Teoría analítica de números

Explorando las propiedades de los números enteros con análisis complejo

Función zeta de Riemann ζ ( s ) en el plano complejo . El color de un punto s codifica el valor de ζ ( s ): los colores cercanos al negro denotan valores cercanos a cero, mientras que el tono codifica el argumento del valor .

En matemáticas , la teoría analítica de números es una rama de la teoría de números que utiliza métodos del análisis matemático para resolver problemas sobre los números enteros . ^[1] A menudo se dice que han comenzado con Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1837 introducción de 's Dirichlet L -Funciones para dar la primera prueba del Teorema de Dirichlet . ^{[1] [2]} Es bien conocido por sus resultados sobre números primos (que involucran el Teorema de los números primos y la función zeta de Riemann ) yteoría de números aditivos (como la conjetura de Goldbach y el problema de Waring ).

Ramas de la teoría analítica de números

La teoría analítica de números se puede dividir en dos partes principales, divididas más por el tipo de problemas que intentan resolver que por diferencias fundamentales en la técnica.

• La teoría de números multiplicativos se ocupa de la distribución de los números primos , como estimar el número de primos en un intervalo, e incluye el teorema de los números primos y el teorema de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas .
• La teoría de números aditivos se ocupa de la estructura aditiva de los números enteros, como la conjetura de Goldbach de que todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos. Uno de los principales resultados de la teoría de números aditivos es la solución al problema de Waring .

Historia

Precursores

Gran parte de la teoría analítica de los números se inspiró en el teorema de los números primos . Sea π ( x ) la función de conteo de primos que da el número de primos menores o iguales ax , para cualquier número real  x . Por ejemplo, π (10) = 4 porque hay cuatro números primos (2, 3, 5 y 7) menores o iguales que 10. El teorema de los números primos establece que x / ln ( x ) es una buena aproximación a π ( x ), en el sentido de que el límite del cociente de las dos funciones π ( x ) y x / ln ( x ) como x se aproxima al infinito es 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

conocida como ley asintótica de distribución de números primos.

Adrien-Marie Legendre conjeturó en 1797 o 1798 que π ( a ) se aproxima mediante la función a / ( A ln ( a ) +  B ), donde A y B son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro sobre teoría de números (1808) luego hizo una conjetura más precisa, con A  = 1 y B  ≈ −1.08366. Carl Friedrich Gauss consideró la misma pregunta: "Im Jahr 1792 oder 1793", según su propio recuerdo casi sesenta años más tarde en una carta a Encke (1849), escribió en su tabla de logaritmos (tenía entonces 15 o 16 años) el corto nota "Primzahlen unter${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$Pero Gauss nunca publicó esta conjetura. En 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet ideó su propia función de aproximación, la integral logarítmica li ( x ) (bajo la forma ligeramente diferente de una serie, que comunicó a Gauss). Tanto la de Legendre como la de Las fórmulas de Dirichlet implican la misma equivalencia asintótica conjeturada de π ( x ) y x  / ln ( x ) indicada anteriormente, aunque resultó que la aproximación de Dirichlet es considerablemente mejor si se consideran las diferencias en lugar de los cocientes.

Dirichlet

Artículo principal: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

A Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet se le atribuye la creación de la teoría analítica de números, ^[3] un campo en el que encontró varios resultados profundos y, al probarlos, introdujo algunas herramientas fundamentales, muchas de las cuales luego fueron nombradas en su honor. En 1837 publicó el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , utilizando conceptos de análisis matemático para abordar un problema algebraico y creando así la rama de la teoría analítica de números. Para probar el teorema, introdujo los caracteres de Dirichlet y L-funciones . ^{[3] [4]} En 1841 generalizó su teorema de progresiones aritméticas de enteros al anillo de enteros gaussianos ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. ^[5]

Chebyshev

Artículo principal: Pafnuty Chebyshev

En dos artículos de 1848 y 1850, el matemático ruso Pafnuty L'vovich Chebyshev intentó probar la ley asintótica de distribución de números primos. Su trabajo es notable por el uso de la función zeta ζ ( s ) (para valores reales del argumento "s", como lo son las obras de Leonhard Euler , ya en 1737) anteriores a las célebres memorias de Riemann de 1859, y logró demostrar una forma ligeramente más débil de la ley asintótica, a saber, que si el límite de π ( x ) / ( x / ln ( x )) cuando x llega al infinito existe, entonces es necesariamente igual a uno. ^[6]Pudo demostrar incondicionalmente que esta razón está limitada por arriba y por abajo por dos constantes dadas explícitamente cercanas a 1 para todo x . ^[7] Aunque el artículo de Chebyshev no probó el Teorema de los números primos, sus estimaciones de π ( x ) fueron lo suficientemente fuertes como para probar el postulado de Bertrand de que existe un número primo entre n y 2 n para cualquier número entero n  ≥ 2.

Riemann

Artículo principal: Bernhard Riemann

" ... es ist sehr wahrscheinlich, dass Alle Wurzeln reell sind Hiervon wäre allerdings ein strenger de Beweis zu wünschen;. Ich die habe indess Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich Schien. "

"... es muy probable que todas las raíces sean reales. Por supuesto que uno desearía una prueba rigurosa aquí; por el momento, después de algunos intentos fugaces y vanos, he dejado de lado provisionalmente la búsqueda de esto, ya que parece prescindible para el próximo objetivo de mi investigación ".

Declaración de Riemann de la hipótesis de Riemann, de su artículo de 1859. ^[8] (Estaba discutiendo una versión de la función zeta, modificada para que sus raíces sean reales en lugar de estar en la línea crítica).

Bernhard Riemann hizo algunas contribuciones famosas a la teoría analítica de números moderna. En un solo artículo breve (el único que publicó sobre el tema de la teoría de números), investigó la función zeta de Riemann y estableció su importancia para comprender la distribución de los números primos . Hizo una serie de conjeturas sobre las propiedades de la función zeta , una de las cuales es la conocida hipótesis de Riemann .

Hadamard y de la Vallée-Poussin

Artículos principales: Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin

Ampliando las ideas de Riemann, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin obtuvieron de forma independiente dos demostraciones del teorema de los números primos y aparecieron en el mismo año (1896). Ambas demostraciones utilizaron métodos de análisis complejo, estableciendo como paso principal de la prueba que la función zeta de Riemann ζ ( s ) es distinta de cero para todos los valores complejos de la variable s que tienen la forma s  = 1 +  it con t  > 0 . ^[9]

Tiempos modernos

El mayor cambio técnico después de 1950 ha sido el desarrollo de métodos de tamizado , ^[10] particularmente en problemas multiplicativos. Estos son de naturaleza combinatoria y bastante variados. La rama extrema de la teoría combinatoria, a cambio, se ha visto muy influenciada por el valor asignado en la teoría analítica de números a los límites superior e inferior cuantitativos. Otro desarrollo reciente es la teoría probabilística de números , ^[11] que utiliza métodos de la teoría de la probabilidad para estimar la distribución de funciones teóricas de números, como cuántos divisores primos tiene un número.

Los desarrollos dentro de la teoría analítica de números son a menudo refinamientos de técnicas anteriores, que reducen los términos de error y amplían su aplicabilidad. Por ejemplo, el método circular de Hardy y Littlewood se concibió para aplicarlo a series de potencias cercanas al círculo unitario en el plano complejo ; ahora se piensa en términos de sumas exponenciales finitas (es decir, en el círculo unitario, pero con la serie de potencias truncada). Las necesidades de la aproximación diofántica son para funciones auxiliares que no generan funciones; sus coeficientes se construyen mediante el uso de un principio de casillero.—E involucran varias variables complejas . Los campos de la aproximación diofántica y la teoría de la trascendencia se han expandido, hasta el punto de que las técnicas se han aplicado a la conjetura de Mordell .

Problemas y resultados

Los teoremas y resultados dentro de la teoría analítica de números tienden a no ser resultados estructurales exactos sobre los números enteros, para lo cual las herramientas algebraicas y geométricas son más apropiadas. En cambio, dan límites y estimaciones aproximados para varias funciones teóricas numéricas, como lo ilustran los siguientes ejemplos.

Teoría de números multiplicativos

Artículo principal: Teoría de números multiplicativos

Euclides mostró que hay infinitos números primos. Una cuestión importante es determinar la distribución asintótica de los números primos; es decir, una descripción aproximada de cuántos números primos son más pequeños que un número dado. Gauss , entre otros, después de calcular una gran lista de primos, conjeturó que el número de primos menor o igual a un gran número N está cerca del valor de la integral

${\displaystyle \,\int _{2}^{N}{\frac {1}{\log \,t}}\,dt.}$

En 1859, Bernhard Riemann utilizó un análisis complejo y una función meromórfica especial ahora conocida como función zeta de Riemann para derivar una expresión analítica para el número de primos menores o iguales a un número real  x . Sorprendentemente, el término principal en la fórmula de Riemann fue exactamente la integral anterior, lo que le dio un peso sustancial a la conjetura de Gauss. Riemann descubrió que los términos de error de esta expresión y, por tanto, la forma en que se distribuyen los números primos, están estrechamente relacionados con los ceros complejos de la función zeta. Usando las ideas de Riemann y obteniendo más información sobre los ceros de la función zeta, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussinlogró completar la prueba de la conjetura de Gauss. En particular, demostraron que si

${\displaystyle \pi (x)=({\text{number of primes }}\leq x),}$

luego

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$

Este notable resultado es lo que ahora se conoce como el teorema de los números primos . Es un resultado central en la teoría analítica de números. Hablando libremente, establece que dado un gran número N , el número de primos menores o iguales que N es aproximadamente N / log ( N ).

De manera más general, se puede hacer la misma pregunta sobre el número de primos en cualquier progresión aritmética a + nq para cualquier número entero n . En una de las primeras aplicaciones de las técnicas analíticas a la teoría de números, Dirichlet demostró que cualquier progresión aritmética con a y q coprimos contiene infinitos números primos. El teorema de los números primos se puede generalizar a este problema; dejando

${\displaystyle \pi (x,a,q)=({\text{number of primes }}\leq x{\text{ such that }}p{\text{ is in the arithmetic progression }}a+nq,n\in \mathbf {Z} ),}$

Entonces, si una y q son primos entre sí,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.}$

También hay muchas conjeturas profundas y de amplio alcance en la teoría de números cuyas demostraciones parecen demasiado difíciles para las técnicas actuales, como la conjetura de los primos gemelos que pregunta si hay infinitos números primos p tales que p  + 2 es primo. Partiendo del supuesto de la conjetura de Elliott-Halberstam, se ha demostrado recientemente que hay infinitos números primos p tales que p  +  k es primo para algún valor positivo incluso k como máximo 12. Además, se ha demostrado incondicionalmente (es decir, que no depende de conjeturas) que hay infinitos números primos p tales que p  +  kes primo para algunos positivos incluso k como máximo 246.

Teoría de números aditivos

Artículo principal: Teoría de números aditivos

Uno de los problemas más importantes en la teoría de números aditivos es el problema de Waring , que pregunta si es posible, para cualquier k  ≥ 2, escribir cualquier entero positivo como la suma de un número acotado de k- ésimas potencias,

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.\,}$

El caso de los cuadrados, k  = 2, fue respondido por Lagrange en 1770, quien demostró que todo entero positivo es la suma de un máximo de cuatro cuadrados. El caso general fue probado por Hilbert en 1909, utilizando técnicas algebraicas que no daban límites explícitos. Un avance importante fue la aplicación de herramientas analíticas al problema por parte de Hardy y Littlewood . Estas técnicas se conocen como el método del círculo y dan límites superiores explícitos para la función G ( k ), el número más pequeño de k- ésimo potencias necesarias, como el límite de Vinogradov

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).\,}$

Problemas diofánticos

Artículo principal: Problema diofántico

Los problemas diofánticos se refieren a soluciones enteras de ecuaciones polinómicas: se puede estudiar la distribución de soluciones, es decir, contar soluciones de acuerdo con alguna medida de "tamaño" o altura .

Un ejemplo importante es el problema del círculo de Gauss , que pide puntos enteros ( x  y ) que satisfacen

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

En términos geométricos, dado un círculo centrado alrededor del origen en el plano con radio r , el problema pregunta cuántos puntos de celosía enteros se encuentran sobre o dentro del círculo. No es difícil demostrar que la respuesta es , dónde como . Nuevamente, la parte difícil y un gran logro de la teoría analítica de números es obtener límites superiores específicos en el término de error  E ( r ).${\displaystyle \,\pi r^{2}+E(r)\,}$${\displaystyle \,E(r)/r^{2}\,\to 0\,}$${\displaystyle \,r\to \infty \,}$

Gauss demostró eso . En general, un término de error O ( r ) sería posible con el círculo unitario (o, más correctamente, el disco unitario cerrado) reemplazado por las dilataciones de cualquier región plana acotada con un límite suave por partes. Además, al reemplazar el círculo unitario por el cuadrado unitario, el término de error para el problema general puede ser tan grande como una función lineal de  r . Por lo tanto, obtener un límite de error de la forma para algunos en el caso del círculo es una mejora significativa. El primero en lograrlo fue Sierpiński en 1906, quien se mostró . En 1915, Hardy y Landau demostraron cada uno que uno no tiene${\displaystyle E(r)=O(r)}$${\displaystyle O(r^{\delta })}$${\displaystyle \delta <1}$${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}$. Desde entonces, el objetivo ha sido mostrar que para cada fijo existe un número real tal que .${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle C(\epsilon )}$${\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$

En 2000 Huxley demostró ^[12] eso , que es el mejor resultado publicado.${\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}$

Métodos de teoría analítica de números

Serie Dirichlet

Artículo principal: serie Dirichlet

Una de las herramientas más útiles en la teoría de números multiplicativos son las series de Dirichlet , que son funciones de una variable compleja definida por una serie infinita de la forma

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

Dependiendo de la elección de los coeficientes , esta serie puede converger en todas partes, en ninguna parte o en algún medio plano. En muchos casos, incluso cuando la serie no converge en todas partes, la función holomórfica que define puede continuar analíticamente a una función meromórfica en todo el plano complejo. La utilidad de funciones como esta en problemas multiplicativos se puede ver en la identidad formal${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

por tanto, los coeficientes del producto de dos series de Dirichlet son las convoluciones multiplicativas de los coeficientes originales. Además, se pueden utilizar técnicas como la suma parcial y los teoremas de Tauber para obtener información sobre los coeficientes a partir de información analítica sobre la serie de Dirichlet. Por lo tanto, un método común para estimar una función multiplicativa es expresarla como una serie de Dirichlet (o un producto de una serie de Dirichlet más simple usando identidades de convolución), examinar esta serie como una función compleja y luego convertir esta información analítica nuevamente en información sobre la función original. .

Función zeta de Riemann

Artículo principal: función zeta de Riemann

Euler demostró que el teorema fundamental de la aritmética implica (al menos formalmente) el producto de Euler

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ for }}s>1\,\,\ (p{\text{ is prime number)}}\,}$

La prueba de Euler de la infinidad de números primos hace uso de la divergencia del término en el lado izquierdo para s = 1 (la llamada serie armónica ), un resultado puramente analítico. Euler también fue el primero en utilizar argumentos analíticos con el fin de estudiar las propiedades de los números enteros, específicamente mediante la construcción de series de potencia generadora . Este fue el comienzo de la teoría analítica de números. ^[13]

Más tarde, Riemann consideró esta función para valores complejos de sy demostró que esta función puede extenderse a una función meromórfica en todo el plano con un polo simple en s  = 1. Esta función ahora se conoce como la función Zeta de Riemann y se denota por ζ ( s ). Existe una gran cantidad de literatura sobre esta función y la función es un caso especial de las funciones L de Dirichlet más generales .

Los teóricos analíticos de números a menudo están interesados ​​en el error de aproximaciones como el teorema de los números primos. En este caso, el error es menor que x / log  x . La fórmula de Riemann para π ( x ) muestra que el término de error en esta aproximación se puede expresar en términos de los ceros de la función zeta. En su artículo de 1859 , Riemann conjeturó que todos los ceros "no triviales" de ζ se encuentran en la línea, pero nunca proporcionó una prueba de esta afirmación. Esta conjetura famosa y de larga data se conoce como la Hipótesis de Riemann${\displaystyle \,\Re (s)=1/2\,}$y tiene muchas implicaciones profundas en la teoría de números; de hecho, se han probado muchos teoremas importantes bajo el supuesto de que la hipótesis es verdadera. Por ejemplo, bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann, el término de error en el teorema de los números primos es .${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$

A principios del siglo XX, GH Hardy y Littlewood demostraron muchos resultados sobre la función zeta en un intento de probar la Hipótesis de Riemann. De hecho, en 1914, Hardy demostró que había una infinidad de ceros de la función zeta en la línea crítica.

${\displaystyle \,\Re (z)=1/2.\,}$

Esto llevó a varios teoremas que describen la densidad de los ceros en la línea crítica.

Ver también

• Método de la matriz de Maier
• Función L automórfica
• Forma automórfica

Notas

1. Apostol 1976 , p. 7. sfn error: no target: CITEREFApostol1976 (help)
2. Davenport 2000 , p. 1.
3. Gowers, Timothy ; June Barrow-Green ; Imre Leader (2008). El compañero de Princeton para las matemáticas . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 764–765. ISBN 978-0-691-11880-2.
4. Kanemitsu, Shigeru; Chaohua Jia (2002). Métodos teóricos de números: tendencias futuras . Saltador. págs. 271–274. ISBN 978-1-4020-1080-4.
5. Elstrodt, Jürgen (2007). "La vida y obra de Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)" ( PDF ) . Actas de Clay Mathematics . Consultado el 25 de diciembre de 2007 .
6. N. Costa Pereira (agosto-septiembre de 1985). "Una breve prueba del teorema de Chebyshev". American Mathematical Monthly . 92 (7): 494–495. doi : 10.2307 / 2322510 . JSTOR 2322510 . 
7. M. Nair (febrero de 1982). "Sobre las desigualdades de tipo Chebyshev para las primas". American Mathematical Monthly . 89 (2): 126-129. doi : 10.2307 / 2320934 . JSTOR 2320934 . 
8. Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" , Monatsberichte der Berliner Akademie. En Gesammelte Werke , Teubner, Leipzig (1892), reimpreso por Dover, Nueva York (1953). Manuscrito original Archivado el 23 de mayo de 2013 en Wayback Machine (con traducción al inglés). Reimpreso en ( Borwein et al.2008 ) y ( Edwards 1874 ) harv error: no target: CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008 (help) harv error: no target: CITEREFEdwards1874 (help)
9. Ingham, AE (1990). La distribución de números primos . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 2-5. ISBN 0-521-39789-8.
10. Tenenbaum 1995 , p. 56.
11. Tenenbaum 1995 , p. 267.
12. MN Huxley, Puntos enteros, sumas exponenciales y la función zeta de Riemann , Teoría de números para el milenio, II (Urbana, IL, 2000) pp.275-290, AK Peters, Natick, MA, 2002, MR 1956254 .
13. Iwaniec & Kowalski: Teoría analítica de números, AMS Colloquium Pub. Vol. 53, 2004

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0.335,10001
• Davenport, Harold (2000), Teoría de números multiplicativos , Textos de posgrado en matemáticas, 74 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95097-6, Señor  1790423
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introducción a la teoría analítica y probabilística de números , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, 46 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-41261-7

Lectura adicional

• Ayoub, Introducción a la teoría analítica de los números
• HL Montgomery y RC Vaughan, Teoría de números multiplicativos I  : Teoría clásica
• H. Iwaniec y E. Kowalski, Teoría analítica de números .
• DJ Newman, teoría analítica de números , Springer, 1998

En aspectos especializados se han hecho especialmente conocidos los siguientes libros:

• Titchmarsh, Edward Charles (1986), La teoría de la función Riemann Zeta (2a ed.), Oxford University Press
• H. Halberstam y HE Richert, Métodos de cribado
• RC Vaughan, El método Hardy-Littlewood , 2do. edn.

Ciertos temas aún no han alcanzado la forma de libro en profundidad. Algunos ejemplos son (i) la conjetura de correlación de pares de Montgomery y el trabajo que se inició a partir de ella, (ii) los nuevos resultados de Goldston, Pintz y Yilidrim sobre pequeños espacios entre primos , y (iii) el teorema de Green-Tao que muestra que la aritmética arbitrariamente larga existen progresiones de números primos.