Arithmetica

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Portada de la edición de 1621, traducida del griego al latín por Claude Gaspard Bachet de Méziriac .
Autor	Diofanto

Arithmetica ( griego : Ἀριθμητικά ) es untexto griego antiguo sobre matemáticas escrito por el matemático Diofanto ( c. 200/214 d . C. - c. 284/298 d . C. ) en el siglo III d. C. ^[1] Es una colección de 130problemas algebraicos que dan soluciones numéricas de ecuaciones determinadas(aquellas con una solución única) y ecuaciones indeterminadas .

Resumen [ editar ]

Las ecuaciones del libro se denominan actualmente ecuaciones diofánticas . El método para resolver estas ecuaciones se conoce como análisis diofantino . La mayoría de los problemas de Arithmetica conducen a ecuaciones cuadráticas .

En el Libro 3, Diofanto resuelve problemas de encontrar valores que hacen dos expresiones lineales simultáneamente en cuadrados o cubos. En el libro 4, encuentra poderes racionales entre números dados. También notó que los números de la forma no pueden ser la suma de dos cuadrados. Diofanto también parece saber que cada número se puede escribir como la suma de cuatro cuadrados. Si conociera este resultado (en el sentido de haberlo probado en lugar de simplemente conjeturarlo), sería realmente notable: incluso Fermat, quien declaró el resultado, no pudo proporcionar una prueba de ello y no se resolvió. hasta que Joseph Louis Lagrange lo probó utilizando los resultados de Leonhard Euler . ${\ Displaystyle 4n + 3}$

Arithmetica se escribió originalmente en trece libros, pero los manuscritos griegos que sobrevivieron hasta el presente no contienen más de seis libros. ^[2] En 1968, Fuat Sezgin encontró cuatro libros de Arithmetica previamente desconocidos en el santuario del Imam Rezā en la ciudad sagrada islámica de Mashhad en el noreste de Irán. ^[3] Se cree que los cuatro libros fueron traducidos del griego al árabe por Qusta ibn Luqa (820–912). ^[2] Norbert Schappacher ha escrito:

[Los cuatro libros faltantes] resurgieron alrededor de 1971 en la Biblioteca Astan Quds en Meshed (Irán) en una copia de 1198 d. C. No fue catalogado con el nombre de Diofanto (sino con el de Qusta ibn Luqa ) porque el bibliotecario aparentemente no pudo leer la línea principal de la portada donde aparece el nombre de Diofanto en caligrafía geométrica Kufi . ^[4]

La aritmética se hizo conocida por los matemáticos del mundo islámico en el siglo X ^[5] cuando Abu'l-Wefa la tradujo al árabe. ^[6]

Álgebra sincopada [ editar ]

Diofanto fue un matemático helenista que vivió alrededor del año 250 d.C., pero la incertidumbre de esta fecha es tan grande que puede haber pasado más de un siglo. Es conocido por haber escrito Arithmetica , un tratado que originalmente era de trece libros pero del cual solo han sobrevivido los primeros seis. ^{[7] La} aritmética tiene muy poco en común con la matemática griega tradicional ya que está divorciada de los métodos geométricos, y es diferente de la matemática babilónica en que Diofanto se preocupa principalmente por soluciones exactas, tanto determinadas como indeterminadas, en lugar de simples aproximaciones. ^[8]

En Arithmetica , Diofanto es el primero en usar símbolos para números desconocidos, así como abreviaturas para potencias de números, relaciones y operaciones; ^[8] así usó lo que ahora se conoce como álgebra sincopada . La principal diferencia entre el álgebra sincopada diofántica y la notación algebraica moderna es que la primera carecía de símbolos especiales para operaciones, relaciones y exponenciales. ^[9] Entonces, por ejemplo, lo que escribiríamos como

{\ displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} + 10x-1 = 5}

Diofanto habría escrito como

Κ ^υ ᾱ̄ ζ ί̄ ⫛ Δ ^υ β̄ Μ ᾱ̄ ἴσ Μ ε̄

donde los símbolos representan lo siguiente: ^[10]^[11]

Símbolo	Representación
ᾱ̄	representa 1
β̄	representa 2
ε̄	representa 5
ί̄	representa 10
ζ	representa la cantidad desconocida
ἴσ	(abreviatura de ἴσος ) representa "igual"
⫛	representa la resta de todo lo que le sigue hasta ἴσ
Μ	representa la potencia cero (es decir, un término constante)
Δ ^υ	representa el segundo poder, del griego δύναμις , que significa fuerza o poder
Κ ^υ	representa el tercer poder, del griego κύβος , que significa un cubo
Δ ^υ Δ	representa el cuarto poder
ΔΚ ^υ	representa el quinto poder
Κ ^υ Κ	representa el sexto poder

Tenga en cuenta que los coeficientes vienen después de las variables y que la suma está representada por la yuxtaposición de términos. Una traducción literal símbolo por símbolo de la ecuación sincopada de Diofanto en una ecuación simbólica moderna sería la siguiente: ^[10]

{\ Displaystyle {x ^ {3}} 1 {x} 10- {x ^ {2}} 2 {x ^ {0}} 1 = {x ^ {0}} 5}

y, para aclarar, si se utilizan los paréntesis modernos y el signo más, la ecuación anterior se puede reescribir como: ^[10]

{\ displaystyle ({x ^ {3}} 1+ {x} 10) - ({x ^ {2}} 2+ {x ^ {0}} 1) = {x ^ {0}} 5}

Arithmetica es una colección de unos 150 problemas resueltos con números específicos y no hay un desarrollo postulacional ni se explica explícitamente un método general, aunque se puede haber pretendido la generalidad del método y no hay ningún intento de encontrar todas las soluciones a las ecuaciones. ^[8] Arithmetica contiene problemas resueltos que involucran varias cantidades desconocidas, que se resuelven, si es posible, expresando las cantidades desconocidas en términos de solo una de ellas. ^[8] Arithmetica también hace uso de las identidades: ^[12]

${\ Displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (c ^ {2} + d ^ {2})}$	${\ Displaystyle = (ac + db) ^ {2} + (bc-ad) ^ {2}}$
	${\ Displaystyle = (ad + bc) ^ {2} + (ac-bd) ^ {2}}$

Ver también [ editar ]

Diofanto II.VIII
Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī

Citas [ editar ]

^ "Diofanto de Alejandría (matemático griego)" . Encyclopædia Britannica . Consultado el 11 de abril de 2013 .
↑ a b Magill, Frank N., ed. (1998). Diccionario de biografía mundial . 1 . Salem Press. pag. 362. ISBN 9781135457396.
↑ Hogendijk, Jan P. (1985). "Reseña de J. Sesiano, Libros IV a VII de Arithmetica de Diofanto" . Consultado el 6 de julio de 2014 . Sólo seis de los trece libros de la Aritmética de Diofanto (ca. 250 d. C.) se conservan en griego. Se creía que los libros restantes se habían perdido, hasta el descubrimiento reciente de una traducción árabe medieval de cuatro de los libros restantes en un manuscrito en la Biblioteca del Santuario en Meshed en Irán (ver el catálogo [Gulchin-i Ma'ani 1971-1972, pp. 235-236]. El manuscrito fue descubierto en 1968 por F. Sezgin).
^ Schappacher, Norbert (abril de 2005). "Diofanto de Alejandría: un texto y su historia" (PDF) . pag. 18 . Consultado el 9 de octubre de 2015 .
↑ ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 234 ) "Nótese la omisión de Diofanto y Papo, autores que evidentemente no se conocían al principio en Arabia, aunque la Aritmética Diofantina sehizo familiar antes del final del siglo X . "
↑ ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 239 ) "Abu'l-Wefa era un algebrista capaz y también un trigonómetro. Comentó sobre el álgebra de al-Khwarizmiy tradujo del griego uno de los últimos grandes clásicos , la aritmética de Diofanto ".
↑ ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 178) "La incertidumbre acerca de la vida de Diofanto es tan grande que no sabemos con certeza en qué siglo vivió. Generalmente se supone que floreció alrededor del 250 d. C. pero las fechas de un siglo o más temprano o más tarde a veces se sugieren [...] Si este dilema es históricamente exacta, Diofanto vivió hasta los ochenta y cuatro años de edad. [...] la obra principal Diophantine conocido por nosotros es la Aritmética , un tratado originalmente en trece libros, sólo los primeros seis han sobrevivido ".
^ a b c d ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" págs. 180-182) "En este sentido, se puede comparar con los grandes clásicos de la época alejandrina anterior; sin embargo, no tiene prácticamente nada en común con estos o, de hecho, con cualquier matemática griega tradicional. Representa esencialmente una nueva rama y hace uso de un enfoque diferente. Al estar divorciado de los métodos geométricos, se parece en gran medida al álgebra babilónica. Pero mientras que los matemáticos babilónicos se habían preocupado principalmente por aproximaciones soluciones de ecuaciones determinadas hasta el tercer grado, la aritmética de Diofanto (como la tenemos) está casi enteramente dedicada a lasolución exacta de ecuaciones, tanto determinadas como indeterminadas . [...] A lo largo de los seis libros supervivientes de Arithmeticahay un uso sistemático de abreviaturas para potencias de números y para relaciones y operaciones. Un número desconocido está representado por un símbolo que se asemeja a la letra griega ζ (quizás para la última letra de arithmos). [...] En cambio, es una colección de unos 150 problemas, todos resueltos en términos de ejemplos numéricos específicos, aunque tal vez se pretendía generalizar el método. No hay desarrollo de postulaciones, ni se hace un esfuerzo por encontrar todas las soluciones posibles. En el caso de ecuaciones cuadráticas con dos raíces positivas, solo se da la mayor y no se reconocen las raíces negativas. No se hace una distinción clara entre problemas determinados e indeterminados, e incluso para los últimos para los que el número de soluciones generalmente es ilimitado, solo se da una única respuesta.Diofanto resolvió problemas que involucraban varios números desconocidos expresando hábilmente todas las cantidades desconocidas, cuando fue posible, en términos de solo uno de ellos ".
↑ ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 178) "La principal diferencia entre la síncopa diofántica y la notación algebraica moderna es la falta de símbolos especiales para operaciones y relaciones, así como de la notación exponencial".
^ a b c ( Derbyshire 2006 , "El padre del álgebra" págs. 35-36)
^ ( Cooke 1997 , "Matemáticas en el Imperio Romano" págs. 167-168)
↑ ( Boyer 1991 , "Europe in the Middle Ages" p. 257) "El libro hace un uso frecuente de las identidades [...] que habían aparecido en Diofanto y habían sido ampliamente utilizadas por los árabes".

Referencias [ editar ]

Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
Derbyshire, John (2006). Cantidad desconocida: una historia real e imaginaria del álgebra . Joseph Henry Press. ISBN 0-309-09657-X.
Cooke, Roger (1997). La historia de las matemáticas: un curso breve . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3.

Enlaces externos [ editar ]

Diofanto Alexandrinus, Pierre de Fermat, Claude Gaspard Bachet de Meziriac, Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri 6, et De numeris multangulis liber unus . Cum com. C (laude) G (aspar) Bacheti et observaciónibus P (ierre) de Fermat. Acc. doctrinae analyticae inventum novum, coll. ex variis eiu. Tolosae 1670, doi : 10.3931 / e-rara-9423 .

[1] "Diofanto de Alejandría (matemático griego)" . Encyclopædia Britannica . Consultado el 11 de abril de 2013 .

[magill-2] Magill, Frank N., ed. (1998). Diccionario de biografía mundial . 1 . Salem Press. pag. 362. ISBN 9781135457396.

[3] Hogendijk, Jan P. (1985). "Reseña de J. Sesiano, Libros IV a VII de Arithmetica de Diofanto" . Consultado el 6 de julio de 2014 . Sólo seis de los trece libros de la Aritmética de Diofanto (ca. 250 d. C.) se conservan en griego. Se creía que los libros restantes se habían perdido, hasta el descubrimiento reciente de una traducción árabe medieval de cuatro de los libros restantes en un manuscrito en la Biblioteca del Santuario en Meshed en Irán (ver el catálogo [Gulchin-i Ma'ani 1971-1972, pp. 235-236]. El manuscrito fue descubierto en 1968 por F. Sezgin).

[4] Schappacher, Norbert (abril de 2005). "Diofanto de Alejandría: un texto y su historia" (PDF) . pag. 18 . Consultado el 9 de octubre de 2015 .

[5] ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 234 ) "Nótese la omisión de Diofanto y Papo, autores que evidentemente no se conocían al principio en Arabia, aunque la Aritmética Diofantina sehizo familiar antes del final del siglo X . "

[6] ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 239 ) "Abu'l-Wefa era un algebrista capaz y también un trigonómetro. Comentó sobre el álgebra de al-Khwarizmiy tradujo del griego uno de los últimos grandes clásicos , la aritmética de Diofanto ".

[Boyer_Diophantus-7] ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 178) "La incertidumbre acerca de la vida de Diofanto es tan grande que no sabemos con certeza en qué siglo vivió. Generalmente se supone que floreció alrededor del 250 d. C. pero las fechas de un siglo o más temprano o más tarde a veces se sugieren [...] Si este dilema es históricamente exacta, Diofanto vivió hasta los ochenta y cuatro años de edad. [...] la obra principal Diophantine conocido por nosotros es la Aritmética , un tratado originalmente en trece libros, sólo los primeros seis han sobrevivido ".

[Boyer_Arithmetica-8] ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" págs. 180-182) "En este sentido, se puede comparar con los grandes clásicos de la época alejandrina anterior; sin embargo, no tiene prácticamente nada en común con estos o, de hecho, con cualquier matemática griega tradicional. Representa esencialmente una nueva rama y hace uso de un enfoque diferente. Al estar divorciado de los métodos geométricos, se parece en gran medida al álgebra babilónica. Pero mientras que los matemáticos babilónicos se habían preocupado principalmente por aproximaciones soluciones de ecuaciones determinadas hasta el tercer grado, la aritmética de Diofanto (como la tenemos) está casi enteramente dedicada a lasolución exacta de ecuaciones, tanto determinadas como indeterminadas . [...] A lo largo de los seis libros supervivientes de Arithmeticahay un uso sistemático de abreviaturas para potencias de números y para relaciones y operaciones. Un número desconocido está representado por un símbolo que se asemeja a la letra griega ζ (quizás para la última letra de arithmos). [...] En cambio, es una colección de unos 150 problemas, todos resueltos en términos de ejemplos numéricos específicos, aunque tal vez se pretendía generalizar el método. No hay desarrollo de postulaciones, ni se hace un esfuerzo por encontrar todas las soluciones posibles. En el caso de ecuaciones cuadráticas con dos raíces positivas, solo se da la mayor y no se reconocen las raíces negativas. No se hace una distinción clara entre problemas determinados e indeterminados, e incluso para los últimos para los que el número de soluciones generalmente es ilimitado, solo se da una única respuesta.Diofanto resolvió problemas que involucraban varios números desconocidos expresando hábilmente todas las cantidades desconocidas, cuando fue posible, en términos de solo uno de ellos ".

[Boyer-9] ( Boyer 1991 , "Renacimiento y declive de las matemáticas griegas" p. 178) "La principal diferencia entre la síncopa diofántica y la notación algebraica moderna es la falta de símbolos especiales para operaciones y relaciones, así como de la notación exponencial".

[Diophantus_Syncopation-10] ( Derbyshire 2006 , "El padre del álgebra" págs. 35-36)

[11] ( Cooke 1997 , "Matemáticas en el Imperio Romano" págs. 167-168)

[12] ( Boyer 1991 , "Europe in the Middle Ages" p. 257) "El libro hace un uso frecuente de las identidades [...] que habían aparecido en Diofanto y habían sido ampliamente utilizadas por los árabes".

[1]