Momento angular

Physical quantity

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Momento angular
Este giroscopio permanece en posición vertical mientras gira debido a la conservación de su momento angular.
Símbolos comunes	L
En unidades base SI	kg m 2 s −1
¿ Conservado ?	sí
Derivaciones de otras cantidades	L = yo ω = r × p
Dimensión	M L 2 T −1

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Segunda ley del movimiento
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Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Categorias ► Mecánica clásica
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En física , el momento angular (raramente, momento de momento o momento de rotación ) es el equivalente rotacional del momento lineal . Es una cantidad importante en física porque es una cantidad conservada: el momento angular total de un sistema cerrado permanece constante.

En tres dimensiones , el momento angular de una partícula puntual es un pseudovector r × p , el producto cruzado del vector de posición de la partícula r (relativo a algún origen) y su vector de momento ; el último es p = m v en la mecánica newtoniana. Esta definición se puede aplicar a cada punto en continuos como sólidos o fluidos, o campos físicos . A diferencia del momento, el momento angular depende de dónde se elija el origen, ya que la posición de la partícula se mide a partir de él.

Al igual que para la velocidad angular , hay dos tipos especiales de momento angular: el momento angular de giro y el momento angular orbital. El momento angular de giro de un objeto se define como el momento angular alrededor de su centro de coordenadas de masa . El momento angular orbital de un objeto sobre un origen elegido se define como el momento angular del centro de masa sobre el origen. El momento angular total de un objeto es la suma de los momentos angulares de giro y orbital. El vector de momento angular orbital de una partícula puntual es siempre paralelo y directamente proporcional al vector de velocidad angular orbital ωde la partícula, donde la constante de proporcionalidad depende tanto de la masa de la partícula como de su distancia desde el origen. El vector de momento angular de espín de un cuerpo rígido es proporcional pero no siempre paralelo al vector de velocidad angular de espín Ω , lo que hace que la constante de proporcionalidad sea un tensor de segundo rango en lugar de un escalar.

El momento angular es una cantidad extensa; es decir, el momento angular total de cualquier sistema compuesto es la suma de los momentos angulares de sus partes constituyentes. Para un cuerpo rígido continuo, el momento angular total es la integral de volumen de la densidad del momento angular (es decir, el momento angular por unidad de volumen en el límite cuando el volumen se reduce a cero) en todo el cuerpo.

El par se puede definir como la tasa de cambio del momento angular, análoga a la fuerza . El par externo neto en cualquier sistema es siempre igual al par total en el sistema; en otras palabras, la suma de todos los pares internos de cualquier sistema es siempre 0 (este es el análogo rotacional de la Tercera Ley de Newton ). Por lo tanto, para un sistema cerrado (donde no hay par externo neto), el par total en el sistema debe ser 0, lo que significa que el momento angular total del sistema es constante. La conservación del momento angular ayuda a explicar muchos fenómenos observados, por ejemplo, el aumento de la velocidad de rotación de una patinadora artística que gira.a medida que se contraen los brazos del patinador, las altas tasas de rotación de las estrellas de neutrones , el efecto Coriolis y la precesión de los giroscopios . En general, la conservación limita el posible movimiento de un sistema, pero no determina de manera única cuál es el movimiento exacto.

En mecánica cuántica , el momento angular (como otras cantidades) se expresa como un operador , y sus proyecciones unidimensionales tienen valores propios cuantificados . El momento angular está sujeto al principio de incertidumbre de Heisenberg , lo que implica que, en cualquier momento, sólo se puede medir una proyección (también llamada "componente") con precisión definida; los otros dos permanecen entonces inciertos. Debido a esto, la noción de una partícula cuántica que literalmente "gira" alrededor de un eje no existe. Las partículas cuánticas hacen poseen un tipo de momento angular no orbital llamado "spin", pero este impulso angular no se corresponde con el movimiento real de giro físico. ^[1]

Definición en mecánica clásica

Artículos principales: vector escalar (física) y euclidiana

Momento angular orbital en dos dimensiones

La velocidad de la partícula m con respecto al origen O se puede descomponer en componentes paralelas a ( v _∥ ) y perpendiculares a ( v _⊥ ) el vector de radio r . El momento angular de m es proporcional a la componente perpendicular v _⊥ de la velocidad, o de manera equivalente, a la distancia perpendicular r _⊥ desde el origen.

El momento angular es una cantidad vectorial (más precisamente, un pseudovector ) que representa el producto de la inercia rotacional de un cuerpo y la velocidad rotacional (en radianes / seg) alrededor de un eje particular. Sin embargo, si la trayectoria de la partícula se encuentra en un solo plano , es suficiente descartar la naturaleza vectorial del momento angular y tratarlo como un escalar (más precisamente, un pseudoescalar ). ^{[2] El} momento angular se puede considerar un análogo rotacional del momento lineal . Así, cuando lineal impulso p es proporcional a la masa m yvelocidad lineal v ,

p = m v , {\displaystyle p=mv,}

El momento angular L es proporcional al momento de inercia I y la velocidad angular ω medida en radianes por segundo. ^[3]

L = I ω . {\displaystyle L=I\omega .}

A diferencia de la masa, que depende solo de la cantidad de materia, el momento de inercia también depende de la posición del eje de rotación y de la forma de la materia. A diferencia de la velocidad lineal, que no depende de la elección del origen, la velocidad angular orbital siempre se mide con respecto a un origen fijo. Por lo tanto, estrictamente hablando, L debería denominarse el momento angular relativo a ese centro . ^[4]

Porque para una sola partícula y para el movimiento circular, el momento angular se puede expandir y reducir a,${\displaystyle I=r^{2}m}$${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}}$${\displaystyle L=r^{2}m\cdot {\frac {v}{r}},}$

${\displaystyle L=rmv,}$

el producto del radio de rotación ry el momento lineal de la partícula , donde en este caso es la velocidad lineal (tangencial) equivalente en el radio ( ).${\displaystyle p=mv}$${\displaystyle v}$${\displaystyle =r\omega }$

Este análisis simple también se puede aplicar al movimiento no circular si solo se considera el componente del movimiento que es perpendicular al vector de radio . En ese caso,

${\displaystyle L=rmv_{\perp },}$

donde es la componente perpendicular del movimiento. Expandiendo, reorganizando y reduciendo, el momento angular también se puede expresar,${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$${\displaystyle L=rmv\sin(\theta ),}$${\displaystyle L=r\sin(\theta )mv,}$

${\displaystyle L=r_{\perp }mv,}$

donde es la longitud del brazo de momento , una línea que cae perpendicularmente desde el origen hasta la trayectoria de la partícula. Es esta definición, (longitud del brazo de momento) × (momento lineal) a la que se refiere el término momento de momento . ^[5]${\displaystyle r_{\perp }=r\sin(\theta )}$

Escalar: momento angular de la mecánica de Lagrange

Otro enfoque es definir el momento angular como el momento conjugado (también llamado momento canónico ) de la coordenada angular expresada en el Lagrangiano del sistema mecánico. Considere un sistema mecánico con una masa obligada a moverse en un círculo de radio en ausencia de cualquier campo de fuerza externo. La energía cinética del sistema es${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle a}$

T = 1 2 m a 2 ω 2 = 1 2 m a 2 ϕ ˙ 2 . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}ma^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}ma^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}

Y la energía potencial es

${\displaystyle U=0.}$

Entonces el lagrangiano es

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi ,{\dot {\phi }}\right)=T-U={\frac {1}{2}}ma^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$

El momento generalizado "conjugado canónicamente a" la coordenada se define por${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=ma^{2}{\dot {\phi }}=I\omega =L.}$

Momento angular orbital en tres dimensiones

Relación entre los vectores de fuerza ( F ), momento de torsión ( τ ), momento ( p ) y momento angular ( L ) en un sistema giratorio. r es el vector de posición .

Para definir completamente el momento angular orbital en tres dimensiones , se requiere conocer la velocidad a la que el vector de posición barre el ángulo, la dirección perpendicular al plano instantáneo de desplazamiento angular y la masa involucrada, así como cómo se distribuye esta masa. en el espacio. ^[6] Al retener esta naturaleza vectorial del momento angular, también se conserva la naturaleza general de las ecuaciones y pueden describir cualquier tipo de movimiento tridimensional alrededor del centro de rotación: circular , lineal o de otro tipo. En notación vectorial , el momento angular orbital de una partícula puntual en movimiento sobre el origen se puede expresar como:

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$

dónde

${\displaystyle I=r^{2}m}$es el momento de inercia de una masa puntual ,

ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}} es la velocidad angular orbital en radianes / seg (unidades 1 / seg) de la partícula alrededor del origen,

${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición de la partícula con respecto al origen ,${\displaystyle r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$es la velocidad lineal de la partícula relativa al origen, y

${\displaystyle m}$es la masa de la partícula.

Esto se puede ampliar, reducir y, según las reglas del álgebra vectorial , reorganizar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right)\\&=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$

que es el producto cruzado del vector de posición y el momento lineal de la partícula. Según la definición del producto cruzado, el vector es perpendicular a ambos y . Se dirige perpendicular al plano de desplazamiento angular, como lo indica la regla de la mano derecha , de modo que la velocidad angular se ve en sentido contrario a las agujas del reloj desde la cabeza del vector. Por el contrario, el vector define el plano en el que se encuentran y .${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

Al definir un vector unitario perpendicular al plano de desplazamiento angular, se obtiene una velocidad angular escalar , donde${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega \mathbf {\hat {u}} ={\boldsymbol {\omega }},}$ y

${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$donde es el componente perpendicular del movimiento, como arriba.${\displaystyle v_{\perp }}$

Por tanto, se puede dar dirección a las ecuaciones escalares bidimensionales de la sección anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=I{\boldsymbol {\omega }}\\&=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=\left(r^{2}m\right)\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=rmv_{\perp }\mathbf {\hat {u}} \\&=r_{\perp }mv\mathbf {\hat {u}} ,\end{aligned}}}$

y para el movimiento circular, donde todo el movimiento es perpendicular al radio .${\displaystyle \mathbf {L} =rmv\mathbf {\hat {u}} }$${\displaystyle r}$

En el sistema de coordenadas esféricas, el vector de momento angular se expresa como

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} \right).}$

Analogía con el momento lineal

El momento angular se puede describir como el análogo rotacional del momento lineal . Como el momento lineal, involucra elementos de masa y desplazamiento . A diferencia del momento lineal, también involucra elementos de posición y forma .

Muchos problemas en física involucran materia en movimiento alrededor de cierto punto en el espacio, ya sea en rotación real alrededor de él, o simplemente moviéndose más allá de él, donde se desea saber qué efecto tiene la materia en movimiento en el punto: ¿puede ejercer energía sobre él? o realizar un trabajo al respecto? La energía , la capacidad de trabajar , se puede almacenar en la materia poniéndola en movimiento, una combinación de su inercia y su desplazamiento. La inercia se mide por su masa y el desplazamiento por su velocidad . Su producto,

${\displaystyle {\begin{aligned}({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text{amount of (inertia⋅displacement)}}\\{\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{momentum}}\\m\times v&=p\\\end{aligned}}}$

es el impulso del asunto . ^[7] Referir este impulso a un punto central introduce una complicación: el impulso no se aplica directamente al punto. Por ejemplo, una partícula de materia en el borde exterior de una rueda está, en efecto, en el extremo de una palanca de la misma longitud que el radio de la rueda, y su impulso gira la palanca alrededor del punto central. Esta palanca imaginaria se conoce como brazo de momento . Tiene el efecto de multiplicar el esfuerzo del impulso en proporción a su longitud, un efecto conocido como momento . Por lo tanto, el momento de la partícula se refería a un punto particular,

${\displaystyle {\begin{aligned}({\text{moment arm}})\times ({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text{moment of (inertia⋅displacement)}}\\{\text{length}}\times {\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{moment of momentum}}\\r\times m\times v&=L\\\end{aligned}}}$

es el momento angular , a veces llamado, como aquí, el momento de momento de la partícula frente a ese punto central particular. La ecuación combina un momento (un brazo de momento de giro de masa ) con una velocidad lineal (equivalente en línea recta) . La velocidad lineal referida al punto central es simplemente el producto de la distancia y la velocidad angular versus el punto: otro momento. Por lo tanto, el momento angular contiene un momento doble: simplificando ligeramente, la cantidad es el momento de inercia de la partícula , a veces llamado segundo momento de masa. Es una medida de inercia rotacional. ^[8]${\displaystyle L=rmv}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle v=r\omega ,}$${\displaystyle L=rmr\omega .}$${\displaystyle L=r^{2}m\omega ,}$${\displaystyle r^{2}m}$

El momento de inercia (mostrado aquí), y por lo tanto el momento angular, es diferente para cada configuración posible de masa y eje de rotación .

Debido a que el momento de inercia es una parte crucial del momento angular de giro, este último incluye necesariamente todas las complicaciones del primero, que se calcula multiplicando los bits elementales de la masa por los cuadrados de sus distancias desde el centro de rotación. ^[9] Por lo tanto, el momento total de inercia y el momento angular es una función compleja de la configuración de la materia alrededor del centro de rotación y la orientación de la rotación para los distintos bits.

Para un cuerpo rígido , por ejemplo una rueda o un asteroide, la orientación de rotación es simplemente la posición del eje de rotación frente a la materia del cuerpo. Puede pasar o no a través del centro de masa , o puede estar completamente fuera del cuerpo. Para el mismo cuerpo, el momento angular puede tomar un valor diferente para cada eje posible alrededor del cual puede tener lugar la rotación. ^[10] Alcanza un mínimo cuando el eje pasa por el centro de masa. ^[11]

Para una colección de objetos que giran alrededor de un centro, por ejemplo, todos los cuerpos del Sistema Solar , las orientaciones pueden estar algo organizadas, como es el Sistema Solar, con la mayoría de los ejes de los cuerpos cerca del eje del sistema. Sus orientaciones también pueden ser completamente aleatorias.

En resumen, cuanto más masa y más lejos está del centro de rotación (cuanto más largo es el brazo de momento ), mayor es el momento de inercia y, por lo tanto, mayor es el momento angular para una velocidad angular dada . En muchos casos, el momento de inercia , y por lo tanto el momento angular, se puede simplificar mediante, ^[12]

I = k 2 m , {\displaystyle I=k^{2}m,}

donde es el radio de giro , la distancia desde el eje en el que toda la masa puede considerarse concentrada.${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

De manera similar, para una masa puntual, el momento de inercia se define como,${\displaystyle m}$

${\displaystyle I=r^{2}m}$

donde es el radio de la masa puntual desde el centro de rotación,${\displaystyle r}$

y para cualquier colección de partículas como la suma,${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i}I_{i}=\sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$

La dependencia del momento angular de la posición y la forma se refleja en sus unidades frente a la cantidad de movimiento: kg⋅m ² / s, N⋅m⋅s, o J⋅s para el momento angular frente kg⋅m / s o N⋅s para movimiento lineal. Al calcular el momento angular como el producto del momento de inercia por la velocidad angular, la velocidad angular debe expresarse en radianes por segundo, donde el radianes asume el valor adimensional de la unidad. (Cuando se realiza un análisis dimensional, puede ser productivo utilizar el análisis orientacional que trata los radianes como una unidad base, pero esto está fuera del alcance del sistema internacional de unidades ). Las unidades del momento angular se pueden interpretar como par⋅tiempo o como energía⋅tiempo por ángulo. Un objeto con momento angular de L N⋅m⋅s se puede reducir a rotación cero (toda la energía de rotación se puede transferir fuera de él) mediante un impulso angular de L N⋅m⋅s ^[13] o, de manera equivalente, mediante torque o trabajo de L N⋅m durante un segundo, o energía de L J durante un segundo. ^[14]

El plano perpendicular al eje de momento angular y que pasa por el centro de masa ^{[15] a} veces se denomina plano invariable , porque la dirección del eje permanece fija si solo las interacciones de los cuerpos dentro del sistema, libres de influencias externas, son considerados. ^[16] Uno de esos planos es el plano invariable del Sistema Solar .

Momento angular y torque

Ver también: Torque § Definición y relación con el momento angular

La segunda ley del movimiento de Newton se puede expresar matemáticamente,

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

o fuerza = masa × aceleración . El equivalente rotacional para partículas puntuales se puede derivar de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$

lo que significa que el par (es decir, la derivada del momento angular en el tiempo) es

τ = d I d t ω + I d ω d t . {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}.}

Debido a que el momento de inercia es , se sigue que , y que, se reduce a${\displaystyle mr^{2}}$${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.}$

Este es el análogo rotacional de la Segunda Ley de Newton. Tenga en cuenta que el par no es necesariamente proporcional o paralelo a la aceleración angular (como cabría esperar). La razón de esto es que el momento de inercia de una partícula puede cambiar con el tiempo, algo que no puede ocurrir con la masa ordinaria.

Conservación del momento angular

Una patinadora artística en un giro utiliza la conservación del momento angular: disminuir su momento de inercia al dibujar sus brazos y piernas aumenta su velocidad de rotación .

Consideraciones generales

Un análogo rotacional de la tercera ley del movimiento de Newton podría escribirse: "En un sistema cerrado , no se puede ejercer torque sobre ninguna materia sin el esfuerzo sobre alguna otra materia de un torque igual y opuesto". ^[17] Por lo tanto, el momento angular se puede intercambiar entre objetos en un sistema cerrado, pero el momento angular total antes y después de un intercambio permanece constante (se conserva). ^[18]

Visto de otra manera, un análogo rotacional de la primera ley del movimiento de Newton podría escribirse: "Un cuerpo rígido continúa en un estado de rotación uniforme a menos que sea actuado por una influencia externa". ^[17] Por lo tanto, sin influencia externa que actúe sobre él, el momento angular original del sistema permanece constante . ^[19]

La conservación del momento angular se utiliza para analizar el movimiento de la fuerza central . Si la fuerza neta sobre algún cuerpo se dirige siempre hacia algún punto, el centro , entonces no hay torsión en el cuerpo con respecto al centro, ya que toda la fuerza se dirige a lo largo del vector del radio y ninguna es perpendicular al radio. . Matemáticamente, par porque en este caso y son vectores paralelos. Por lo tanto, el momento angular del cuerpo alrededor del centro es constante. Este es el caso de la atracción gravitacional en las órbitas de planetas y satélites.${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$, donde la fuerza gravitacional siempre se dirige hacia el cuerpo primario y los cuerpos en órbita conservan el momento angular al intercambiar la distancia y la velocidad a medida que se mueven alrededor del primario. El movimiento de fuerza central también se utiliza en el análisis del modelo de Bohr del átomo .

Para un planeta, el momento angular se distribuye entre el giro del planeta y su revolución en su órbita, y estos a menudo se intercambian mediante varios mecanismos. La conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna da como resultado la transferencia del momento angular de la Tierra a la Luna, debido al par de marea que la Luna ejerce sobre la Tierra. Esto, a su vez, da como resultado una ralentización de la velocidad de rotación de la Tierra, a unos 65,7 nanosegundos por día, ^[20] y un aumento gradual del radio de la órbita de la Luna, a unos 3,82 centímetros por año. ^[21]

El momento de torsión causado por las dos fuerzas opuestas F _g y - F _g provoca un cambio en el momento angular L en la dirección de ese momento de torsión (ya que el momento de torsión es la derivada del momento angular con el tiempo). Esto hace que la parte superior de precesión .

La conservación del momento angular explica la aceleración angular de una patinadora sobre hielo cuando acerca sus brazos y piernas al eje vertical de rotación. Al acercar parte de la masa de su cuerpo al eje, disminuye el momento de inercia de su cuerpo. Debido a que el momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular , si el momento angular permanece constante (se conserva), entonces la velocidad angular (velocidad de rotación) del patinador debe aumentar.

El mismo fenómeno da como resultado un giro extremadamente rápido de estrellas compactas (como enanas blancas , estrellas de neutrones y agujeros negros ) cuando se forman a partir de estrellas de rotación mucho más grandes y más lentas. La disminución del tamaño de un objeto n veces da como resultado un aumento de su velocidad angular por el factor de n ² .

La conservación no siempre es una explicación completa de la dinámica de un sistema, pero es una limitación clave. Por ejemplo, un hilado superior está sujeto al par gravitacional por lo que es se incline sobre y cambiar el momento angular sobre la nutación del eje, pero se ignora la fricción en el punto de contacto de giro, que tiene un momento angular conservada alrededor de su eje de giro, y otro sobre su eje de precesión . Además, en cualquier sistema planetario , los planetas, la (s) estrella (s), los cometas y los asteroides pueden moverse de muchas formas complicadas, pero solo para que se conserve el momento angular del sistema.

El teorema de Noether establece que toda ley de conservación está asociada con una simetría (invariante) de la física subyacente. La simetría asociada con la conservación del momento angular es la invariancia rotacional . El hecho de que la física de un sistema no cambie si se gira en cualquier ángulo alrededor de un eje implica que se conserva el momento angular. ^[22]

Relación con la segunda ley del movimiento de Newton

Si bien la conservación total del momento angular se puede entender por separado de las leyes del movimiento de Newton como derivadas del teorema de Noether en sistemas simétricos bajo rotaciones, también se puede entender simplemente como un método eficiente de cálculo de resultados al que también se puede llegar directamente a partir del segundo método de Newton. ley, junto con las leyes que gobiernan las fuerzas de la naturaleza (como la tercera ley de Newton, las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz ). De hecho, dadas las condiciones iniciales de posición y velocidad para cada punto, y las fuerzas en tal condición, se puede usar la segunda ley de Newton para calcular la segunda derivada de la posición, y resolver esto brinda información completa sobre el desarrollo del sistema físico con hora.^[23] Sin embargo, tenga en cuenta que esto ya no es cierto en la mecánica cuántica , debido a la existencia del giro de las partículas , que es un momento angular que no puede describirse por el efecto acumulativo de los movimientos puntuales en el espacio.

Como ejemplo, considere la disminución del momento de inercia , por ejemplo, cuando un patinador artístico está tirando de sus manos, acelerando el movimiento circular. En términos de conservación del momento angular, tenemos, para el momento angular L , momento de inercia I y velocidad angular ω :

${\displaystyle 0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega }$

Usando esto, vemos que el cambio requiere una energía de:

${\displaystyle dE=d\left({\frac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\frac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\frac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$

de modo que una disminución del momento de inercia requiere invertir energía.

Esto se puede comparar con el trabajo realizado calculado utilizando las leyes de Newton. Cada punto del cuerpo giratorio se acelera, en cada momento, con una aceleración radial de:

${\displaystyle -r\cdot \omega ^{2}}$

Observemos un punto de masa m , cuyo vector de posición relativo al centro de movimiento es paralelo al eje z en un momento dado, y está a una distancia z . La fuerza centrípeta en este punto, manteniendo el movimiento circular, es:

${\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}$

Por lo tanto, el trabajo requerido para mover este punto a una distancia dz más lejos del centro de movimiento es:

${\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\frac {1}{2}}z^{2}\right)}$

Para un cuerpo no puntual, se debe integrar sobre esto, reemplazando m por la densidad de masa por unidad z . Esto da:

${\displaystyle dW=-{\frac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$

que es exactamente la energía requerida para mantener el momento angular conservado.

Tenga en cuenta que el cálculo anterior también se puede realizar por masa, utilizando únicamente cinemática . Por lo tanto, el fenómeno del patinador que acelera la velocidad tangencial mientras tira de sus manos hacia adentro, se puede entender de la siguiente manera en un lenguaje común: las palmas del patinador no se mueven en línea recta, por lo que están acelerando constantemente hacia adentro, pero no ganan velocidad adicional. porque la aceleración siempre se realiza cuando su movimiento hacia adentro es cero. Sin embargo, esto es diferente al acercar las palmas al cuerpo: la aceleración debida a la rotación ahora aumenta la velocidad; pero debido a la rotación, el aumento de velocidad no se traduce en una velocidad significativa hacia el interior, sino en un aumento de la velocidad de rotación.

En formalismo lagrangiano

En la mecánica de Lagrange , el momento angular para la rotación alrededor de un eje dado, es el momento conjugado de la coordenada generalizada del ángulo alrededor del mismo eje. Por ejemplo, el momento angular alrededor del eje z es:${\displaystyle L_{z}}$

${\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}}$

donde es el lagrangiano y es el ángulo alrededor del eje z.${\displaystyle {\cal {L}}}$${\displaystyle \theta _{z}}$

Tenga en cuenta que la derivada del ángulo con el tiempo es la velocidad angular . Normalmente, el lagrangiano depende de la velocidad angular a través de la energía cinética: esta última se puede escribir separando la velocidad en su parte radial y tangencial, siendo la parte tangencial en el plano xy, alrededor del eje z, igual a:${\displaystyle {\dot {\theta }}_{z}}$ ${\displaystyle \omega _{z}}$

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$

donde el subíndice i representa el i-ésimo cuerpo, y m , v _T y ω _z representan la masa, la velocidad tangencial alrededor del eje zy la velocidad angular alrededor de ese eje, respectivamente.

Para un cuerpo que no es puntual, con densidad ρ , tenemos en su lugar:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$

donde I _z es el momento de inercia alrededor del eje z.

Por lo tanto, asumiendo que la energía potencial no depende de ω _z (esta suposición puede fallar para los sistemas electromagnéticos), tenemos el momento angular del i-ésimo objeto:

${\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}}$

Hasta ahora hemos rotado cada objeto en un ángulo separado; también podemos definir un ángulo general θ _z por el cual rotamos todo el sistema, rotando así también cada objeto alrededor del eje z, y tenemos el momento angular total:

${\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$

De las ecuaciones de Euler-Lagrange se sigue que:

${\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}$

Dado que el lagrangiano depende de los ángulos del objeto solo a través del potencial, tenemos:

${\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}}$

que es el par en el i-ésimo objeto.

Suponga que el sistema es invariante a las rotaciones, de modo que el potencial es independiente de una rotación general por el ángulo θ _z (por lo tanto, puede depender de los ángulos de los objetos solo a través de sus diferencias, en la forma ). Por lo tanto, obtenemos para el momento angular total:${\displaystyle V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}$

${\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0}$

Y así se conserva el momento angular alrededor del eje z.

Este análisis se puede repetir por separado para cada eje, dando conversación sobre el vector de momento angular. Sin embargo, los ángulos alrededor de los tres ejes no pueden tratarse simultáneamente como coordenadas generalizadas, ya que no son independientes; en particular, dos ángulos por punto son suficientes para determinar su posición. Si bien es cierto que en el caso de un cuerpo rígido, describirlo completamente requiere, además de tres grados de libertad de traslación , también la especificación de tres grados de libertad de rotación; sin embargo, estos no pueden definirse como rotaciones alrededor de los ejes cartesianos (ver ángulos de Euler ). Esta salvedad se refleja en la mecánica cuántica en las relaciones de conmutación no triviales de los diferentes componentes deloperador de momento angular .

En formalismo hamiltoniano

De manera equivalente, en la mecánica hamiltoniana, el hamiltoniano se puede describir como una función del momento angular. Como antes, la parte de la energía cinética relacionada con la rotación alrededor del eje z para el i-ésimo objeto es:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}$

que es análoga a la dependencia energética sobre impulso a lo largo del eje z, .${\displaystyle {\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}$

Las ecuaciones de Hamilton relacionan el ángulo alrededor del eje z con su momento conjugado, el momento angular alrededor del mismo eje:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

La primera ecuación da

${\displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$

Y así obtenemos los mismos resultados que en el formalismo lagrangiano.

Tenga en cuenta que para combinar todos los ejes, escribimos la energía cinética como:

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|{\bf {{p}_{i}|^{2}}}}{2m_{i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}{\bf {{L}_{i}}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}{\bf {{L}_{i}}}\right)}$

donde p _r es el momento en la dirección radial y el momento de inercia es una matriz tridimensional ; las letras en negrita representan vectores tridimensionales.

Para cuerpos puntiagudos tenemos:

${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {|{\bf {{L}_{i}}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)}$

Esta forma de la parte de energía cinética del hamiltoniano es útil para analizar problemas potenciales centrales y se transforma fácilmente en un marco de trabajo mecánico cuántico (por ejemplo, en el problema del átomo de hidrógeno ).

Momento angular en la mecánica orbital

Artículo principal: momento angular relativo específico

Si bien en la mecánica clásica el lenguaje del momento angular puede ser reemplazado por las leyes del movimiento de Newton, es particularmente útil para el movimiento en potencial central , como el movimiento planetario en el sistema solar. Por lo tanto, la órbita de un planeta en el sistema solar se define por su energía, momento angular y ángulos del eje principal de la órbita con respecto a un marco de coordenadas.

En astrodinámica y mecánica celeste , se define un momento angular sin masa (o por unidad de masa ) ^[24]

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,}$

llamado momento angular específico . Tenga en cuenta que la masa a menudo no es importante en los cálculos de la mecánica orbital, porque el movimiento se define por la gravedad . El cuerpo primario del sistema es a menudo mucho más grande que cualquier cuerpo en movimiento a su alrededor que los cuerpos más pequeños tienen un efecto gravitacional insignificante sobre él; es, en efecto, estacionario. Aparentemente, todos los cuerpos son atraídos por su gravedad de la misma manera, independientemente de su masa, y por lo tanto todos se mueven aproximadamente de la misma manera en las mismas condiciones.${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {h} .}$

Cuerpos sólidos

El momento angular también es un concepto extremadamente útil para describir cuerpos rígidos en rotación, como un giroscopio o un planeta rocoso. Para una distribución de masa continua con función de densidad ρ ( r ), un elemento de volumen diferencial dV con vector de posición r dentro de la masa tiene un elemento de masa dm = ρ ( r ) dV . Por tanto, el momento angular infinitesimal de este elemento es:

${\displaystyle d\mathbf {L} =\mathbf {r} \times dm\mathbf {v} =\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )dV\mathbf {v} =dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v} }$

e integrar este diferencial sobre el volumen de toda la masa da su momento angular total:

${\displaystyle \mathbf {L} =\int _{V}dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v} }$

En la derivación que sigue, integrales similares a esta pueden reemplazar las sumas para el caso de masa continua.

Colección de partículas

El momento angular de las partículas i es la suma de los productos cruzados R × M V + Σ r _i × m _i v _i .

Para una colección de partículas en movimiento alrededor de un origen arbitrario, es informativo desarrollar la ecuación del momento angular resolviendo su movimiento en componentes alrededor de su propio centro de masa y alrededor del origen. Dado,

${\displaystyle m_{i}}$es la masa de la partícula ,${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$es el vector de posición de la partícula frente al origen,${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$es la velocidad de la partícula frente al origen,${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {R} }$ es el vector de posición del centro de masa frente al origen,

${\displaystyle \mathbf {V} }$ es la velocidad del centro de masa frente al origen,

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$es el vector de posición de la partícula frente al centro de masa,${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$es la velocidad de la partícula frente al centro de masa,${\displaystyle i}$

La masa total de las partículas es simplemente su suma,

${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.}$

El vector de posición del centro de masa está definido por, ^[25]

${\displaystyle M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.}$

Mediante inspección,

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$ y ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.}$

El momento angular total de la colección de partículas es la suma del momento angular de cada partícula,

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\left(\mathbf {R} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right)}$     ( 1 )

Expandiendo ,${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{aligned}}}$

Expandiendo ,${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que (ver barra lateral),

Pruebalo ${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \\m_{i}\mathbf {r} _{i}&=m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \right)\\\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}&=\sum _{i}m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \right)\\&=\sum _{i}(m_{i}\mathbf {R} _{i}-m_{i}\mathbf {R} )\\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} \\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\left(\sum _{i}m_{i}\right)\mathbf {R} \\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-M\mathbf {R} \end{aligned}}}$ que, por la definición del centro de masa, es y de manera similar para${\displaystyle \mathbf {0} ,}$${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$ y ${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

por lo tanto, el segundo y tercer términos desaparecen,

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

El primer término se puede reorganizar,

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} ,}$

y el momento angular total para la colección de partículas es finalmente, ^[26]

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}}$     ( 2 )

El primer término es el momento angular del centro de masa en relación con el origen. Similar a la sola partícula , a continuación, es el momento angular de una partícula de masa M en el centro de masa se mueve con velocidad V . El segundo término es el momento angular de las partículas que se mueven en relación con el centro de masa, similar al Centro de masa fijo , a continuación. El resultado es general: el movimiento de las partículas no se limita a la rotación o revolución alrededor del origen o centro de masa. Las partículas no necesitan ser masas individuales, pero pueden ser elementos de una distribución continua, como un cuerpo sólido.

Reordenando la ecuación ( 2 ) por identidades vectoriales, multiplicando ambos términos por "uno" y agrupando apropiadamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\left(\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left({\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{aligned}}}$

da el momento angular total del sistema de partículas en términos de momento de inercia y velocidad angular ,${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}+\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}.}$     ( 3 )

Caso de una sola partícula

En el caso de que una sola partícula se mueva sobre el origen arbitrario,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,\\\mathbf {r} &=\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {V} ,\\m&=M,\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle \sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}=\mathbf {0} ,}$y las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) para el momento angular total se reducen a,

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {R} \times m\mathbf {V} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}.}$

Caso de un centro de masa fijo

Para el caso del centro de masa fijo en el espacio con respecto al origen,

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times M\mathbf {V} =\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}=\mathbf {0} ,}$y las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) para el momento angular total se reducen a,

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}.}$

Momento angular en la relatividad general

El momento angular 3 como bivector (elemento plano) y vector axial , de una partícula de masa m con 3 posiciones instantáneas x y 3 momentos p .

Artículo principal: momento angular relativista

En la física teórica moderna (siglo XX), el momento angular (sin incluir ningún momento angular intrínseco, ver más abajo ) se describe utilizando un formalismo diferente, en lugar de un pseudovector clásico . En este formalismo, el momento angular es la carga de Noether de 2 formas asociada con la invariancia rotacional. Como resultado, el momento angular no se conserva para los espaciotiempos curvos generales , a menos que sea asintóticamente invariante rotacionalmente. ^{[ cita requerida ]}

En la mecánica clásica, el momento angular de una partícula se puede reinterpretar como un elemento plano:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \wedge \mathbf {p} \,,}$

en el que el producto exterior ∧ reemplaza al producto cruzado × (estos productos tienen características similares pero no son equivalentes). Esto tiene la ventaja de una interpretación geométrica más clara como un elemento plano, definido a partir de las x y p vectores, y la expresión es verdadera en cualquier número de dimensiones (dos o más altas). En coordenadas cartesianas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(xp_{y}-yp_{x}\right)\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y}+\left(yp_{z}-zp_{y}\right)\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+\left(zp_{x}-xp_{z}\right)\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\\&=L_{xy}\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y}+L_{yz}\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+L_{zx}\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\,,\end{aligned}}}$

o de forma más compacta en notación de índice:

${\displaystyle L_{ij}=x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}\,.}$

La velocidad angular también se puede definir como un tensor de segundo orden antisimétrico, con componentes ω _ij . La relación entre los dos tensores antisimétricos viene dada por el momento de inercia que ahora debe ser un tensor de cuarto orden: ^[27]

${\displaystyle L_{ij}=I_{ijk\ell }\omega _{k\ell }\,.}$

Nuevamente, esta ecuación en L y ω como tensores es verdadera en cualquier número de dimensiones. Esta ecuación también aparece en el formalismo de álgebra geométrica , en el que L y ω son bivectores, y el momento de inercia es un mapeo entre ellos.

En la mecánica relativista , el momento angular relativista de una partícula se expresa como un tensor antisimétrico de segundo orden:

${\displaystyle M_{\alpha \beta }=X_{\alpha }P_{\beta }-X_{\beta }P_{\alpha }}$

en el lenguaje de los cuatro vectores , a saber, la posición X de cuatro y el momento P de cuatro , y absorbe la L anterior junto con el movimiento del centro de masa de la partícula.

En cada uno de los casos anteriores, para un sistema de partículas, el momento angular total es solo la suma de los momentos angulares de las partículas individuales, y el centro de masa es para el sistema.

Momento angular en mecánica cuántica

Artículo principal: operador de momento angular

El momento angular en la mecánica cuántica difiere en muchos aspectos profundos del momento angular en la mecánica clásica . En la mecánica cuántica relativista , difiere aún más, en el que la definición relativista anterior se convierte en un operador tensorial.

Giro, momento orbital y angular total

Artículo principal: Spin (física)

Momentos angulares de un objeto clásico .

• Izquierda: el momento angular de "giro" S es realmente el momento angular orbital del objeto en cada punto.
• Derecha: momento angular orbital extrínseco L alrededor de un eje.
• Arriba: el tensor de momento de inercia I y la velocidad angular ω ( L no siempre es paralelo a ω ). ^[28]
• Abajo: momento py su posición radial r desde el eje. El momento angular total (giro más orbital) es J . Para una partícula cuántica , las interpretaciones son diferentes; giro de partículas no no tiene la interpretación anterior.

La definición clásica del momento angular como puede ser arrastrado a la mecánica cuántica, por la reinterpretación de r como el quantum operador posición y p como el quantum operador momento . Entonces L es un operador , específicamente llamado operador de momento angular orbital . Los componentes del operador de momento angular satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie, por lo que (3). De hecho, estos operadores son precisamente la acción infinitesimal del grupo de rotación en el espacio cuántico de Hilbert. ^[29] (Véase también la discusión a continuación sobre los operadores de momento angular como generadores de rotaciones).${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

Sin embargo, en la física cuántica, hay otro tipo de momento angular, llamada momento angular de espín , representada por el operador de espín S . Casi todas las partículas elementales tienen un giro distinto de cero. ^{[30] El} giro se describe a menudo como una partícula que literalmente gira alrededor de un eje, pero esta es una imagen engañosa e inexacta: el giro es una propiedad intrínseca de una partícula, no relacionada con ningún tipo de movimiento en el espacio y fundamentalmente diferente del momento angular orbital. Todas las partículas elementales tienen un espín característico (posiblemente cero), ^[31] por ejemplo, los electrones tienen "espín 1/2" (esto en realidad significa "espín ħ / 2"), fotonestienen "espín 1" (esto en realidad significa "espín ħ"), y los mesones pi tienen espín 0. ^[32]

Finalmente, está el momento angular total J , que combina el momento angular orbital y de espín de todas las partículas y campos. (Para una partícula, J = L + S. ) La conservación del momento angular se aplica a J , pero no a L o S ; por ejemplo, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera hacia adelante y hacia atrás entre L y S , con el total restante constante. Los electrones y fotones no necesitan tener valores basados ​​en números enteros para el momento angular total, pero también pueden tener valores fraccionarios. ^[33]

En las moléculas del momento cinético total F es la suma de la rovibronic (orbital) de movimiento angular N , el espín electrónico momento angular S , y el espín nuclear momento angular I . Para los estados singlete electrónicos el momento angular rovibronic se denota J en lugar de N . Como explica Van Vleck, ^[34] los componentes del momento angular rovibrónico molecular referidos a ejes fijos por moléculas tienen relaciones de conmutación diferentes de las de los componentes sobre ejes fijos en el espacio.

Cuantificación

En mecánica cuántica , el momento angular se cuantifica , es decir, no puede variar continuamente, sino solo en " saltos cuánticos " entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones sobre los resultados de la medición, donde es la constante de Planck reducida y es cualquier vector euclidiano como x, y o z:${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle {\hat {n}}}$

Si mides ...	El resultado puede ser ...
${\displaystyle L_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-2\hbar ,-\hbar ,0,\hbar ,2\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle S_{\hat {n}}}$ o ${\displaystyle J_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-{\frac {3}{2}}\hbar ,-\hbar ,-{\frac {1}{2}}\hbar ,0,{\frac {1}{2}}\hbar ,\hbar ,{\frac {3}{2}}\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle {\begin{aligned}&L^{2}\\={}&L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$, dónde ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$
${\displaystyle S^{2}}$ o ${\displaystyle J^{2}}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$, dónde ${\displaystyle n=0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\ldots }$

En esta onda estacionaria en una cuerda circular, el círculo se divide en exactamente 8 longitudes de onda . Una onda estacionaria como esta puede tener 0,1,2, o cualquier número entero de longitudes de onda alrededor del círculo, pero no puede tener un número no entero de longitudes de onda como 8.3. En mecánica cuántica, el momento angular se cuantifica por una razón similar.

(También existen restricciones adicionales, consulte el operador de momento angular para obtener más detalles).

La constante de Planck reducida es diminuta para los estándares cotidianos, alrededor de ^10-34 J s , y por lo tanto esta cuantificación no afecta de manera notable el momento angular de los objetos macroscópicos. Sin embargo, es muy importante en el mundo microscópico. Por ejemplo, la estructura de las capas y subcapas de electrones en química se ve significativamente afectada por la cuantificación del momento angular.${\displaystyle \hbar }$

La cuantificación del momento angular fue postulada por primera vez por Niels Bohr en su modelo de Bohr del átomo y más tarde fue predicha por Erwin Schrödinger en su ecuación de Schrödinger .

Incertidumbre

En la definición , seis operadores involucrados son: Los operadores de posición , , , y los operadores de momento , , . Sin embargo, el principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que no es posible que las seis cantidades se conozcan simultáneamente con precisión arbitraria. Por lo tanto, existen límites a lo que se puede conocer o medir sobre el momento angular de una partícula. Resulta que lo mejor que se puede hacer es medir simultáneamente tanto la magnitud del vector de momento angular como su componente a lo largo de un eje.${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ ${\displaystyle r_{x}}$${\displaystyle r_{y}}$${\displaystyle r_{z}}$ ${\displaystyle p_{x}}$${\displaystyle p_{y}}$${\displaystyle p_{z}}$

La incertidumbre está estrechamente relacionada con el hecho de que los diferentes componentes de un operador de momento angular no conmutan , por ejemplo . (Para conocer las relaciones de conmutación precisas , consulte el operador de momento angular ).${\displaystyle L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}}$

Momento angular total como generador de rotaciones

Como se mencionó anteriormente, el momento angular orbital L se define como en la mecánica clásica:, pero el momento angular total J se define de una manera diferente y más básica: J se define como el "generador de rotaciones". ^[35] Más específicamente, J se define de modo que el operador${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)}$

es el operador de rotación que toma cualquier sistema y lo gira en ángulo sobre el eje . (El "exp" en la fórmula se refiere al operador exponencial ) Para decirlo al revés, cualquiera que sea nuestro espacio cuántico de Hilbert, esperamos que el grupo de rotación SO (3) actúe sobre él. Entonces hay una acción asociada del álgebra de Lie, por lo que (3) de SO (3); los operadores que describen la acción de so (3) en nuestro espacio de Hilbert son los operadores de momento angular (total).${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

La relación entre el operador de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie en matemáticas. La estrecha relación entre el momento angular y las rotaciones se refleja en el teorema de Noether que prueba que el momento angular se conserva siempre que las leyes de la física sean invariantes en rotación.

Momento angular en electrodinámica

Ver también: Momentum (Partícula en campo)

Al describir el movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético , el momento canónico P (derivado del Lagrangiano para este sistema) no es invariante de calibre . Como consecuencia, el momento angular canónico L = r × P tampoco es invariante de calibre. En cambio, el impulso que es físico, el llamado impulso cinético (utilizado a lo largo de este artículo), es (en unidades SI )

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {P} -e\mathbf {A} }$

donde e es la carga eléctrica de la partícula y A el potencial del vector magnético del campo electromagnético. El momento angular invariante de calibre , que es el momento angular cinético , está dado por

${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {r} \times (\mathbf {P} -e\mathbf {A} )}$

La interacción con la mecánica cuántica se analiza con más detalle en el artículo sobre relaciones de conmutación canónica .

Momento angular en óptica

En la electrodinámica clásica de Maxwell, el vector de Poynting es una densidad de momento lineal del campo electromagnético. ^[36]

${\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).}$

El vector de densidad del momento angular viene dado por un producto vectorial como en la mecánica clásica: ^[37]${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {r} \times \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t).}$

Las identidades anteriores son válidas localmente , es decir, en cada punto del espacio en un momento dado .${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle t}$

Historia

Newton , en los Principia , insinuó el momento angular en sus ejemplos de la Primera Ley del Movimiento ,

Un trompo, cuyas partes por su cohesión son perpetuamente arrastradas al margen de los movimientos rectilíneos, no cesa su rotación si no es retardada por el aire. Los cuerpos más grandes de los planetas y cometas, encontrándose con menos resistencia en más espacios libres, conservan sus movimientos tanto progresivos como circulares durante mucho más tiempo. ^[38]

No investigó más a fondo el momento angular directamente en los Principia ,

De este tipo de reflexiones también surgen a veces los movimientos circulares de los cuerpos alrededor de sus propios centros. Pero estos son casos que no considero en lo que sigue; y sería demasiado tedioso demostrar cada detalle que se relaciona con este tema. ^[39]

Sin embargo, su demostración geométrica de la ley de áreas es un ejemplo sobresaliente del genio de Newton, y demuestra indirectamente la conservación del momento angular en el caso de una fuerza central .

La ley de áreas

Artículos principales: Problema clásico de fuerza central y velocidad de área

Derivación de Newton

Derivación de Newton de la ley del área usando medias geométricas.

Cuando un planeta orbita alrededor del Sol , la línea entre el Sol y el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto se sabía desde que Kepler expuso su segunda ley del movimiento planetario . Newton derivó una prueba geométrica única y pasó a demostrar que la fuerza de atracción de la gravedad del Sol era la causa de todas las leyes de Kepler.

Durante el primer intervalo de tiempo, un objeto está en movimiento desde el punto A al punto B . Sin ser molestado, continuaría apuntando c durante el segundo intervalo. Cuando el objeto llega a B , que recibe un impulso dirigido hacia el punto S . El impulso le da una pequeña velocidad adicional hacia S , de modo que si esta fuera su única velocidad, se movería de B a V durante el segundo intervalo. Según las reglas de composición de velocidades , estas dos velocidades se suman y el punto C se encuentra mediante la construcción del paralelogramo BcCV. Así, la trayectoria del objeto es desviada por el impulso de modo que llega al punto C al final del segundo intervalo. Debido a que los triángulos SBc y SBC tienen la misma base SB y la misma altura Bc o VC , tienen la misma área. Por simetría, el triángulo SBc también tiene la misma área que el triángulo SAB , por lo tanto, el objeto ha barrido áreas iguales SAB y SBC en tiempos iguales.

En el punto C , el objeto recibe otro impulso hacia S , otra vez desviando su trayectoria durante el tercer intervalo de d a D . Por lo tanto, continúa hacia E y más allá, los triángulos SAB , SBc , SBC , SCd , SCD , SDe , SDE todos tienen la misma área. Permitiendo que los intervalos de tiempo sean cada vez más pequeños, la trayectoria ABCDE se acerca indefinidamente a una curva continua.

Tenga en cuenta que debido a que esta derivación es geométrica y no se aplica una fuerza específica, demuestra una ley más general que la segunda ley del movimiento planetario de Kepler. Muestra que la Ley de Áreas se aplica a cualquier fuerza central, atractiva o repulsiva, continua o discontinua o nula.

Conservación del momento angular en la Ley de áreas

La proporcionalidad del momento angular con el área barrida por un objeto en movimiento puede entenderse al darse cuenta de que las bases de los triángulos, es decir, las líneas desde S al objeto, son equivalentes al radio r , y que las alturas de los triángulos los triángulos son proporcionales a la componente perpendicular de la velocidad v ⊥ . Por lo tanto, si el área barrida por unidad de tiempo es constante, entonces por la fórmula del área triangular1/2(base) (altura) , el producto (base) (altura) y por lo tanto el producto rv _⊥ son constantes: si r y la longitud de la base disminuyen, v _⊥ y la altura deben aumentar proporcionalmente. La masa es constante, por lo tanto, el momento angular rmv ⊥ se conserva mediante este intercambio de distancia y velocidad.

En el caso del triángulo SBC , el área es igual a1/2( SB ) ( VC ). Dondequiera que C se ubique finalmente debido al impulso aplicado en B , el producto ( SB ) ( VC ) y, por lo tanto, rmv _⊥ permanecen constantes. De manera similar para cada uno de los triángulos.

Después de Newton

Leonhard Euler , Daniel Bernoulli y Patrick d'Arcy entendieron el momento angular en términos de conservación de la velocidad del área , como resultado de su análisis de la segunda ley de Kepler del movimiento planetario. Es poco probable que se dieran cuenta de las implicaciones para la materia en rotación ordinaria. ^[40]

En 1736 Euler, al igual que Newton, abordó algunas de las ecuaciones del momento angular en su Mechanica sin desarrollarlas más. ^[41]

Bernoulli escribió en una carta de 1744 sobre un "momento de movimiento rotacional", posiblemente la primera concepción del momento angular tal como lo entendemos ahora. ^[42]

En 1799, Pierre-Simon Laplace se dio cuenta por primera vez de que un plano fijo estaba asociado con la rotación: su plano invariable .

Louis Poinsot en 1803 comenzó a representar rotaciones como un segmento de línea perpendicular a la rotación y elaboró ​​sobre la "conservación de momentos".

En 1852, Léon Foucault utilizó un giroscopio en un experimento para mostrar la rotación de la Tierra.

El Manual de Mecánica Aplicada de 1858 de William JM Rankine definió el momento angular en el sentido moderno por primera vez:

... una línea cuya longitud es proporcional a la magnitud del momento angular, y cuya dirección es perpendicular al plano de movimiento del cuerpo y del punto fijo, y tal, que cuando el movimiento del cuerpo se ve desde el extremo de la línea, el radio-vector del cuerpo parece tener rotación a la derecha.

En una edición de 1872 del mismo libro, Rankine declaró que "El término momento angular fue introducido por el Sr. Hayward", ^[43] probablemente refiriéndose al artículo de RB Hayward Sobre un método directo de estimación de velocidades, aceleraciones y todas las cantidades similares con respecto a a Axes movibles de cualquier manera en Space with Applications, ^[44] que se introdujo en 1856 y se publicó en 1864. Rankine estaba equivocado, ya que numerosas publicaciones presentan el término a partir de finales del siglo XVIII y principios del XIX. ^[45] Sin embargo, el artículo de Hayward aparentemente fue el primer uso del término y el concepto visto por gran parte del mundo de habla inglesa. Antes de esto, el momento angular se denominaba típicamente "momento de rotación" en inglés.^[46]

Ver también

• Momento angular absoluto
• Acoplamiento de momento angular
• Momento angular de la luz
• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Análogos de rotación lineal
• Órdenes de magnitud (momento angular)
• Pseudovector de Pauli – Lubanski
• Momento angular relativo
• Momento angular relativista
• Rotor rígido
• Energía rotacional
• Momento angular relativo específico
• Yrast

Notas al pie

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44. Hayward, Robert B. (1864). "Sobre un método directo de estimación de velocidades, aceleraciones y todas las cantidades similares con respecto a los ejes móviles de cualquier manera en el espacio con aplicaciones" . Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 10 : 1. Código Bibliográfico : 1864TCaPS..10 .... 1H .
45. ver, por ejemplo, Gompertz, Benjamin (1818). "Sobre Péndulos vibrando entre Mejillas" . La Revista de Ciencias y Artes . III (V): 17 - a través de Google Books.; Herapath, John (1847). Física Matemática . Whittaker and Co., Londres. pag. 56 - a través de Google Books.
46. ver, por ejemplo, Landen, John (1785). "Del movimiento rotatorio de un cuerpo de cualquier forma". Transacciones filosóficas . LXXV (I): 311–332. doi : 10.1098 / rstl.1785.0016 . S2CID 186212814 . 

Referencias

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