourier elegida, uno de estos representa una onda que viaja hacia afuera y el otro una onda que viaja hacia adentro no física. La onda de solución que viaja hacia adentro es sólo no física debido a la singularidad que ocurre en r = 0; existen ondas que viajan hacia el interior.
Ver también
Referencias
- ^ SP Näsholm y S. Holm, "En una ecuación de onda elástica Zener fraccional", Fract. Calc. Apl. Anal. Vol. 16, No 1 (2013), págs.26-50, DOI: 10.2478 / s13540-013--0003-1 Enlace a impresión electrónica
- ^ Richard Feynman , Conferencias de Física, Volumen 1, Capítulo 47: Sonido. La ecuación de onda , Caltech 1963, 2006, 2013
- ^ Richard Feynman , Conferencias de física, volumen 1, 1969, Addison Publishing Company, Addison