Operador afiliado

En matemáticas , los operadores afiliados fueron introducidos por Murray y von Neumann en la teoría de las álgebras de von Neumann como una técnica para usar operadores ilimitados para estudiar módulos generados por un solo vector. Más tarde, Atiyah y Singer demostraron que los teoremas de índice para operadores elípticos en variedades cerradas con grupo fundamental infinito podían expresarse naturalmente en términos de operadores ilimitados afiliados al álgebra de von Neumann del grupo. Las propiedades algebraicas de los operadores afiliados han demostrado ser importantes en L² cohomología , un área entre el análisis y la geometría que evolucionó a partir del estudio de tales teoremas de índices.

Definición

Deje que M sea un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert H . Un cerrado operador y densamente definido A se dice que está afiliada con M si A conmuta con cada operador unitario U en el commutant de M . Las condiciones equivalentes son que:

cada U unitaria en M ' debe dejar invariante la gráfica de A definida por . ${\ Displaystyle G (A) = \ {(x, Ax): x \ in D (A) \} \ subseteq H \ oplus H}$
la proyección sobre G ( A ) debe estar en M ₂ ( M ).
cada U unitario en M ' debe llevar D ( A ), el dominio de A , sobre sí mismo y satisfacer UAU * = A allí.
cada unitaria U en M' debe conmutar con ambos operadores de la descomposición polar de A .

La última condición sigue por la unicidad de la descomposición polar. Si A tiene una descomposición polar

{\ Displaystyle A = V | A |, \,}

dice que la isometría parcial V debe estar en M y que el operador autoadjunto positivo | A | deben estar afiliados a M . Sin embargo, según el teorema espectral , un operador autoadjunto positivo conmuta con un operador unitario si y solo si lo hace cada una de sus proyecciones espectrales . Esto da otra condición equivalente: ${\ Displaystyle E ([0, N])}$

cada proyección espectral de | A | y la isometría parcial en la descomposición polar de A se encuentra en M .

Operadores medibles

En general, los operadores afiliados a un álgebra M de von Neumann no necesitan necesariamente comportarse bien ni en la adición ni en la composición. Sin embargo, en presencia de una traza normal semifinita fiel τ y la acción estándar Gelfand-Naimark-Segal de M en H = L ² ( M , τ), Edward Nelson demostró que los operadores afiliados medibles forman un * -álgebra con propiedades agradables: estos son operadores tales que τ ( I - E ([0, N ])) <∞ para Nsuficientemente largo. Esta álgebra de operadores ilimitados es completa para una topología natural, generalizando la noción de convergencia en medida . Contiene todos los espacios L ^p no conmutativos definidos por la traza y fue introducido para facilitar su estudio.

Esta teoría se puede aplicar cuando el álgebra M de von Neumann es tipo I o tipo II . Cuando M = B ( H ) que actúa sobre el espacio de Hilbert L ² ( H ) de los operadores de Hilbert-Schmidt , da la bien conocida teoría de la no-conmutativa L ^p espacios L ^p ( H ), debido a Schatten y von Neumann .

Cuando M es además un álgebra finita de von Neumann, por ejemplo, un factor de tipo II ₁ , entonces cada operador afiliado es medible automáticamente, por lo que los operadores afiliados forman un álgebra * , como se observó originalmente en el primer artículo de Murray y von Neumann. En este caso, M es un anillo regular de von Neumann : porque en el cierre de su imagen | A | tiene una inversa medible B y luego T = BV ^* define un operador medible con ATA = A . Por supuesto, en el caso clásico cuando Xes un espacio de probabilidad y M = L ^∞ ( X ), simplemente recuperar la -algebra * de funciones medibles en X .

Sin embargo, si M es de tipo III , la teoría toma una forma bastante diferente. De hecho, en este caso, gracias a la teoría de Tomita-Takesaki , se sabe que los espacios L ^p no conmutativos ya no son realizados por operadores afiliados al álgebra de von Neumann. Como mostró Connes , estos espacios se pueden realizar como operadores ilimitados solo mediante el uso de una cierta potencia positiva del operador modular de referencia. En lugar de caracterizarse por la relación de afiliación simple UAU ^* = A , existe una relación bimódulo más complicada que involucra la continuación analítica del grupo de automorfismo modular.

Referencias

A. Connes, geometría no conmutativa , ISBN 0-12-185860-X
J. Dixmier, Álgebras de Von Neumann , ISBN 0-444-86308-7 [Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars (1957 y 1969)]
W. Lück, L ² -Invariantes: teoría y aplicaciones a la geometría y la teoría K , (Capítulo 8: el álgebra de los operadores afiliados) ISBN 3-540-43566-2
FJ Murray y J. von Neumann, Rings of Operators , Annals of Mathematics 37 (1936), 116-229 (Capítulo XVI).
E. Nelson, Notas sobre integración no conmutativa , J. Funct. Anal. 15 (1974), 103-116.
M. Takesaki, Teoría de álgebras de operadores I, II, III , ISBN 3-540-42248-X ISBN 3-540-42914-X ISBN 3-540-42913-1