En matemáticas , una relación asimétrica es una relación binaria en un set donde para todos Si está relacionado con luego no está relacionado con[1]
Definicion formal
Una relación binaria en es cualquier subconjunto de Dado escribir si y solo si Lo que significa que es una abreviatura de La expresion se lee como " está relacionado con por "La relación binaria se llama asimétrico si para todos Si es verdad entonces Es falso; eso es, si luego Esto se puede escribir en la notación de la lógica de primer orden como
Una definición lógicamente equivalente es:
- para todos al menos uno de y es falso ,
que en lógica de primer orden se puede escribir como:
Un ejemplo de una relación asimétrica es la relación " menor que "entre números reales : si entonces necesariamente no es menos que La relación "menor o igual" por otro lado, no es asimétrico, porque invertir, por ejemplo, produce y ambos son verdaderos. La asimetría no es lo mismo que "no simétrico ": la relación menor o igual es un ejemplo de una relación que no es ni simétrica ni asimétrica. La relación vacía es la única relación que es ( vacía ) tanto simétrica como asimétrica.
Propiedades
- Una relación es asimétrica si y solo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva . [2]
- Las restricciones y conversiones de relaciones asimétricas también son asimétricas. Por ejemplo, la restricción de de los reales a los enteros sigue siendo asimétrico, y el inverso> de
én> - Una relación transitiva es asimétrica si y solo si es irreflexiva: [3] si y la transitividad da contradecir la irreflexividad.
- Como consecuencia, una relación es transitiva y asimétrica si y solo si es un orden parcial estricto .
- No todas las relaciones asimétricas son órdenes parciales estrictas. Un ejemplo de una relación asimétrica no transitiva, incluso antitransitiva , es la relación piedra papel tijera : si late luego no late y si late y late luego no late
- Una relación asimétrica no necesita tener la propiedad connex . Por ejemplo, la relación de subconjunto estricto ⊊ es asimétrica, y ninguno de los conjuntos y es un subconjunto estricto del otro. Una relación es connex iff, y solo si, su complemento es asimétrico.
Ver también
- La axiomatización de los reales por parte de Tarski : parte de esto es el requisito de que
Referencias
- ^ Gries, David ; Schneider, Fred B. (1993), A Logical Approach to Discrete Math , Springer-Verlag, pág. 273.
- ^ Nievergelt, Yves (2002), Fundamentos de la lógica y las matemáticas: aplicaciones a la informática y la criptografía , Springer-Verlag, p. 158.
- ^ Flaška, V .; Ježek, J .; Kepka, T .; Kortelainen, J. (2007). Cierres transitivos de relaciones binarias I (PDF) . Praga: Escuela de Matemáticas - Universidad Charles de Física. pag. 1. Archivado desde el original (PDF) en 2013-11-02 . Consultado el 20 de agosto de 2013 .Lema 1.1 (iv). Tenga en cuenta que esta fuente se refiere a las relaciones asimétricas como "estrictamente antisimétricas".