Divisor

En matemáticas , un divisor de un número entero ${\displaystyle n}$, también llamado factor de${\displaystyle n}$, es un entero ${\displaystyle m}$ que puede multiplicarse por algún número entero para producir ${\displaystyle n}$. En este caso, también se dice que${\displaystyle n}$es un múltiplo de${\displaystyle m.}$ Un entero ${\displaystyle n}$es divisible o uniformemente divisible por otro número entero${\displaystyle m}$ Si ${\displaystyle m}$ es un divisor de ${\displaystyle n}$; esto implica dividir${\displaystyle n}$ por ${\displaystyle m}$ no deja resto.

Los divisores de 10 ilustrados con varillas de Cuisenaire : 1, 2, 5 y 10

Definición

Un entero ${\displaystyle n}$ es divisible por un número entero distinto de cero ${\displaystyle m}$ si existe un entero ${\displaystyle k}$ tal que ${\displaystyle n=km}$. Esto está escrito como

${\displaystyle m\mid n.}$

Otras formas de decir lo mismo son que ${\displaystyle m}$ divide ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$ es un divisor de ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$ es un factor de ${\displaystyle n}$, y ${\displaystyle n}$ es un múltiplo de ${\displaystyle m}$. Si m no divide n , entonces la notación es${\displaystyle m\not \mid n}$. ^{[1] [2]}

Por lo general, se requiere que m sea ​​distinto de cero, pero se permite que n sea ​​cero. Con esta convención,${\displaystyle m\mid 0}$para cada entero distinto de cero m . ^{[1] [2]} Algunas definiciones omiten el requisito de que${\displaystyle m}$ser distinto de cero. ^[3]

General

Los divisores pueden ser tanto negativos como positivos, aunque a veces el término se restringe a los divisores positivos. Por ejemplo, hay seis divisores de 4; son 1, 2, 4, -1, -2 y -4, pero normalmente solo se mencionarían los positivos (1, 2 y 4).

1 y -1 dividen (son divisores de) cada entero. Todo entero (y su negación) es un divisor de sí mismo. Los números enteros divisibles por 2 se llaman pares y los números enteros que no son divisibles por 2 se llaman impares .

1, −1, n y - n se conocen como los divisores triviales de n . Un divisor de n que no es un divisor trivial se conoce como divisor no trivial (o divisor estricto ^[4] ). Un número entero distinto de cero con al menos un divisor no trivial se conoce como número compuesto , mientras que las unidades -1 y 1 y los números primos no tienen divisores no triviales.

Existen reglas de divisibilidad que permiten reconocer ciertos divisores de un número a partir de los dígitos del número.

Ejemplos de

Representación del número de divisores de números enteros del 1 al 1000. Los números primos tienen exactamente 2 divisores y los números muy compuestos están en negrita.

• 7 es divisor de 42 porque ${\displaystyle 7\times 6=42}$, entonces podemos decir ${\displaystyle 7\mid 42}$. También se puede decir que 42 es divisible entre 7, 42 es un múltiplo de 7, 7 divide a 42 o 7 es un factor de 42.
• Los divisores no triviales de 6 son 2, −2, 3, −3.
• Los divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• El conjunto de todos los divisores positivos de 60,${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}$, parcialmente ordenada por divisibilidad, tiene el diagrama de Hasse :

Más nociones y hechos

Hay algunas reglas elementales:

• Si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\mid c}$, luego ${\displaystyle a\mid c}$, es decir, la divisibilidad es una relación transitiva .
• Si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\mid a}$, luego ${\displaystyle a=b}$ o ${\displaystyle a=-b}$.
• Si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid c}$, luego ${\displaystyle a\mid (b+c)}$ sostiene, como lo hace ${\displaystyle a\mid (b-c)}$. ^[5] Sin embargo, si${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle c\mid b}$, luego ${\displaystyle (a+c)\mid b}$no no mantenga siempre (por ejemplo,${\displaystyle 2\mid 6}$ y ${\displaystyle 3\mid 6}$ pero 5 no divide a 6).

Si ${\displaystyle a\mid bc}$y gcd${\displaystyle (a,b)=1}$, luego ${\displaystyle a\mid c}$. Esto se llama lema de Euclides .

Si ${\displaystyle p}$ es un número primo y ${\displaystyle p\mid ab}$ luego ${\displaystyle p\mid a}$ o ${\displaystyle p\mid b}$.

Un divisor positivo de ${\displaystyle n}$ que es diferente de ${\displaystyle n}$ se llama un divisor adecuado o unparte alícuota de${\displaystyle n}$. Un número que no divide uniformemente${\displaystyle n}$ pero deja un resto a veces se llama parte alicuante de${\displaystyle n}$.

Un entero ${\displaystyle n>1}$cuyo único divisor propio es 1 se llama número primo . De manera equivalente, un número primo es un entero positivo que tiene exactamente dos factores positivos: 1 y él mismo.

Cualquier divisor positivo de ${\displaystyle n}$es un producto de los divisores primos de${\displaystyle n}$elevado a algún poder. Ésta es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética .

Un número ${\displaystyle n}$se dice que es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios, deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que${\displaystyle n}$, y abundante si esta suma excede${\displaystyle n}$.

El número total de divisores positivos de ${\displaystyle n}$es una función multiplicativa ${\displaystyle d(n)}$, lo que significa que cuando dos números ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$son relativamente primos , entonces${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$. Por ejemplo,${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$; los ocho divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Sin embargo, el número de divisores positivos no es una función totalmente multiplicativa: si los dos números${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ comparten un divisor común, entonces podría no ser cierto que ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$. La suma de los divisores positivos de${\displaystyle n}$ es otra función multiplicativa ${\displaystyle \sigma (n)}$ (p.ej ${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$). Ambas funciones son ejemplos de funciones divisorias .

Si la factorización prima de${\displaystyle n}$ es dado por

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

entonces el número de divisores positivos de ${\displaystyle n}$ es

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

y cada uno de los divisores tiene la forma

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

dónde ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ para cada ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Por cada natural ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}}$.

Además, ^[6]

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).}$

dónde ${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni . Una interpretación de este resultado es que un entero positivo n elegido al azar tiene un número promedio de divisores de aproximadamente${\displaystyle \ln n}$. Sin embargo, esto es el resultado de las contribuciones de números con divisores "anormalmente muchos" .

En álgebra abstracta

Teoría del anillo

Celosía de división

En definiciones que incluyen 0, la relación de divisibilidad convierte el conjunto ${\displaystyle \mathbb {N} }$de enteros no negativos en un conjunto parcialmente ordenado : una red distributiva completa . El elemento más importante de esta red es 0 y el más pequeño es 1. La operación se reúnen ∧ está dada por el máximo común divisor y el funcionamiento unirse ∨ por el mínimo común múltiplo . Esta celosía es isomorfa al dual de la celosía de subgrupos del grupo cíclico infinito ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Ver también

• Funciones aritméticas
• Algoritmo de Euclides
• Fracción (matemáticas)
• Tabla de divisores : una tabla de divisores primos y no primos para 1–1000
• Tabla de factores primos : una tabla de factores primos para 1–1000
• Divisor unitario

Notas

1. Hardy y Wright , 1960 , p. 1
2. Niven, Zuckerman y Montgomery 1991 , p. 4
3. Durbin 2009 , p. 57, Capítulo III Sección 10
4. FoCaLiZe y Dedukti al rescate para probar la interoperabilidad por Raphael Cauderlier y Catherine Dubois
5. ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b+c=(j+k)a\Rightarrow a\mid (b+c)}$. Similar,${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b-c=(j-k)a\Rightarrow a\mid (b-c)}$
6. Hardy y Wright 1960 , p. 264, Teorema 320

Referencias

• Durbin, John R. (2009). Álgebra moderna: una introducción (6ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
• Richard K. Guy , Problemas no resueltos en teoría de números (3.a ed.), Springer Verlag , 2004 ISBN  0-387-20860-7 ; sección B.
• Hardy, GH ; Wright, EM (1960). Introducción a la teoría de los números (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford.
• Herstein, IN (1986), Álgebra abstracta , Nueva York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S .; Montgomery, Hugh L. (1991). Introducción a la teoría de los números (5ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-62546-9.
• Øystein Ore , Teoría de números y su historia, McGraw-Hill, NY, 1944 (y reimpresiones de Dover).
• Sims, Charles C. (1984), Álgebra abstracta: un enfoque computacional , Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9