El teorema adiabático es un concepto de mecánica cuántica . Su forma original, debida a Max Born y Vladimir Fock (1928), se expresó de la siguiente manera:
- A los restos del sistema físico en su instantánea eigenstate si una determinada perturbación está actuando en él lo suficientemente despacio y si existe una brecha entre el valor propio y el resto del hamiltoniano 's espectro . [1]
En términos más simples, un sistema de mecánica cuántica sometido a condiciones externas que cambian gradualmente adapta su forma funcional, pero cuando se somete a condiciones que varían rápidamente, no hay tiempo suficiente para que la forma funcional se adapte, por lo que la densidad de probabilidad espacial permanece sin cambios.
Procesos diabáticos vs adiabáticos
Proceso diabático: las condiciones rápidamente cambiantes impiden que el sistema adapte su configuración durante el proceso, por lo que la densidad de probabilidad espacial permanece sin cambios. Por lo general, no hay un estado propio del hamiltoniano final con la misma forma funcional que el estado inicial. El sistema termina en una combinación lineal de estados que se suman para reproducir la densidad de probabilidad inicial.
Proceso adiabático: las condiciones que cambian gradualmente permiten que el sistema adapte su configuración, por lo que la densidad de probabilidad es modificada por el proceso. Si el sistema comienza en un estado propio del hamiltoniano inicial, terminará en el estado propio correspondiente del hamiltoniano final. [2]
En algún momento inicial un sistema mecánico-cuántico tiene una energía dada por el hamiltoniano ; el sistema está en un estado propio de etiquetado . Las condiciones cambiantes modifican el hamiltoniano de manera continua, lo que resulta en un hamiltoniano final. en algún momento posterior . El sistema evolucionará de acuerdo con la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo , para alcanzar un estado final.. El teorema adiabático establece que la modificación del sistema depende críticamente del tiempo durante el cual tiene lugar la modificación.
Para un proceso verdaderamente adiabático requerimos ; en este caso el estado final será un estado propio del último hamiltoniano , con una configuración modificada:
- .
El grado en que un cambio dado se aproxima a un proceso adiabático depende tanto de la separación de energía entre y estados adyacentes, y la razón del intervalo a la escala de tiempo característica de la evolución de para un hamiltoniano independiente del tiempo, , dónde es la energía de .
Por el contrario, en el límite tenemos un paso infinitamente rápido o diabático; la configuración del estado permanece sin cambios:
- .
La llamada "condición de brecha" incluida en la definición original de Born y Fock dada anteriormente se refiere a un requisito de que el espectro dees discreto y no degenerado , de modo que no hay ambigüedad en el ordenamiento de los estados (se puede establecer fácilmente qué estado propio de corresponde a). En 1999 JE Avron y A. Elgart reformularon el teorema adiabático para adaptarlo a situaciones sin brecha. [3]
Comparación con el concepto adiabático en termodinámica
Tenga en cuenta que el término "adiabático" se utiliza tradicionalmente en termodinámica para describir procesos sin intercambio de calor entre el sistema y el entorno (ver proceso adiabático ), más precisamente estos procesos suelen ser más rápidos que la escala de tiempo del intercambio de calor. (Por ejemplo, una onda de presión es adiabática con respecto a una onda de calor, que no es adiabática). Adiabática en el contexto de la termodinámica se usa a menudo como sinónimo de proceso rápido.
La definición de la mecánica clásica y cuántica [4] está más cerca del concepto termodinámico de un proceso cuasiestático , que son procesos que casi siempre están en equilibrio (es decir, que son más lentos que las escalas de tiempo de las interacciones internas de intercambio de energía, es decir, una atmósfera "normal" La ola de calor es cuasiestática y una ola de presión no lo es). Adiabático en el contexto de la mecánica se utiliza a menudo como sinónimo de proceso lento.
En el mundo cuántico, adiabático significa, por ejemplo, que la escala de tiempo de las interacciones de electrones y fotones es mucho más rápida o casi instantánea con respecto a la escala de tiempo promedio de la propagación de electrones y fotones. Por lo tanto, podemos modelar las interacciones como una pieza de propagación continua de electrones y fotones (es decir, estados en equilibrio) más un salto cuántico entre estados (es decir, instantáneo).
El teorema adiabático en este contexto heurístico dice esencialmente que los saltos cuánticos se evitan preferiblemente y el sistema intenta conservar el estado y los números cuánticos. [5]
El concepto mecánico cuántico de adiabático está relacionado con el invariante adiabático , se usa a menudo en la teoría cuántica antigua y no tiene relación directa con el intercambio de calor.
Sistemas de ejemplo
Péndulo simple
Como ejemplo, considere un péndulo que oscila en un plano vertical. Si se mueve el soporte, el modo de oscilación del péndulo cambiará. Si el soporte se mueve lo suficientemente lento , el movimiento del péndulo con respecto al soporte permanecerá sin cambios. Un cambio gradual en las condiciones externas permite que el sistema se adapte, de modo que conserve su carácter inicial. El ejemplo clásico detallado está disponible en la página invariante adiabático y aquí. [6]
Oscilador armónico cuántico
La naturaleza clásica de un péndulo impide una descripción completa de los efectos del teorema adiabático. Como un ejemplo adicional, considere un oscilador armónico cuántico como la constante de resorte está incrementado. Clásicamente, esto equivale a aumentar la rigidez de un resorte; cuántico-mecánicamente el efecto es un estrechamiento de la curva de energía potencial en el sistema hamiltoniano .
Si se incrementa adiabáticamente entonces el sistema a la vez estará en un estado propio instantáneo del actual hamiltoniano, correspondiente al autoestado inicial de . Para el caso especial de un sistema como el oscilador armónico cuántico descrito por un solo número cuántico , esto significa que el número cuántico permanecerá sin cambios. La Figura 1 muestra cómo un oscilador armónico, inicialmente en su estado fundamental,, permanece en el estado fundamental a medida que se comprime la curva de energía potencial; la forma funcional del estado adaptándose a las condiciones que varían lentamente.
Para una constante de resorte rápidamente aumentada, el sistema se somete a un proceso diabático en el que el sistema no tiene tiempo de adaptar su forma funcional a las condiciones cambiantes. Mientras que el estado final debe verse idéntico al estado inicial para un proceso que ocurre durante un período de tiempo de desaparición, no hay un estado propio del nuevo hamiltoniano, , que se asemeja al estado inicial. El estado final se compone de una superposición lineal de muchos estados propios diferentes de que suma para reproducir la forma del estado inicial.
Cruce de curvas evitado
Para un ejemplo de aplicación más amplia, considere un átomo de 2 niveles sometido a un campo magnético externo . [7] Los estados, etiquetados y utilizando la notación bra-ket , se pueden considerar como estados atómicos de momento angular , cada uno con una geometría particular. Por razones que quedarán claras, estos estados se denominarán en lo sucesivo estados diabáticos. La función de onda del sistema se puede representar como una combinación lineal de los estados diabáticos:
Con el campo ausente, la separación energética de los estados diabáticos es igual a ; la energía del estado aumenta con el aumento del campo magnético (un estado de búsqueda de campo bajo), mientras que la energía del estado disminuye con el aumento del campo magnético (un estado de búsqueda de campo alto). Suponiendo que la dependencia del campo magnético es lineal, la matriz hamiltoniana para el sistema con el campo aplicado se puede escribir
dónde es el momento magnético del átomo, que se supone que es el mismo para los dos estados diabáticos, yes un acoplamiento independiente del tiempo entre los dos estados. Los elementos diagonales son las energías de los estados diabáticos ( y ), sin embargo, como no es una matriz diagonal , está claro que estos estados no son estados propios del nuevo hamiltoniano que incluye la contribución del campo magnético.
Los vectores propios de la matriz son los estados propios del sistema, que etiquetaremos y , con los valores propios correspondientes
Es importante darse cuenta de que los valores propios y son las únicas salidas permitidas para cualquier medición individual de la energía del sistema, mientras que las energías diabáticas y corresponden a los valores esperados para la energía del sistema en los estados diabáticos y .
La figura 2 muestra la dependencia de las energías diabática y adiabática del valor del campo magnético; tenga en cuenta que para un acoplamiento distinto de cero, los valores propios del hamiltoniano no pueden ser degenerados y, por lo tanto, tenemos un cruce evitado. Si un átomo está inicialmente en estado en campo magnético cero (en la curva roja, en el extremo izquierdo), un aumento adiabático del campo magnético asegurará que el sistema permanezca en un estado propio del Hamiltoniano durante todo el proceso (sigue la curva roja). Un aumento diabático del campo magnético. asegurará que el sistema siga la ruta diabática (la línea azul punteada), de modo que el sistema experimente una transición al estado . Para velocidades de respuesta de campo magnético finitohabrá una probabilidad finita de encontrar el sistema en cualquiera de los dos estados propios. Consulte a continuación los enfoques para calcular estas probabilidades.
Estos resultados son extremadamente importantes en física atómica y molecular para el control de la distribución del estado de energía en una población de átomos o moléculas.
Prueba del teorema adiabático
Enunciado matemático del teorema adiabático
En términos matemáticos, el teorema se puede enunciar de la siguiente manera [1] :
- Para un hamiltoniano que varía lentamente en el rango de tiempo T la solución de la ecuación de Schrödinger con condiciones iniciales
- dónde es el vector propio de la ecuación de Schrödinger instantánea se puede aproximar como:
- donde la aproximación adiabática es:
- y
- también llamada fase Berry
Prueba
Considere la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
con hamiltoniano Nos gustaría conocer la relación entre un estado inicial y su estado final a en el límite adiabático
Primero redefine el tiempo como :
En cada momento puede ser diagonalizado con valores propios y vectores propios . Dado que los autovectores forman una base completa en cualquier momento, podemos expandir como:
- , dónde
La fase se llama factor de fase dinámica . Por sustitución en la ecuación de Schrödinger, se puede obtener otra ecuación para la variación de los coeficientes:
El termino da , por lo que el tercer término del lado izquierdo se cancela con el lado derecho, dejando
Ahora tomando el producto interno con una función propia arbitraria , la a la izquierda da , que es 1 solo para m = n y, de lo contrario, desaparece. La parte restante da
Para la Oscilará cada vez más rápido e intuitivamente eventualmente suprimirá casi todos los términos en el lado derecho. Las únicas excepciones son cuando tiene un punto crítico, es decir . Esto es trivialmente cierto para. Dado que el teorema adiabático supone una brecha entre las energías propias en cualquier momento, esto no puede ser válido para. Por lo tanto, solo el el plazo permanecerá en el límite .
Para mostrar esto de manera más rigurosa, primero debemos eliminar el término. Esto se puede hacer definiendo
Obtenemos:
Esta ecuación se puede integrar:
o escrito en notación vectorial
Aquí es una matriz y
- es básicamente una transformada de Fourier.
Del lema de Riemann-Lebesgue se sigue que como . Como último paso, tome la norma en ambos lados de la ecuación anterior:
y aplicar la desigualdad de Grönwall para obtener
Desde sigue por . Con esto concluye la demostración del teorema adiabático.
En el límite adiabático, los estados propios del hamiltoniano evolucionan independientemente unos de otros. Si el sistema está preparado en un estado propio su evolución temporal viene dada por:
Entonces, para un proceso adiabático, un sistema que comienza en el n eigenstate también permanece en ese n eigenstate como lo hace para los procesos independientes del tiempo, solo recogiendo un par de factores de fase. El nuevo factor de fasepuede cancelarse mediante una elección adecuada de calibre para las funciones propias. Sin embargo, si la evolución adiabática es cíclica , entoncesse convierte en una cantidad física invariable en cuanto al calibre, conocida como fase Berry .
Aplicaciones de ejemplo
A menudo, un cristal sólido se modela como un conjunto de electrones de valencia independientes que se mueven en un potencial medio perfectamente periódico generado por una red rígida de iones. Con el teorema adiabático también podemos incluir en su lugar el movimiento de los electrones de valencia a través del cristal y el movimiento térmico de los iones como en la aproximación de Born-Oppenheimer . [8]
Esto explica muchos fenómenos en el ámbito de:
- termodinámica : dependencia de la temperatura del calor específico , expansión térmica , fusión
- fenómenos de transporte : la dependencia de la temperatura de la resistividad eléctrica de los conductores , la dependencia de la temperatura de la conductividad eléctrica en los aisladores , algunas propiedades de la superconductividad a baja temperatura
- óptica : absorción óptica en el infrarrojo para cristales iónicos , dispersión de Brillouin , dispersión de Raman
Condiciones derivadas para el paso diabático vs adiabático
Ahora realizaremos un análisis más riguroso. [9] Haciendo uso de la notación bra-ket , el vector de estado del sistema en el momento puede ser escrito
- ,
donde la función de onda espacial a la que se aludió anteriormente es la proyección del vector de estado sobre los estados propios del operador de posición
- .
Es instructivo examinar los casos límite, en los que es muy grande (cambio adiabático o gradual) y muy pequeño (cambio diabático o repentino).
Considere un sistema hamiltoniano que experimenta un cambio continuo desde un valor inicial , en el momento , a un valor final , en el momento , dónde . La evolución del sistema se puede describir en la imagen de Schrödinger por el operador de evolución del tiempo, definido por la ecuación integral
- ,
que es equivalente a la ecuación de Schrödinger .
- ,
junto con la condición inicial . Dado el conocimiento de la función de onda del sistema en, la evolución del sistema hasta una época posterior se puede obtener usando
El problema de determinar la adiabaticidad de un proceso dado equivale a establecer la dependencia de en .
Para determinar la validez de la aproximación adiabática para un proceso dado, se puede calcular la probabilidad de encontrar el sistema en un estado diferente al que comenzó. Usando notación bra-ket y usando la definición, tenemos:
- .
Podemos expandirnos
- .
En el límite perturbativo podemos tomar solo los dos primeros términos y sustituirlos en nuestra ecuación para, reconociendo que
es el sistema hamiltoniano, promediado durante el intervalo , tenemos:
- .
Después de ampliar los productos y realizar las cancelaciones oportunas, nos quedamos con:
- ,
donación
- ,
dónde es la desviación cuadrática media del sistema hamiltoniano promediada durante el intervalo de interés.
La aproximación repentina es válida cuando (la probabilidad de encontrar el sistema en un estado diferente de aquél en el que se inició se aproxima a cero), por lo que la condición de validez viene dada por
- ,
que es una declaración de la forma tiempo-energía del principio de incertidumbre de Heisenberg .
Pasaje diabático
En el limite tenemos un paso infinitamente rápido o diabático:
- .
La forma funcional del sistema permanece sin cambios:
- .
Esto a veces se denomina aproximación repentina. La validez de la aproximación para un proceso dado se puede caracterizar por la probabilidad de que el estado del sistema permanezca sin cambios:
- .
Paso adiabático
En el limite tenemos un paso infinitamente lento o adiabático. El sistema evoluciona, adaptando su forma a las condiciones cambiantes,
- .
Si el sistema se encuentra inicialmente en un estado propio de, después de un período habrá pasado al estado propio correspondiente de.
Esto se conoce como aproximación adiabática. La validez de la aproximación para un proceso dado se puede determinar a partir de la probabilidad de que el estado final del sistema sea diferente del estado inicial:
- .
Calcular probabilidades de paso adiabático
La fórmula de Landau-Zener
En 1932, Lev Landau y Clarence Zener publicaron por separado una solución analítica al problema del cálculo de las probabilidades de transición adiabática , [10] para el caso especial de una perturbación que cambia linealmente en la que el componente variable en el tiempo no acopla los estados relevantes (por lo tanto, el acoplamiento en la matriz diabática hamiltoniana es independiente del tiempo).
La cifra clave de mérito en este enfoque es la velocidad Landau-Zener:
- ,
dónde es la variable de perturbación (campo eléctrico o magnético, longitud de enlace molecular o cualquier otra perturbación del sistema), y y son las energías de los dos estados diabáticos (cruzados). Un gran da como resultado una gran probabilidad de transición diabática y viceversa.
Usando la fórmula de Landau-Zener, la probabilidad, , de una transición diabática viene dada por
El enfoque numérico
Para una transición que implica un cambio no lineal en la variable de perturbación o un acoplamiento dependiente del tiempo entre los estados diabáticos, las ecuaciones de movimiento para la dinámica del sistema no se pueden resolver analíticamente. La probabilidad de transición diabática aún se puede obtener usando uno de la amplia variedad de algoritmos de solución numérica para ecuaciones diferenciales ordinarias .
Las ecuaciones a resolver se pueden obtener a partir de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
- ,
dónde es un vector que contiene las amplitudes del estado adiabático,es el hamiltoniano adiabático dependiente del tiempo, [7] y el overdot representa una derivada del tiempo.
La comparación de las condiciones iniciales utilizadas con los valores de las amplitudes de estado después de la transición puede producir la probabilidad de transición diabática. En particular, para un sistema de dos estados:
para un sistema que comenzó con .
Ver también
- Fórmula de Landau-Zener
- Fase de baya
- Agitación cuántica, trinquetes y bombeo
- Motor cuántico adiabático
- Aproximación de Born-Oppenheimer
- Diabático
Referencias
- ^ M. Born y VA Fock (1928). "Beweis des Adiabatensatzes". Zeitschrift für Physik A . 51 (3-4): 165-180. Código bibliográfico : 1928ZPhy ... 51..165B . doi : 10.1007 / BF01343193 . S2CID 122149514 .
- ^ T. Kato (1950). "Sobre el teorema adiabático de la mecánica cuántica". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 5 (6): 435–439. Código bibliográfico : 1950JPSJ .... 5..435K . doi : 10.1143 / JPSJ.5.435 .
- ^ JE Avron y A. Elgart (1999). "Teorema adiabático sin condición de brecha". Comunicaciones en Física Matemática . 203 (2): 445–463. arXiv : matemáticas-ph / 9805022 . Código Bibliográfico : 1999CMaPh.203..445A . doi : 10.1007 / s002200050620 . S2CID 14294926 .
- ^ Griffiths, David J. (2005). "10". Introducción a la Mecánica Cuántica . Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
- ^ Barton Zwiebach (primavera de 2018). "L15.2 invariante adiabático clásico" . MIT 8.06 Física cuántica III.
- ^ Barton Zwiebach (primavera de 2018). "Analógico clásico: oscilador con frecuencia variable lentamente" . MIT 8.06 Física cuántica III.
- ^ a b S. Stenholm (1994). "Dinámica cuántica de sistemas simples". La 44ª Escuela de Verano de Física de las Universidades Escocesas : 267–313.
- ^ © Carlo E. Bottani (2017-2018). Notas de la clase de física del estado sólido . págs. 64–67.
- ^ Mesías, Albert (1999). "XVII". Mecánica cuántica . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-40924-4.
- ^ C. Zener (1932). "Cruce no adiabático de niveles de energía" . Actas de la Royal Society de Londres, serie A . 137 (6): 692–702. Código bibliográfico : 1932RSPSA.137..696Z . doi : 10.1098 / rspa.1932.0165 . JSTOR 96038 .