En teoría de números , la suma alícuota s ( n ) de un entero positivo n es la suma de todos los divisores propios de n , es decir, todos los divisores de n distintos del n mismo. Puede ser utilizado para caracterizar los números primos , números perfectos , números deficientes , números abundantes , y los números intocables , y para definir la secuencia alícuota de un número.
Ejemplos de
Por ejemplo, los divisores propios de 15 (es decir, los divisores positivos de 15 que no son iguales a 15) son 1, 3 y 5, por lo que la suma alícuota de 15 es 9, es decir (1 + 3 + 5).
Los valores de s ( n ) para n = 1, 2, 3, ... son:
Caracterización de clases de números.
Pollack & Pomerance (2016) escriben que la función de suma de alícuotas fue uno de los "temas de investigación favoritos" de Paul Erdős . Se puede utilizar para caracterizar varias clases notables de números:
- 1 es el único número cuya suma alícuota es 0. Un número es primo si y solo si su suma alícuota es 1. [1]
- Las sumas alícuotas de números perfectos , deficientes y abundantes son iguales, menores y mayores que el número mismo, respectivamente. [1] Los números cuasiperfectos (si tales números existen) son los números n cuyas sumas alícuotas son iguales a n + 1. Los números casi perfectos (que incluyen las potencias de 2, siendo los únicos números conocidos hasta ahora) son los números n cuyas las sumas de alícuotas son iguales a n - 1.
- Los números intocables son los números que no son la suma alícuota de ningún otro número. Su estudio se remonta al menos a Abu Mansur al-Baghdadi (alrededor del año 1000 d.C.), quien observó que tanto el 2 como el 5 son intocables. [1] [2] Erdős demostró que su número es infinito. [3] La conjetura de que 5 es el único número intocable impar permanece sin probar, pero se seguiría de una forma de la conjetura de Goldbach junto con la observación de que, para un número semiprimo pq , la suma de la alícuota es p + q + 1. [1]
Iteración
La iteración de la función de suma de alícuotas produce la secuencia de alícuotas n , s ( n ), s ( s ( n )), ... de un entero no negativo n (en esta secuencia, definimos s (0) = 0). Se desconoce si estas secuencias siempre convergen (el límite de la secuencia debe ser 0 o un número perfecto ) o si pueden divergir (es decir, el límite de la secuencia no existe). [1]
Ver también
- Función Divisor : La suma de las ( x- ésimas potencias de los) divisores positivos de un número.
Referencias
- ^ a b c d e Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Algunos problemas de Erdős sobre la función de suma de divisores", Transactions of the American Mathematical Society , Serie B, 3 : 1–26, doi : 10.1090 / btran / 10 , MR 3481968
- ^ Sesiano, J. (1991), "Dos problemas de la teoría de números en la época islámica", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 41 (3): 235-238, doi : 10.1007 / BF00348408 , JSTOR 41133889 , MR 1107382
- ^ Erdős, P. (1973), "Über die Zahlen der Form σ ( norte ) - norte {\ Displaystyle \ sigma (n) -n} und norte - ϕ ( norte ) {\ Displaystyle n- \ phi (n)} " (PDF) , Elemente der Mathematik , 28 : 83–86, MR 0337733
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Función de divisor restringida" . MathWorld .