En matemáticas y procesamiento de señales , una señal analítica es una función de valor complejo que no tiene componentes de frecuencia negativos . [1] Se utiliza para representar una señal causal, que comienza en un momento determinado y se propaga a medida que evoluciona el tiempo, es decir, no hacia atrás en el tiempo. Esto conduce a la ausencia de frecuencias negativas, que es un efecto secundario que refleja causalidad. [2] Las partes real e imaginaria de una señal analítica son funciones de valor real relacionadas entre sí por la transformada de Hilbert .
La representación analítica de una función de valor real es una señal analítica , que comprende la función original y su transformada de Hilbert. Esta representación facilita muchas manipulaciones matemáticas. La idea básica es que los componentes de frecuencia negativos de la transformada de Fourier (o espectro ) de una función de valor real son superfluos, debido a la simetría hermitiana de dicho espectro. Estos componentes de frecuencia negativos pueden descartarse sin pérdida de información, siempre que uno esté dispuesto a tratar con una función de valor complejo. Eso hace que ciertos atributos de la función sean más accesibles y facilita la derivación de técnicas de modulación y demodulación, como la banda lateral única.
Siempre que la función manipulada no tenga componentes de frecuencia negativos (es decir, todavía sea analítica ), la conversión de complejo a real es solo una cuestión de descartar la parte imaginaria. La representación analítica es una generalización del concepto fasorial : [3] mientras que el fasor está restringido a amplitud, fase y frecuencia invariantes en el tiempo, la señal analítica permite parámetros variables en el tiempo.
Definición
Si es una función de valor real con transformada de Fourier, entonces la transformada tiene simetría hermitiana sobre el eje:
dónde es el complejo conjugado de. La función:
dónde
- es la función escalón Heaviside ,
- es la función de signo ,
contiene solo los componentes de frecuencia no negativos de. Y la operación es reversible, debido a la simetría hermitiana de:
La señal analítica de es la transformada de Fourier inversa de :
dónde
- es la transformada de Hilbert de;
- es el símbolo de convolución ;
- es la unidad imaginaria .
Señalando que esto también se puede expresar como una operación de filtrado que elimina directamente los componentes de frecuencia negativa :
Componentes de frecuencia negativa
Desde , restaurar los componentes de frecuencia negativos es una simple cuestión de descartar lo que puede parecer contrario a la intuición. También podemos notar que el complejo conjugadocomprende solo los componentes de frecuencia negativa. Y por lo tantorestaura los componentes de frecuencia positiva suprimidos. Otro punto de vista es que el componente imaginario en cualquier caso es un término que resta componentes de frecuencia de s (t). La El operador elimina la resta, dando la apariencia de agregar nuevos componentes.
Ejemplos de
Ejemplo 1
- dónde
Luego:
- La tercera igualdad es la fórmula de Euler .
Un corolario de la fórmula de Euler es En general, la representación analítica de una sinusoide simple se obtiene expresándola en términos de exponenciales complejos, descartando la componente de frecuencia negativa y duplicando la componente de frecuencia positiva. Y la representación analítica de una suma de sinusoides es la suma de las representaciones analíticas de los sinusoides individuales.
Ejemplo 2
Aquí usamos la fórmula de Euler para identificar y descartar la frecuencia negativa.
Luego:
Ejemplo 3
Este es otro ejemplo del uso del método de transformación de Hilbert para eliminar componentes de frecuencia negativos. Observamos que nada nos impide calcular para un valor complejo . Pero puede que no sea una representación reversible, porque el espectro original no es simétrico en general. Entonces, a excepción de este ejemplo, la discusión general asume valores reales.
- , dónde .
Luego:
Propiedades
Amplitud y fase instantáneas
Una señal analítica también se puede expresar en coordenadas polares :
donde se introducen las siguientes cantidades variables en el tiempo:
- se llama amplitud instantánea o envolvente ;
- se llama fase instantánea o ángulo de fase .
En el diagrama adjunto, la curva azul representa y la curva roja representa el correspondiente .
La derivada del tiempo de la fase instantánea sin envolver tiene unidades de radianes / segundo y se llama frecuencia angular instantánea :
Por tanto, la frecuencia instantánea (en hercios ) es:
La amplitud instantánea y la fase y frecuencia instantáneas se utilizan en algunas aplicaciones para medir y detectar características locales de la señal. Otra aplicación de la representación analítica de una señal se relaciona con la demodulación de señales moduladas . Las coordenadas polares separan convenientemente los efectos de la modulación de amplitud y la modulación de fase (o frecuencia), y demodulan eficazmente ciertos tipos de señales.
Envolvente / banda base compleja
Las señales analíticas a menudo se desplazan en frecuencia (conversión descendente) hacia 0 Hz, posiblemente creando componentes de frecuencia negativos [no simétricos]:
dónde es una frecuencia angular de referencia arbitraria. [3]
Esta función tiene varios nombres, como envolvente compleja y banda base compleja . El sobre complejo no es único; está determinado por la elección de. Este concepto se utiliza a menudo cuando se trata de señales de banda de paso . Si es una señal modulada, podría equipararse a su frecuencia portadora .
En otros casos, se selecciona para estar en algún lugar en el medio de la banda de paso deseada. Entonces, un simple filtro de paso bajo con coeficientes reales puede eliminar la parte de interés. Otro motivo es reducir la frecuencia más alta, lo que reduce la tasa mínima para el muestreo sin alias. Un cambio de frecuencia no socava la manejabilidad matemática de la representación de la señal compleja. Entonces, en ese sentido, la señal convertida a la baja sigue siendo analítica . Sin embargo, restaurar la representación con valores reales ya no es una simple cuestión de extraer el componente real. Es posible que se requiera una conversión ascendente y, si la señal se ha muestreado (tiempo discreto), también puede ser necesaria la interpolación ( muestreo ascendente ) para evitar el aliasing .
Si se elige mayor que la frecuencia más alta de luego no tiene frecuencias positivas. En ese caso, la extracción del componente real los restaura, pero en orden inverso; los componentes de baja frecuencia ahora son altos y viceversa. Esto se puede utilizar para demodular un tipo de señal de banda lateral única denominada banda lateral inferior o banda lateral invertida .
- Otras opciones de frecuencia de referencia
Algunas veces se elige para minimizar
Alternativamente, [5] puede ser elegido para minimizar el error cuadrático medio en la aproximación lineal al envolver fase instantánea:
u otra alternativa (para un óptimo ):
En el campo del procesamiento de señales de tiempo-frecuencia, se demostró que la señal analítica era necesaria en la definición de la distribución de Wigner-Ville para que el método pudiera tener las propiedades deseables necesarias para aplicaciones prácticas. [6]
A veces, a la frase "envolvente compleja" se le da el significado más simple de amplitud compleja de un fasor (frecuencia constante); [a] [b] otras veces el sobre complejocomo se definió anteriormente se interpreta como una generalización dependiente del tiempo de la amplitud compleja. [c] Su relación no es diferente a la del caso de valores reales: envolvente variable generalizando amplitud constante .
Extensiones de la señal analítica a señales de múltiples variables.
El concepto de señal analítica está bien definido para señales de una sola variable que normalmente es el tiempo. Para señales de dos o más variables, una señal analítica se puede definir de diferentes maneras, y a continuación se presentan dos enfoques.
Señal analítica multidimensional basada en una dirección ad hoc
Se puede hacer una generalización sencilla de la señal analítica para una señal multidimensional una vez que se establece qué se entiende por frecuencias negativas en este caso. Esto se puede hacer introduciendo un vector unitario en el dominio de Fourier y etiquetar cualquier vector de frecuencia como negativo si . La señal analítica se produce luego eliminando todas las frecuencias negativas y multiplicando el resultado por 2, de acuerdo con el procedimiento descrito para el caso de señales de una variable. Sin embargo, no hay una dirección particular paraque debe elegirse a menos que existan algunas restricciones adicionales. Por tanto, la elección de es ad hoc o específico de la aplicación.
La señal monogénica
Las partes real e imaginaria de la señal analítica corresponden a los dos elementos de la señal monogénica de valor vectorial , como se define para señales de una variable. Sin embargo, la señal monogénica se puede extender a un número arbitrario de variables de una manera sencilla, produciendo una función con valores vectoriales ( n + 1) -dimensionales para el caso de señales con n- variables.
Ver también
- Consideraciones prácticas para calcular las transformadas de Hilbert
- Frecuencia negativa
Aplicaciones
- Modulación de banda lateral única
- Filtro de cuadratura
- Filtro causal
Notas
- ^ "la envolvente compleja (o amplitud compleja)" [7]
- ^ "la envolvente compleja (o amplitud compleja)", p. 586 [8]
- ^ "La envolvente compleja es una interpretación extendida de la amplitud compleja en función del tiempo". pag. 85 [9]
Referencias
- ^ Smith, JO "Señales analíticas y filtros de transformación de Hilbert", en Matemáticas de la transformada discreta de Fourier (DFT) con aplicaciones de audio, segunda edición, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html , o https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html , libro en línea, edición de 2007, consultado el 29 de abril de 2021.
- ^ Cohen Tenoudji, Frédéric (2016), Cohen Tenoudji, Frédéric (ed.), "Causal Signals — Analytic Signals (Abstract)" , Análisis de señales analógicas y digitales: de los conceptos básicos a las aplicaciones , acústica moderna y procesamiento de señales, Cham: Springer International Publishing, págs. 177–205, doi : 10.1007 / 978-3-319-42382-1_11 , ISBN 978-3-319-42382-1, consultado el 10 de mayo de 2021
- ^ a b Bracewell, Ron. La transformada de Fourier y sus aplicaciones . McGraw-Hill, 1965. pág. 269
- ^ B. Boashash, "Estimación e interpretación de la frecuencia instantánea de una señal-Parte I: Fundamentos", Actas de la IEEE, vol. 80, núm. 4, págs. 519–538, abril de 1992
- ^ Justicia, J. (1 de diciembre de 1979). "Procesamiento analítico de señales en computación musical". Transacciones IEEE sobre acústica, habla y procesamiento de señales . 27 (6): 670–684. doi : 10.1109 / TASSP.1979.1163321 . ISSN 0096-3518 .
- ^ B. Boashash, "Notas sobre el uso de la distribución de Wigner para el análisis de señales de frecuencia de tiempo", IEEE Trans. sobre acústica, habla y procesamiento de señales, vol. 26, no. 9 de octubre de 1987
- ^ Hlawatsch, Franz; Auger, François (1 de marzo de 2013). Análisis de frecuencia de tiempo . John Wiley e hijos. ISBN 9781118623831.
- ^ Driggers, Ronald G. (1 de enero de 2003). Enciclopedia de Ingeniería Óptica: Abe-Las, páginas 1-1024 . Prensa CRC. ISBN 9780824742508.
- ^ Okamoto, Kenʼichi (1 de enero de 2001). Teledetección ambiental global . IOS Press. ISBN 9781586031015.
Otras lecturas
- Leon Cohen, Análisis de frecuencia de tiempo , Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
- Frederick W. King, Transformaciones de Hilbert , vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
- B. Boashash, Análisis y procesamiento de señales de frecuencia de tiempo: una referencia completa , Elsevier Science, Oxford, 2003.
enlaces externos
- Señales analíticas y filtros de transformación de Hilbert