Aliasing

En el procesamiento de señales y disciplinas relacionadas, el aliasing es un efecto que hace que diferentes señales se vuelvan indistinguibles (o alias entre sí) cuando se muestrean . También se refiere a menudo a la distorsión o artefacto que se produce cuando una señal reconstruida a partir de muestras es diferente de la señal continua original.

Fig.1a: Una imagen muestreada correctamente de una pared de ladrillos requiere una pantalla de resolución suficiente para evitar un patrón de muaré

Fig.1b: Alias ​​espacial en forma de patrón muaré

El aliasing puede ocurrir en señales muestreadas en el tiempo, por ejemplo audio digital , y se denomina aliasing temporal . También puede ocurrir en señales muestreadas espacialmente (por ejemplo, patrones muaré en imágenes digitales ); este tipo de alias se denomina alias espacial .

El aliasing generalmente se evita aplicando filtros de paso bajo o filtros anti-aliasing (AAF) a la señal de entrada antes del muestreo y al convertir una señal de una frecuencia de muestreo mayor a una menor. El filtrado de reconstrucción adecuado debería usarse entonces al restaurar la señal muestreada al dominio continuo o al convertir una señal de una frecuencia de muestreo menor a una mayor. Para el suavizado espacial , los tipos de suavizado incluyen el suavizado rápido de muestras (FSAA), el suavizado multimuestra y el supermuestreo .

Descripción

Puntos en el cielo debido al alias espacial causado por los medios tonos redimensionados a una resolución más baja

Cuando se ve una imagen digital, se realiza una reconstrucción mediante una pantalla o dispositivo de impresión, y por los ojos y el cerebro. Si los datos de la imagen se procesan de alguna manera durante el muestreo o la reconstrucción, la imagen reconstruida será diferente de la imagen original y se verá un alias.

Un ejemplo de alias espacial es el patrón muaré observado en una imagen pobremente pixelada de una pared de ladrillos. Las técnicas de suavizado espacial evitan pixeles tan pobres. El alias puede ser causado por la etapa de muestreo o la etapa de reconstrucción; Estos se pueden distinguir llamando al alias de muestreo prealiasing y reconstrucción de aliasing postaliasing. ^[1]

El alias temporal es una preocupación importante en el muestreo de señales de audio y video. La música, por ejemplo, puede contener componentes de alta frecuencia que son inaudibles para los humanos. Si se muestrea una pieza musical a 32.000 muestras por segundo (Hz), cualquier componente de frecuencia de 16.000 Hz o superior (la frecuencia de Nyquist para esta frecuencia de muestreo) provocará un aliasing cuando la música se reproduzca mediante un convertidor de digital a analógico ( DAC). Las altas frecuencias en la señal analógica aparecerán como frecuencias más bajas (alias incorrecto) en la muestra digital grabada y, por lo tanto, no pueden ser reproducidas por el DAC. Para evitar esto, se utiliza un filtro anti-aliasing para eliminar componentes por encima de la frecuencia de Nyquist antes del muestreo.

En video o cinematografía, el alias temporal resulta de la velocidad de cuadro limitada y causa el efecto de rueda de carro , por el cual una rueda de radios parece girar demasiado lentamente o incluso hacia atrás. El aliasing ha cambiado su frecuencia aparente de rotación. Una inversión de dirección puede describirse como una frecuencia negativa . Las frecuencias de aliasing temporal en video y cinematografía están determinadas por la velocidad de fotogramas de la cámara, pero la intensidad relativa de las frecuencias con alias está determinada por el tiempo de obturación (tiempo de exposición) o el uso de un filtro de reducción de aliasing temporal durante la filmación. ^{[2] [ fuente no confiable? ]}

Como la cámara de video, la mayoría de los esquemas de muestreo son periódicos; es decir, tienen una frecuencia de muestreo característica en el tiempo o en el espacio. Las cámaras digitales proporcionan un cierto número de muestras ( píxeles ) por grado o por radianes, o muestras por mm en el plano focal de la cámara. Las señales de audio se muestrean ( digitalizan ) con un convertidor de analógico a digital , que produce un número constante de muestras por segundo. Algunos de los ejemplos más dramáticos y sutiles de aliasing ocurren cuando la señal que se muestrea también tiene contenido periódico.

Funciones de banda limitada

Las señales reales tienen una duración finita y su contenido de frecuencia, según lo definido por la transformada de Fourier , no tiene límite superior. Siempre se produce cierta cantidad de alias cuando se muestrean estas funciones. Las funciones cuyo contenido de frecuencia está acotado ( banda limitada ) tienen una duración infinita en el dominio del tiempo. Si se muestrea a una velocidad lo suficientemente alta, determinada por el ancho de banda , la función original puede, en teoría, reconstruirse perfectamente a partir del conjunto infinito de muestras.

Señales de paso de banda

A veces, el aliasing se usa intencionalmente en señales sin contenido de baja frecuencia, llamadas señales de paso de banda . El submuestreo , que crea alias de baja frecuencia, puede producir el mismo resultado, con menos esfuerzo, que cambiar la frecuencia de la señal a frecuencias más bajas antes de muestrear a la frecuencia más baja. Algunos canalizadores digitales aprovechan el aliasing de esta manera para la eficiencia computacional. ^[3]   (Consulte Muestreo (procesamiento de señales) , Tasa de Nyquist (relativa al muestreo) y Banco de filtros ).

Muestreo de funciones sinusoidales

Fig.2 Arriba a la izquierda: La animación muestra instantáneas de una sinusoide cuya frecuencia está aumentando, mientras se muestrea a una frecuencia / velocidad constante, ${\displaystyle f_{s}.}$Arriba a la derecha: las instantáneas correspondientes de una transformada de Fourier continua real . El único componente distinto de cero, que representa la frecuencia real, significa que no hay ambigüedad. Abajo a la derecha: El discreto transformada de Fourier sólo las muestras disponibles. La presencia de dos componentes significa que las muestras pueden adaptarse al menos a dos sinusoides diferentes, uno de los cuales coincide con la frecuencia real. Abajo a la izquierda: en ausencia de información colateral, el algoritmo de reconstrucción predeterminado produce la sinusoide de frecuencia más baja.

Los sinusoides son un tipo importante de función periódica, porque las señales realistas a menudo se modelan como la suma de muchos sinusoides de diferentes frecuencias y diferentes amplitudes (por ejemplo, con una serie o transformada de Fourier ). Comprender lo que hace el alias en las sinusoides individuales es útil para comprender qué sucede con su suma.

Al muestrear una función a la frecuencia f _s (intervalos 1 / f _s ), las siguientes funciones de tiempo ( t ) producen conjuntos idénticos de muestras: {sin (2π ( f + Nf _s ) t + φ), N = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... }. Un espectro de frecuencias de las muestras produce respuestas igualmente fuertes en todas esas frecuencias. Sin información colateral, la frecuencia de la función original es ambigua. Entonces, se dice que las funciones y sus frecuencias son alias entre sí. Observando la identidad trigonométrica :

${\displaystyle \sin(2\pi (f+Nf_{\rm {s}})t+\phi )=\left\{{\begin{array}{ll}+\sin(2\pi (f+Nf_{\rm {s}})t+\phi ),&f+Nf_{\rm {s}}\geq 0\\-\sin(2\pi |f+Nf_{\rm {s}}|t-\phi ),&f+Nf_{\rm {s}}<0\\\end{array}}\right.}$

podemos escribir todas las frecuencias de alias como valores positivos:  ${\displaystyle f_{_{N}}(f)\triangleq \left|f+Nf_{\rm {s}}\right|}$. Por ejemplo, una instantánea del cuadro inferior derecho de la figura 2 muestra un componente a la frecuencia real${\displaystyle f}$ y otro componente en alias ${\displaystyle f_{_{-1}}(f)}$. Como${\displaystyle f}$ aumenta durante la animación, ${\displaystyle f_{_{-1}}(f)}$disminuye. El punto en el que son iguales${\displaystyle (f=f_{s}/2)}$es un eje de simetría llamado frecuencia de plegado , también conocida como frecuencia de Nyquist .

La creación de alias importa cuando se intenta reconstruir la forma de onda original a partir de sus muestras. La técnica de reconstrucción más común produce el más pequeño de los${\displaystyle f_{_{N}}(f)}$frecuencias. Por lo que suele ser importante${\displaystyle f_{0}(f)}$ser el mínimo único. Una condición necesaria y suficiente para eso es${\displaystyle f_{s}/2>|f|,}$llamada la condición de Nyquist . El marco inferior izquierdo de la figura 2 muestra el resultado de reconstrucción típico de las muestras disponibles. Hasta que${\displaystyle f}$excede la frecuencia de Nyquist, la reconstrucción coincide con la forma de onda real (cuadro superior izquierdo). Después de eso, es el alias de baja frecuencia del marco superior.

Plegable

Las figuras a continuación ofrecen descripciones adicionales de aliasing, debido al muestreo. Un gráfico de la amplitud vs frecuencia (no el tiempo) para una sola sinusoide a la frecuencia de   0,6 f _s   y algunos de sus alias en   0,4 f _s ,   1,4 f _s ,   y   1,6 f _s   se vería como los 4 puntos negros en la figura 3. Las líneas rojas representan las trayectorias ( loci ) de los 4 puntos si tuviéramos que ajustar la frecuencia y amplitud de la sinusoide a lo largo del segmento rojo sólido (entre   f _s / 2   y   f _s ). Independientemente de la función que elijamos para cambiar la amplitud frente a la frecuencia, el gráfico mostrará una simetría entre 0 y   f _s .   El plegado se observa a menudo en la práctica cuando se visualiza el espectro de frecuencias de muestras con valores reales, como la figura 4.

Fig.3: Los puntos negros son alias entre sí. La línea roja continua es un ejemplo de amplitud que varía con la frecuencia. Las líneas rojas discontinuas son las rutas correspondientes de los alias.

Fig.4: La transformada de Fourier de la música muestreada a 44.100 muestras / seg exhibe simetría (llamada "plegado") alrededor de la frecuencia de Nyquist (22.050 Hz).

Fig.5: Gráfico de aliasing de frecuencia, que muestra la frecuencia y periodicidad de plegado. Las frecuencias por encima de f s / 2 tienen un alias por debajo de f s / 2, cuyo valor viene dado por este gráfico.

Dos sinusoides complejas, de color dorado y cian, que se ajustan a los mismos conjuntos de puntos de muestra reales e imaginarios cuando se muestrean a la velocidad ( f _s ) indicada por las líneas de la cuadrícula. El caso que se muestra aquí es: f _cian = f ₋₁ ( f _oro ) = f _oro - f _s

Sinusoides complejos

Las sinusoides complejas son formas de onda cuyas muestras son números complejos , y el concepto de frecuencia negativa es necesario para distinguirlas. En ese caso, las frecuencias de los alias vienen dadas simplemente por :  f _N ( f ) = f + N f _s .   Por lo tanto, como   f   aumenta de   0   a   f _s ,   f _-1 ( f )   también aumenta (de   - f _s   a 0). En consecuencia, las sinusoides complejas no presentan plegamiento . ^[A]

Frecuencia de muestreo

Ilustración de 4 formas de onda reconstruidas a partir de muestras tomadas a seis velocidades diferentes. Dos de las formas de onda están suficientemente muestreadas para evitar el alias en las seis velocidades. Los otros dos ilustran el aumento de la distorsión (aliasing) a velocidades más bajas.

Cuando   se cumple la condición   f _s / 2> f para el componente de frecuencia más alto de la señal original, entonces se cumple para todos los componentes de frecuencia, una condición llamada criterio de Nyquist . Por lo general, esto se aproxima filtrando la señal original para atenuar los componentes de alta frecuencia antes de muestrearla. Estos componentes de alta frecuencia atenuados aún generan alias de baja frecuencia, pero típicamente a amplitudes lo suficientemente bajas como para que no causen problemas. Un filtro elegido en previsión de una determinada frecuencia de muestreo se denomina filtro anti-aliasing .

La señal filtrada se puede reconstruir posteriormente, mediante algoritmos de interpolación, sin una distorsión adicional significativa. La mayoría de las señales muestreadas no se almacenan y reconstruyen simplemente. Pero la fidelidad de una reconstrucción teórica (a través de la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon ) es una medida habitual de la eficacia del muestreo.

Uso histórico

Históricamente, el término aliasing evolucionó a partir de la ingeniería de radio debido a la acción de los receptores superheterodinos . Cuando el receptor desplaza múltiples señales hacia abajo a frecuencias más bajas, de RF a IF por heterodinamiento , una señal no deseada, desde una frecuencia de RF igualmente lejos de la frecuencia del oscilador local (LO) como la señal deseada, pero en el lado equivocado del LO, puede terminar en la misma frecuencia IF que la deseada. Si es lo suficientemente fuerte, puede interferir con la recepción de la señal deseada. Esta señal no deseada se conoce como imagen o alias de la señal deseada.

Aliasing angular

El alias ocurre siempre que el uso de elementos discretos para capturar o producir una señal continua causa ambigüedad de frecuencia.

El alias espacial, en particular de frecuencia angular, puede ocurrir cuando se reproduce un campo de luz o un campo de sonido con elementos discretos, como en las pantallas 3D o en la síntesis de sonido del campo de ondas . ^[4]

Este alias es visible en imágenes como carteles con impresión lenticular : si tienen una resolución angular baja, cuando uno pasa junto a ellos, digamos de izquierda a derecha, la imagen 2D no cambia inicialmente (por lo que parece moverse hacia la izquierda). , luego, cuando uno se mueve a la siguiente imagen angular, la imagen cambia repentinamente (por lo que salta a la derecha), y la frecuencia y amplitud de este movimiento de lado a lado corresponde a la resolución angular de la imagen (y, para la frecuencia, la velocidad del movimiento lateral del espectador), que es el aliasing angular del campo de luz 4D.

La falta de paralaje en el movimiento del espectador en imágenes 2D y en películas 3-D producidas por gafas estereoscópicas (en películas 3D, el efecto se llama " guiñada ", ya que la imagen parece girar sobre su eje) puede verse de manera similar como pérdida de ángulo. resolución, todas las frecuencias angulares se alias a 0 (constante).

Más ejemplos

Ejemplo de audio en línea

Los efectos cualitativos del aliasing se pueden escuchar en la siguiente demostración de audio. Se reproducen seis ondas de diente de sierra en sucesión, con los dos primeros dientes de sierra con una frecuencia fundamental de 440 Hz (A4), los dos segundos con una frecuencia fundamental de 880 Hz (A5) y los dos últimos a 1760 Hz (A6). Los dientes de sierra alternan entre dientes de sierra limitados en banda (sin alias) y dientes de sierra con alias y la frecuencia de muestreo es de 22,05 kHz. Los dientes de sierra con banda limitada se sintetizan a partir de la serie de Fourier de la forma de onda del diente de sierra, de modo que no hay armónicos por encima de la frecuencia de Nyquist .

La distorsión de alias en las frecuencias más bajas es cada vez más obvia con frecuencias fundamentales más altas, y mientras que el diente de sierra de banda limitada todavía es claro a 1760 Hz, el diente de sierra con alias se degrada y es áspero con un zumbido audible en frecuencias más bajas que la fundamental.

Radiogoniometría

Una forma de alias espacial también puede ocurrir en conjuntos de antenas o conjuntos de micrófonos utilizados para estimar la dirección de llegada de una señal de onda, como en la exploración geofísica por ondas sísmicas. Las ondas deben muestrearse más densamente que dos puntos por longitud de onda , o la dirección de llegada de la onda se vuelve ambigua. ^[5]

Ver también

• Zona de Brillouin
• Glosario de términos de video
• Jaggies
• Factor Kell
• Filtro de Sinc
• Función Sinc
• Efecto estroboscópico
• Efecto rueda de carro
• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon § Frecuencia crítica

Notas

1. Las muestras complejas de sinusoides de valor real tienen partes imaginarias de valor cero y exhiben plegamiento.

Referencias

1. Mitchell, Don P .; Netravali, Arun N. (agosto de 1988). Filtros de reconstrucción en infografía (PDF) . Congreso Internacional ACM SIGGRAPH sobre Gráficos por Computadora y Técnicas Interactivas . 22 . págs. 221–228. doi : 10.1145 / 54852.378514 . ISBN  0-89791-275-6.
2. Tessive, LLC (2010). "Explicación técnica del filtro de tiempo" ^{[ ¿fuente no confiable? ]}
3. harris, frederic j. (Agosto de 2006). Procesamiento de señales multivelocidad para sistemas de comunicación . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall PTR . ISBN 978-0-13-146511-4.
4. El (nuevo) archivo de campo de luz de Stanford
5. Flanagan, James L. , "Ancho de haz y ancho de banda utilizable de matrices de micrófonos dirigidos por retardo", AT&T Tech. J. , 1985, 64, págs. 983–995

Otras lecturas

• Pharr, Matt ; Humphreys, Greg. (28 de junio de 2010). Representación basada en la física: de la teoría a la implementación . Morgan Kaufmann . ISBN  978-0-12-375079-2 . Capítulo 7 ( Muestreo y reconstrucción ) . Consultado el 3 de marzo de 2013.

enlaces externos

• Aliasing por un osciloscopio de muestreo en YouTube por Tektronix Application Engineer
• Imprimación de filtro anti-aliasing de La Vida Leica, analiza su propósito y efecto en las imágenes grabadas
• Ejemplos interactivos que demuestran el efecto de aliasing