En matemáticas , una ecuación algebraica o polinomial es una ecuación de la forma
donde P es un polinomio con coeficientes en algún campo , a menudo el campo de los números racionales . Para muchos autores, el término ecuación algebraica se refiere solo a ecuaciones univariadas , es decir, ecuaciones polinómicas que involucran solo una variable . Por otro lado, una ecuación polinomial puede involucrar varias variables. En el caso de varias variables (el caso multivariado ), el término ecuación polinomial suele preferirse a ecuación algebraica .
Por ejemplo,
es una ecuación algebraica con coeficientes enteros y
es una ecuación polinomial multivariante sobre los racionales.
Algunas, pero no todas, las ecuaciones polinomiales con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica que se puede encontrar usando un número finito de operaciones que involucran solo esos mismos tipos de coeficientes (es decir, se pueden resolver algebraicamente ). Esto se puede hacer para todas estas ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero para el grado cinco o más, solo se puede hacer para algunas ecuaciones, no para todas . Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular de manera eficiente aproximaciones precisas de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariante (ver Algoritmo de búsqueda de raíces ) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinomiales multivariadas (ver Sistema de ecuaciones polinomiales ).
Terminología
El término "ecuación algebraica" data de la época en que el principal problema del álgebra era resolver ecuaciones polinomiales univariadas . Este problema se resolvió por completo durante el siglo XIX; ver Teorema fundamental del álgebra , Teorema de Abel-Ruffini y Teoría de Galois .
Desde entonces, el alcance del álgebra se ha ampliado drásticamente. En particular, se incluye el estudio de las ecuaciones que involucran n th raíces y, en general, las expresiones algebraicas . Esto hace que el término ecuación algebraica sea ambiguo fuera del contexto del antiguo problema. Por lo tanto, el término ecuación polinomial generalmente se prefiere cuando puede ocurrir esta ambigüedad, especialmente cuando se consideran ecuaciones multivariadas.
Historia
El estudio de ecuaciones algebraicas es probablemente tan antiguo como las matemáticas: los matemáticos babilónicos , ya en el año 2000 a. C., podían resolver algunos tipos de ecuaciones cuadráticas (mostradas en tablillas de arcilla del Antiguo Babilonia ).
Las ecuaciones algebraicas univariadas sobre las racionales (es decir, con coeficientes racionales ) tienen una historia muy larga. Los matemáticos antiguos querían las soluciones en forma de expresiones radicales , como para la solución positiva de . Los antiguos egipcios sabían resolver ecuaciones de grado 2 de esta manera. El matemático indio Brahmagupta (597–668 d. C.) describió explícitamente la fórmula cuadrática en su tratado Brāhmasphuṭasiddhānta publicado en 628 d. C., pero escrito con palabras en lugar de símbolos. En el siglo IX, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi y otros matemáticos islámicos derivaron la fórmula cuadrática , la solución general de ecuaciones de grado 2, y reconocieron la importancia del discriminante . Durante el Renacimiento de 1545, Gerolamo Cardano publicó la solución de Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia a las ecuaciones de grado 3 y la de Lodovico Ferrari para las ecuaciones de grado 4 . Finalmente Niels Henrik Abel demostró, en 1824, que las ecuaciones de grado 5 y superiores no tienen soluciones generales usando radicales. La teoría de Galois , que lleva el nombre de Évariste Galois , mostró que algunas ecuaciones de al menos grado 5 ni siquiera tienen una solución idiosincrásica en radicales, y proporcionó criterios para decidir si una ecuación de hecho se puede resolver usando radicales.
Áreas de estudio
Las ecuaciones algebraicas son la base de una serie de áreas de las matemáticas modernas: La teoría algebraica de números es el estudio de ecuaciones algebraicas (univariadas) sobre las racionales (es decir, con coeficientes racionales ). Évariste Galois introdujo la teoría de Galois para especificar criterios para decidir si una ecuación algebraica puede resolverse en términos de radicales. En la teoría de campos , una extensión algebraica es una extensión tal que cada elemento es una raíz de una ecuación algebraica sobre el campo base. La teoría trascendental de los números es el estudio de los números reales que no son soluciones a una ecuación algebraica sobre los racionales. Una ecuación diofántica es una ecuación polinomial (generalmente multivariante) con coeficientes enteros para los que uno está interesado en las soluciones enteras. La geometría algebraica es el estudio de las soluciones en un campo algebraicamente cerrado de ecuaciones polinomiales multivariadas.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones . En particular la ecuación es equivalente a . De ello se deduce que el estudio de ecuaciones algebraicas es equivalente al estudio de polinomios.
Una ecuación polinomial sobre los racionales siempre se puede convertir en una equivalente en la que los coeficientes son números enteros . Por ejemplo, multiplicando por 42 = 2 · 3 · 7 y agrupando sus términos en el primer miembro, la ecuación polinomial mencionada anteriormente se convierte en
Debido a que seno , exponenciación y 1 / T no son funciones polinomiales,
no es una ecuación polinomial en las cuatro variables x , y , z y T sobre los números racionales. Sin embargo, es una ecuación polinómica en las tres variables x , y , y z sobre el campo de las funciones elementales en la variable T .
Teoría
Polinomios
Dada una ecuación en x desconocido
- ,
con coeficientes en un campo K , se puede decir de manera equivalente que las soluciones de (E) en K son las raíces en K del polinomio
- .
Se puede demostrar que un polinomio de grado n en un campo tiene como máximo n raíces. Por tanto, la ecuación (E) tiene como máximo n soluciones.
Si K ' es una extensión de campo de K , se puede considerar que (E) es una ecuación con coeficientes en K y las soluciones de (E) en K también son soluciones en K' (lo contrario no se cumple en general). Siempre es posible encontrar una extensión de campo de K conocida como el campo de ruptura del polinomio P , en el que (E) tiene al menos una solución.
Existencia de soluciones a ecuaciones reales y complejas.
El teorema fundamental del álgebra establece que el campo de los números complejos es cerrado algebraicamente, es decir, todas las ecuaciones polinomiales con coeficientes complejos y grado al menos uno tienen solución.
De ello se deduce que todas las ecuaciones polinomiales de grado 1 o más con coeficientes reales tienen una solución compleja . Por otro lado, una ecuación como no tiene solución en (las soluciones son las unidades imaginarias i y –i ).
Si bien las soluciones reales de ecuaciones reales son intuitivas (son las coordenadas x de los puntos donde la curva y = P ( x ) se cruza con el eje x ), la existencia de soluciones complejas para ecuaciones reales puede ser sorprendente y menos fácil de resolver. visualizar.
Sin embargo, un polinomio mónico de grado impar debe tener necesariamente una raíz real. La función polinomial asociada en x es continua y se aproximaa medida que x se acerca y a medida que x se acerca. Por lo tanto, según el teorema del valor intermedio , debe asumir el valor cero en alguna x real , que es entonces una solución de la ecuación polinomial.
Conexión con la teoría de Galois
Existen fórmulas que dan las soluciones de polinomios reales o complejos de grado menor o igual a cuatro en función de sus coeficientes. Abel demostró que no es posible encontrar tal fórmula en general (usando solo las cuatro operaciones aritméticas y tomando raíces) para ecuaciones de grado cinco o superior. La teoría de Galois proporciona un criterio que permite determinar si la solución de una ecuación polinomial dada se puede expresar usando radicales.
Solución explícita de ecuaciones numéricas
Acercarse
La solución explícita de una ecuación real o compleja de grado 1 es trivial. Resolver una ecuación de mayor grado n se reduce a factorizar el polinomio asociado, es decir, reescribir (E) en la forma
- ,
donde las soluciones son entonces las . El problema es entonces expresar el en términos de .
Este enfoque se aplica de manera más general si los coeficientes y las soluciones pertenecen a un dominio integral .
Técnicas generales
Factorización
Si una ecuación P ( x ) = 0 de grado n tiene una raíz racional α , el polinomio asociado se puede factorizar para dar la forma P ( X ) = ( X - α) Q ( X ) ( dividiendo P ( X ) por X - α o escribiendo P ( X ) - P (α) como una combinación lineal de términos de la forma X k - α k , y factorizando X - α . Resolver P ( x ) = 0, por lo tanto, se reduce a resolver el grado n - 1 ecuación Q ( x ) = 0. Véase, por ejemplo, el caso n = 3 .
Eliminación del término subdominante
Para resolver una ecuación de grado n ,
- ,
Un paso preliminar común es eliminar el término grado- n - 1 : estableciendo, la ecuación (E) se convierte en
- .
Leonhard Euler desarrolló esta técnica para el caso n = 3 pero también es aplicable al caso n = 4 , por ejemplo.
Ecuaciones cuadráticas
Para resolver una ecuación cuadrática de la forma se calcula el discriminante Δ definido por.
Si el polinomio tiene coeficientes reales, tiene:
- dos raíces reales distintas si ;
- una verdadera doble raíz si ;
- no hay raíz real si , pero dos raíces conjugadas complejas.
Ecuaciones cúbicas
El método más conocido para resolver ecuaciones cúbicas, escribiendo raíces en términos de radicales, es la fórmula de Cardano .
Ecuaciones cuarticas
Para obtener información detallada sobre algunos métodos de solución, consulte:
- Transformación de Tschirnhaus (método general, no se garantiza que tenga éxito);
- Método Bezout ( método general, no se garantiza que tenga éxito);
- Método Ferrari (soluciones para el grado 4);
- Método de Euler (soluciones para el grado 4);
- Método de Lagrange (soluciones para el grado 4);
- Método de Descartes (soluciones para el grado 2 o 4);
Una ecuación cuártica con puede reducirse a una ecuación cuadrática mediante un cambio de variable siempre que sea bicuadrática ( b = d = 0 ) o cuasipalindrómica ( e = a , d = b ).
Algunas ecuaciones cúbicas y cuárticas se pueden resolver mediante trigonometría o funciones hiperbólicas .
Ecuaciones de grado superior
Évariste Galois y Niels Henrik Abel demostraron de forma independiente que, en general, un polinomio de grado 5 o superior no se puede resolver utilizando radicales. Algunas ecuaciones particulares tienen soluciones, como las asociadas con los polinomios ciclotómicos de grados 5 y 17.
Charles Hermite , por otro lado, demostró que los polinomios de grado 5 se pueden resolver usando funciones elípticas .
De lo contrario, se pueden encontrar aproximaciones numéricas a las raíces utilizando algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton .
Ver también
- Función algebraica
- Número algebraico
- Hallazgo de raíz
- Ecuación lineal (grado = 1)
- Ecuación cuadrática (grado = 2)
- Ecuación cúbica (grado = 3)
- Ecuación cuartica (grado = 4)
- Ecuación quíntica (grado = 5)
- Ecuación séxtica (grado = 6)
- Ecuación séptica (grado = 7)
- Sistema de ecuaciones lineales
- Sistema de ecuaciones polinomiales
- Ecuación lineal diofántica
- Ecuación lineal sobre un anillo
- Teorema de Cramer (curvas algebraicas) , sobre el número de puntos que suele ser suficiente para determinar una curva bivariada de grado n
Referencias
- "Ecuación algebraica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Ecuación algebraica" . MathWorld .