En matemáticas , un campo numérico algebraico (o simplemente un campo numérico ) es un campo de extensión del campo de los números racionales tal que la extensión del campo tiene un grado finito (y por lo tanto es una extensión de campo algebraico ). Por lo tanto es un campo que contiene y tiene dimensión finita cuando se considera como un espacio vectorial sobre.
El estudio de los campos numéricos algebraicos y, de manera más general, de las extensiones algebraicas del campo de los números racionales, es el tema central de la teoría numérica algebraica .
Definición
Prerrequisitos
La noción de campo numérico algebraico se basa en el concepto de campo . Un campo consta de un conjunto de elementos junto con dos operaciones, a saber , suma y multiplicación , y algunos supuestos de distributividad. Un ejemplo destacado de un campo es el campo de los números racionales , comúnmente denotado, junto con sus operaciones habituales de suma y multiplicación.
Otra noción necesaria para definir campos numéricos algebraicos son los espacios vectoriales . En la medida necesaria aquí, se puede pensar que los espacios vectoriales consisten en secuencias (o tuplas )
- ( x 1 , x 2 ,…)
cuyas entradas son elementos de un campo fijo, como el campo . Se pueden agregar dos secuencias cualesquiera agregando las entradas una por una. Además, cualquier secuencia se puede multiplicar por un solo elemento c del campo fijo. Estas dos operaciones conocidas como suma vectorial y multiplicación escalar satisfacen una serie de propiedades que sirven para definir espacios vectoriales de forma abstracta. Se permite que los espacios vectoriales sean de "dimensión infinita", es decir, que las secuencias que constituyen los espacios vectoriales sean de longitud infinita. Sin embargo, si el espacio vectorial consta de secuencias finitas
- ( x 1 , x 2 ,…, x n ),
se dice que el espacio vectorial es de dimensión finita , n .
Definición
Un campo numérico algebraico (o simplemente un campo numérico ) es una extensión de campo de grado finito del campo de los números racionales. Aquí, grado significa la dimensión del campo como un espacio vectorial sobre.
Ejemplos de
- El campo numérico más pequeño y básico es el campo de números racionales. Muchas propiedades de los campos numéricos generales se modelan a partir de las propiedades de.
- Los racionales gaussianos , denotados (leído como " unido "), forman el primer ejemplo no trivial de un campo numérico. Sus elementos son expresiones de la forma
- donde tanto a como b son números racionales e i es la unidad imaginaria . Dichas expresiones se pueden sumar, restar y multiplicar de acuerdo con las reglas habituales de la aritmética y luego simplificarse usando la identidad
- .
- Explícitamente,
- Los números racionales gaussianos distintos de cero son invertibles , lo que se puede ver en la identidad
- De ello se deduce que los racionales gaussianos forman un campo numérico que es bidimensional como un espacio vectorial sobre .
- De manera más general, para cualquier número entero sin cuadrados, el campo cuadrático es un campo numérico obtenido al unir la raíz cuadrada de al campo de los números racionales. Las operaciones aritméticas en este campo se definen en analogía con el caso de los números racionales gaussianos,.
- Campo ciclotómico
- , dónde
- es un campo numérico obtenido de colindando con un primitivo la raíz de la unidad . Este campo contiene todas las raíces n- ésimas complejas de la unidad y su dimensión sobre es igual a , dónde es la función totient de Euler .
- Los números reales ,, y los números complejos ,, son campos que tienen una dimensión infinita como-vector espacios, por lo tanto, son no campos de número. Esto se deduce del incontabilidad de y como conjuntos, mientras que cada campo numérico es necesariamente contable .
- El conjunto de pares ordenados de números racionales, con la suma y la multiplicación por entradas es un álgebra conmutativa bidimensional sobre. Sin embargo, no es un campo, ya que tiene cero divisores :
Algebraicidad y anillo de números enteros
Generalmente, en álgebra abstracta , una extensión de campoes algebraico si cada elemento del campo más grande es el cero de un polinomio con coeficientes en :
Toda extensión de campo de grado finito es algebraica. (Prueba: para en , simplemente considera - obtenemos una dependencia lineal, es decir, un polinomio que es una raíz de.) En particular, esto se aplica a los campos numéricos algebraicos, por lo que cualquier elemento de un campo numérico algebraico se puede escribir como un cero de un polinomio con coeficientes racionales. Por tanto, elementos detambién se conocen como números algebraicos . Dado un polinomio tal que , se puede organizar de manera que el coeficiente principal es uno, dividiendo todos los coeficientes por él, si es necesario. Un polinomio con esta propiedad se conoce como polinomio mónico . En general tendrá coeficientes racionales. Sin embargo, si sus coeficientes son todos enteros,se llama entero algebraico . Cualquier entero (habitual) es un entero algebraico, ya que es el cero del polinomio mónico lineal:
- .
Se puede demostrar que cualquier entero algebraico que también sea un número racional debe ser realmente un entero, de ahí el nombre "entero algebraico". De nuevo, usando álgebra abstracta, específicamente la noción de módulo generado finitamente , se puede demostrar que la suma y el producto de dos enteros algebraicos cualesquiera sigue siendo un entero algebraico. De ello se deduce que los enteros algebraicos enformar un anillo denotadollamado el anillo de enteros de. Es un subanillo de (es decir, un anillo contenido en). Un campo no contiene divisores de cero y esta propiedad es heredada por cualquier subanillo, por lo que el anillo de enteros dees un dominio integral . El campoes el campo de fracciones del dominio integral. De esta manera uno puede ir y venir entre el campo numérico algebraico y su anillo de enteros . Los anillos de números enteros algebraicos tienen tres propiedades distintivas: en primer lugar,es un dominio integral que está integralmente cerrado en su campo de fracciones. En segundo lugar,es un anillo noetheriano . Finalmente, todo ideal primo distinto de cero dees máxima o, de manera equivalente, la dimensión Krull de este anillo es uno. Un anillo conmutativo abstracto con estas tres propiedades se denomina anillo de Dedekind (o dominio de Dedekind ), en honor a Richard Dedekind , quien realizó un estudio profundo de los anillos de números enteros algebraicos.
Factorización única
Para los anillos de Dedekind generales , en particular los anillos de números enteros, existe una factorización única de ideales en un producto de ideales primarios . Por ejemplo, el ideal en el ring de los factores enteros cuadráticos en ideales primos como
Sin embargo, a diferencia de como el anillo de enteros de , el anillo de números enteros de una extensión adecuada deno es necesario admitir la factorización única de números en un producto de números primos o, más precisamente, elementos primos . Esto ya ocurre para enteros cuadráticos , por ejemplo en, la unicidad de la factorización falla:
Usando la norma se puede demostrar que estas dos factorizaciones son en realidad inequivalentes en el sentido de que los factores no difieren simplemente por una unidad en. Los dominios euclidianos son dominios de factorización únicos; por ejemplo, el anillo de los enteros gaussianos , y, el anillo de los enteros de Eisenstein , dondees una raíz cúbica de la unidad (desigual a 1), tiene esta propiedad. [1]
ζ-funciones, L -funciones y fórmula del número de clase
El fracaso de la factorización única se mide por el número de clase , comúnmente denominado h , la cardinalidad del llamado grupo de clase ideal . Este grupo es siempre finito. El anillo de los enteros posee factorización única si y solo si es un anillo principal o, de manera equivalente, si tiene clase número 1 . Dado un campo numérico, el número de clase suele ser difícil de calcular. El problema del número de clase , que se remonta a Gauss , tiene que ver con la existencia de campos numéricos cuadráticos imaginarios) con el número de clase prescrito. La fórmula del número de clase relaciona h con otros invariantes fundamentales de. Implica la función zeta de Dedekind ζ(s), una función en una variable compleja s , definida por
(El producto está por encima de todos los ideales principales de , denota la norma del ideal primo o, de manera equivalente, el número (finito) de elementos en el campo de residuos . El producto infinito converge solo para Re ( s )> 1, en general, la continuación analítica y la ecuación funcional para la función zeta son necesarias para definir la función para todos s ). La función zeta de Dedekind generaliza la función zeta de Riemann en que ζ( s ) = ζ ( s ).
La fórmula del número de clase establece que ζ( s ) tiene un polo simple en s = 1 y en este punto el residuo está dado por
Aquí r 1 y r 2 denotan clásicamente el número de incrustaciones reales y pares de incrustaciones complejas de, respectivamente. Además, Reg es el regulador de, w el número de raíces de unidad eny D es el discriminante de.
Funciones L de Dirichlet son una variante más refinada de . Ambos tipos de funciones codifican el comportamiento aritmético de y , respectivamente. Por ejemplo, el teorema de Dirichlet afirma que en cualquier progresión aritmética
con coprime y , hay infinitos números primos. Este teorema está implícito en el hecho de que el Dirichlet-función es distinta de cero en . Utilizando técnicas mucho más avanzadas, incluida la teoría K algebraica y las medidas de Tamagawa , la teoría de números moderna se ocupa de una descripción, aunque en gran medida conjetural (ver la conjetura de números de Tamagawa ), de los valores de funciones L más generales . [2]
Bases para campos numéricos
Base integral
Una base integral para un campo numérico de grado es un conjunto
- B = { b 1 ,…, b n }
de n enteros algebraicos en tal que cada elemento del anillo de enteros de se puede escribir únicamente como una combinación lineal Z de elementos de B ; es decir, para cualquier x en tenemos
- x = m 1 b 1 + ⋯ + m n b n ,
donde m i son enteros (ordinarios). Entonces también es el caso que cualquier elemento de se puede escribir de forma única como
- m 1 b 1 + ⋯ + m n b n ,
donde ahora los m i son números racionales. Los enteros algebraicos de son entonces precisamente esos elementos de donde m i son todos enteros.
Trabajando localmente y usando herramientas como el mapa de Frobenius , siempre es posible calcular explícitamente dicha base, y ahora es estándar para los sistemas de álgebra computarizada tener programas integrados para hacer esto.
Base de poder
Dejar ser un campo numérico de grado . Entre todas las posibles bases de (visto como un -espacio vectorial), existen unas particulares conocidas como bases de potencia , que son bases de la forma
por algún elemento . Según el teorema del elemento primitivo , existe tal, llamado elemento primitivo . Si puede ser elegido en y tal que es una base de como un módulo Z gratuito , entoncesse llama base integral de potencia , y el campose llama campo monogénico . Dedekind dio por primera vez un ejemplo de un campo numérico que no es monogénico. Su ejemplo es el campo obtenido al unir una raíz del polinomio [3]
Representación regular, traza y discriminante
Recuerde que cualquier extensión de campo tiene un único -estructura del espacio vectorial. Usando la multiplicación en, un elemento en el campo sobre el campo base puede estar representado por matrices
requiriendo
Aquí es una base fija para , visto como un -espacio vectorial. Los números racionales están determinados únicamente por y la elección de una base, ya que cualquier elemento de se puede representar de forma única como una combinación lineal de los elementos básicos. Esta forma de asociar una matriz a cualquier elemento del campose llama la representación regular . La matriz cuadrada representa el efecto de la multiplicación por en la base dada. De ello se deduce que si el elemento de está representado por una matriz , luego el producto está representado por el producto de la matriz . Las invariantes de matrices, como la traza , el determinante y el polinomio característico , dependen únicamente del elemento de campo.y no sobre la base. En particular, el rastro de la matrizse llama la traza del elemento de campo y denotado , y el determinante se llama la norma de x y se denota.
Ahora bien, esto se puede generalizar ligeramente considerando en su lugar una extensión de campo y dando un -base para . Entonces, hay una matriz asociada que tiene rastro y norma definido como el rastro y determinante de la matriz .
Ejemplo
Considere la extensión del campo dónde . Entonces, tenemos un-base dada por
ya que cualquier se puede expresar como algunos -combinación lineal
Entonces, podemos tomar algunos dónde y calcular . Escribir esto da
Podemos encontrar la matriz escribiendo la ecuación matricial asociada dando
demostración
Entonces podemos calcular la traza y el determinante con relativa facilidad, dando la traza y la norma.
Propiedades
Por definición, las propiedades estándar de las trazas y los determinantes de las matrices se transfieren a Tr y N: Tr ( x ) es una función lineal de x , expresada por Tr ( x + y ) = Tr ( x ) + Tr ( y ) , Tr ( λx ) = λ Tr ( x ) , y la norma es una función homogénea multiplicativa de grado n : N ( xy ) = N ( x ) N ( y ) , N ( λx ) = λ n N ( x ) . Aquí λ es un número racional, y x , y son dos elementos cualesquiera de.
La forma de traza derivada es una forma bilineal definida por medio de la traza, como
por
. La forma de traza integral , una matriz simétrica de valores enteros se define como, donde b 1 ,…, b n es una base integral para. El discriminante dese define como det ( t ). Es un número entero y es una propiedad invariante del campo., no dependiendo de la elección de la base integral.
La matriz asociada a un elemento x detambién se puede utilizar para dar otras descripciones equivalentes de números enteros algebraicos. Un elemento x dees un entero algebraico si y solo si el polinomio característico p A de la matriz A asociado ax es un polinomio mónico con coeficientes enteros. Suponga que la matriz A que representa un elemento x tiene entradas enteras en alguna base e . Según el teorema de Cayley-Hamilton , p A ( A ) = 0, y se sigue que p A ( x ) = 0, de modo que x es un número entero algebraico. Por el contrario, si x es un elemento deque es una raíz de un polinomio monico con coeficientes enteros, entonces la misma propiedad es válida para la matriz A correspondiente . En este caso se puede probar que A es una matriz entera en una base adecuada de. La propiedad de ser un entero algebraico se define de una manera que es independiente de la elección de una base en.
Ejemplo con base integral
Considerar , Donde x satisface x 3 - 11 x 2 + x + 1 = 0 . Entonces, una base integral es [1, x , 1/2 ( x 2 + 1)], y la forma de traza integral correspondiente es
El "3" en la esquina superior izquierda de esta matriz es el trazo de la matriz del mapa definido por el primer elemento base (1) en la representación regular de en . Este elemento base induce el mapa de identidad en el espacio vectorial tridimensional,. La traza de la matriz del mapa de identidad en un espacio vectorial tridimensional es 3.
El determinante de esto es 1304 = 2 3 · 163 , el campo discriminante; en comparación, la raíz discriminante , o discriminante del polinomio, es 5216 = 2 5 · 163 .
Lugares
Los matemáticos del siglo XIX asumieron que los números algebraicos eran un tipo de número complejo. [4] [5] Esta situación cambió con el descubrimiento de los números p-ádicos por Hensel en 1897; y ahora es estándar considerar todas las posibles incrustaciones de un campo numéricoen sus diversas terminaciones topológicas En seguida.
Un lugar de un campo numéricoes una clase de equivalencia de valores absolutos en[6] pág . 9 . Básicamente, un valor absoluto es una noción para medir el tamaño de los elementos. de . Dos de estos valores absolutos se consideran equivalentes si dan lugar a la misma noción de pequeñez (o proximidad). La relación de equivalencia entre valores absolutos es dado por algunos tal que
En general, los tipos de lugares se dividen en tres regímenes. En primer lugar (y sobre todo irrelevante), el valor absoluto trivial | | 0 , que toma el valor en todo distinto de cero . La segunda y tercera clases son lugares de Arquímedes y lugares no arquimedianos (o ultramétricos) . La finalización de con respecto a un lugar se da en ambos casos tomando secuencias de Cauchy eny dividir secuencias nulas , es decir, secuencias tal que
Para , ocurren las siguientes normas no triviales ( teorema de Ostrowski ): el valor absoluto (habitual) , a veces denotadoque da lugar al campo topológico completo de los números reales. Por otro lado, para cualquier número primo, los valores absolutos p -ádicos se definen por
- | q | p = p - n , donde q = p n un / b y un y b son números enteros no divisibles por p .
se utilizan para construir el -números ádicos . En contraste con el valor absoluto habitual, la norma p -ádica se vuelve más pequeña cuando q se multiplica por p , lo que lleva a un comportamiento bastante diferente de vis-à-vis .
Tenga en cuenta que la situación general que se suele considerar es tomar un campo numérico y considerando un ideal primordial por su anillo asociado de números algebraicos . Entonces, habrá un lugar únicollamado lugar no archimediano. Además, para cada incrustación Habrá un lugar llamado lugar archimediano, denotado . Esta declaración es un teorema también llamado teorema de Ostrowski .
Ejemplos de
El campo por dónde es una sexta raíz fija de la unidad, proporciona un rico ejemplo para construir incrustaciones archimedianas explícitas, reales y complejas, y también incrustaciones no archimedianas [6] pág . 15-16 .
Lugares de Arquímedes
Aquí usamos la notación estándar y para el número de incrustaciones reales y complejas utilizadas, respectivamente (ver más abajo).
Calcular los lugares de Arquímedes de un campo numérico se hace de la siguiente manera: dejar ser un elemento primitivo de , con polinomio mínimo (encima ). Encima, generalmente ya no será irreductible, pero sus factores irreductibles (reales) son de grado uno o dos. Dado que no hay raíces repetidas, no hay factores repetidos. Las raices de los factores de grado uno son necesariamente reales, y reemplazan por da una incrustación de dentro ; el número de tales incrustaciones es igual al número de raíces reales de. Restringir el valor absoluto estándar en a da un valor absoluto de Arquímedes en ; tal valor absoluto también se conoce como un lugar real de. Por otro lado, las raíces de los factores de grado dos son pares de números complejos conjugados , lo que permite dos incrustaciones conjugadas en. Cualquiera de este par de incrustaciones se puede utilizar para definir un valor absoluto en, que es el mismo para ambas incrustaciones ya que son conjugadas. Este valor absoluto se llama lugar complejo de. [7] [8]
Si todas las raíces de anteriores son reales (respectivamente, complejos) o, de manera equivalente, cualquier posible incrustación en realidad se ve obligado a estar adentro (resp. ), se llama totalmente real (resp. totalmente complejo ). [9] [10]
Lugares no arquimedianos o ultramétricos
Para encontrar los lugares que no son de Arquímedes, dejemos de nuevo y sea como arriba. En, se divide en factores de varios grados, ninguno de los cuales se repite, y cuyos grados suman , el grado de. Para cada uno de estos-factores adversamente irreductibles , podemos suponer que satisface y obtener una incrustación de en una extensión algebraica de grado finito sobre . Un campo local de este tipo se comporta de muchas formas como un campo numérico, y el-los números ádicos pueden desempeñar de manera similar el papel de los racionales; en particular, podemos definir la norma y rastrear exactamente de la misma manera, ahora asignando funciones a. Al usar esto-mapa de normas ádicas por el lugar , podemos definir un valor absoluto correspondiente a un determinado -factor sumamente irreductible de grado por
Para cualquier lugar ultramétrico v tenemos eso | x | v ≤ 1 para cualquier x en, ya que el polinomio mínimo para x tiene factores enteros y, por tanto, su factorización p -ádica tiene factores en Z p . En consecuencia, el término norma (término constante) para cada factor es un entero p -ádico, y uno de estos es el número entero utilizado para definir el valor absoluto de v .
Primeros ideales en O K
Para un lugar ultramétrico v , el subconjunto dedefinido por | x | v <1 es un ideal de . Esto se basa en la ultrametricity de v : dado x e y en, a continuación,
- | x + y | v ≤ máx (| x | v , | y | v ) <1.
De hecho, es incluso un ideal primordial .
Por el contrario, dado un ideal primordial de , se puede definir una valoración discreta estableciendodonde n es el mayor entero tal que, el n- poder del ideal. Esta valoración se puede convertir en un lugar ultramétrico. Bajo esta correspondencia, (clases de equivalencia) de lugares ultramétricos de corresponden a los ideales primordiales de . Para, esto devuelve el teorema de Ostrowski: cualquier ideal primo en Z (que es necesariamente por un solo número primo) corresponde a un lugar que no es de Arquímedes y viceversa. Sin embargo, para campos numéricos más generales, la situación se vuelve más complicada, como se explicará a continuación.
Aún otra forma equivalente de describir lugares ultramétricos es por medio de localizaciones de. Dado un lugar ultramétrico en un campo numérico , la localización correspondiente es el subanillo de de todos los elementos tal que | x | v ≤ 1. Por la propiedad ultramétricaes un anillo. Además, contiene. Para cada elemento x de, al menos uno de x o x −1 está contenido en. En realidad, dado que se puede demostrar que K × / T × es isomorfo a los números enteros,es un anillo de valoración discreto , en particular un anillo local . De hecho, es solo la localización de en el mejor ideal , por lo. En cambio, es el ideal máximo de .
En total, existe una equivalencia de tres vías entre valores absolutos ultramétricos, ideales primos y localizaciones en un campo numérico.
Mentir sobre teoremas y lugares
Uno de los teoremas básicos de la teoría algebraica de números son los teoremas ascendentes y descendentes , que describen el comportamiento de algún ideal primo. cuando se extiende como un ideal en para alguna extensión de campo . Decimos que un ideal se acuesta Si . Entonces, una encarnación del teorema establece un ideal primo en se acuesta , de ahí que siempre haya un mapa sobreyectivo
Ramificación
La ramificación , en términos generales, describe un fenómeno geométrico que puede ocurrir con mapas finitos a uno (es decir, mapastal que las preimágenes de todos los puntos y en Y constan solo de un número finito de puntos): la cardinalidad de las fibras f −1 ( y ) generalmente tendrá el mismo número de puntos, pero ocurre que, en los puntos especiales y , este número gotas. Por ejemplo, el mapa
tiene n puntos en cada fibra sobre t , es decir, las n raíces (complejas) de t , excepto en t = 0 , donde la fibra consta de un solo elemento, z = 0. Se dice que el mapa está "ramificado" en cero. Este es un ejemplo de recubrimiento ramificado de superficies Riemann . Esta intuición también sirve para definir la ramificación en la teoría algebraica de números . Dada una extensión (necesariamente finita) de campos numéricos, un ideal primo p degenera la pO K ideal de. Este ideal puede ser o no un ideal primo, pero, de acuerdo con el teorema de Lasker-Noether (ver arriba), siempre está dado por
- correos= Q 1 e 1 q 2 e 2 ⋯ q m e m
con ideales primos determinados unívocamente q i dey números (llamados índices de ramificación) e i . Siempre que un índice de ramificación es mayor que uno, se dice que el primer p se ramifica en.
La conexión entre esta definición y la situación geométrica viene dada por el mapa de espectros de anillos.. De hecho, los morfismos no ramificados de esquemas en geometría algebraica son una generalización directa de extensiones no ramificadas de campos numéricos.
Ramificación es una propiedad puramente local, es decir, depende sólo de las terminaciones de todo el números primos p y q i . El grupo de inercia mide la diferencia entre los grupos de Galois locales en algún lugar y los grupos de Galois de los campos de residuos finitos involucrados.
Un ejemplo
El siguiente ejemplo ilustra las nociones introducidas anteriormente. Para calcular el índice de ramificación de, donde
- f ( x ) = x 3 - x - 1 = 0,
a los 23, basta con considerar la extensión del campo . Hasta 529 = 23 2 (es decir, módulo 529) f se puede factorizar como
- f ( x ) = ( x + 181) ( x 2 - 181 x - 38) = gh .
Sustituyendo x = y + 10 en el primer factor g módulo 529 se obtiene y + 191, por lo que la valoración | y | g para y dado por g es | −191 | 23 = 1. Por otro lado, la misma sustitución en h produce y 2 - 161 y - 161 módulo 529. Dado que 161 = 7 × 23,
Dado que los valores posibles para el valor absoluto del lugar definido por el factor h no se limitan a potencias enteras de 23, sino que son potencias enteras de la raíz cuadrada de 23, el índice de ramificación de la extensión del campo en 23 es dos.
Las valoraciones de cualquier elemento de se puede calcular de esta manera utilizando resultantes . Si, por ejemplo, y = x 2 - x - 1, usando la resultante para eliminar x entre esta relación y f = x 3 - x - 1 = 0 da y 3 - 5 y 2 + 4 y - 1 = 0 . Si en lugar eliminamos con respecto a los factores g y h de f , obtenemos los factores correspondientes para el polinomio para y , a continuación, la valoración 23-adic aplicada a la constante (norma) plazo nos permite calcular las valoraciones de y para g y h (que son ambos 1 en este caso.)
Teorema discriminante de Dedekind
Gran parte de la importancia del discriminante radica en el hecho de que los lugares ultramétricos ramificados son todos lugares obtenidos de factorizaciones en donde p divide al discriminante. Esto es cierto incluso para el discriminante polinomial; sin embargo, lo contrario también es cierto, que si un primo p divide al discriminante, entonces hay un lugar p que se ramifica. Para ello, se necesita el discriminante de campo. Este es el teorema discriminante de Dedekind . En el ejemplo anterior, el discriminante del campo numéricocon x 3 - x - 1 = 0 es −23, y como hemos visto, el lugar 23-ádico se ramifica. El discriminante Dedekind nos dice que es el único lugar ultramétrico que lo hace. El otro lugar ramificado proviene del valor absoluto en la compleja incrustación de.
Grupos de Galois y cohomología de Galois
Generalmente en álgebra abstracta, las extensiones de campo K / L se pueden estudiar examinando el grupo de Galois Gal ( K / L ), que consiste en automorfismos de campo de partida elemento fijo. Como ejemplo, el grupo Galoisde la extensión campo ciclotómico de grado n (ver arriba) está dada por ( Z / n Z ) × , el grupo de elementos invertibles en Z / n Z . Este es el primer paso hacia la teoría de Iwasawa .
Para incluir todas las extensiones posibles que tienen ciertas propiedades, el concepto de grupo de Galois se aplica comúnmente a la extensión de campo (infinita) K / K del cierre algebraico , lo que lleva al grupo de Galois absoluto G : = Gal ( K / K ) o simplemente Gal ( K ), y a la extensión. El teorema fundamental de la teoría de Galois vincula campos entrey su cierre algebraico y subgrupos cerrados de Gal ( K ). Por ejemplo, la abelianización (el mayor cociente abeliano) G ab de G corresponde a un campo denominado extensión abeliana máxima K ab (llamado así porque cualquier extensión adicional no es abeliana, es decir, no tiene un grupo de Galois abeliano). Según el teorema de Kronecker-Weber , la extensión abeliana máxima dees la extensión generada por todas las raíces de la unidad . Para campos numéricos más generales, la teoría de campos de clases , específicamente la ley de reciprocidad de Artin, da una respuesta al describir G ab en términos del grupo de clases idele . También es notable el campo de clase de Hilbert , la máxima extensión abeliana del campo no ramificado de. Se puede demostrar que es finito sobre, su grupo Galois sobre es isomorfo al grupo de clases de , en particular su grado es igual al número de clase h de (véase más arriba).
En determinadas situaciones, el grupo de Galois actúa sobre otros objetos matemáticos, por ejemplo, un grupo. Este grupo también se denomina módulo de Galois. Esto permite el uso de la cohomología de grupo para el grupo de Galois Gal ( K ), también conocido como cohomología de Galois , que en primer lugar mide el fracaso de la exactitud de tomar las invariantes de Gal ( K ), pero ofrece conocimientos más profundos (y preguntas) como bien. Por ejemplo, el grupo de Galois G de una extensión de campo L / K actúa sobre L × , los elementos no nulos de L . Este módulo de Galois juega un papel importante en muchas dualidades aritméticas , como la dualidad Poitou-Tate . El grupo Brauer de, originalmente concebido para clasificar las álgebras de división sobre, puede reformularse como un grupo de cohomología, a saber, H 2 (Gal ( K , K × ).
Principio local-global
En términos generales, el término "local a global" se refiere a la idea de que un problema global se hace primero a nivel local, lo que tiende a simplificar las preguntas. Luego, por supuesto, la información obtenida en el análisis local debe reunirse para volver a una declaración global. Por ejemplo, la noción de roldanas reifica esa idea en topología y geometría .
Campos locales y globales
Los campos numéricos comparten una gran similitud con otra clase de campos muy utilizada en geometría algebraica conocida como campos de función de curvas algebraicas sobre campos finitos . Un ejemplo es K p ( T ). Son similares en muchos aspectos, por ejemplo, en que los anillos numéricos son anillos regulares unidimensionales, al igual que los anillos de coordenadas (cuyos campos de cociente es el campo de función en cuestión) de las curvas. Por tanto, ambos tipos de campo se denominan campos globales . De acuerdo con la filosofía expuesta anteriormente, se pueden estudiar primero a nivel local, es decir, mirando los campos locales correspondientes . Para campos numéricos, los campos locales son las terminaciones deen todos los lugares, incluidos los de Arquímedes (ver análisis local ). Para los campos de función, los campos locales son terminaciones de los anillos locales en todos los puntos de la curva para los campos de función.
Muchos resultados válidos para campos de función también son válidos, al menos si se reformulan correctamente, para campos numéricos. Sin embargo, el estudio de los campos numéricos a menudo plantea dificultades y fenómenos que no se encuentran en los campos funcionales. Por ejemplo, en los campos de función, no existe una dicotomía entre lugares no arquimedianos y arquimedianos. No obstante, los campos de función a menudo sirven como fuente de intuición de lo que debería esperarse en el caso del campo numérico.
Principio de Hasse
Una pregunta prototípica, planteada a nivel global, es si alguna ecuación polinomial tiene una solución en . Si este es el caso, esta solución también es una solución en todas las terminaciones. El principio local-global o principio de Hasse afirma que para las ecuaciones cuadráticas, lo contrario también es válido. Por lo tanto, se puede verificar si dicha ecuación tiene una solución en todas las terminaciones de, que a menudo es más fácil, ya que se pueden utilizar métodos analíticos (herramientas analíticas clásicas como el teorema del valor intermedio en los lugares de Arquímedes y el análisis p-ádico en los lugares no arquímedes). Sin embargo, esta implicación no es válida para tipos de ecuaciones más generales. Sin embargo, la idea de pasar de los datos locales a los globales resulta fructífera en la teoría de campo de clase, por ejemplo, donde la teoría de campo de clase local se utiliza para obtener los conocimientos globales mencionados anteriormente. Esto también está relacionado con el hecho de que los grupos de Galois de las terminaciones K v se pueden determinar explícitamente, mientras que los grupos de Galois de campos globales, incluso de son mucho menos entendidos.
Adeles e ideles
Para ensamblar datos locales pertenecientes a todos los campos locales adjuntos a , el anillo de adele está configurado. Una variante multiplicativa se conoce como ideles .
Ver también
Generalizaciones
- Campo de función algebraica
Teoría algebraica de números
- Unidad teorema de Dirichlet , S-unidad
- Extensión Kummer
- Teorema de Minkowski , geometría de números
- Teorema de la densidad de Chebotarev
Teoría del campo de clase
- Grupo de clase Ray
- Grupo de descomposición
- Campo de género
Notas
- ^ Irlanda, Kenneth ; Rosen, Michael (1998), A Classical Introduction to Modern Number Theory , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97329-6, Ch. 1.4
- ^ Bloch, Spencer; Kato, Kazuya (1990), " Funciones L y números de motivos Tamagawa", The Grothendieck Festschrift, vol. Yo , Progr. Math., 86 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 333–400, MR 1086888
- ^ Narkiewicz 2004 , §2.2.6
- ^ Kleiner, Israel (1999), "Teoría de campos: de las ecuaciones a la axiomatización. I", The American Mathematical Monthly , 106 (7): 677–684, doi : 10.2307 / 2589500 , MR 1720431 ,
Para Dedekind, entonces, los campos eran subconjuntos de los números complejos.
- ^ Mac Lane, Saunders (1981), "Modelos matemáticos: un bosquejo de la filosofía de las matemáticas", The American Mathematical Monthly , 88 (7): 462–472, doi : 10.2307 / 2321751 , MR 0628015 , El
empirismo surgió del siglo XIX. visión del siglo de las matemáticas como casi coincidente con la física teórica.
- ^ a b c Gras, Georges (2003). Teoría del campo de clase: de la teoría a la práctica . Berlina. ISBN 978-3-662-11323-3. OCLC 883382066 .
- ^ Cohn, Capítulo 11 §C p. 108
- ^ Conrad
- ^ Cohn, Capítulo 11 §C p. 108
- ^ Conrad
- ^ Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC 851391469 .
Referencias
- Cohn, Harvey (1988), A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag
- Conrad, Keith http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
- Janusz, Gerald J. (1996), Campos numéricos algebraicos (2a ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0429-2
- Helmut Hasse, Teoría de números , Serie Springer Classics in Mathematics (2002)
- Serge Lang , Teoría algebraica de números , segunda edición, Springer, 2000
- Richard A. Mollin, Teoría algebraica de números , CRC, 1999
- Ram Murty, Problemas en la teoría algebraica de números , segunda edición, Springer, 2005
- Narkiewicz, Władysław (2004), Teoría elemental y analítica de números algebraicos , Springer Monographs in Mathematics (3 ed.), Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
- Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859 , Zbl 0.956,11021
- Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 1136.11001
- André Weil , Teoría básica de números , tercera edición, Springer, 1995