En matemáticas , un campo de función algebraica (a menudo abreviado como campo de función ) de n variables sobre el campo k es una extensión de campo finitamente generada K / k que tiene un grado de trascendencia n sobre k . [1] De manera equivalente, un campo de función algebraica de n variables sobre k puede definirse como una extensión de campo finito del campo K = k ( x 1 , ..., x n ) defunciones racionales en n variables sobre k .
Ejemplo
Como ejemplo, en el anillo polinomial k [ X , Y ] considere el ideal generado por el polinomio irreducible Y 2 - X 3 y forme el campo de fracciones del anillo cociente k [ X , Y ] / ( Y 2 - X 3 ). Este es un campo de función de una variable sobre k ; también se puede escribir como (con grado 2 sobre ) o como (con grado 3 sobre ). Vemos que el grado de un campo de función algebraica no es una noción bien definida.
Estructura de categorías
Los campos de función algebraica sobre k forman una categoría ; los morfismos del campo de función K a L son los homomorfismos de anillo f : K → L con f ( a ) = a para todo a en k . Todos estos morfismos son inyectivos . Si K es un campo de la función sobre la k de n variables y L es un campo de función en m variables y n > m , entonces no hay morfismos de K a L .
Campos de función que surgen de variedades, curvas y superficies de Riemann
El campo de función de una variedad algebraica de dimensión n sobre k es un campo de función algebraica de n variables sobre k . Dos variedades son biracionalmente equivalentes si y solo si sus campos de función son isomorfos. (¡Pero tenga en cuenta que las variedades no isomórficas pueden tener el mismo campo de función!) Asignar a cada variedad su campo de función produce una dualidad (equivalencia contravariante) entre la categoría de variedades sobre k (con mapas racionales dominantes como morfismos) y la categoría de algebraico. campos de función sobre k . (Las variedades consideradas aquí deben tomarse en el sentido del esquema ; no es necesario que tengan puntos k -racionales, como la curva X 2 + Y 2 + 1 = 0 definida sobre los reales , es decir, con k = R ).
El caso n = 1 (curvas algebraicas irreductibles en el sentido del esquema ) es especialmente importante, ya que cada campo de función de una variable sobre k surge como el campo de función de una curva algebraica irreducible proyectiva regular (es decir, no singular) definida de manera única sobre k . De hecho, el campo de función produce una dualidad entre la categoría de curvas algebraicas irreductibles proyectivas regulares (con mapas regulares dominantes como morfismos) y la categoría de campos de función de una variable sobre k .
El campo de M ( X ) de funciones meromorfas definidos en una conectada Riemann superficie X es un campo de función de una variable sobre el número complejo C . De hecho, M produce una dualidad (equivalencia contravariant) entre la categoría de Riemann conectado compacto superficies (con no constantes holomórficas mapas como morfismos) y campos de funciones de una variable sobre C . Existe una correspondencia similar entre compacto conectado Klein superficies y los campos de función en una variable sobre R .
Campos numéricos y campos finitos
La analogía del campo de función establece que casi todos los teoremas sobre campos numéricos tienen una contraparte en los campos de función de una variable sobre un campo finito , y estas contrapartes son con frecuencia más fáciles de probar. (Por ejemplo, consulte Analógico para polinomios irreducibles sobre un campo finito ). En el contexto de esta analogía, tanto los campos numéricos como los campos de función sobre campos finitos se denominan normalmente " campos globales ".
El estudio de campos funcionales sobre un campo finito tiene aplicaciones en criptografía y códigos de corrección de errores . Por ejemplo, el campo de función de una curva elíptica sobre un campo finito (una herramienta matemática importante para la criptografía de clave pública ) es un campo de función algebraica.
Los campos funcionales sobre el campo de los números racionales también juegan un papel importante en la resolución de problemas inversos de Galois .
Campo de constantes
Dado cualquier campo de función algebraica K sobre k , podemos considerar el conjunto de elementos de K que son algebraicos sobre k . Estos elementos forman un campo, conocido como el campo de constantes del campo de función algebraica.
Por ejemplo, C ( x ) es un campo de función de una variable sobre R ; su campo de constantes es C .
Valoraciones y plazas
Las herramientas clave para estudiar los campos de funciones algebraicas son valores absolutos, valoraciones, lugares y sus terminaciones.
Dado un campo de función algebraica K / k de una variable, definimos la noción de un anillo de valoración de K / k : este es un subanillo O de K que contiene k y es diferente de k y K , y tal que para cualquier x en K tenemos x ∈ o o x -1 ∈ o . Cada uno de estos anillos de valoración es un anillo de valoración discreto y su ideal máximo se denomina lugar de K / k .
Una valoración discreta de K / k es una función sobreyectiva v : K → Z ∪ {∞} tal que v (x) = ∞ sif x = 0, v ( xy ) = v ( x ) + v ( y ) y v ( x + y ) ≥ min ( v ( x ), v ( y )) para todo x , y ∈ K , y v ( a ) = 0 para todo a ∈ k \ {0}.
Existen correspondencias biyectivas naturales entre el conjunto de anillos de valoración de K / k , el conjunto de lugares de K / k y el conjunto de valoraciones discretas de K / k . A estos conjuntos se les puede dar una estructura topológica natural : el espacio de Zariski-Riemann de K / k . En caso de que k sea algebraicamente cerrado , el espacio de Zariski-Riemann de K / k es una curva suave sobre k y K es el campo de función de esta curva.
Ver también
- campo de función de una variedad algebraica
- campo de función (teoría de esquemas)
- función algebraica
- Módulo Drinfeld
Referencias
- ^ Gabriel Daniel y Villa Salvador (2007). Temas de la teoría de los campos de funciones algebraicas . Saltador. ISBN 9780817645151.