Relaciones binarias | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Un " ✓ " indica que la propiedad de la columna es necesaria en la definición de la fila. Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica. Todas las definiciones requieren tácitamente transitividad y reflexividad . |
En matemáticas , una relación R en un conjunto X es antisimétrica si no hay un par de elementos distintos de X, cada uno de los cuales está relacionado por R con el otro. Más formalmente, R es antisimétrico precisamente si para todo a y b en X
- si R ( a , b ) con a ≠ b , entonces R ( b , a ) no debe mantenerse,
o equivalente,
- si R ( a , b ) y R ( b , a ), entonces a = b .
(La definición de antisimetría no dice nada sobre si R ( a , a ) realmente se cumple o no para cualquier a ).
Ejemplos de
La relación de divisibilidad de los números naturales es un ejemplo importante de relación antisimétrica. En este contexto, la antisimetría significa que la única forma en que cada uno de dos números puede ser divisible por el otro es si los dos son, de hecho, el mismo número; equivalentemente, si n y m son distintos y n es un factor de m , entonces m no puede ser un factor de n . Por ejemplo, 12 es divisible por 4, pero 4 no es divisible por 12.
La habitual relación de orden ≤ sobre los números reales es antisimétrica: si por dos números reales x e y ambos desigualdades x ≤ Y y Y ≤ x sostienen entonces x y y deben ser iguales. De manera similar, el orden de subconjuntos ⊆ en los subconjuntos de cualquier conjunto dado es antisimétrico: dados dos conjuntos A y B , si cada elemento en A también está en B y cada elemento en B también está en A , entonces A y B deben contener todos los mismos elementos y por tanto ser iguales:
Un ejemplo de la vida real de una relación que es típicamente antisimétrica es "pagar la cuenta del restaurante" (entendido como restringido a una ocasión determinada). Por lo general, algunas personas pagan sus propias facturas, mientras que otras pagan por sus cónyuges o amigos. Mientras no haya dos personas que paguen las cuentas, la relación es antisimétrica.
Propiedades
Los pedidos parciales y totales son antisimétricos por definición. Una relación puede ser simétrica y antisimétrica (en este caso, debe ser coreflexiva ), y hay relaciones que no son ni simétricas ni antisimétricas (por ejemplo, la relación "presa de" especies biológicas ).
La antisimetría es diferente de la asimetría : una relación es asimétrica si, y solo si, es antisimétrica e irreflexiva .
Ver también
- Relación reflexiva - Relación binaria sobre un conjunto en el que cada elemento está relacionado consigo mismo.
- Simetría en matemáticas - Simetría en matemáticas
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Relación antisimétrica" . MathWorld .
- Lipschutz, Seymour ; Marc Lars Lipson (1997). Teoría y problemas de la matemática discreta . McGraw-Hill. pag. 33 . ISBN 0-07-038045-7.
- nLab relación antisimétrica