En matemáticas , un divisor de un número entero , también llamado factor de, es un entero que puede multiplicarse por algún número entero para producir . En este caso, también se dice quees un múltiplo de Un entero es divisible o uniformemente divisible por otro número entero Si es un divisor de ; esto implica dividir por no deja resto.
Definición
Un entero es divisible por un número entero distinto de cero si existe un entero tal que . Esto está escrito como
Otras formas de decir lo mismo son que divide , es un divisor de , es un factor de , y es un múltiplo de . Si m no divide n , entonces la notación es. [1] [2]
Por lo general, se requiere que m sea distinto de cero, pero se permite que n sea cero. Con esta convención,para cada entero distinto de cero m . [1] [2] Algunas definiciones omiten el requisito de queser distinto de cero. [3]
General
Los divisores pueden ser tanto negativos como positivos, aunque a veces el término se restringe a los divisores positivos. Por ejemplo, hay seis divisores de 4; son 1, 2, 4, -1, -2 y -4, pero normalmente solo se mencionarían los positivos (1, 2 y 4).
1 y -1 dividen (son divisores de) cada entero. Todo entero (y su negación) es un divisor de sí mismo. Los números enteros divisibles por 2 se llaman pares y los números enteros que no son divisibles por 2 se llaman impares .
1, −1, n y - n se conocen como los divisores triviales de n . Un divisor de n que no es un divisor trivial se conoce como divisor no trivial (o divisor estricto [4] ). Un número entero distinto de cero con al menos un divisor no trivial se conoce como número compuesto , mientras que las unidades -1 y 1 y los números primos no tienen divisores no triviales.
Existen reglas de divisibilidad que permiten reconocer ciertos divisores de un número a partir de los dígitos del número.
Ejemplos de

- 7 es divisor de 42 porque , entonces podemos decir . También se puede decir que 42 es divisible entre 7, 42 es un múltiplo de 7, 7 divide a 42 o 7 es un factor de 42.
- Los divisores no triviales de 6 son 2, −2, 3, −3.
- Los divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- El conjunto de todos los divisores positivos de 60,, parcialmente ordenada por divisibilidad, tiene el diagrama de Hasse :

Más nociones y hechos
Hay algunas reglas elementales:
- Si y , luego , es decir, la divisibilidad es una relación transitiva .
- Si y , luego o .
- Si y , luego sostiene, como lo hace . [5] Sin embargo, si y , luego no no mantenga siempre (por ejemplo, y pero 5 no divide a 6).
Si y gcd, luego . Esto se llama lema de Euclides .
Si es un número primo y luego o .
Un divisor positivo de que es diferente de se llama un divisor adecuado o unparte alícuota de. Un número que no divide uniformemente pero deja un resto a veces se llama parte alicuante de.
Un entero cuyo único divisor propio es 1 se llama número primo . De manera equivalente, un número primo es un entero positivo que tiene exactamente dos factores positivos: 1 y él mismo.
Cualquier divisor positivo de es un producto de los divisores primos deelevado a algún poder. Ésta es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética .
Un número se dice que es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios, deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que, y abundante si esta suma excede.
El número total de divisores positivos de es una función multiplicativa , lo que significa que cuando dos números y son relativamente primos , entonces. Por ejemplo,; los ocho divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Sin embargo, el número de divisores positivos no es una función totalmente multiplicativa: si los dos números y comparten un divisor común, entonces podría no ser cierto que . La suma de los divisores positivos de es otra función multiplicativa (p.ej ). Ambas funciones son ejemplos de funciones divisorias .
Si la factorización prima de es dado por
entonces el número de divisores positivos de es
y cada uno de los divisores tiene la forma
dónde para cada
Por cada natural , .
Además, [6]
dónde es la constante de Euler-Mascheroni . Una interpretación de este resultado es que un entero positivo n elegido al azar tiene un número promedio de divisores de aproximadamente. Sin embargo, esto es el resultado de las contribuciones de números con divisores "anormalmente muchos" .
En álgebra abstracta
Teoría del anillo
Celosía de división
En definiciones que incluyen 0, la relación de divisibilidad convierte el conjunto de enteros no negativos en un conjunto parcialmente ordenado : una red distributiva completa . El elemento más importante de esta red es 0 y el más pequeño es 1. La operación se reúnen ∧ está dada por el máximo común divisor y el funcionamiento unirse ∨ por el mínimo común múltiplo . Esta celosía es isomorfa al dual de la celosía de subgrupos del grupo cíclico infinito .
Ver también
- Funciones aritméticas
- Algoritmo de Euclides
- Fracción (matemáticas)
- Tabla de divisores : una tabla de divisores primos y no primos para 1–1000
- Tabla de factores primos : una tabla de factores primos para 1–1000
- Divisor unitario
Notas
- ↑ a b Hardy y Wright , 1960 , p. 1
- ↑ a b Niven, Zuckerman y Montgomery 1991 , p. 4
- ^ Durbin 2009 , p. 57, Capítulo III Sección 10
- ^ FoCaLiZe y Dedukti al rescate para probar la interoperabilidad por Raphael Cauderlier y Catherine Dubois
- ^ . Similar,
- ^ Hardy y Wright 1960 , p. 264, Teorema 320
Referencias
- Durbin, John R. (2009). Álgebra moderna: una introducción (6ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
- Richard K. Guy , Problemas no resueltos en teoría de números (3.a ed.), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; sección B.
- Hardy, GH ; Wright, EM (1960). Introducción a la teoría de los números (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford.
- Herstein, IN (1986), Álgebra abstracta , Nueva York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
- Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S .; Montgomery, Hugh L. (1991). Introducción a la teoría de los números (5ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-62546-9.
- Øystein Ore , Teoría de números y su historia, McGraw-Hill, NY, 1944 (y reimpresiones de Dover).
- Sims, Charles C. (1984), Álgebra abstracta: un enfoque computacional , Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9