Geometría analítica

Estudio de geometría mediante un sistema de coordenadas

Este artículo trata sobre geometría de coordenadas. Para el estudio de variedades analíticas, ver Geometría algebraica § Geometría analítica .

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
Esquema Historia
Sucursales Euclidiana No euclidiana Elíptico Esférico Hiperbólico Geometría no arquimediana Descriptivo Afín Sintético Analítico Algebraico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniano Simpléctico Diferencial discreto Complejo Finito Discreto / Combinatorio Digital Convexo Computacional Fractal Incidencia
Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Dimensión cero Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Largo
Bidimensional Avión Área Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapezoide cometa Circulo Diámetro Circunferencia Área
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Pirámide Esfera
Cuatro - / otras dimensiones Tesseract Hiperesfera
Geometros
por nombre Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por período AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400 a 1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter En la actualidad Atiyah Gromov
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En matemáticas clásicas, la geometría analítica , también conocida como geometría de coordenadas o geometría cartesiana , es el estudio de la geometría utilizando un sistema de coordenadas . Esto contrasta con la geometría sintética .

La geometría analítica se utiliza en física e ingeniería , y también en aviación , cohetería , ciencia espacial y vuelos espaciales . Es la base de la mayoría de los campos modernos de la geometría, incluida la geometría algebraica , diferencial , discreta y computacional .

Por lo general, el sistema de coordenadas cartesianas se aplica para manipular ecuaciones para planos , líneas rectas y cuadrados , a menudo en dos y, a veces, en tres dimensiones. Geométricamente, se estudia el plano euclidiano ( dos dimensiones ) y el espacio euclidiano ( tres dimensiones ). Como se enseña en los libros escolares, la geometría analítica se puede explicar de manera más simple: se ocupa de definir y representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las definiciones y representaciones numéricas de las formas. Que el álgebra de los números realespuede emplearse para producir resultados sobre el continuo lineal de la geometría se basa en el axioma de Cantor-Dedekind .

Historia

Grecia antigua

El matemático griego Menaechmus resolvió problemas y probó teoremas utilizando un método que tenía un gran parecido con el uso de coordenadas y en ocasiones se ha sostenido que había introducido la geometría analítica. ^[1]

Apolonio de Perge , en Sobre la sección determinada , trató los problemas de una manera que puede llamarse geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos en una línea que estuvieran en proporción a los demás. ^[2] Apolonio en las cónicas desarrolló aún más un método que es tan similar a la geometría analítica que a veces se piensa que su trabajo anticipó el trabajo de Descartes.unos 1800 años. Su aplicación de líneas de referencia, un diámetro y una tangente no es esencialmente diferente de nuestro uso moderno de un marco de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Desarrolló aún más las relaciones entre las abscisas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a las ecuaciones retóricas de las curvas. Sin embargo, aunque Apolonio estuvo cerca de desarrollar la geometría analítica, no logró hacerlo ya que no tuvo en cuenta las magnitudes negativas y en todos los casos el sistema de coordenadas se superpuso a una curva dada a posteriori en lugar de a priori.. Es decir, las ecuaciones se determinaron mediante curvas, pero las curvas no se determinaron mediante ecuaciones. Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias aplicadas a una situación geométrica específica. ^[3]

Persia

El matemático persa del siglo XI Omar Khayyam vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra y se estaba moviendo en la dirección correcta cuando ayudó a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y geométrica ^[4] con su solución geométrica de las ecuaciones cúbicas generales , ^[5] pero el paso decisivo llegó más tarde con Descartes. ^{[4] A} Omar Khayyam se le atribuye la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica , y su libro Tratado de demostraciones de problemas de álgebra (1070), que estableció los principios de la geometría analítica, es parte del cuerpo de las matemáticas persas que finalmente se transmitió a Europa. ^[6]Debido a su completo enfoque geométrico de las ecuaciones algebraicas, Khayyam puede considerarse un precursor de Descartes en la invención de la geometría analítica. ^{[7] : 248}

Europa occidental

Parte de una serie sobre
René Descartes
Filosofía Cartesianismo Racionalismo Fundacionalismo Mecanismo Duda y certeza Argumento de sueños Cogito ergo sum Demonio maligno Argumento de marca comercial Principio de adecuación causal Dicotomía cuerpo-mente Geometría analítica Sistema coordinado Círculo cartesiano  · Folio Regla de signos Buzo cartesiano Teoría balonista Argumento de cera Res cogitans Res extensa
Obras El mundo Discurso sobre el método La Géométrie Meditaciones sobre la primera filosofía Principios de Filosofía Pasiones del alma
Personas Christina, Reina de Suecia Baruch Spinoza Gottfried Wilhelm Leibniz Francine Descartes
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La geometría analítica fue inventada independientemente por René Descartes y Pierre de Fermat , ^{[8] [9]} aunque Descartes a veces recibe el mérito exclusivo. ^{[10] [11] La} geometría cartesiana , el término alternativo utilizado para la geometría analítica, lleva el nombre de Descartes.

Descartes hizo un progreso significativo con los métodos en un ensayo titulado La Geometrie (Geometría) , uno de los tres ensayos adjuntos (apéndices) publicados en 1637 junto con su Discurso sobre el método para dirigir correctamente la razón y la búsqueda de la verdad en las ciencias , comúnmente referido como Discurso sobre el método . La Geometrie , escrita en su lengua materna francesa , y sus principios filosóficos, proporcionaron una base para el cálculo en Europa. Inicialmente, el trabajo no fue bien recibido, debido, en parte, a las muchas lagunas en los argumentos y ecuaciones complicadas. Sólo después de la traducción al latín y la adición de comentarios devan Schooten en 1649 (y otros trabajos posteriores) recibió el debido reconocimiento la obra maestra de Descartes. ^[12]

Pierre de Fermat también fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica. Aunque no se publicó en vida, una forma manuscrita de Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a los lugares planos y sólidos) circulaba en París en 1637, justo antes de la publicación del Discurso de Descartes . ^{[13] [14] [15]} Claramente escrita y bien recibida, la Introduccióntambién sentó las bases para la geometría analítica. La diferencia clave entre los tratamientos de Fermat y Descartes es una cuestión de punto de vista: Fermat siempre comenzó con una ecuación algebraica y luego describió la curva geométrica que la satisfacía, mientras que Descartes comenzó con curvas geométricas y produjo sus ecuaciones como una de varias propiedades de las curvas. . ^[12] Como consecuencia de este enfoque, Descartes tuvo que lidiar con ecuaciones más complicadas y tuvo que desarrollar los métodos para trabajar con ecuaciones polinomiales de mayor grado. Leonhard Euler fue el primero en aplicar el método de coordenadas en un estudio sistemático de curvas y superficies espaciales.

Coordenadas

Artículo principal: sistemas de coordenadas

Ilustración de un plano cartesiano de coordenadas. Cuatro puntos están marcados y etiquetados con sus coordenadas: (2,3) en verde, (−3,1) en rojo, (−1,5, −2,5) en azul y el origen (0,0) en violeta.

En geometría analítica, el plano recibe un sistema de coordenadas, por el cual cada punto tiene un par de coordenadas numéricas reales . De manera similar, al espacio euclidiano se le dan coordenadas donde cada punto tiene tres coordenadas. El valor de las coordenadas depende de la elección del punto de origen inicial. Se utiliza una variedad de sistemas de coordenadas, pero los más comunes son los siguientes: ^[16]

Coordenadas cartesianas (en un plano o espacio)

Artículo principal: sistema de coordenadas cartesianas

El sistema de coordenadas más común que se utiliza es el sistema de coordenadas cartesiano , donde cada punto tiene una coordenada x que representa su posición horizontal y una coordenada y que representa su posición vertical. Por lo general, se escriben como un par ordenado ( x ,  y ). Este sistema también se puede utilizar para geometría tridimensional, donde cada punto en el espacio euclidiano está representado por un triple ordenado de coordenadas ( x ,  y ,  z ).

Coordenadas polares (en un plano)

Artículo principal: coordenadas polares

En coordenadas polares , cada punto del plano está representado por su distancia r desde el origen y su ángulo θ , con θ normalmente medido en sentido antihorario desde el eje x positivo . Usando esta notación, los puntos se escriben típicamente como un par ordenado ( r , θ ). Uno puede transformar ida y vuelta entre dos dimensiones cartesianas y coordenadas polares mediante el uso de estas fórmulas: . Este sistema puede generalizarse al espacio tridimensional mediante el uso de coordenadas cilíndricas o esféricas .${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x)}$

Coordenadas cilíndricas (en un espacio)

Artículo principal: coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas , cada punto del espacio está representado por su altura z , su radio r desde el eje z y el ángulo θ que forma su proyección en el plano xy con respecto al eje horizontal.

Coordenadas esféricas (en un espacio)

Artículo principal: coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas , cada punto en el espacio está representado por su distancia ρ desde el origen, el ángulo θ que forma su proyección en el plano xy con respecto al eje horizontal y el ángulo φ que forma con respecto al eje z . Los nombres de los ángulos a menudo se invierten en física. ^[dieciséis]

Ecuaciones y curvas

Artículos principales: Conjunto de soluciones y Locus (matemáticas)

En geometría analítica, cualquier ecuación que involucre las coordenadas especifica un subconjunto del plano, es decir, el conjunto de soluciones para la ecuación o lugar geométrico . Por ejemplo, la ecuación y  =  x corresponde al conjunto de todos los puntos en el plano cuyas coordenadas x e y son iguales. Estos puntos forman una línea , y se dice que y  =  x es la ecuación de esta línea. En general, las ecuaciones lineales que implica x y y especificar líneas, ecuaciones cuadráticas especifican secciones cónicas, y las ecuaciones más complicadas describen figuras más complicadas. ^[17]

Por lo general, una sola ecuación corresponde a una curva en el plano. Este no es siempre el caso: la ecuación trivial x  =  x especifica el plano completo, y la ecuación x ²  +  y ²  = 0 especifica solo el punto único (0, 0). En tres dimensiones, una sola ecuación generalmente da una superficie , y una curva debe especificarse como la intersección de dos superficies (ver más abajo), o como un sistema de ecuaciones paramétricas . ^[18] La ecuación x ²  +  y ²  =  r ² es la ecuación para cualquier círculo centrado en el origen (0, 0) con un radio de r.

Líneas y planos

Artículos principales: Línea (geometría) y Plano (geometría)

Las líneas en un plano cartesiano , o más generalmente, en coordenadas afines , se pueden describir algebraicamente mediante ecuaciones lineales . En dos dimensiones, la ecuación para líneas no verticales a menudo se da en la forma pendiente-intersección :

${\displaystyle y=mx+b\,}$

dónde:

m es la pendiente o pendiente de la línea.

b es la intersección con el eje y de la línea.

x es la variable independiente de la función y = f ( x ).

De una manera análoga a la forma en que las líneas en un espacio bidimensional se describen usando una forma punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural usando un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal ) para indicar su "inclinación".

Específicamente, sea ​​el vector de posición de algún punto y sea ​​un vector distinto de cero. El plano determinado por este punto y vector consta de aquellos puntos , con vector de posición , de modo que el vector dibujado de a es perpendicular a . Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero, se deduce que el plano deseado se puede describir como el conjunto de todos los puntos tales que${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$

(El punto aquí significa un producto escalar, no una multiplicación escalar). Expandido se convierte en

${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$

que es la forma normal puntual de la ecuación de un plano. ^[19] Esta es solo una ecuación lineal :

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$

Por el contrario, se demuestra fácilmente que si un , b , c y d son constantes y a , b , y c no son todos cero, entonces el gráfico de la ecuación

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$

es un plano que tiene el vector como normal. ^[20] Esta ecuación familiar para un plano se llama la forma general de la ecuación del plano. ^[21]${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

En tres dimensiones, las líneas no se pueden describir mediante una única ecuación lineal, por lo que con frecuencia se describen mediante ecuaciones paramétricas :

${\displaystyle x=x_{0}+at\,}$

${\displaystyle y=y_{0}+bt\,}$

${\displaystyle z=z_{0}+ct\,}$

dónde:

x , y , yz son todas funciones de la variable independiente t que varía sobre los números reales.

( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) es cualquier punto de la recta.

un , b , y c están relacionadas con la pendiente de la línea, de manera que el vector ( un , b , c ) es paralela a la línea.

Secciones cónicas

Artículo principal: sección cónica

En el sistema de coordenadas cartesianas , la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica, aunque puede estar degenerada, y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación tendrá la forma

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}\,}$

Como la escala de las seis constantes produce el mismo lugar geométrico de ceros, se pueden considerar las cónicas como puntos en el espacio proyectivo de cinco dimensiones. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación se pueden clasificar utilizando el discriminante ^[22]

${\displaystyle B^{2}-4AC.\,}$

Si la cónica no está degenerada, entonces:

• si , la ecuación representa una elipse ;${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
  • si y , la ecuación representa un círculo , que es un caso especial de elipse;${\displaystyle A=C}$${\displaystyle B=0}$
• si , la ecuación representa una parábola ;${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• si , la ecuación representa una hipérbola ;${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$
  • si también tenemos , la ecuación representa una hipérbola rectangular .${\displaystyle A+C=0}$

Superficies cuadráticas

Artículo principal: superficie cuádrica

A cuádrica o superficie cuádrica , es un 2 -dimensional superficie en el espacio 3-dimensional definido como el locus de ceros de un polinomio cuadrático . En las coordenadas x ₁ , x ₂ , x ₃ , el cuadrático general está definido por la ecuación algebraica ^[23]

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$

Las superficies cuadráticas incluyen elipsoides (incluida la esfera ), paraboloides , hiperboloides , cilindros , conos y planos .

Distancia y ángulo

Artículos principales: Distancia y ángulo

La fórmula de la distancia en el plano se deriva del teorema de Pitágoras.

En geometría analítica, las nociones geométricas como la distancia y la medida del ángulo se definen mediante fórmulas . Estas definiciones están diseñadas para ser coherentes con la geometría euclidiana subyacente . Por ejemplo, utilizando coordenadas cartesianas en el plano, la distancia entre dos puntos ( x ₁ ,  y ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ) se define mediante la fórmula

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},\!}$

que puede verse como una versión del teorema de Pitágoras . De manera similar, el ángulo que forma una línea con la horizontal se puede definir mediante la fórmula

${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$

donde m es la pendiente de la línea.

En tres dimensiones, la distancia viene dada por la generalización del teorema de Pitágoras:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},\!}$,

mientras que el ángulo entre dos vectores viene dado por el producto escalar . El producto escalar de dos vectores euclidianos A y B se define por ^[24]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

donde θ es el ángulo entre A y B .

Transformaciones

a) y = f (x) = | x | b) y = f (x + 3) c) y = f (x) -3 d) y = 1/2 f (x)

Las transformaciones se aplican a una función padre para convertirla en una nueva función con características similares.

La gráfica de cambia mediante transformaciones estándar de la siguiente manera:${\displaystyle R(x,y)}$

• Cambiar a mueve el gráfico a las unidades correctas .${\displaystyle x}$${\displaystyle x-h}$${\displaystyle h}$
• Cambiar a mueve el gráfico hacia arriba en unidades.${\displaystyle y}$${\displaystyle y-k}$${\displaystyle k}$
• Cambiar a estira el gráfico horizontalmente en un factor de . (piense en el como si estuviera dilatado)${\displaystyle x}$${\displaystyle x/b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$
• Cambiar a estira el gráfico verticalmente.${\displaystyle y}$${\displaystyle y/a}$
• Cambiar a y cambiando a gira el gráfico por un ángulo .${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$${\displaystyle A}$

Hay otras transformaciones estándar que no se estudian típicamente en geometría analítica elemental porque las transformaciones cambian la forma de los objetos de formas que normalmente no se consideran. El sesgo es un ejemplo de una transformación que generalmente no se considera. Para obtener más información, consulte el artículo de Wikipedia sobre transformaciones afines .

Por ejemplo, la función padre tiene una asíntota horizontal y vertical, y ocupa el primer y tercer cuadrante, y todas sus formas transformadas tienen una asíntota horizontal y vertical, y ocupa el primer y el tercer o el segundo y el cuarto cuadrante. En general, si , entonces se puede transformar en . En la nueva función transformada, es el factor que estira verticalmente la función si es mayor que 1 o comprime verticalmente la función si es menor que 1, y para valores negativos , la función se refleja en el eje-. El valor comprime la gráfica de la función horizontalmente si es mayor que 1 y estira la función horizontalmente si es menor que 1, y como , refleja la función en el${\displaystyle y=1/x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle y=af(b(x-k))+h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle y}$-eje cuando es negativo. Los valores y introducen traslaciones , vertical y horizontal. Los valores positivos y significan que la función se traduce al extremo positivo de su eje y la traducción del significado negativo al final negativo.${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$

Las transformaciones se pueden aplicar a cualquier ecuación geométrica, tanto si la ecuación representa una función como si no. Las transformaciones pueden considerarse transacciones individuales o en combinaciones.

Suponga que es una relación en el plano. Por ejemplo,${\displaystyle R(x,y)}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

es la relación que describe el círculo unitario.

Encontrar intersecciones de objetos geométricos

Artículo principal: Intersección (geometría)

Para dos objetos geométricos P y Q representados por las relaciones y la intersección es la colección de todos los puntos que están en ambas relaciones. ^[25]${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$

Por ejemplo, podría ser el círculo con radio 1 y centro : y podría ser el círculo con radio 1 y centro . La intersección de estos dos círculos es la colección de puntos que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. ¿El punto hace que ambas ecuaciones sean verdaderas? Usando for , la ecuación para se convierte en o, lo que es verdadero, también lo es en la relación . Por otro lado, seguir usando para la ecuación para se convierte en o cuál es falso. no está por lo que no está en la intersección.${\displaystyle P}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$${\displaystyle (-1)^{2}=1}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$${\displaystyle 0=1}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle P}$

La intersección de y se puede encontrar resolviendo las ecuaciones simultáneas:${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$

Los métodos tradicionales para encontrar intersecciones incluyen sustitución y eliminación.

Sustitución: resuelve la primera ecuación en términos de y luego sustituye la expresión en la segunda ecuación:${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}}$.

Luego sustituimos este valor por en la otra ecuación y procedemos a resolver :${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$

${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$

${\displaystyle -2x=-1}$

${\displaystyle x=1/2.}$

A continuación, colocamos este valor de en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle y^{2}=3/4}$

${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$

Entonces nuestra intersección tiene dos puntos:

${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;\mathrm {and} \;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$

Eliminación : Suma (o resta) un múltiplo de una ecuación a la otra ecuación para eliminar una de las variables. Para nuestro ejemplo actual, si restamos la primera ecuación de la segunda obtenemos . El de la primera ecuación se resta del de la segunda ecuación sin dejar ningún término. Se ha eliminado la variable . Luego resolvemos la ecuación restante , de la misma manera que en el método de sustitución:${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$

${\displaystyle -2x=-1}$

${\displaystyle x=1/2.}$

Luego colocamos este valor de en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle y^{2}=3/4}$

${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$

Entonces nuestra intersección tiene dos puntos:

${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;\mathrm {and} \;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$

Para las secciones cónicas, puede haber hasta 4 puntos en la intersección.

Encontrar intersecciones

Artículos principales: intersección x y la ordenada en el origen

Un tipo de intersección que se estudia ampliamente es la intersección de un objeto geométrico con los ejes de coordenadas y .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

La intersección de un objeto geométrico y el eje se llama intersección del objeto. La intersección de un objeto geométrico y el eje se llama intersección del objeto.${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Para la línea , el parámetro especifica el punto donde la línea cruza el eje. Dependiendo del contexto, o el punto se llama intercepción.${\displaystyle y=mx+b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (0,b)}$${\displaystyle y}$

Tangentes y normales

Rectas y planos tangentes

Artículo principal: Tangente

En geometría , la línea tangente (o simplemente tangente ) a una curva plana en un punto dado es la línea recta que "solo toca" la curva en ese punto. De manera informal, es una línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. Más precisamente, se dice que una línea recta es la tangente de una curva y = f ( x ) en un punto x = c en la curva si la línea pasa por el punto ( c , f ( c )) en la curva y tiene Pendientef ' ( c ) donde f ' es la derivada de f . Una definición similar se aplica a las curvas espaciales y las curvas en el espacio euclidiano n- dimensional.

A medida que pasa por el punto donde se encuentran la línea tangente y la curva, llamado punto de tangencia , la línea tangente "va en la misma dirección" que la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto.

De manera similar, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "simplemente toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales en geometría diferencial y ha sido ampliamente generalizado; ver Espacio tangente .

Línea normal y vector

Artículo principal: Normal (geometría)

En geometría , una normal es un objeto como una línea o un vector que es perpendicular a un objeto dado. Por ejemplo, en el caso bidimensional, la línea normal a una curva en un punto dado es la línea perpendicular a la línea tangente a la curva en el punto.

En el caso de tres dimensiones de una superficie normal , o simplemente normales , a una superficie en un punto P es un vector que es perpendicular al plano tangente a la superficie en P . La palabra "normal" también se usa como adjetivo: una línea normal a un plano , el componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad .

Ver también

• Producto cruzado
• Rotación de ejes
• Traducción de axes
• Espacio vectorial

Notas

1. Boyer, Carl B. (1991). "La era de Platón y Aristóteles" . A History of Mathematics (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. págs.  94–95 . ISBN 0-471-54397-7. Menaechmus aparentemente derivó estas propiedades de las secciones cónicas y otras también. Dado que este material tiene un gran parecido con el uso de coordenadas, como se ilustra arriba, a veces se ha sostenido que Menaechmus tenía geometría analítica. Tal juicio está justificado sólo en parte, porque ciertamente Menaechmus no sabía que cualquier ecuación en dos cantidades desconocidas determina una curva. De hecho, el concepto general de ecuación en cantidades desconocidas era ajeno al pensamiento griego. Fueron las deficiencias en las notaciones algebraicas las que, más que cualquier otra cosa, operaron en contra del logro griego de una geometría de coordenadas en toda regla.
2. Boyer, Carl B. (1991). "Apolonio de Perge" . A History of Mathematics (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. págs.  142 . ISBN 0-471-54397-7. El tratado apolíneo Sobre la sección determinada trataba de lo que podría llamarse una geometría analítica de una dimensión. Consideró el siguiente problema general, utilizando el análisis algebraico griego típico en forma geométrica: Dados cuatro puntos A, B, C, D en una línea recta, determine un quinto punto P en él de modo que el rectángulo en AP y CP esté en una línea recta. relación dada al rectángulo en BP y DP. Aquí, también, el problema se reduce fácilmente a la solución de una cuadrática; y, como en otros casos, Apolonio trató la cuestión de manera exhaustiva, incluyendo los límites de posibilidad y el número de soluciones.
3. Boyer, Carl B. (1991). "Apolonio de Perge" . A History of Mathematics (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. págs.  156 . ISBN 0-471-54397-7. El método de Apolonio en las cónicas.en muchos aspectos son tan similares al enfoque moderno que a veces se considera que su trabajo es una geometría analítica que se anticipa a la de Descartes en 1800 años. La aplicación de líneas de referencia en general, y de un diámetro y una tangente en su extremo en particular, no es, por supuesto, esencialmente diferente del uso de un marco de coordenadas, ya sea rectangular o, más generalmente, oblicuo. Las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. La relación apolínea entre estas abscisas y las ordenadas correspondientes son ni más ni menos que formas retóricas de las ecuaciones de las curvas. Sin embargo, el álgebra geométrica griega no proporcionó magnitudes negativas; es más,el sistema de coordenadas se superpuso en todos los casosa posteriori sobre una curva dada para estudiar sus propiedades. No parece haber casos en la geometría antigua en los que se estableciera a priori un marco de referencia de coordenadas con el propósito de representar gráficamente una ecuación o relación, ya sea expresada de manera simbólica o retórica. De la geometría griega podemos decir que las ecuaciones están determinadas por curvas, pero no que las curvas están determinadas por ecuaciones. Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias derivadas de una situación geométrica específica; [...] Que Apolonio, el mayor geómetra de la antigüedad, no logró desarrollar la geometría analítica, fue probablemente el resultado de una pobreza de curvas más que de pensamiento. Los métodos generales no son necesarios cuando los problemas se refieren siempre a uno de un número limitado de casos particulares.
4. Boyer (1991). "La hegemonía árabe" . Una historia de las matemáticas . págs.  241–242 . Omar Khayyam (ca. 1050-1123), el "fabricante de tiendas", escribió un Álgebraque fue más allá del de al-Khwarizmi para incluir ecuaciones de tercer grado. Como sus predecesores árabes, Omar Khayyam proporcionó ecuaciones cuadráticas tanto soluciones aritméticas como geométricas; para las ecuaciones cúbicas generales, creía (erróneamente, como lo demostró más tarde el siglo XVI), las soluciones aritméticas eran imposibles; por lo tanto, dio solo soluciones geométricas. Menaechmus, Arquímedes y Alhazan habían utilizado anteriormente el esquema de utilizar cónicas que se cruzan para resolver cúbicas, pero Omar Khayyam dio el paso loable de generalizar el método para cubrir todas las ecuaciones de tercer grado (que tienen raíces positivas). Para ecuaciones de grado superior a tres, Omar Khayyam evidentemente no imaginó métodos geométricos similares, ya que el espacio no contiene más de tres dimensiones, ...Una de las contribuciones más fructíferas del eclecticismo árabe fue la tendencia a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y geométrica. El paso decisivo en esta dirección llegó mucho más tarde con Descartes, pero Omar Khayyam se estaba moviendo en esta dirección cuando escribió: "Quien piense que el álgebra es un truco para obtener incógnitas lo ha pensado en vano. No se debe prestar atención al hecho de que el álgebra y la geometría son diferentes en apariencia. Las álgebras son hechos geométricos que están demostrados ".No se debe prestar atención al hecho de que el álgebra y la geometría son diferentes en apariencia. Las álgebras son hechos geométricos que se prueban ".No se debe prestar atención al hecho de que el álgebra y la geometría son diferentes en apariencia. Las álgebras son hechos geométricos que se prueban ".
5. Glen M. Cooper (2003). "Omar Khayyam, el matemático", The Journal of the American Oriental Society 123 .
6. Obras maestras de las matemáticas: más crónicas de los exploradores , p. 92
7. Cooper, G. (2003). Revista de la Sociedad Oriental Americana, 123 (1), 248-249.
8. Stillwell, John (2004). "Geometría analítica". Matemáticas y su historia (Segunda ed.). Springer Science + Business Media Inc. p. 105. ISBN 0-387-95336-1. los dos fundadores de la geometría analítica, Fermat y Descartes, fueron ambos fuertemente influenciados por estos desarrollos.
9. Boyer 2004 , p. 74
10. Cooke, Roger (1997). "El cálculo" . La historia de las matemáticas: un curso breve . Wiley-Interscience. págs.  326 . ISBN 0-471-18082-3. La persona a la que popularmente se le atribuye el descubrimiento de la geometría analítica fue el filósofo René Descartes (1596-1650), uno de los pensadores más influyentes de la era moderna.
11. Boyer 2004 , p. 82
12. Katz , 1998 , pág. 442
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14. Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, Francia: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge", págs. 91-103.
15. "Eloge de Monsieur de Fermat" (Elogio del Sr. de Fermat), Le Journal des Scavans , 9 de febrero de 1665, págs. 69-72. Desde p. 70: "Une introduction aux lieux, Plans & solides; qui est un traité analytique concernnant la solution des problemes Plans & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet." (Una introducción a los loci, planos y sólidos; que es un tratado analítico sobre la solución de problemas planos y sólidos, que fue visto antes de que el Sr. des Cartes publicara algo sobre este tema).
16. Stewart, James (2008). Cálculo: principios trascendentales , 6ª ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8 
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25. Si bien esta discusión se limita al plano xy, puede extenderse fácilmente a dimensiones superiores.

Referencias

Libros

• Boyer, Carl B. (2004) [1956], Historia de la geometría analítica , Publicaciones de Dover, ISBN 978-0486438320
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• John Casey (1885) Geometría analítica de las secciones de punto, línea, círculo y cónica , enlace de Internet Archive .
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.) , Lectura: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
• Struik, DJ (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800 , Harvard University Press, ISBN 978-0674823556

Artículos

• Bissell, Christopher C. (1987), "Geometría cartesiana: la contribución holandesa", The Mathematical Intelligencer , 9 : 38–44, doi : 10.1007 / BF03023730
• Boyer, Carl B. (1944), "Geometría analítica: El descubrimiento de Fermat y Descartes", Profesor de matemáticas , 37 (3): 99-105, doi : 10.5951 / MT.37.3.0099
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• Coolidge, JL (1948), "The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions", American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi : 10.2307 / 2305740 , JSTOR  2305740
• Pecl, J., Newton y la geometría analítica

Enlaces externos

• Coordinar temas de geometría con animaciones interactivas