En matemáticas , la geometría afín es lo que queda de la geometría euclidiana cuando no se utilizan (los matemáticos suelen decir "al olvidar" [1] [2] ) las nociones métricas de distancia y ángulo.
Como la noción de líneas paralelas es una de las principales propiedades que es independiente de cualquier métrica, la geometría afín se considera a menudo como el estudio de las líneas paralelas. Por lo tanto, el axioma de Playfair ( dada una línea L y un punto P que no está en L, hay exactamente una línea paralela a L que pasa por P ) es fundamental en la geometría afín. Las comparaciones de figuras en geometría afín se realizan con transformaciones afines , que son mapeos que preservan la alineación de puntos y el paralelismo de líneas.
La geometría afín se puede desarrollar de dos formas que son esencialmente equivalentes. [3]
En geometría sintética , un espacio afín es un conjunto de puntos a los que se asocia un conjunto de líneas, que satisfacen algunos axiomas (como el axioma de Playfair).
La geometría afín también se puede desarrollar sobre la base del álgebra lineal . En este contexto, un espacio afín es un conjunto de puntos equipados con un conjunto de transformaciones (es decir, mapeos biyectivos ), las traslaciones, que forman un espacio vectorial (sobre un campo dado , comúnmente los números reales ), y tal que para cualquier par ordenado de puntos hay una traducción única que envía el primer punto al segundo; la composición de dos traslaciones es su suma en el espacio vectorial de las traslaciones.
En términos más concretos, esto equivale a tener una operación que asocie a cualquier par ordenado de puntos un vector y otra operación que permita la traslación de un punto por un vector para dar otro punto; estas operaciones son necesarias para satisfacer una serie de axiomas (en particular, que dos traducciones sucesivas tienen el efecto de traducción por el vector suma). Al elegir cualquier punto como "origen", los puntos están en correspondencia uno a uno con los vectores, pero no hay una opción preferida para el origen; por tanto, un espacio afín puede verse como obtenido de su espacio vectorial asociado "olvidando" el origen (vector cero).
Aunque este artículo solo analiza los espacios afines , la noción de "olvidar la métrica" es mucho más general y puede aplicarse a variedades arbitrarias , en general. Esta extensión de la noción de espacios afines a múltiples en general se desarrolla en el artículo sobre la conexión afín .
Historia
En 1748, Leonhard Euler introdujo el término afín [4] [5] (latín affinis , "relacionado") en su libro Introductio in analysin infinitorum (volumen 2, capítulo XVIII). En 1827, August Möbius escribió sobre geometría afín en su Der barycentrische Calcul (capítulo 3).
Después de Felix Klein 's programa de Erlangen , geometría afín fue reconocido como una generalización de la geometría euclidiana . [6]
En 1912, Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis desarrollaron una geometría afín [7] [8] para expresar la teoría especial de la relatividad .
En 1918, Hermann Weyl se refirió a la geometría afín en su texto Espacio, tiempo, materia . Usó la geometría afín para introducir la suma y resta de vectores [9] en las primeras etapas de su desarrollo de la física matemática . Más tarde, ET Whittaker escribió: [10]
- La geometría de Weyl es históricamente interesante por haber sido la primera de las geometrías afines en ser desarrollada en detalle: se basa en un tipo especial de transporte paralelo [...] que utiliza líneas de mundo de señales de luz en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Un elemento corto de una de estas líneas de mundo puede llamarse vector nulo ; entonces el transporte paralelo en cuestión es tal que lleva cualquier vector nulo en un punto a la posición de un vector nulo en un punto vecino.
En 1984, "el plano afín asociado al espacio vectorial Lorentziano L 2 " fue descrito por Graciela Birman y Katsumi Nomizu en un artículo titulado "Trigonometría en geometría Lorentziana". [11]
Sistemas de axiomas
Se han propuesto varios enfoques axiomáticos de la geometría afín:
Ley de Pappus
Como la geometría afín se ocupa de las líneas paralelas, se ha tomado como premisa una de las propiedades de los paralelos señaladas por Pappus de Alejandría : [12] [13]
- Si están en una línea y en otro, luego
El sistema de axiomas completo propuesto tiene punto , línea y línea que contiene el punto como nociones primitivas :
- Dos puntos están contenidos en una sola línea.
- Para cualquier línea ly cualquier punto P , no en l , solo hay una línea que contiene P y no contiene ningún punto de l . Se dice que esta línea es paralela a l .
- Cada línea contiene al menos dos puntos.
- Hay al menos tres puntos que no pertenecen a una línea.
Según HSM Coxeter :
- El interés de estos cinco axiomas se ve reforzado por el hecho de que pueden desarrollarse en un vasto cuerpo de proposiciones, manteniéndose no solo en la geometría euclidiana sino también en la geometría del tiempo y el espacio de Minkowski (en el caso simple de las dimensiones 1 + 1, la teoría especial de la relatividad necesita 1 + 3). La extensión a la geometría euclidiana o minkowskiana se logra agregando varios axiomas adicionales de ortogonalidad, etc. [14]
Los diversos tipos de geometría afín corresponden a la interpretación que se toma para la rotación . La geometría euclidiana corresponde a la idea ordinaria de rotación , mientras que la geometría de Minkowski corresponde a la rotación hiperbólica . Con respecto a las líneas perpendiculares , permanecen perpendiculares cuando el plano se somete a una rotación ordinaria. En la geometría de Minkowski, las líneas que son hiperbólico-ortogonales permanecen en esa relación cuando el plano se somete a una rotación hiperbólica.
Estructura ordenada
Un tratamiento axiomático de la geometría plana afín se puede construir a partir de los axiomas de la geometría ordenada mediante la adición de dos axiomas adicionales: [15]
- ( Axioma afín del paralelismo ) Dado un punto A y una recta r, que no pasa por A, hay como máximo una recta que pasa por A que no se encuentra con r.
- ( Desargues ) Dados siete puntos distintos A, A ', B, B', C, C ', O, de modo que AA', BB 'y CC' son líneas distintas a través de O y AB es paralela a A'B 'y BC es paralelo a B'C ', luego AC es paralelo a A'C'.
El concepto afín de paralelismo forma una relación de equivalencia en líneas. Dado que los axiomas de la geometría ordenada tal como se presentan aquí incluyen propiedades que implican la estructura de los números reales, esas propiedades se trasladan aquí de modo que se trata de una axiomatización de la geometría afín sobre el campo de los números reales.
Anillos ternarios
El primer plano no desarguesiano fue señalado por David Hilbert en sus Fundamentos de la geometría . [16] El avión de Moulton es una ilustración estándar. Con el fin de proporcionar un contexto para dicha geometría, así como para aquellas en las que el teorema de Desargues es válido, se ha desarrollado el concepto de anillo ternario.
Los planos afines rudimentarios se construyen a partir de pares ordenados tomados de un anillo ternario. Se dice que un plano tiene la "propiedad de Desargues menor afín" cuando dos triángulos en perspectiva paralela, que tienen dos lados paralelos, también deben tener los terceros lados paralelos. Si esta propiedad se mantiene en el plano afín rudimentario definido por un anillo ternario, entonces existe una relación de equivalencia entre "vectores" definidos por pares de puntos desde el plano. [17] Además, los vectores forman un grupo abeliano bajo adición, el anillo ternario es lineal y satisface la distributividad derecha:
- ( a + b ) c = ac + bc .
Transformaciones afines
Geométricamente, las transformaciones afines (afinidades) conservan la colinealidad: por lo tanto, transforman las líneas paralelas en líneas paralelas y conservan las proporciones de las distancias a lo largo de las líneas paralelas.
Identificamos como teoremas afines cualquier resultado geométrica que es invariante bajo el grupo afín (en Felix Klein 's programa de Erlangen este es su subyacente grupo de transformaciones de simetría para la geometría afín). Considere en un espacio vectorial V , el grupo lineal general GL ( V ). No es todo el grupo afín porque hay que permitir también traducciones por vectores v en V . (Tal traducción mapea cualquier w en V a w + v .) El grupo afín es generado por el grupo lineal general y las traducciones y de hecho es su producto semidirecto . (Aquí pensamos en V como un grupo bajo su operación de suma, y usamos la representación definitoria de GL ( V ) en V para definir el producto semidirecto).
Por ejemplo, el teorema de la geometría plana de los triángulos sobre la concurrencia de las líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto (en el centroide o baricentro ) depende de las nociones de punto medio y centroide como invariantes afines. Otros ejemplos incluyen los teoremas de Ceva y Menelaus .
Los invariantes afines también pueden ayudar en los cálculos. Por ejemplo, las líneas que dividen el área de un triángulo en dos mitades iguales forman un sobre dentro del triángulo. La razón entre el área de la envolvente y el área del triángulo es invariante afín, por lo que solo debe calcularse a partir de un caso simple, como un triángulo rectángulo isósceles unitario para obtener es decir, 0,019860 ... o menos del 2%, para todos los triángulos.
Las fórmulas familiares, como la mitad de la base por la altura del área de un triángulo, o un tercio de la base por la altura del volumen de una pirámide, son igualmente invariantes afines. Si bien el último es menos obvio que el primero para el caso general, se ve fácilmente para la sexta parte del cubo unitario formado por una cara (área 1) y el punto medio del cubo (altura 1/2). Por lo tanto, se aplica a todas las pirámides, incluso las inclinadas cuyo vértice no está directamente sobre el centro de la base, y aquellas cuya base es un paralelogramo en lugar de un cuadrado. La fórmula se generaliza aún más a las pirámides cuya base se puede diseccionar en paralelogramos, incluidos los conos, al permitir infinitos paralelogramos (con la debida atención a la convergencia). El mismo enfoque muestra que una pirámide de cuatro dimensiones tiene un hipervolumen 4D de un cuarto del volumen 3D de su base paralelepípeda multiplicado por la altura, y así sucesivamente para dimensiones más altas.
Espacio afín
Geometría afín puede ser vista como la geometría de un espacio afín de una dimensión dada n , coordinatized sobre un campo K . También hay (en dos dimensiones) una generalización combinatoria del espacio afín coordinado, tal como se desarrolla en la geometría finita sintética . En geometría proyectiva, espacio afín significa el complemento de un hiperplano en el infinito en un espacio proyectivo . El espacio afín también puede verse como un espacio vectorial cuyas operaciones se limitan a aquellas combinaciones lineales cuyos coeficientes suman uno, por ejemplo 2 x - y , x - y + z , ( x + y + z ) / 3, i x + (1 - i ) y , etc.
Sintéticamente, los planos afines son geometrías afines bidimensionales definidas en términos de las relaciones entre puntos y líneas (o, a veces, en dimensiones superiores, hiperplanos ). Al definir geometrías afines (y proyectivas) como configuraciones de puntos y líneas (o hiperplanos) en lugar de utilizar coordenadas, se obtienen ejemplos sin campos de coordenadas. Una propiedad importante es que todos estos ejemplos tienen dimensión 2. Los ejemplos finitos en dimensión 2 ( planos afines finitos ) han sido valiosos en el estudio de configuraciones en espacios afines infinitos, en teoría de grupos y en combinatoria .
A pesar de ser menos general que el enfoque configuracional, los otros enfoques discutidos han tenido mucho éxito en iluminar las partes de la geometría que están relacionadas con la simetría .
Vista proyectiva
En la geometría tradicional , la geometría afín se considera un estudio entre la geometría euclidiana y la geometría proyectiva . Por un lado, la geometría afín es la geometría euclidiana con la congruencia excluida; por otro lado, la geometría afín puede obtenerse de la geometría proyectiva mediante la designación de una línea o plano particular para representar los puntos en el infinito . [18] En la geometría afín, no hay una estructura métrica , pero el postulado paralelo se mantiene. La geometría afín proporciona la base para la estructura euclidiana cuando se definen líneas perpendiculares , o la base para la geometría de Minkowski a través de la noción de ortogonalidad hiperbólica . [19] En este punto de vista, una transformación afín es una transformación proyectiva que no permuta puntos finitos con puntos en el infinito, y la geometría de transformación afín es el estudio de propiedades geométricas a través de la acción del grupo de transformaciones afines.
Ver también
- Geometría no euclidiana
Referencias
- ^ Berger, Marcel (1987), Geometría I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
- ^ Véase también functor olvidadizo .
- ^ Artin, Emil (1988), Álgebra geométrica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons Inc., págs. X + 214, doi : 10.1002 / 9781118164518 , ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557 (Reimpresión del original de 1957; una publicación de Wiley-Interscience)
- ^ Miller, Jeff. "Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas (A)" .
- ^ Blaschke, Wilhelm (1954). Analytische Geometrie . Basilea: Birkhauser. pag. 31.
- ^ Coxeter, HSM (1969). Introducción a la geometría . Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 191 . ISBN 0-471-50458-0.
- ^ Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis (1912). "The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48: 387–507
- ↑ Synthetic Spacetime , un compendio de los axiomas usados y teoremas probados por Wilson y Lewis. Archivado por WebCite
- ^ Hermann Weyl (1918) Raum, Zeit, Materie . 5 edns. hasta 1922 ed. con notas de Jūrgen Ehlers, 1980. trad. 4ª ed. Henry Brose, 1922 Space Time Matter , Methuen, rept. 1952 Dover. ISBN 0-486-60267-2 . Consulte el Capítulo 1 §2 Fundamentos de la geometría afines, págs. 16-27.
- ^ ET Whittaker (1958). De Euclides a Eddington: un estudio de las concepciones del mundo exterior , Publicaciones de Dover , p. 130.
- ^ Graciela S. Birman y Katsumi Nomizu (1984). "Trigonometría en la geometría de Lorentz", American Mathematical Monthly 91 (9): 543–9, plano afín de Lorentz: p. 544
- ↑ Veblen, 1918: pág. 103 (figura) y pág. 118 (ejercicio 3).
- ^ Coxeter 1955, El plano afín , § 2: geometría afín como un sistema independiente
- ^ Coxeter 1955, Plano afín , p. 8
- ^ Coxeter, Introducción a la geometría , p. 192
- ^ David Hilbert , 1980 (1899). The Foundations of Geometry , 2ª ed., Chicago: Open Court, enlace web del Proyecto Gutenberg , p. 74.
- ^ Rafael Artzy (1965). Geometría lineal , Addison-Wesley , pág. 213.
- ^ HSM Coxeter (1942). Geometría no euclidiana , University of Toronto Press , págs.18, 19.
- ↑ Coxeter, 1942, p. 178
Otras lecturas
- Emil Artin (1957) Álgebra geométrica , capítulo 2: "Geometría afín y proyectiva", Interscience Publishers .
- VG Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Ideas y métodos de geometría afín y proyectiva (en ruso ), Ministerio de Educación, Moscú.
- MK Bennett (1995) Geometría afín y proyectiva , John Wiley & SonsISBN 0-471-11315-8 .
- HSM Coxeter (1955) "El plano afín", Scripta Mathematica 21: 5–14, conferencia pronunciada antes del Foro de la Sociedad de Amigos de Scripta Mathematica el lunes 26 de abril de 1954.
- Felix Klein (1939) Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , traducido por ER Hedrick y CA Noble, págs. 70–86, Macmillan Company .
- Bruce E. Meserve (1955) Conceptos fundamentales de geometría , Capítulo 5 Geometría afín, págs. 150–84, Addison-Wesley .
- Peter Scherk y Rolf Lingenberg (1975) Rudiments of Plane Affine Geometry , Mathematical Expositions # 20, University of Toronto Press .
- Wanda Szmielew (1984) De la geometría afín a la euclidiana: un enfoque axiomático , D. Reidel , ISBN 90-277-1243-3 .
- Oswald Veblen (1918) Geometría proyectiva , volumen 2, capítulo 3: Grupo afín en el plano, págs. 70 a 118, Ginn & Company.
enlaces externos
- Peter Cameron 's proyectiva y Afines Geometrías de la Universidad de Londres .
- Jean H. Gallier (2001). Métodos geométricos y aplicaciones para la informática y la ingeniería , Capítulo 2: "Conceptos básicos de la geometría afines" (PDF), Textos de Springer en matemáticas aplicadas # 38, capítulo en línea de la Universidad de Pensilvania .