La potencia instantánea en un circuito eléctrico es la tasa de flujo de energía que pasa por un punto dado del circuito. En los circuitos de corriente alterna , los elementos de almacenamiento de energía, como inductores y condensadores, pueden dar lugar a inversiones periódicas de la dirección del flujo de energía.
La porción de potencia que, promediada durante un ciclo completo de la forma de onda de CA , da como resultado una transferencia neta de energía en una dirección se conoce como potencia activa (más comúnmente llamada potencia real para evitar ambigüedades, especialmente en discusiones de cargas con corrientes no sinusoidales). . La porción de potencia debida a la energía almacenada, que regresa a la fuente en cada ciclo, se conoce como potencia reactiva instantánea , y su amplitud es el valor absoluto de la potencia reactiva .
Potencia activa, reactiva y aparente en estado estable sinusoidal
En un circuito de corriente alterna (CA) simple que consta de una fuente sinusoidal y una carga lineal invariante en el tiempo, tanto la corriente como el voltaje son sinusoidales . Si la carga es puramente resistiva , las dos cantidades invierten su polaridad al mismo tiempo. En cada instante el producto del voltaje y la corriente es positivo o cero, el resultado es que la dirección del flujo de energía no se invierte. En este caso, solo se transfiere potencia activa.
Si la carga es puramente reactiva , entonces el voltaje y la corriente están desfasados 90 grados. Para dos trimestres de cada ciclo, el producto del voltaje y la corriente es positivo, pero para los otros dos trimestres, el producto es negativo, lo que indica que en promedio, exactamente tanta energía fluye hacia la carga como fluye hacia afuera. No hay flujo neto de energía en cada medio ciclo. En este caso, solo fluye potencia reactiva: no hay transferencia neta de energía a la carga; sin embargo, la energía eléctrica fluye a lo largo de los cables y regresa fluyendo en sentido inverso a lo largo de los mismos cables. La corriente requerida para este flujo de potencia reactiva disipa energía en la resistencia de línea, incluso si el dispositivo de carga ideal no consume energía en sí mismo. Las cargas prácticas tienen tanto resistencia como inductancia o capacitancia, por lo que tanto la potencia activa como la reactiva fluirán hacia cargas normales.
La potencia aparente es el producto de los valores RMS de voltaje y corriente. La potencia aparente se tiene en cuenta al diseñar y operar sistemas de energía, porque aunque la corriente asociada con la potencia reactiva no funciona en la carga, aún debe ser suministrada por la fuente de energía. Los conductores, transformadores y generadores deben dimensionarse para transportar la corriente total, no solo la corriente que hace un trabajo útil. La falta de suministro de energía reactiva suficiente en las redes eléctricas puede conducir a niveles de voltaje más bajos y, bajo ciertas condiciones de operación, al colapso total de la red o al apagón . Otra consecuencia es que sumar la potencia aparente para dos cargas no dará con precisión la potencia total a menos que tengan la misma diferencia de fase entre la corriente y el voltaje (el mismo factor de potencia ).
Convencionalmente, los condensadores se tratan como si generaran potencia reactiva y los inductores se tratan como si la consumieran. Si un condensador y un inductor se colocan en paralelo, las corrientes que fluyen a través del condensador y el inductor tienden a cancelarse en lugar de sumarse. Este es el mecanismo fundamental para controlar el factor de potencia en la transmisión de energía eléctrica; Los condensadores (o inductores) se insertan en un circuito para compensar parcialmente la potencia reactiva "consumida" ("generada") por la carga. Los circuitos puramente capacitivos suministran energía reactiva con la forma de onda de corriente que conduce a la forma de onda de voltaje en 90 grados, mientras que los circuitos puramente inductivos absorben energía reactiva con la forma de onda de corriente retrasada en 90 grados con respecto a la forma de onda de voltaje. El resultado de esto es que los elementos del circuito capacitivo e inductivo tienden a anularse entre sí. [1]
Los ingenieros utilizan los siguientes términos para describir el flujo de energía en un sistema (y asignan a cada uno de ellos una unidad diferente para diferenciarlos):
- Potencia activa , [2] , o potencia real : [3] vatios (W);
- Potencia reactiva ,: reactivo voltio-amperio (var);
- Poder complejo ,: voltio-amperio (VA);
- La potencia aparente ,: la magnitud de la potencia compleja S : voltio-amperio (VA);
- Fase de voltaje en relación con la corriente ,: el ángulo de diferencia (en grados) entre corriente y voltaje; . Tensión retardada actual ( vector cuadrante I), tensión principal actual (vector cuadrante IV).
Todos estos se indican en el diagrama adyacente (llamado triángulo de potencia).
En el diagrama, es la potencia activa, es la potencia reactiva (en este caso positiva), es el poder complejo y la longitud de es el poder aparente. La potencia reactiva no realiza ningún trabajo neto, por lo que se representa como el eje imaginario del diagrama vectorial. La potencia activa funciona en red, por lo que es el eje real.
La unidad de potencia es el vatio (símbolo: W). La potencia aparente se expresa a menudo en voltios-amperios (VA) ya que es el producto de RMS de tensión y RMS actuales . La unidad de potencia reactiva es var, que significa voltio-amperio reactivo . Dado que la potencia reactiva no transfiere energía neta a la carga, a veces se la denomina potencia "sin vatios". Sin embargo, cumple una función importante en las redes eléctricas y su falta se ha citado como un factor significativo en el apagón del noreste de 2003 . [4] Comprender la relación entre estas tres cantidades es fundamental para comprender la ingeniería energética. La relación matemática entre ellos puede representarse mediante vectores o expresarse mediante números complejos, (dónde es la unidad imaginaria ).
Siendo pedantes, las frases flujo de corriente y flujo de corriente son redundantes porque la corriente (instantánea) ya está definida como un flujo (de cargas) [5] . De manera similar, las frases flujo de energía y flujo de energía también son redundantes, ya que la energía (instantánea) ya se define como un flujo (de energía).
Cálculos y ecuaciones
En esta sección se utiliza la siguiente terminología.
- El estado estable de CA , a diferencia del estado estable de CC (tensiones y corrientes instantáneas constantes), significa que las tensiones y corrientes instantáneas son periódicas, ya sean sinusoidales (sin armónicos) o no sinusoidales (con armónicos).
- Estado estable sinusoidal significa que los voltajes y corrientes instantáneos son sinusoidales con la misma frecuencia fundamental y sin compensación de CC. En este caso, el voltaje instantáneo a través del dispositivo de dos terminales o la red es y la corriente convencional instantánea a través del dispositivo de dos terminales o la red es .
- El estado estable no sinusoidal significa el resto de los casos, por ejemplo , los voltajes instantáneos y la corriente no son sinusoidales ni son sinusoidales pero con frecuencias fundamentales diferentes. En estado estable no sinusoidal a la misma frecuencia fundamental, de la serie de Fourier , el voltaje instantáneo es, y la corriente instantánea es .
- Un ejemplo en el que se produce el estado estable sinusoidal es cuando una red lineal de dos terminales invariante en el tiempo (LTI) es impulsada por un voltaje sinusoidal y esperamos hasta que se alcanza el estado estable. Un ejemplo en el que se produce un estado estable no sinusoidal a las mismas frecuencias fundamentales es cuando una red lineal de dos terminales invariante en el tiempo es impulsada por un voltaje no sinusoidal periódico y esperamos hasta que se alcanza el estado estable. Un ejemplo en el que se produce un estado estable no sinusoidal a diferentes frecuencias fundamentales es cuando una red de dos terminales no LTI ( es decir, una red que no es lineal ni invariante en el tiempo, ya sea porque no es lineal y / o porque es variable en el tiempo) es impulsado por un voltaje sinusoidal y esperamos hasta que se alcanza el estado estable.
- Desde el punto de vista del análisis / teoría de circuitos eléctricos, dispositivo , componente , elemento y carga son sinónimos, ya que todos ellos pueden concebirse como cajas negras cuyas características voltaje-corriente solo son relevantes.
- Una red eléctrica es un dispositivo en sí mismo o una interconexión de dos o más dispositivos. Un circuito eléctrico es una red con al menos un camino cerrado. Todos los circuitos son redes, pero no todas las redes son también circuitos [6] .
Las ecuaciones para diferentes magnitudes (potencia instantánea, potencia media, potencia activa o real, potencia aparente, factor de potencia, potencia reactiva o en cuadratura, potencia compleja, etc.) pueden clasificarse según la red considerada y las condiciones en las que se encuentra. en funcionamiento, similar al estándar IEEE 1459-2010 [7] :
- Sistemas de energía monofásicos:
- Dispositivo o red monofásico (dos terminales) que funciona en estado estable sinusoidal.
- Dispositivo o red monofásica (dos terminales) que funciona en estado estable no sinusoidal.
- Sistemas de energía trifásicos:
- Dispositivo o red trifásica (tres o cuatro terminales) que funciona en estado estable sinusoidal en condiciones equilibradas.
- Dispositivo o red trifásica (de tres o cuatro terminales) que funciona en estado estable sinusoidal en condiciones de desequilibrio.
- Dispositivo o red trifásica (de tres o cuatro terminales) que funciona en estado estable no sinusoidal en condiciones de desequilibrio.
Potencia instantánea
La potencia instantánea (en unidades de vatios o joules por segundo, W = J / s) de un dispositivo o red de dos terminales se define como la tasa de tiempo a la que se transfiere o fluye energía o se realiza el trabajo:
- .
A partir de la regla de la cadena , la potencia instantánea se puede calcular también como el producto del voltaje instantáneo a través del dispositivo o red y la corriente convencional instantánea a través de él ( es decir, las formas de onda de voltaje y corriente que varían en el tiempo) [8] [9] [6] :
- .
Si la polaridad de referencia del voltaje y la dirección de referencia de la corriente satisfacen la convención de signo pasivo ( es decir, si la punta de flecha de las corrientes apunta hacia el dispositivo en el terminal de referencia positivo), entonces la expresión anterior produce la potencia instantánea entregada a (o consumido o absorbido por ) el dispositivo de dos terminales o la red en discusión desde una red externa conectada a sus terminales. Esta expresión es útil porque se aplica a todas las formas de onda, ya sean sinusoidales o no, incluso si no son periódicas. Esto es particularmente útil en electrónica de potencia, donde las formas de onda no sinusoidales son comunes.
De manera más general, se puede probar la potencia instantánea (total) consumida por un aislado (sin acoplamiento de energía con ningún otro sistema físico)-el dispositivo terminal o la red es [10] :
- ,
donde los voltajes instantáneos se miden en cada terminal del dispositivo o red con respecto a un terminal común, y la dirección de referencia de las corrientes convencionales instantáneas apuntar hacia el dispositivo o la red en cuestión ; la corriente del terminal común no se usa en la ecuación anterior.
Por ejemplo, si en algún instante en el tiempo la potencia instantánea de un dispositivo o red de dos terminales (lineal o no lineal, invariante en el tiempo o variante en el tiempo, pasiva o activa, en estado transitorio o estable sin o con armónicos) es “+10 W” y se cumple la convención de signo pasivo, significa que, en ese instante , la energía (total) se transfiere desde la red externa (o fuente) al dispositivo (o carga) en consideración a una velocidad de 10 J cada segundo. Si en algún otro momento la potencia instantánea del mismo dispositivo es “-15 W”, significa que, en ese momento , la energía total se está transfiriendo desde el dispositivo (o carga) en consideración a la red externa (o fuente) a razón de 15 J / s.
Potencia instantánea, potencia activa instantánea y potencia reactiva instantánea en estado estacionario sinusoidal
En el caso particular en el que el voltaje y la corriente instantáneos son sinusoidales de la misma frecuencia sin compensación de CC ( por ejemplo, en estado estable sinusoidal), la potencia instantánea de un dispositivo o red de dos terminales se simplifica a:
dónde y son respectivamente el ángulo de fase del voltaje instantáneo (o fasor) y la corriente (en unidades de grados o radianes) usando la función coseno, es la frecuencia angular fundamental (en unidades de radianes por segundo, rad / s) del voltaje y la corriente instantáneos, y es el ángulo del factor de potencia del dispositivo o la red. La primera línea de la ecuación anterior muestra que la potencia instantánea tiene una frecuencia fundamental (tanto angular como cíclica) que es el doble de la tensión y la corriente instantáneas, por lo que su período fundamental es la mitad del de la tensión y la corriente instantáneas. Si se elige el voltaje como referencia angular (), la ecuación anterior se simplifica a [11] :
mientras que si se elige la corriente como referencia angular (), la segunda ecuación anterior se simplifica a [9] :
De cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, se observa que la potencia instantánea tiene tres términos. El primer término es una constante e igual a(la potencia activa), mientras que el segundo y tercer trimestre tienen una media de cero. Por lo tanto, el primer término solo es el valor promedio (en el tiempo) de la potencia instantánea (total). El primer y segundo términos, considerados en conjunto, oscilan entre y con una pulsación de ; estos términos juntos se denominan potencia activa instantánea [11] o potencia real instantánea [12] . El tercer término oscila entre y con una pulsación de ; este término se denomina potencia reactiva instantánea , que adelanta o retrasa la potencia activa instantánea en 90 ° (ya que), y su valor pico (amplitud) es el valor absoluto de la potencia reactiva [11] .
Dado que la potencia activa instantánea nunca cambia de signo, corresponde a un flujo de energía unidireccional ( es decir, en todos los instantes que fluye hacia adentro o hacia afuera del dispositivo de dos terminales o la red en consideración). Dado que la potencia reactiva instantánea cambia de signo, corresponde a un flujo bidireccional de energía ( es decir, durante medio ciclo, fluye hacia el dispositivo o red de dos terminales, y durante el siguiente medio ciclo sale de él).
Corriente activa instantánea, corriente reactiva instantánea, corriente activa fasorial y corriente reactiva fasorial en estado estacionario sinusoidal
En estado estable sinusoidal, dado que el voltaje y la corriente instantáneos de un dispositivo o red de dos terminales son sinusoidales de la misma frecuencia fundamental sin compensación de CC, se pueden representar como fasores y la corriente fasorial se puede descomponer en un componente fasorial que está en fase con (o paralelo a) el voltaje fasorial o está 180 ° desfasado con (o antiparalelo) y otro componente fasorial que está en cuadratura con (o perpendicular a) el voltaje fasorial. El primero se denomina componente activo de la corriente fasorial y el último se denomina componente reactivo de la corriente fasorial [13] . Del análisis de vectores [14] :
- ,
- ,
dónde es el ángulo más pequeño entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial, y se puede obtener en términos del ángulo del factor de potencia de la siguiente manera:
.
Aunque las dos ecuaciones anteriores para las corrientes fasorial activa y reactiva dan un ángulo de fase correcto para cada una, sus ángulos de fase también se pueden determinar de la siguiente manera:
- ,
- .
Al igual que el triángulo de potencia y el triángulo de impedancia, se puede formar un triángulo utilizando la corriente fasorial y sus componentes activos y reactivos. A partir de ella, se deriva fácilmente la siguiente ecuación [13] :
- .
En el dominio del tiempo, los valores instantáneos son:
- ,
- .
De este modo:
- ,
y la descomposición de la energía instantánea en sus componentes activos y reactivos se deriva de nuevo:
- .
Energía promedio
En general, los ingenieros están interesados en la potencia instantánea promediada durante un período de tiempo, ya sea un ciclo de línea de baja frecuencia o un período de conmutación de convertidor de potencia de alta frecuencia. La forma más sencilla de obtener ese resultado es tomar la integral del cálculo instantáneo durante el período deseado [6] :
- .
La expresión anterior se aplica a todas las formas de onda, ya sean sinusoidales o no ( es decir, independientemente del contenido armónico de la forma de onda), incluso si no son periódicas. En aplicaciones prácticas, esto se haría en el dominio digital, donde el cálculo se vuelve trivial en comparación con el uso de rms y fase para determinar la potencia activa:
- .
Potencia activa en AC en estado estable
En el caso particular donde la potencia instantánea es periódica de período fundamental ( por ejemplo, en CA en estado estacionario, ya sea sinusoidal [sin armónicos] o no sinusoidal [con armónicos]), la potencia instantánea de un dispositivo o red de dos terminales se puede promediar en el tiempo durante un ciclo. Usando integrales, la media es [6] [15] :
- ,
dónde es cualquier instante de tiempo (por ejemplo, o para simplificar la ecuación), y es cualquier número entero positivo (por ejemplo, para simplificar la ecuación). Esto se conoce como potencia activa o potencia real (en unidades de vatios, W).
Si la polaridad de referencia de voltaje y la dirección de referencia de corriente se eligen de manera que se satisfaga la convención de signo pasivo, la expresión anterior es la potencia activa entregada (o consumida o absorbida por ) el dispositivo o red en discusión.
Lamentablemente, la potencia activa también se denomina potencia media . Aunque la potencia activa es ciertamente un medio de potencia instantánea, al igual que la potencia media, puede causar confusión entre ambos términos, cuando en realidad ambos son en general diferentes. Para la potencia promedio, la potencia instantánea se promedia en el tiempo sobre cualquier intervalo de tiempo arbitrario, incluso si la potencia instantánea no es periódica, mientras que en la potencia activa se supone que la potencia instantánea es periódica y se promedia en el tiempo sobre un número entero de ciclos de eso. Cuando la potencia instantánea es periódica y se promedia en el tiempo sobre un número entero de ciclos, la potencia media y la potencia activa son las mismas.
Con referencia al triángulo de potencia, la potencia activa o real (unidades en vatios, W) de un dispositivo o red de dos terminales se deriva fácilmente como:
- .
Si el dispositivo o la red son pasivos, lo siguiente también es cierto:
- ,
dónde es la magnitud de la impedancia compleja del dispositivo o red (asumiendo que dicha red es pasiva). Una resistencia perfecta ( es decir, una resistencia ideal con resistencia constante) o un dispositivo o red puramente resistivo no almacena energía, por lo que la corriente y el voltaje están en fase. Por tanto, no hay potencia reactiva () y (usando la convención de signos pasivos ). Por lo tanto, para una resistencia perfecta o un dispositivo o red puramente resistivo, la potencia activa o real se puede simplificar a:
- ,
dónde denota la resistencia equivalente (unidades en ohmios, Ω) del dispositivo o red. En un condensador o inductor perfecto, o en un dispositivo o red puramente reactivo,[16] .
Por ejemplo, si la potencia activa de un dispositivo o red de dos terminales (lineal o no lineal, invariante en el tiempo o variante en el tiempo, pasiva o activa, en estado estable sin o con armónicos) es "20 W" y el se cumple la convención de signos pasivos, significa que, en promedio , hay un flujo de 20 julios de energía por segundo en cada ciclo de la potencia instantánea, desde la red externa (o fuente) al dispositivo (o carga) en consideración.
Potencia activa en estado estacionario sinusoidal
En el caso particular en el que la tensión y la corriente instantáneas son sinusoidales de la misma frecuencia sin desplazamiento de CC ( por ejemplo, en estado estable sinusoidal), la potencia activa de un dispositivo o red de dos terminales se simplifica a [16] :
- ,
y:
- .
dónde y son respectivamente la magnitud del voltaje fasorial RMS y la corriente fasorial RMS, o simplemente el valor RMS del voltaje instantáneo y la corriente instantánea; y son respectivamente el ángulo de fase de la tensión y la corriente instantáneas o fasoriales.
En un dispositivo trifásico (ya sea de tres terminales o de cuatro terminales, en estrella o en triángulo) que opera en estado estable sinusoidal balanceado, los fasores en la ecuación anterior son cantidades de fase (en oposición a cantidades de línea ), y el activo potencia es la potencia activa monofásica o por fase, es decir [17] :
- ,
y la potencia activa trifásica o total es [17] :
- .
Potencia activa en estado estable no sinusoidal a la misma frecuencia fundamental
En el caso particular en el que la tensión y la corriente instantáneas son ambas periódicas no sinusoidales de la misma frecuencia fundamental ( por ejemplo, en CA no sinusoidal en estado estacionario a la misma frecuencia fundamental), la potencia activa de un dispositivo o red de dos terminales se simplifica a [16] :
- .
Potencia aparente en CA en estado estable
En el caso particular donde la potencia instantánea es periódica de período fundamental ( por ejemplo, en CA en estado estable, ya sea sinusoidal [sin armónicos] o no sinusoidal [con armónicos]), la potencia aparente (en unidades de voltios-amperios, VA) de un dispositivo o red de dos terminales se define como el producto del valor RMS de la tensión instantánea y del valor RMS de la corriente instantánea [9] :
- .
La potencia aparente de un dispositivo o red de dos terminales, transportada por un voltaje instantáneo periódico de valor efectivo y una corriente instantánea periódica de valor efectivo , es la potencia activa que sería transportada por una tensión CC del mismo valor efectivo que la tensión periódica y una corriente CC del mismo valor efectivo que la corriente periódica [13] .
Por ejemplo, si se aplica un voltaje de 120 V RMS a una red o dispositivo pasivo de dos terminales (lineal o no lineal, invariante en el tiempo o variante en el tiempo, en estado estable sin o con armónicos) y consume una corriente de 2 A RMS, entonces su potencia aparente es de 240 VA. Esto se puede interpretar de la siguiente manera: la potencia aparente del dispositivo (o carga) en consideración, 240 VA, es la misma potencia que consume una resistencia de resistencia constante ideal cuando se aplica un voltaje de 120 V CC y da como resultado una corriente de 2 A DC.
Potencia aparente en estado estable sinusoidal
En el caso particular en el que el voltaje y la corriente instantáneos son sinusoidales de la misma frecuencia sin compensación de CC ( por ejemplo, en estado estable sinusoidal), la potencia aparente de un dispositivo o red de dos terminales se simplifica a [16] :
- .
Si el dispositivo o la red son pasivos, lo siguiente también es cierto:
- .
En un dispositivo trifásico (ya sea de tres terminales o de cuatro terminales, en estrella o en triángulo) que opera en estado estable sinusoidal balanceado, los fasores en las ecuaciones anteriores son cantidades de fase (en oposición a cantidades de línea ), y el aparente potencia es la potencia aparente monofásica o por fase, es decir [17] :
- ,
y la potencia aparente trifásica o total es [17] :
- .
Factor de potencia en CA en estado estable
En el caso particular donde la potencia instantánea es periódica de período fundamental ( por ejemplo, en CA en estado estable, ya sea sinusoidal [sin armónicos] o no sinusoidal [con armónicos]), el factor de potencia (adimensional) de un dispositivo o red de dos terminales se define como la relación entre la potencia activa y la aparente. potencia [15] :
- .
El factor de potencia de una red o dispositivo pasivo de dos terminales es una medida de la efectividad (que no debe confundirse con la eficiencia) de dicho dispositivo (o carga), en comparación con una resistencia de resistencia constante ideal en un circuito de CC que opera en régimen constante. -estado [13] .
Por ejemplo, si el voltaje y la corriente de una red o dispositivo pasivo de dos terminales (lineal o no lineal, invariante en el tiempo o variante en el tiempo, en estado estable sin o con armónicos) es respectivamente de 120 V RMS y 2 A RMS, entonces su potencia aparente es 240 VA, y si el dispositivo (o carga) absorbe una potencia activa de 200 W, entonces su factor de potencia es 0,95. Esto significa que la potencia activa absorbida por el dispositivo (o carga) en el circuito de CA real es solo 0,95 veces menor que la potencia (activa) absorbida por una resistencia ideal de resistencia constante con un voltaje de 120 V CC y una corriente de 2 A CC. .
Factor de potencia y factor reactivo en estado estacionario sinusoidal
En el caso particular en el que la tensión y la corriente instantáneas son sinusoidales de la misma frecuencia sin desplazamiento de CC ( por ejemplo, en estado estable sinusoidal), el factor de potencia de un dispositivo o red de dos terminales se simplifica a [15] :
- ,
y [13] :
- ,
dónde y son, respectivamente, el ángulo de fase de la tensión y la corriente instantánea o fasorial; la diferenciase llama ángulo del factor de potencia porque es el ángulo cuyo coseno es el factor de potencia [16] y generalmente se denota como. Para una red o dispositivo pasivo de dos terminales, el ángulo del factor de potencia es igual al ángulo de fase de la impedancia compleja [16] .
Bajo los mismos supuestos, la siguiente cantidad se denomina factor reactivo (también adimensional) [12] :
- ,
y [13] :
- .
Si el dispositivo o la red son pasivos, lo siguiente también es cierto, lo que se puede probar fácilmente a partir del triángulo de impedancia:
- ,
- .
En una red RL en serie (utilizando la convención de signos pasivos):
- .
En una red RC en serie (utilizando la convención de signos pasivos):
- ,
En una red serie RL o RC , se dice que el factor de potencia está retrasado o adelantado porque la corriente, respectivamente (instantánea / forma de onda o fasor), se retrasa o adelanta al voltaje (instantáneo / forma de onda o fasor) en un ángulo positivo entre 0 ° y 90 °. ° [16] .
En un dispositivo trifásico (ya sea de tres terminales o de cuatro terminales, en estrella o en triángulo) que opera en estado estable sinusoidal balanceado, las ecuaciones anteriores son válidas, y sería la diferencia del ángulo de fase de la tensión de fase (en oposición a la tensión de línea , línea a línea o fase a fase ) y el ángulo de fase de la corriente de fase (en oposición a la corriente de línea ) de la misma fase ( un , b o c ). Además, lo siguiente también es cierto:
- ,
- .
Potencia reactiva en CA en estado estable
Potencia reactiva en estado estacionario sinusoidal
En el caso particular en el que el voltaje y la corriente instantáneos son sinusoidales de la misma frecuencia sin compensación de CC ( por ejemplo, en estado estable sinusoidal), el factor reactivo o la potencia en cuadratura [6] (en unidades de voltio-amperio-reactivo, var) de un dispositivo o red de dos terminales se define como [12] :
- ,
y:
- .
Si el dispositivo o la red son pasivos, lo siguiente también es cierto:
- .
En un condensador o inductor perfecto ( es decir, condensador o inductor ideal con capacitancia o inductancia constante) o en un dispositivo o red puramente reactivo, no hay transferencia neta de energía, por lo que; por tanto, toda la potencia aparente es reactiva. Por lo tanto, para un condensador o inductor perfecto o un dispositivo o red puramente reactivo, la potencia reactiva se simplifica a:
- ,
dónde denota reactancia (unidades en ohmios, Ω) del dispositivo o red, definida como positiva para un inductor y negativa para un capacitor; el signo positivo o negativo del signo más-menos () se utiliza respectivamente si la reactancia es positiva (carga inductiva) o negativa (carga capacitiva).
En un dispositivo trifásico (ya sea de tres terminales o de cuatro terminales, en estrella o en triángulo) que opera en estado estable sinusoidal balanceado, los fasores en la ecuación anterior son cantidades de fase (en oposición a cantidades de línea ), y el reactivo potencia es la potencia reactiva monofásica o por fase, es decir [17] :
- ,
y la potencia reactiva trifásica o total es [17] :
- .
Dado que el valor absoluto de la potencia reactiva es la amplitud de la potencia reactiva instantánea, la potencia reactiva tiene un significado físico en estado estable sinusoidal para un dispositivo o red de dos terminales: es la amplitud (valor pico o valor máximo) de la tasa de flujo de la energía que oscila entre el dispositivo (o carga) en consideración y la red externa (o fuente). Esta interpretación es consistente con el estándar IEEE 1459-2010: “La magnitud de la potencia reactiva es igual a la amplitud de la potencia reactiva instantánea oscilante ” [7]
Por ejemplo, si un dispositivo o red de dos terminales tiene una potencia reactiva de ± 15 VAR, significa que la tasa máxima de transferencia de energía que oscila entre el dispositivo (o carga) en consideración y la red (o fuente) externa es 15 julios por segundo. Tenga en cuenta que esto no es "energía desperdiciada", sino quizás "energía no utilizada".
Potencia reactiva en estado estacionario no sinusoidal
En condiciones de estado estacionario no sinusoidal, la definición de potencia reactiva es controvertida. Dos definiciones populares son las de Budeanu y Fryze, por separado, que generalmente se denotan respectivamente como y para distinguirse [18] . Sin embargo, la potencia reactiva de Budeanu no es recomendada por el Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos, como se indica en la norma IEEE 1459-2010 [7] .
Potencia compleja en estado estable sinusoidal
En el caso particular en el que el voltaje y la corriente instantáneos son sinusoidales de la misma frecuencia sin compensación de CC ( por ejemplo, en estado estable sinusoidal), la potencia compleja (en unidades de voltios-amperios, VA) de un dispositivo o red de dos terminales se define como el producto del voltaje fasorial RMS( es decir, el voltaje fasorial , con la amplitud como valor RMS ) multiplicado por el conjugado complejo de la corriente fasorial RMS( es decir, la corriente fasorial, con la amplitud como valor RMS) [16] :
- .
También por convención, el complejo conjugado de se utiliza, que se denota (o ), en vez de sí mismo. Hay al menos dos buenas razones para hacerlo:
- Usando el producto definir daría como resultado una cantidad que depende del ángulo de referencia elegido para o , mientras define como da como resultado una cantidad que no depende del ángulo de referencia [19] .
- Utilizando como la definición de potencias complejas permite que la potencia compleja contenga toda la información de potencia de un dispositivo o red de dos terminales: su parte real es la potencia activa, su parte imaginaria (que es un número real) es la potencia reactiva, su la magnitud o módulo es la potencia aparente y su ángulo de fase o argumento es el ángulo del factor de potencia [16] . Estas relaciones geométricas se ilustran en forma de diagrama mediante el triángulo de potencia y se pueden describir matemáticamente de la siguiente manera:
- .
Si el dispositivo de dos terminales o la red es pasivo, lo que significa que tiene una impedancia compleja (unidades en ohmios, Ω), otras formas de potencia compleja se derivan como:
- .
En un dispositivo trifásico (ya sea de tres terminales o de cuatro terminales, en estrella o en delta) que opera en estado estable sinusoidal balanceado, los fasores en la ecuación anterior son cantidades de fase (en oposición a cantidades de línea), y el complejo potencia es la potencia compleja monofásica o por fase, es decir [16] :
- ,
y la potencia trifásica o compleja total es [16] :
- .
Energía neta y energía instantánea
La energía total (instantánea) (en unidades de julios, J) entregado a una red o dispositivo de dos terminales desde el pasado () hasta el presente () viene dada por la integral definida de la potencia instantánea ( es decir, la tasa de tiempo a la que se transfiere la energía o se realiza el trabajo) [8] :
.
La energía neta transferido a través del dispositivo de dos terminales o la red entre los instantes y (dónde ) en términos de potencia instantánea es [9] :
o también en términos de la potencia media ( es decir, la media de tiempo / media de la potencia instantánea durante todo el intervalo de tiempo ) y el intervalo de tiempo considerado como [1] :
.
Las tres expresiones anteriores se aplican a todas las formas de onda, ya sean sinusoidales o no, incluso si no son periódicas.
Energía neta en CA en estado estacionario
En el caso particular en el que la potencia instantánea es periódica ( por ejemplo, en CA en estado estacionario, ya sea sinusoidal [sin armónicos] o no sinusoidal [con armónicos]), la energía neta también se puede calcular en términos de la potencia activa ( es decir, la media de tiempo / media de la potencia instantánea durante un ciclo ) [2] :
dónde es el período fundamental de la potencia instantánea, y es la función de piso . Esto muestra que, en general, la energía neta no se puede calcular como el producto de la potencia activa y el intervalo de tiempo; aunque eso se puede hacer para obtener una aproximación.
En el caso particular en el que la potencia instantánea es periódica y el intervalo de tiempo considerado es un múltiplo entero del período fundamental de la potencia instantánea, la energía neta también se puede calcular en términos de la potencia activa [3] :
.
Conservación del poder
Conservación de energía instantánea
Una red (o circuito) aislada es un circuito que no tiene ningún tipo de acoplamiento energético con el entorno. Un circuito puede acoplarse al entorno mediante acoplamiento electrostático / electromagnético con otros circuitos físicamente separados en las proximidades o mediante interacción mecánica, térmica u óptica con el entorno [8] . Además, las fuentes independientes ideales pueden entregar una cantidad infinita de energía durante una cantidad infinita de tiempo, pudiendo crearla de la nada. Por lo tanto, la energía total de cualquier red concentrada aislada es constante, por lo que la potencia instantánea total entregada (o recibida o consumida o absorbida por ) todos los dispositivos (incluida la potencia instantánea suministrada o generada como negativa) es cero (ya que la potencia instantánea es la derivada de la energía y la derivada de una constante es cero) [8] :
.
Dicho de otra forma, la potencia instantánea total recibida es igual al negativo de la potencia instantánea total suministrada , utilizando la convención de signo pasivo para cada término de potencia de ambos lados de la ecuación [15] [16] :
.
donde la potencia instantánea recibida es numéricamente positiva y la potencia instantánea suministrada es numéricamente negativa.
Conservación de potencia compleja en estado estable sinusoidal
En el caso particular de una red concentrada aislada que opera en estado estacionario sinusoidal, la potencia compleja total de la red también se conserva (definida mediante la convención de signos pasivos) [16] [13] :
,
y entonces la potencia activa y la potencia reactiva también tienen una ecuación de conservación correspondiente:
;
.
Sin embargo, la potencia aparente no es una cantidad conservada [16] . Estas ecuaciones son fundamentales en el problema del flujo de energía de un sistema eléctrico.
Medición
Medida de potencia activa
Dado que la potencia instantánea (total) de cualquier arbitrario aislado-terminal (o -wire) la red se puede calcular usando pares de corriente-voltaje [10] , es evidente que, cuando dicha red está operando en estado estable de CA (sinusoidal o no, balanceada o no), la potencia activa (total) de la misma se puede medir usando vatímetros . Esto se conoce como teorema de Blondel . También es posible, sin ningún beneficio, utilizar vatímetros.
En esta sección, la lectura de potencia activa del -th vatímetro será denotado como . La potencia activa (total) de la red se indicará como.
Método de un vatímetro (para redes de dos cables en CA de estado estable)
Este método es aplicable a redes aisladas de dos hilos ( por ejemplo , monofásicas) que funcionan en estado estable sinusoidal o no sinusoidal. Con referencia a la siguiente figura, la potencia activa consumida por la red es:
- .
Método de dos vatímetros para redes de dos cables en CA de estado estable
Este método es aplicable a redes aisladas de dos hilos ( por ejemplo , monofásicas) que funcionan en estado estable sinusoidal o no sinusoidal. Con referencia a la siguiente figura, la potencia activa consumida por la red es:
- .
Método de dos vatímetros para redes de tres cables en CA de estado estable
Este método es aplicable a redes aisladas de tres hilos ( por ejemplo, de fase dividida o trifásica) que funcionan en estado estable sinusoidal o no sinusoidal en condiciones equilibradas o no equilibradas. Con referencia a las siguientes figuras, la potencia activa consumida por la red es:
- .
Método de tres vatímetros para redes de tres cables en CA de estado estable
Este método es aplicable a redes aisladas de tres hilos ( por ejemplo, de fase dividida o trifásica) que funcionan en estado estable sinusoidal o no sinusoidal en condiciones equilibradas o no equilibradas. Con referencia a las siguientes figuras, la potencia activa consumida por la red es:
- .
Método de tres vatímetros para redes de cuatro cables en CA de estado estable
Este método es aplicable a redes aisladas de cuatro hilos ( por ejemplo , trifásicas) que funcionan en estado estable sinusoidal o no sinusoidal en condiciones equilibradas o no equilibradas. Con referencia a la siguiente figura, la potencia activa consumida por la red es:
- .
Método de cuatro vatímetros (para redes de cuatro cables en CA de estado estable)
Este método es aplicable a redes aisladas de cuatro hilos ( por ejemplo , trifásicas) que funcionan en estado estable sinusoidal o no sinusoidal en condiciones equilibradas o no equilibradas. Con referencia a la siguiente figura, la potencia activa consumida por la red es:
- .
Factor de potencia
La relación entre la potencia activa y la potencia aparente en un circuito se denomina factor de potencia . Para dos sistemas que transmiten la misma cantidad de potencia activa, el sistema con el factor de potencia más bajo tendrá corrientes circulantes más altas debido a la energía que regresa a la fuente desde el almacenamiento de energía en la carga. Estas corrientes más altas producen pérdidas más altas y reducen la eficiencia general de la transmisión. Un circuito de factor de potencia más bajo tendrá una potencia aparente más alta y pérdidas más altas para la misma cantidad de potencia activa. El factor de potencia es 1.0 cuando el voltaje y la corriente están en fase . Es cero cuando la corriente adelanta o retrasa el voltaje en 90 grados. Cuando el voltaje y la corriente están desfasados 180 grados, el factor de potencia es uno negativo y la carga está alimentando energía a la fuente (un ejemplo sería una casa con celdas solares en el techo que alimentan energía a la red eléctrica cuando el el sol está brillando). Los factores de potencia generalmente se indican como "adelantados" o "retrasados" para mostrar el signo del ángulo de fase de la corriente con respecto al voltaje. El voltaje se designa como la base con la que se compara el ángulo de corriente, lo que significa que la corriente se considera como voltaje "adelantado" o "retrasado". Donde las formas de onda son puramente sinusoidales, el factor de potencia es el coseno del ángulo de fase () entre las formas de onda sinusoidales de corriente y tensión. Las hojas de datos del equipo y las placas de identificación a menudo abrevian el factor de potencia como "" por esta razón.
Ejemplo: la potencia activa es de 700 W y el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente es de 45,6 ° (asumiendo un estado estable sinusoidal). El factor de potencia es cos (45,6 °) = 0,700 . La potencia aparente es entonces: 700 W / cos (45,6 °) = 1000 VA . El concepto de disipación de potencia en un circuito de CA se explica e ilustra con el ejemplo.
Por ejemplo, en estado estacionario sinusoidal, un factor de potencia de 0,68 significa que el valor RMS del componente activo de la corriente total (el que corresponde a la potencia activa o transferencia de energía neta) es solo el 68% del valor RMS del total. corriente, mientras que el valor RMS de la componente reactiva de la corriente total (la correspondiente a la potencia reactiva o sin transferencia neta de energía) es sin (arccos (0,68)) ≈ 0,73 = 73% del valor RMS de la corriente total. Por lo general, las empresas de servicios públicos no cobran a los consumidores por las pérdidas de potencia reactiva, ya que no hacen un trabajo real para el consumidor. Sin embargo, si hay ineficiencias en la fuente de carga del cliente que provocan que el factor de potencia caiga por debajo de cierto nivel, las empresas de servicios públicos pueden cobrar a los clientes para cubrir un aumento en el uso de combustible de la planta de energía y sus peores capacidades de línea y planta.
Poder reactivo
En un circuito de corriente continua, la potencia que fluye hacia la carga es proporcional al producto de la corriente a través de la carga y la caída de potencial a través de la carga. La energía fluye en una dirección desde la fuente hasta la carga. En la alimentación de CA, el voltaje y la corriente varían aproximadamente de forma sinusoidal. Cuando hay inductancia o capacitancia en el circuito, las formas de onda de voltaje y corriente no se alinean perfectamente. El flujo de energía tiene dos componentes: un componente fluye de la fuente a la carga y puede realizar trabajo en la carga; la otra parte, conocida como "potencia reactiva", se debe al retardo entre el voltaje y la corriente, conocido como ángulo de fase, y no puede realizar un trabajo útil en la carga. Se puede considerar como corriente que llega en el momento equivocado (demasiado tarde o demasiado temprano). Para distinguir la potencia reactiva de la activa, se mide en unidades de " voltios-amperios reactivos " o var. Estas unidades se pueden simplificar a vatios, pero se dejan como var para indicar que no representan una salida de trabajo real.
La energía almacenada en elementos capacitivos o inductivos de la red da lugar a un flujo de potencia reactiva. El flujo de potencia reactiva influye fuertemente en los niveles de voltaje en la red. Los niveles de voltaje y el flujo de energía reactiva deben controlarse cuidadosamente para permitir que un sistema de energía funcione dentro de límites aceptables. Una técnica conocida como compensación reactiva se utiliza para reducir el flujo de potencia aparente a una carga reduciendo la potencia reactiva suministrada desde las líneas de transmisión y proporcionándola localmente. Por ejemplo, para compensar una carga inductiva, se instala un condensador en derivación cerca de la carga. Esto permite que toda la potencia reactiva que necesita la carga sea suministrada por el condensador y no tenga que transferirse a través de las líneas de transmisión. Esta práctica ahorra energía porque reduce la cantidad de energía que debe producir la empresa de servicios públicos para realizar la misma cantidad de trabajo. Además, permite diseños de líneas de transmisión más eficientes utilizando conductores más pequeños o menos conductores agrupados y optimizando el diseño de torres de transmisión.
Cargas capacitivas vs inductivas
La energía almacenada en el campo magnético o eléctrico de un dispositivo de carga, como un motor o un condensador, provoca una compensación entre las formas de onda de la corriente y la tensión. Un condensador es un dispositivo de CA que almacena energía en forma de campo eléctrico. A medida que la corriente pasa a través del condensador, la acumulación de carga hace que se desarrolle un voltaje opuesto a través del condensador. Este voltaje aumenta hasta un máximo dictado por la estructura del condensador. En una red de CA, el voltaje a través de un capacitor cambia constantemente. El condensador se opone a este cambio, haciendo que la corriente conduzca al voltaje en fase. Se dice que los condensadores "generan" potencia reactiva y, por lo tanto, provocan un factor de potencia adelantado.
Las máquinas de inducción son algunos de los tipos de cargas más comunes en el sistema eléctrico actual. Estas máquinas utilizan inductores o grandes bobinas de alambre para almacenar energía en forma de campo magnético. Cuando se coloca inicialmente un voltaje a través de la bobina, el inductor resiste fuertemente este cambio en una corriente y un campo magnético, lo que provoca un retraso de tiempo para que la corriente alcance su valor máximo. Esto hace que la corriente se retrase con respecto al voltaje en fase. Se dice que los inductores "hunden" la potencia reactiva y, por lo tanto, provocan un retraso del factor de potencia. Los generadores de inducción pueden generar o absorber energía reactiva y proporcionar una medida de control a los operadores del sistema sobre el flujo de energía reactiva y, por lo tanto, el voltaje. [20] Debido a que estos dispositivos tienen efectos opuestos sobre el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente, se pueden usar para "cancelar" los efectos de cada uno. Esto generalmente toma la forma de bancos de capacitores que se utilizan para contrarrestar el factor de potencia retardado causado por los motores de inducción.
Control de potencia reactiva
Los generadores conectados a la transmisión generalmente se requieren para soportar el flujo de energía reactiva. Por ejemplo, en el sistema de transmisión del Reino Unido, los requisitos del Código de red requieren que los generadores suministren su potencia nominal entre los límites de 0,85 de retraso de factor de potencia y 0,90 de factor de potencia principal en los terminales designados. El operador del sistema realizará acciones de conmutación para mantener un perfil de voltaje seguro y económico mientras mantiene una ecuación de equilibrio de potencia reactiva:
La ' ganancia del sistema ' es una fuente importante de potencia reactiva en la ecuación de balance de potencia anterior, que es generada por la naturaleza capacitativa de la propia red de transmisión. Al realizar acciones de conmutación decisivas temprano en la mañana antes de que aumente la demanda, la ganancia del sistema se puede maximizar desde el principio, lo que ayuda a asegurar el sistema durante todo el día. Para equilibrar la ecuación, se requerirá el uso de un generador reactivo previo a la falla. Otras fuentes de potencia reactiva que también se utilizarán incluyen condensadores en derivación, reactores en derivación, compensadores VAR estáticos y circuitos de control de voltaje.
Sistemas polifásicos sinusoidales desequilibrados
Si bien la potencia activa y la potencia reactiva están bien definidas en cualquier sistema, la definición de potencia aparente para sistemas polifásicos desequilibrados se considera uno de los temas más controvertidos en la ingeniería energética. Originalmente, el poder aparente surgió simplemente como una figura de mérito. Principales delimitaciones del concepto se atribuyen a Stanley 's fenómenos de retraso en la bobina de inducción (1888) y Steinmetz ' s elementos teóricos de Ingeniería (1915). Sin embargo, con el desarrollo de la distribución de energía trifásica , quedó claro que la definición de potencia aparente y el factor de potencia no podían aplicarse a sistemas polifásicos desequilibrados . En 1920, un "Comité Mixto Especial de la AIEE y la Asociación Nacional de Luz Eléctrica" se reunió para resolver el problema. Consideraron dos definiciones:
- ,
es decir, la suma aritmética de las potencias aparentes de fase; y
- ,
es decir, la magnitud de la potencia compleja trifásica total.
El comité de 1920 no encontró consenso y el tema continuó dominando las discusiones. En 1930, se formó otro comité y una vez más no logró resolver la cuestión. Las transcripciones de sus discusiones son las más extensas y controvertidas jamás publicadas por la AIEE. [21] No se llegó a una resolución adicional de este debate hasta finales de la década de 1990.
Alexander Emanuel propuso en 1993 una nueva definición basada en la teoría de componentes simétricos para la carga lineal desequilibrada alimentada con voltajes sinusoidales asimétricos:
- ,
es decir, la raíz de las sumas al cuadrado de los voltajes de línea multiplicada por la raíz de las sumas al cuadrado de las corrientes de línea. denota la potencia de secuencia positiva:
dónde denota el fasor de voltaje de secuencia positiva, y denota el fasor de corriente de secuencia positiva. [21]
Sistemas de frecuencia múltiple
Dado que se puede calcular un valor RMS para cualquier forma de onda, la potencia aparente se puede calcular a partir de esto. Para la potencia activa, a primera vista parecería que sería necesario calcular muchos términos de producto y promediar todos ellos. Sin embargo, observar uno de estos términos de producto con más detalle produce un resultado muy interesante.
Sin embargo, el promedio de tiempo de una función de la forma cos ( ωt + k ) es cero siempre que ω sea distinto de cero. Por lo tanto, los únicos términos de producto que tienen un promedio distinto de cero son aquellos en los que la frecuencia del voltaje y la corriente coinciden. En otras palabras, es posible calcular la potencia activa (promedio) simplemente tratando cada frecuencia por separado y sumando las respuestas. Además, si se supone que el voltaje de la red eléctrica es de una sola frecuencia (lo que suele ser), esto muestra que las corrientes armónicas son algo malo. Aumentarán la corriente RMS (ya que se agregarán términos distintos de cero) y, por lo tanto, la potencia aparente, pero no tendrán ningún efecto sobre la potencia activa transferida. Por tanto, las corrientes armónicas reducirán el factor de potencia. Las corrientes armónicas se pueden reducir mediante un filtro colocado en la entrada del dispositivo. Por lo general, esto consistirá en solo un condensador (que depende de la resistencia parásita y la inductancia en el suministro) o una red de condensador-inductor. Un circuito de corrección del factor de potencia activo en la entrada generalmente reduciría más las corrientes armónicas y mantendría el factor de potencia más cerca de la unidad.
Ver también
- Guerra de las corrientes
- Transmisión de energía eléctrica
- Transformador
- Electricidad de red
- Poder deformado
Referencias
- ^ "Importancia de la potencia reactiva para el sistema" . 21 de marzo de 2011. Archivado desde el original el 12 de mayo de 2015 . Consultado el 29 de abril de 2015 .
- ^ Definición de potencia activa en el vocabulario electrotécnico internacional Archivado el 23 de abril de 2015 en la Wayback Machine.
- ^ IEEE 100: el diccionario autorizado de términos de estándares IEEE. -7th ed.ISBN 0-7381-2601-2 , página 23
- ^ "Interrupción del 14 de agosto de 2003 - Secuencia de eventos" (PDF) . FERC . 2003-09-12. Archivado desde el original (PDF) el 20 de octubre de 2007 . Consultado el 18 de febrero de 2008 .
- ^ Serway, Raymond A .; Vuille, Chris; Faughn, Jerry S. (2009). Física universitaria . 2 (8 ed.). Brooks / Cole, Cengage Learning. pag. 571. ISBN 978-0-495-55475-2.
Las frases flujo de corriente y flujo de corriente se usan comúnmente, pero aquí la palabra flujo es redundante porque la corriente ya está definida como flujo (de carga). ¡Evite esta construcción!
- ^ a b c d e Hayt, William Hart; Kemmerly, Jack Ellsworth; Durbin, Steven M. (2012). Análisis de circuitos de ingeniería (8 ed.). McGraw-Hill. págs. 21, 422, 424, 425, 443. ISBN 978-0-07-352957-8.
- ^ a b c "Definiciones estándar IEEE para la medición de cantidades de energía eléctrica en condiciones sinusoidales, no sinusoidales, equilibradas o no equilibradas". IEEE. 2010. págs. 4, 37. doi : 10.1109 / IEEESTD.2010.5439063 . ISBN 978-0-7381-6058-0.
- ^ a b c d Suresh Kumar, KS (2011). Circuitos y redes eléctricas: para la Universidad Tecnológica de Gujarat . Pearson. págs. 26-27. ISBN 978-8-131-75511-2.
- ^ a b c d Thomas, Roland E .; Rosa, Albert J .; Toussaint, Gregory J. (2016). El análisis y diseño de circuitos lineales (8 ed.). Wiley. págs. 6, 812–813, 815. ISBN 978-1-119-23538-5.
- ^ a b Parodi, Mauro; Storace, Marco (2018). Circuitos lineales y no lineales: conceptos básicos y avanzados . 1 (1 ed.). Saltador. págs. 19-21. ISBN 978-3-319-61234-8.
- ^ a b c Fraile Mora, Jesús (2012). Circuitos eléctricos . Pearson. págs. 193-196. ISBN 978-8-48-322795-4.
- ^ a b c Nilsson, James W .; Riedel, Susan A. (2015). Circuitos eléctricos (10 ed.). Pearson. págs. 362, 363. ISBN 978-0-13-376003-3.
- ^ a b c d e f g Suresh Kumar, KS (2013). Análisis de circuitos eléctricos . Pearson. págs. 7.44–7.49. ISBN 978-8-13-179155-4.
- ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Cálculo multivariable (9 ed.). Brooks / Cole, Cengage Learning. págs. 765, 783, 785, 787–788. ISBN 978-1-4390-3032-5.
- ^ a b c d Dorf, Richard C .; Svoboda, James A. (2014). Introducción a los circuitos eléctricos (9 ed.). Wiley. págs. 8, 506, 519. ISBN 978-1-118-47750-2.
- ^ a b c d e f g h yo j k l m n Alexander, Charles K .; O. Sadiku, Matthew N. (2013). Fundamentos de los circuitos eléctricos (5 ed.). McGraw-Hill. págs. 11-12, 459-460, 469, 471, 474, 475, 478, 520-521, 782. ISBN 978-0-07-338057-5.
- ^ a b c d e f Irwin, John David; Nelms, Robert Mark (2015). Análisis de circuitos de ingeniería básica (11 ed.). Wiley. pag. 466-467. ISBN 978-1-118-53929-3.
- ^ Balci, Murat Erhan; Hocaoglu, Mehmet Hakan (12 de septiembre de 2014). Comparación de definiciones de potencia para compensación de potencia reactiva en condiciones no sinusoidales . Lake Placid, NY, EE.UU .: IEEE. pag. 520. doi : 10.1109 / ICHQP.2004.1409408 .
- ^ Close, Charles M. El análisis de circuitos lineales . pag. 398 (sección 8.3).
- ^ "Copia archivada" . Archivado desde el original el 25 de octubre de 2015 . Consultado el 29 de abril de 2015 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
- ^ a b Emanuel, Alexander (julio de 1993). "Sobre la definición de factor de potencia y potencia aparente en circuitos polifásicos desequilibrados con tensiones y corrientes sinusoidales". Transacciones IEEE sobre suministro de energía . 8 (3): 841–852. doi : 10.1109 / 61.252612 .
Notas
- 1. ^ Para una demostración, lea la página de Discusión .
enlaces externos
- "Subprograma Java de alimentación de CA"