Ars Conjectandi ("El arte de conjeturar" en latín ) es un libro sobre combinatoria y probabilidad matemáticaescrito por Jacob Bernoulli y publicado en 1713, ocho años después de su muerte, por su sobrino, Niklaus Bernoulli . El trabajo seminal consolidó, además de muchos temas combinatorios, muchas ideas centrales en la teoría de la probabilidad , como la primera versión de la ley de los grandes números : de hecho, es ampliamente considerado como el trabajo fundacional de ese tema. También abordó problemas que hoy se clasifican de la forma doce veces mayory agregado a los temas; en consecuencia, una plétora de historiadores matemáticos lo ha calificado como un hito histórico importante no solo en la probabilidad sino en toda la combinatoria. La importancia de este trabajo temprano tuvo un gran impacto tanto en los matemáticos contemporáneos como en los posteriores; por ejemplo, Abraham de Moivre .
Bernoulli escribió el texto entre 1684 y 1689, incluyendo el trabajo de matemáticos como Christiaan Huygens , Gerolamo Cardano , Pierre de Fermat y Blaise Pascal . Incorporó temas combinatorios fundamentales como su teoría de las permutaciones y combinaciones (los problemas antes mencionados de la forma doce), así como aquellos relacionados más lejanamente con el sujeto floreciente: la derivación y propiedades de los números epónimos de Bernoulli , por ejemplo. Los temas centrales de la probabilidad, como el valor esperado , también fueron una parte significativa de este importante trabajo.
Fondo
En Europa, el tema de la probabilidad se desarrolló formalmente por primera vez en el siglo XVI con la obra de Gerolamo Cardano , cuyo interés por la rama de las matemáticas se debió en gran parte a su hábito de jugar. [1] Él formalizó lo que ahora se llama la definición clásica de probabilidad: si un evento tiene un resultado posible y seleccionamos cualquier b de aquellos tales que b ≤ a , la probabilidad de que ocurra cualquiera de los b es. Sin embargo, su influencia real en la escena matemática no fue grande; escribió solo un tomo ligero sobre el tema en 1525 titulado Liber de ludo aleae (Libro sobre juegos de azar), que se publicó póstumamente en 1663. [2] [3]
La fecha que los historiadores citan como el comienzo del desarrollo de la teoría de la probabilidad moderna es 1654, cuando dos de los matemáticos más conocidos de la época, Blaise Pascal y Pierre de Fermat, iniciaron una correspondencia discutiendo el tema. Los dos iniciaron la comunicación porque a principios de ese año, un jugador de París llamado Antoine Gombaud había enviado a Pascal ya otros matemáticos varias preguntas sobre las aplicaciones prácticas de algunas de estas teorías; en particular, planteó el problema de los puntos , relativo a un juego teórico de dos jugadores en el que un premio debe dividirse entre los jugadores debido a circunstancias externas que detienen el juego. Los frutos de la correspondencia de Pascal y Fermat interesaron a otros matemáticos, incluido Christiaan Huygens , cuyo De ratiociniis in aleae ludo (Cálculos en juegos de azar) apareció en 1657 como el capítulo final de la Exercitationes Matematicae de Van Schooten . [2] En 1665 Pascal publicó póstumamente sus resultados sobre el triángulo epónimo de Pascal , un importante concepto combinatorio. Se refirió al triángulo en su obra Traité du triangle arithmétique (Rasgos del triángulo aritmético) como el "triángulo aritmético". [4]
En 1662, el libro La Logique ou l'Art de Penser se publicó de forma anónima en París. [5] Los autores presumiblemente fueron Antoine Arnauld y Pierre Nicole , dos destacados jansenistas , que trabajaron junto con Blaise Pascal. El título en latín de este libro es Ars cogitandi , que fue un libro exitoso sobre la lógica de la época. El Ars cogitandi consta de cuatro libros, y el cuarto trata sobre la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre al considerar la analogía con el juego e introducir explícitamente el concepto de probabilidad cuantificada. [6] [7]
En el campo de la estadística y la probabilidad aplicada, John Graunt publicó Natural and Political Observations Made on the Bills of Mortality también en 1662, iniciando la disciplina de la demografía . Este trabajo, entre otras cosas, dio una estimación estadística de la población de Londres, produjo la primera tabla de vida, dio probabilidades de supervivencia de diferentes grupos de edad, examinó las diferentes causas de muerte, notando que la tasa anual de suicidios y accidentes es constante. y comentó sobre el nivel y la estabilidad de la proporción de sexos. [8] La utilidad y la interpretación de las tablas de Graunt se discutieron en una serie de correspondencias de los hermanos Ludwig y Christiaan Huygens en 1667, donde se dieron cuenta de la diferencia entre las estimaciones medias y medianas y Christian incluso interpoló la tabla de vida de Graunt mediante una curva suave, creando la primera distribución de probabilidad continua; pero sus correspondencias no fueron publicadas. Más tarde, Johan de Witt , el entonces primer ministro de la República Holandesa, publicó material similar en su obra de 1671 Waerdye van Lyf-Renten (Tratado sobre rentas vitalicias), que utilizaba conceptos estadísticos para determinar la esperanza de vida con fines políticos prácticos; una demostración del hecho de que esta rama joven de las matemáticas tenía importantes aplicaciones pragmáticas. [9] El trabajo de De Witt no se distribuyó ampliamente más allá de la República Holandesa, tal vez debido a su caída del poder y la ejecución por la mafia en 1672. Aparte de las contribuciones prácticas de estos dos trabajos, también expusieron una idea fundamental de que la probabilidad puede asignarse a eventos que no tienen simetría física inherente, como las posibilidades de morir a cierta edad, a diferencia de, digamos, tirar un dado o lanzar una moneda, simplemente contando la frecuencia de ocurrencia. Por tanto, la probabilidad podría ser más que una mera combinatoria. [7]
Desarrollo de Ars Conjectandi
A raíz de todos estos pioneros, Bernoulli produjo muchos de los resultados contenidos en Ars Conjectandi entre 1684 y 1689, que registró en su diario Meditationes . [1] [10] Cuando comenzó el trabajo en 1684 a la edad de 30 años, mientras estaba intrigado por problemas combinatorios y probabilísticos, Bernoulli aún no había leído el trabajo de Pascal sobre el "triángulo aritmético" ni el trabajo de De Witt sobre las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. : había solicitado anteriormente una copia de este último a su conocido Gottfried Leibniz , pero Leibniz no se la proporcionó. Este último, sin embargo, logró proporcionar el trabajo de Pascal y Huygens y, por lo tanto, es en gran parte sobre estos cimientos que se construye Ars Conjectandi . [11] Aparte de estas obras, Bernoulli ciertamente poseía o al menos conocía los contenidos de fuentes secundarias de La Logique ou l'Art de Penser así como de Graunt's Bills of Mortality , ya que hace referencia explícita a estas dos obras.
El progreso de Bernoulli a lo largo del tiempo se puede perseguir mediante las Meditationes . Se pueden distinguir tres períodos de trabajo con respecto a su "descubrimiento" por objetivos y tiempos. El primer período, que va de 1684 a 1685, está dedicado al estudio de los problemas relacionados con los juegos de azar planteados por Christiaan Huygens; durante el segundo período (1685-1686) las investigaciones se amplían para abarcar procesos donde las probabilidades no se conocen a priori, pero deben determinarse a posteriori. Finalmente, en el último período (1687-1689), se resuelve el problema de medir las probabilidades. [6]
Antes de la publicación de su Ars Conjectandi , Bernoulli había elaborado varios tratados relacionados con la probabilidad: [12]
- Parallelismus ratiocinii logici et algebraici , Basilea, 1685.
- En el Journal des Sçavans 1685 (26.VIII), p. 314 aparecen dos problemas relacionados con la probabilidad de que cada uno de los dos jugadores gane en un juego de dados. Las soluciones se publicaron en Acta Eruditorum 1690 (mayo), págs. 219-223 en el artículo Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione Problematis de Sorte Alearum . Además, el propio Leibniz publicó una solución en la misma revista en las páginas 387-390.
- Tesis lógica de conversión y oposición enunciación , conferencia pública pronunciada en Basilea el 12 de febrero de 1686. Las tesis XXXI a XL están relacionadas con la teoría de la probabilidad.
- De Arte Combinatoria Oratio Inauguralis , 1692.
- La Carta a un amy sur les Parties du jeu de paume , es decir, una carta a un amigo sobre los sets en el tenis, publicada con el Ars Conjectandi en 1713.
Entre 1703 y 1705, Leibniz mantuvo correspondencia con Jakob después de enterarse de sus descubrimientos en probabilidad de su hermano Johann . [13] Leibniz logró proporcionar críticas reflexivas sobre la ley de los grandes números de Bernoulli, pero no pudo proporcionar a Bernoulli el trabajo de De Witt sobre las anualidades que tanto deseaba. [13] Desde el principio, Bernoulli deseaba que su trabajo demostrara que la combinatoria y la teoría de la probabilidad tendrían numerosas aplicaciones del mundo real en todas las facetas de la sociedad, en la línea del trabajo de Graunt y de Witt, y serviría como un método riguroso de razonamiento lógico bajo evidencia insuficiente, como se usa en tribunales y en juicios morales. También se esperaba que la teoría de la probabilidad pudiera proporcionar un método de razonamiento completo y coherente, donde el razonamiento ordinario podría verse abrumado por la complejidad de la situación. [13] Así se eligió el título Ars Conjectandi : un vínculo con el concepto de ars inveniendi desde la escolástica , que proporcionó el vínculo simbólico con el pragmatismo que deseaba y también como una extensión del Ars Cogitandi anterior . [6]
En palabras del propio Bernoulli, el "arte de la conjetura" se define en el Capítulo II de la Parte IV de su Ars Conjectandi como:
El arte de medir, con la mayor precisión posible, las probabilidades de las cosas, con el objetivo de que siempre podamos elegir o seguir en nuestros juicios y acciones ese rumbo, que se habrá determinado que es mejor, más satisfactorio, más seguro o más. ventajoso.
El desarrollo del libro terminó con la muerte de Bernoulli en 1705; por tanto, el libro está esencialmente incompleto en comparación con la visión original de Bernoulli. La disputa con su hermano menor Johann, que era la persona más competente que podía haber cumplido el proyecto de Jacob, impidió que Johann se hiciera con el manuscrito. Los propios hijos de Jacob no eran matemáticos y no estaban a la altura de la tarea de editar y publicar el manuscrito. Finalmente, el sobrino de Jacob, Niklaus, siete años después de la muerte de Jacob en 1705, logró publicar el manuscrito en 1713. [14] [15]
Contenido
La obra de Bernoulli, publicada originalmente en latín [16], se divide en cuatro partes. [11] Cubre más notablemente su teoría de permutaciones y combinaciones; los fundamentos estándar de la combinatoria hoy y subconjuntos de los problemas fundamentales conocidos hoy como el camino de los doce . También analiza la motivación y las aplicaciones de una secuencia de números más estrechamente relacionada con la teoría de números que con la probabilidad; estos números de Bernoulli llevan su nombre hoy, y son uno de sus logros más notables. [17] [18]
La primera parte es una exposición en profundidad sobre De ratiociniis in aleae ludo de Huygens . Bernoulli ofrece en esta sección soluciones a los cinco problemas que Huygens planteó al final de su trabajo. [11] En particular, desarrolla el concepto de valor esperado de Huygens: el promedio ponderado de todos los posibles resultados de un evento. Huygens había desarrollado la siguiente fórmula:
- [19]
En esta fórmula, E es el valor esperado, p i son las probabilidades de alcanzar cada valor y a i son los valores alcanzables. Bernoulli normaliza el valor esperado suponiendo que p i son las probabilidades de todos los resultados disjuntos del valor, lo que implica que p 0 + p 1 + ... + p n = 1. Otra teoría clave desarrollada en esta parte es la probabilidad de lograr al menos un cierto número de éxitos a partir de una serie de eventos binarios, hoy denominados ensayos de Bernoulli , [20] dado que la probabilidad de éxito en cada evento era la misma. Bernoulli muestra a través de la inducción matemática que dado a el número de resultados favorables en cada evento, b el número total de resultados en cada evento, d el número deseado de resultados exitosos ye el número de eventos, la probabilidad de al menos d éxitos es
- [21]
La primera parte concluye con lo que ahora se conoce como distribución de Bernoulli . [dieciséis]
La segunda parte se expande sobre la combinatoria enumerativa o la numeración sistemática de objetos. Fue en esta parte donde se desarrollaron dos de las más importantes de las doce formas —las permutaciones y combinaciones que formarían la base del tema—, aunque se habían introducido antes para los propósitos de la teoría de la probabilidad. Da la primera prueba no inductiva de la expansión binomial para exponentes enteros usando argumentos combinatorios. En una nota más lejanamente relacionada con la combinatoria, la segunda sección también analiza la fórmula general para las sumas de potencias enteras; los coeficientes libres de esta fórmula se denominan por tanto números de Bernoulli , que influyeron más tarde en el trabajo de Abraham de Moivre, [16] y que han demostrado tener numerosas aplicaciones en la teoría de números. [22]
En la tercera parte, Bernoulli aplica las técnicas de probabilidad de la primera sección a los juegos de azar comunes que se juegan con cartas o dados. [11] No siente la necesidad de describir las reglas y objetivos de los juegos de cartas que analiza. Presenta problemas de probabilidad relacionados con estos juegos y, una vez establecido un método, plantea generalizaciones. Por ejemplo, un problema que involucre el número esperado de "cartas de la corte" (jota, reina y rey) que se escogería en una mano de cinco cartas de una baraja estándar de 52 cartas que contienen 12 cartas de la corte podría generalizarse a una baraja con un cartas que contenían b cartas de la corte y una mano de carta c . [23]
La cuarta sección continúa la tendencia de las aplicaciones prácticas al discutir las aplicaciones de la probabilidad a civilibus , moralibus y oeconomicis , oa decisiones personales, judiciales y financieras. En esta sección, Bernoulli se diferencia de la escuela de pensamiento conocida como frecuentismo , que definía la probabilidad en un sentido empírico. [24] Como contador, produce un resultado que se asemeja a la ley de los grandes números , que describe como una predicción de que los resultados de la observación se acercarían a la probabilidad teórica a medida que se realizaran más ensayos; en contraste, los frecuentes definieron la probabilidad en términos de la primera. [14] Bernoulli estaba muy orgulloso de este resultado, refiriéndose a él como su "teorema de oro", [25] y comentó que era "un problema en el que me he involucrado durante veinte años". [26] Esta primera versión de la ley se conoce hoy como teorema de Bernoulli o ley débil de los grandes números, ya que es menos rigurosa y general que la versión moderna. [27]
Después de estas cuatro secciones expositivas primarias, casi como una ocurrencia tardía, Bernoulli agregó a Ars Conjectandi un tratado sobre cálculo , que se refería a series infinitas . [16] Era una reimpresión de cinco disertaciones que había publicado entre 1686 y 1704. [21]
Legado
Ars Conjectandi se considera un trabajo histórico en combinatoria y el trabajo fundacional de la probabilidad matemática. [28] [29] [30] Entre otros, una antología de grandes escritos matemáticos publicada por Elsevier y editada por el historiador Ivor Grattan-Guinness describe los estudios establecidos en la obra "[ocupando] matemáticos a lo largo de los siglos XVIII y XIX" —un influencia que duró tres siglos. [31] El estadístico Anthony Edwards elogió no solo el contenido innovador del libro, escribiendo que demostraba la "completa familiaridad de Bernoulli con las muchas facetas [de la combinatoria]", sino su forma: "[Ars Conjectandi] es un libro muy bien escrito, excelentemente construido." [32] Quizás más recientemente, el notable historiador matemático y topólogo William Dunham llamó al artículo "el próximo hito de la teoría de la probabilidad [después del trabajo de Cardano]", así como "la obra maestra de Jakob Bernoulli". [1] Ayudó enormemente a lo que Dunham describe como "la reputación de Bernoulli establecida desde hace mucho tiempo". [33]
El trabajo de Bernoulli influyó en muchos matemáticos contemporáneos y posteriores. Incluso el tratado de cálculo tardío se ha citado con frecuencia; sobre todo por el matemático escocés Colin Maclaurin . [16] El programa de Jacob de aplicar su arte de conjeturar a los asuntos de la vida práctica, que terminó con su muerte en 1705, fue continuado por su sobrino Nicolaus Bernoulli , después de haber tomado partes textualmente de Ars Conjectandi , para su propia disertación titulada De Usu Artis Conjectandi in Jure, que ya se publicó en 1709. [6] Nicolás finalmente editó y ayudó en la publicación de Ars conjectandi en 1713. Posteriormente Nicolás también editó las obras completas de Jacob Bernoulli y las complementó con resultados tomados del diario de Jacob. [34]
Pierre Rémond de Montmort , en colaboración con Nicolaus Bernoulli, escribió un libro sobre probabilidad Essay d'analyse sur les jeux de hazard que apareció en 1708, que puede verse como una extensión de la Parte III de Ars Conjectandi que aplica combinatoria y probabilidad a analizar los juegos de azar que se jugaban comúnmente en ese momento. [34] Abraham de Moivre también escribió extensamente sobre el tema en De mensura sortis: Seu de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus de 1711 y su extensión The Doctrine of Chances or, a Method of Calculability of Events in Play of 1718 . [35] logro notable más de de Moivre en probabilidad fue el descubrimiento de la primera instancia del teorema del límite central , por la que fue capaz de aproximar la distribución binomial con la distribución normal . [16] Para lograr esto, De Moivre desarrolló una secuencia asintótica para la función factorial , a la que ahora nos referimos como aproximación de Stirling, y la fórmula de Bernoulli para la suma de potencias de números. [16] Tanto Montmort como de Moivre adoptaron el término probabilidad de Jacob Bernoulli, que no se había utilizado en todas las publicaciones anteriores sobre juegos de azar, y ambos trabajos fueron enormemente populares. [6]
El refinamiento del Teorema de oro de Bernoulli, con respecto a la convergencia de probabilidad teórica y probabilidad empírica, fue retomado por muchos matemáticos notables de los últimos días como De Moivre, Laplace, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov y Khinchin. La prueba completa de la Ley de los números grandes para las variables aleatorias arbitrarias se proporcionó finalmente durante la primera mitad del siglo XX. [36]
Una influencia indirecta significativa fue Thomas Simpson , quien logró un resultado muy parecido al de Moivre. Según el prefacio de la obra de Simpson, su propia obra dependía en gran medida de la de De Moivre; este último, de hecho, describió el trabajo de Simpson como una versión abreviada del suyo. [37] Finalmente, Thomas Bayes escribió un ensayo discutiendo las implicaciones teológicas de los resultados de De Moivre: su solución a un problema, a saber, la de determinar la probabilidad de un evento por su frecuencia relativa, fue tomada como una prueba de la existencia de Dios por Bayes. . [38] Finalmente en 1812, Pierre-Simon Laplace publicó su Théorie analytique des probabilités en la que consolidó y estableció muchos resultados fundamentales en probabilidad y estadística, como la función generadora de momentos, el método de mínimos cuadrados, la probabilidad inductiva y la prueba de hipótesis. completando así la fase final en el desarrollo de la probabilidad clásica. De hecho, a la luz de todo esto, hay una buena razón por la que el trabajo de Bernoulli es aclamado como un evento tan seminal; No solo sus diversas influencias, directas e indirectas, hicieron girar el estudio matemático de la combinatoria, sino que incluso la teología se vio afectada.
Ver también
- Distribución multinomial
- Juicio de Bernoulli
- Ley de los números grandes
- Números de Bernoulli
- Distribución binomial
Notas
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Referencias
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enlaces externos
- Citas de Jakob Bernoulli
- Fuentes en la historia de la probabilidad y la estadística
- Biografía de Jakob Bernoulli