Un axioma , postulado o suposición es una declaración que se considera verdadera , para que sirva como premisa o punto de partida para razonamientos y argumentos adicionales. La palabra proviene del griego axíōma ( ἀξίωμα ) 'aquello que se considera digno o adecuado' o 'aquello que se recomienda a sí mismo como evidente'. [1] [2]
El término tiene diferencias sutiles en la definición cuando se usa en el contexto de diferentes campos de estudio. Como se define en la filosofía clásica , un axioma es una declaración que es tan evidente o bien establecida, que se acepta sin controversia o cuestionamiento. [3] Como se usa en la lógica moderna , un axioma es una premisa o punto de partida para el razonamiento. [4]
Como se usa en matemáticas , el término axioma se usa en dos sentidos relacionados pero distinguibles: "axiomas lógicos" y "axiomas no lógicos" . Axiomas lógicos son por lo general las declaraciones que se toman para ser verdad dentro del sistema de la lógica que definen y, a menudo se muestran en forma simbólica (por ejemplo, ( A y B ) implica A ), mientras que los axiomas no lógicos (por ejemplo, un + b = b + a ) son en realidad afirmaciones sustantivas sobre los elementos del dominio de una teoría matemática específica (como la aritmética ).
Cuando se usa en el último sentido, "axioma", "postulado" y "suposición" pueden usarse indistintamente. En la mayoría de los casos, un axioma no lógico es simplemente una expresión lógica formal utilizada en la deducción para construir una teoría matemática, y podría o no ser evidente en la naturaleza (por ejemplo, el postulado paralelo en la geometría euclidiana ). [5] Axiomatizar un sistema de conocimiento es mostrar que sus afirmaciones pueden derivarse de un conjunto pequeño y bien entendido de oraciones (los axiomas), y puede haber múltiples formas de axiomatizar un dominio matemático dado.
Cualquier axioma es un enunciado que sirve como punto de partida del que se derivan lógicamente otros enunciados. Si es significativo (y, de ser así, qué significa) que un axioma sea "verdadero" es un tema de debate en la filosofía de las matemáticas . [6]
Etimología
La palabra axioma proviene de la palabra griega ἀξίωμα ( axíōma ), un sustantivo verbal del verbo ἀξιόειν ( axioein ), que significa "considerar digno", pero también "requerir", que a su vez proviene de ἄξιος ( áxios ), que significa " estar en equilibrio ", y por lo tanto" tener (el mismo) valor (como) "," digno "," adecuado ". Entre los filósofos griegos antiguos, un axioma era una afirmación que podía considerarse evidentemente cierta sin necesidad de pruebas. [7]
El significado fundamental de la palabra postulado es "exigir"; por ejemplo, Euclides exige que uno esté de acuerdo en que se pueden hacer algunas cosas (por ejemplo, dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una línea recta). [8]
Los geómetras antiguos mantuvieron alguna distinción entre axiomas y postulados. Al comentar los libros de Euclides, Proclo comenta que " Gémino sostuvo que este [4to] Postulado no debe ser clasificado como un postulado sino como un axioma, ya que no afirma, como los primeros tres Postulados, la posibilidad de alguna construcción, sino que expresa un propiedad esencial ". [9] Boecio tradujo 'postulado' como petitio y llamó a los axiomas notiones communes, pero en manuscritos posteriores este uso no siempre se mantuvo estrictamente.
Desarrollo historico
Primeros griegos
El método lógico-deductivo mediante el cual las conclusiones (nuevo conocimiento) se derivan de premisas (conocimiento antiguo) mediante la aplicación de argumentos sólidos ( silogismos , reglas de inferencia) fue desarrollado por los antiguos griegos y se ha convertido en el principio central de las matemáticas modernas. Excluidas las tautologías , no se puede deducir nada si no se asume nada. Los axiomas y postulados son, por tanto, los supuestos básicos que subyacen a un cuerpo dado de conocimiento deductivo. Se aceptan sin demostración. Todas las demás afirmaciones ( teoremas , en el caso de las matemáticas) deben probarse con la ayuda de estos supuestos básicos. Sin embargo, la interpretación del conocimiento matemático ha cambiado de la antigüedad a la moderna y, en consecuencia, los términos axioma y postulado tienen un significado ligeramente diferente para el matemático actual que para Aristóteles y Euclides . [7]
Los antiguos griegos consideraban la geometría como una de varias ciencias y sostenían los teoremas de la geometría a la par de los hechos científicos. Como tal, desarrollaron y utilizaron el método lógico-deductivo como un medio para evitar errores y para estructurar y comunicar el conocimiento. La analítica posterior de Aristóteles es una exposición definitiva del punto de vista clásico.
Un "axioma", en terminología clásica, se refería a un supuesto evidente común a muchas ramas de la ciencia. Un buen ejemplo sería la afirmación de que
Cuando se toma una cantidad igual de iguales, resulta una cantidad igual.
En la base de las diversas ciencias se encuentran ciertas hipótesis adicionales que fueron aceptadas sin pruebas. Tal hipótesis se denominó postulado . Si bien los axiomas eran comunes a muchas ciencias, los postulados de cada ciencia en particular eran diferentes. Su validez tenía que establecerse mediante la experiencia del mundo real. Aristóteles advierte que el contenido de una ciencia no se puede comunicar con éxito si el alumno tiene dudas sobre la verdad de los postulados. [10]
El enfoque clásico está bien ilustrado [a] por Elementos de Euclides , donde se da una lista de postulados (hechos geométricos de sentido común extraídos de nuestra experiencia), seguida de una lista de "nociones comunes" (afirmaciones muy básicas y evidentes por sí mismas ).
- Postulados
- Es posible trazar una línea recta desde cualquier punto hacia cualquier otro punto.
- Es posible extender un segmento de línea de forma continua en ambas direcciones.
- Es posible describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
- Es cierto que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
- (" Postulado del paralelo ") Es cierto que, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se cruzan en el lado en el que se encuentran los ángulos menores que los dos ángulos rectos.
- Nociones comunes
- Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí.
- Si se suman iguales a iguales, los totales son iguales.
- Si se restan iguales de iguales, los restos son iguales.
- Las cosas que coinciden son iguales entre sí.
- El todo es más grande que la parte.
Desarrollo moderno
Una lección aprendida por las matemáticas en los últimos 150 años es que es útil quitar el significado de las afirmaciones matemáticas (axiomas, postulados, proposiciones , teoremas) y definiciones. Hay que admitir la necesidad de nociones primitivas , o términos o conceptos indefinidos, en cualquier estudio. Tal abstracción o formalización hace que el conocimiento matemático sea más general, capaz de múltiples significados diferentes y, por lo tanto, útil en múltiples contextos. Alessandro Padoa , Mario Pieri y Giuseppe Peano fueron pioneros en este movimiento.
La matemática estructuralista va más allá y desarrolla teorías y axiomas (por ejemplo , teoría de campos , teoría de grupos , topología , espacios vectoriales ) sin ninguna aplicación particular en mente. La distinción entre un "axioma" y un "postulado" desaparece. Los postulados de Euclides se motivan provechosamente al decir que conducen a una gran riqueza de hechos geométricos. La verdad de estos hechos complicados se basa en la aceptación de las hipótesis básicas. Sin embargo, al descartar el quinto postulado de Euclides, se pueden obtener teorías que tienen significado en contextos más amplios (por ejemplo, geometría hiperbólica ). Como tal, uno simplemente debe estar preparado para usar etiquetas como "línea" y "paralelo" con mayor flexibilidad. El desarrollo de la geometría hiperbólica enseñó a los matemáticos que es útil considerar los postulados como declaraciones puramente formales y no como hechos basados en la experiencia.
Cuando los matemáticos emplean los axiomas de campo , las intenciones son aún más abstractas. Las proposiciones de la teoría de campos no conciernen a ninguna aplicación en particular; el matemático ahora trabaja en completa abstracción. Hay muchos ejemplos de campos; la teoría de campo proporciona un conocimiento correcto sobre todos ellos.
No es correcto decir que los axiomas de la teoría de campos son "proposiciones que se consideran verdaderas sin prueba". Más bien, los axiomas de campo son un conjunto de restricciones. Si cualquier sistema dado de suma y multiplicación satisface estas restricciones, entonces uno está en condiciones de conocer instantáneamente una gran cantidad de información adicional sobre este sistema.
Las matemáticas modernas formalizan sus fundamentos hasta tal punto que las teorías matemáticas pueden considerarse objetos matemáticos, y las matemáticas mismas pueden considerarse una rama de la lógica . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert y Gödel son algunas de las figuras clave en este desarrollo.
Otra lección aprendida en las matemáticas modernas es examinar cuidadosamente las supuestas pruebas en busca de supuestos ocultos.
En el entendimiento moderno, un conjunto de axiomas es cualquier colección de afirmaciones formalmente declaradas de las que se siguen otras afirmaciones formalmente declaradas, mediante la aplicación de ciertas reglas bien definidas. Desde este punto de vista, la lógica se convierte en un sistema formal más. Un conjunto de axiomas debe ser coherente ; debería ser imposible derivar una contradicción del axioma. Un conjunto de axiomas tampoco debería ser redundante; una afirmación que puede deducirse de otros axiomas no necesita ser considerada como un axioma.
La primera esperanza de los lógicos modernos era que varias ramas de las matemáticas, quizás todas las matemáticas, pudieran derivarse de una colección consistente de axiomas básicos. Un éxito temprano del programa formalista fue la formalización de Hilbert [b] de la geometría euclidiana , [11] y la demostración relacionada de la consistencia de esos axiomas.
En un contexto más amplio, hubo un intento de basar todas las matemáticas en la teoría de conjuntos de Cantor . Aquí, la aparición de la paradoja de Russell y antinomias similares de la teoría de conjuntos ingenua planteó la posibilidad de que cualquier sistema de este tipo pudiera resultar inconsistente.
El proyecto formalista sufrió un revés decisivo, cuando en 1931 Gödel demostró que es posible, para cualquier conjunto suficientemente grande de axiomas ( los axiomas de Peano , por ejemplo) construir un enunciado cuya verdad sea independiente de ese conjunto de axiomas. Como corolario , Gödel demostró que la consistencia de una teoría como la aritmética de Peano es una afirmación indemostrable dentro del alcance de esa teoría. [12]
Es razonable creer en la consistencia de la aritmética de Peano porque se satisface con el sistema de números naturales , un sistema formal infinito pero intuitivamente accesible. Sin embargo, en la actualidad, no existe una forma conocida de demostrar la consistencia de los axiomas modernos de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos. Además, utilizando técnicas de forzamiento ( Cohen ) se puede demostrar que la hipótesis del continuo (Cantor) es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. [13] Por lo tanto, incluso este conjunto muy general de axiomas no puede considerarse como el fundamento definitivo de las matemáticas.
Otras ciencias
Los axiomas juegan un papel clave no solo en las matemáticas sino también en otras ciencias, especialmente en la física teórica . En particular, la obra monumental de Isaac Newton se basa esencialmente en los axiomas de Euclides , aumentados por un postulado sobre la no relación del espacio - tiempo y la física que tiene lugar en él en cualquier momento.
En 1905, los axiomas de Newton fueron reemplazados por los de la relatividad especial de Albert Einstein , y más tarde por los de la relatividad general .
Otro artículo de Albert Einstein y colaboradores (ver paradoja EPR ), casi inmediatamente contradicho por Niels Bohr , se refería a la interpretación de la mecánica cuántica . Esto fue en 1935. Según Bohr, esta nueva teoría debería ser probabilística , mientras que según Einstein debería ser determinista . La teoría mecánica cuántica subyacente, es decir, el conjunto de "teoremas" derivados de ella, parecía ser idéntica. Einstein incluso asumió que sería suficiente agregar a la mecánica cuántica "variables ocultas" para reforzar el determinismo. Sin embargo, treinta años después, en 1964, John Bell encontró un teorema, que involucraba correlaciones ópticas complicadas (ver desigualdades de Bell ), que arrojó resultados mensurables diferentes usando los axiomas de Einstein en comparación con los axiomas de Bohr. Y pasaron aproximadamente otros veinte años hasta que un experimento de Alain Aspect obtuvo resultados a favor de los axiomas de Bohr, no de Einstein. (Los axiomas de Bohr son simplemente: la teoría debería ser probabilística en el sentido de la interpretación de Copenhague ).
En consecuencia, no es necesario citar explícitamente los axiomas de Einstein, tanto más cuanto que se refieren a puntos sutiles sobre la "realidad" y la "localidad" de los experimentos.
Independientemente, el papel de los axiomas en las matemáticas y en las ciencias antes mencionadas es diferente. En matemáticas, uno ni "prueba" ni "refuta" un axioma para un conjunto de teoremas; la cuestión es simplemente que en el ámbito conceptual identificado por los axiomas, los teoremas siguen lógicamente. Por el contrario, en física, una comparación con experimentos siempre tiene sentido, ya que una teoría física falsificada necesita modificaciones.
Lógica matemática
En el campo de la lógica matemática , se hace una clara distinción entre dos nociones de axiomas: lógica y no lógica (algo similar a la antigua distinción entre "axiomas" y "postulados", respectivamente).
Axiomas lógicos
Se trata de determinadas fórmulas en un lenguaje formal que son universalmente válidas , es decir, fórmulas que se satisfacen con toda asignación de valores. Por lo general, uno toma como axiomas lógicos al menos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el lenguaje; en el caso de la lógica de predicados, se requieren más axiomas lógicos que los necesarios para probar verdades lógicas que no son tautologías en sentido estricto.
Ejemplos de
Lógica proposicional
En lógica proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas de las siguientes formas, donde, , y puede ser cualquier fórmula del lenguaje y donde los conectivos primitivos incluidos son sólo ""para la negación de la proposición inmediatamente siguiente y""para la implicación de proposiciones antecedente a consecuente:
Cada uno de estos patrones es un esquema de axioma , una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si, , y son variables proposicionales , entonces y son ambas instancias del esquema de axioma 1 y, por tanto, son axiomas. Puede demostrarse que sólo con estos tres esquemas de axioma y modus ponens , se pueden probar todas las tautologías del cálculo proposicional. También se puede demostrar que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías con modus ponens .
Se pueden construir alternativamente otros esquemas de axiomas que involucren el mismo o diferentes conjuntos de conectivos primitivos. [14]
Estos esquemas de axiomas también se utilizan en el cálculo de predicados , pero se necesitan axiomas lógicos adicionales para incluir un cuantificador en el cálculo. [15]
Lógica de primer orden
Axioma de igualdad. Dejarser un idioma de primer orden . Para cada variable, la formula
es universalmente válido.
Esto significa que, para cualquier símbolo de variable la formula puede considerarse como un axioma. Además, en este ejemplo, para que esto no caiga en la vaguedad y una serie interminable de "nociones primitivas", o bien una noción precisa de lo que entendemos por (o, para el caso, "ser igual") tiene que estar bien establecido primero, o un uso puramente formal y sintáctico del símbolo tiene que hacerse cumplir, solo considerándolo como una cadena y solo una cadena de símbolos, y la lógica matemática de hecho lo hace.
Otro esquema de axioma de ejemplo más interesante es el que nos proporciona lo que se conoce como instanciación universal :
Esquema de axiomas para la instanciación universal. Dada una fórmula en un idioma de primer orden , una variable y un término que es sustituible por en , la formula
es universalmente válido.
Donde el simbolo representa la fórmula con el término sustituido para . (Ver Sustitución de variables ). En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que, si sabemos que una determinada propiedad sostiene para cada y eso representa un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos poder reclamar . Una vez más, afirmamos que la fórmula es válido , es decir, debemos ser capaces de dar una "prueba" de este hecho, o más propiamente hablando, una metaprueba . Estos ejemplos son metateoremas de nuestra teoría de la lógica matemática, ya que estamos tratando con el concepto mismo de prueba . Aparte de esto, también podemos tener Generalización existencial :
Esquema de axiomas para la generalización existencial. Dada una fórmula en un idioma de primer orden , una variable y un término que es sustituible por en , la formula
es universalmente válido.
Axiomas no lógicos
Los axiomas no lógicos son fórmulas que desempeñan el papel de supuestos específicos de la teoría. Razonar sobre dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los enteros , puede implicar los mismos axiomas lógicos; los axiomas no lógicos apuntan a capturar lo que tiene de especial una estructura particular (o un conjunto de estructuras, como los grupos ). Por tanto, los axiomas no lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías . Otro nombre para un axioma no lógico es postulado . [dieciséis]
Casi todas las teorías matemáticas modernas parten de un conjunto dado de axiomas no lógicos, y [ se necesitaba una explicación adicional ] se pensaba [ se necesitaba una cita ] que, en principio, toda teoría podría axiomatizarse de esta manera y formalizarse hasta el simple lenguaje de fórmulas lógicas. .
Los axiomas no lógicos a menudo se denominan simplemente axiomas en el discurso matemático . Esto no significa que se afirme que sean verdaderas en un sentido absoluto. Por ejemplo, en algunos grupos, la operación de grupo es conmutativa , y esto se puede afirmar con la introducción de un axioma adicional, pero sin este axioma, podemos desarrollar bastante bien la teoría de grupos (más general), e incluso podemos tomar su negación como axioma para el estudio de grupos no conmutativos.
Así, un axioma es una base elemental para un sistema lógico formal que junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo .
Ejemplos de
Esta sección ofrece ejemplos de teorías matemáticas que se desarrollan completamente a partir de un conjunto de axiomas no lógicos (axiomas, en adelante). Un tratamiento riguroso de cualquiera de estos temas comienza con una especificación de estos axiomas.
Las teorías básicas, como la aritmética , el análisis real y el análisis complejo, a menudo se introducen de forma no axiomática, pero implícita o explícitamente generalmente se asume que los axiomas que se utilizan son los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con elección, ZFC abreviado o algunos sistema muy similar de teoría de conjuntos axiomáticos como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel , una extensión conservadora de ZFC. A veces se utilizan teorías ligeramente más fuertes como la teoría de conjuntos de Morse-Kelley o la teoría de conjuntos con un cardinal fuertemente inaccesible que permite el uso de un universo de Grothendieck , pero de hecho, la mayoría de los matemáticos pueden probar todo lo que necesitan en sistemas más débiles que ZFC, como el segundo. -orden aritmética . [ cita requerida ]
El estudio de la topología en matemáticas se extiende por todo a través de la topología de punto de ajuste , la topología algebraica , topología diferencial , y toda la parafernalia relacionada, como teoría de la homología , la teoría homotopy . El desarrollo del álgebra abstracta trajo consigo la teoría de grupos , los anillos , los campos y la teoría de Galois .
Esta lista podría ampliarse para incluir la mayoría de los campos de las matemáticas, incluida la teoría de la medida , la teoría ergódica , la probabilidad , la teoría de la representación y la geometría diferencial .
Aritmética
Los axiomas de Peano son la axiomatización más utilizada de la aritmética de primer orden . Son un conjunto de axiomas lo suficientemente fuertes como para probar muchos hechos importantes sobre la teoría de números y le permitieron a Gödel establecer su famoso segundo teorema de incompletitud . [17]
Tenemos un idioma dónde es un símbolo constante y es una función unaria y los siguientes axiomas:
- para cualquier fórmula con una variable libre.
La estructura estándar es dónde es el conjunto de números naturales, es la función sucesora y se interpreta naturalmente como el número 0.
Geometría euclidiana
Probablemente la lista de axiomas más antigua y famosa son los postulados de geometría plana de Euclides 4 + 1 . Los axiomas se denominan "4 + 1" porque durante casi dos milenios se sospechó que el quinto postulado (paralelo) ("a través de un punto fuera de una línea hay exactamente un paralelo") se podía derivar de los cuatro primeros. Finalmente, se encontró que el quinto postulado era independiente de los cuatro primeros. Se puede suponer que existe exactamente un paralelo que pasa por un punto fuera de una línea, o que existen infinitos. Esta elección nos da dos formas alternativas de geometría en las que los ángulos interiores de un triángulo suman exactamente 180 grados o menos, respectivamente, y se conocen como geometrías euclidianas e hiperbólicas . Si también se elimina el segundo postulado ("una línea se puede extender indefinidamente") entonces surge la geometría elíptica , donde no hay paralelo a través de un punto fuera de una línea, y en la que los ángulos interiores de un triángulo suman más de 180 grados. .
Análisis real
Los objetivos del estudio están dentro del dominio de los números reales . Los números reales se seleccionan de forma única (hasta el isomorfismo ) por las propiedades de un campo ordenado completo de Dedekind , lo que significa que cualquier conjunto no vacío de números reales con un límite superior tiene un límite superior mínimo. Sin embargo, expresar estas propiedades como axiomas requiere el uso de lógica de segundo orden . Los teoremas de Löwenheim-Skolem nos dicen que si nos limitamos a la lógica de primer orden , cualquier sistema de axiomas para los reales admite otros modelos, incluidos los modelos que son más pequeños que los reales y los modelos que son más grandes. Algunos de estos últimos se estudian en análisis no estándar .
Papel en la lógica matemática
Sistemas deductivos e integridad
Un sistema deductivo consta de un conjunto de axiomas lógicos, un conjunto de axiomas no lógicos, y un conjunto de reglas de inferencia . Una propiedad deseable de un sistema deductivo es que sea completo . Se dice que un sistema está completo si, para todas las fórmulas,
es decir, para cualquier afirmación que sea una consecuencia lógica derealmente existe una deducción de la declaración de. Esto a veces se expresa como "todo lo que es verdadero es demostrable", pero debe entenderse que "verdadero" aquí significa "hecho verdadero por el conjunto de axiomas", y no, por ejemplo, "verdadero en la interpretación pretendida". El teorema de completitud de Gödel establece la completitud de cierto tipo de sistema deductivo de uso común.
Tenga en cuenta que "completitud" tiene un significado diferente aquí que en el contexto del primer teorema de incompletitud de Gödel , que establece que ningún conjunto recursivo y consistente de axiomas no lógicosde la Teoría de la Aritmética es completo , en el sentido de que siempre existirá un enunciado aritmético tal que ni ni puede demostrarse a partir del conjunto dado de axiomas.
Por lo tanto, existe, por un lado, la noción de completitud de un sistema deductivo y , por otro lado, la noción de completitud de un conjunto de axiomas no lógicos . El teorema de completitud y el teorema de incompletitud, a pesar de sus nombres, no se contradicen entre sí.
Más discusión
Los primeros matemáticos consideraban la geometría axiomática como un modelo del espacio físico y, obviamente, solo podía haber uno de esos modelos. La idea de que pudieran existir sistemas matemáticos alternativos era muy preocupante para los matemáticos del siglo XIX y los desarrolladores de sistemas como el álgebra de Boole hicieron esfuerzos elaborados para derivarlos de la aritmética tradicional. Galois demostró justo antes de su prematura muerte que estos esfuerzos fueron en gran parte en vano. En última instancia, se consideró que los paralelos abstractos entre los sistemas algebraicos eran más importantes que los detalles, y nació el álgebra moderna . En la visión moderna, los axiomas pueden ser cualquier conjunto de fórmulas, siempre que no se sepa que sean inconsistentes.
Ver también
- Sistema axiomático
- Dogma
- Primer principio , axioma en ciencia y filosofía
- Lista de axiomas
- Teoría de modelos
- Regulæ Juris
- Teorema
- Presuposición
- Ley fisica
- Principio
Notas
- ^ Aunque no completo; algunos de los resultados declarados no se derivan realmente de los postulados declarados y las nociones comunes.
- ↑ Hilbert también explicitó las suposiciones que Euclides usó en sus demostraciones, pero no las enumeró en sus nociones y postulados comunes.
Referencias
- ^ Cf. axioma, n., etimología. Oxford English Dictionary , consultado el 28 de abril de 2012.
- ^ Diccionario del Oxford American College: "n. Una declaración o proposición que se considera establecida, aceptada o evidentemente verdadera. ORIGEN: finales del siglo XV: en última instancia, del griego axiōma 'lo que se considera apropiado', de axios 'digno de . HighBeam [ enlace muerto ] (se requiere suscripción)
- ^ "Una proposición que se recomienda a sí misma para la aceptación general; un principio bien establecido o universalmente aceptado; una máxima, regla, ley" axioma, n., Definición 1a. Oxford English Dictionary Online, consultado el 28 de abril de 2012. Cf. Aristóteles, Análisis posterior I.2.72a18-b4.
- ^ "Una proposición (verdadera o falsa)" axioma, n., Definición 2. Diccionario de inglés de Oxford en línea, consultado el 28 de abril de 2012.
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior" . Bóveda de matemáticas . El 1 de agosto de 2019 . Consultado el 19 de octubre de 2019 .
- ^ Ver por ejemplo Maddy, Penelope (junio de 1988). "Creer en los axiomas, yo". Revista de lógica simbólica . 53 (2): 481–511. doi : 10.2307 / 2274520 . JSTOR 2274520 .para una visión realista .
- ^ a b "Axioma - Powszechna Encyklopedia Filozofii" (PDF) . Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu .
- ^ Wolff, P. Breakthroughs in Mathematics , 1963, Nueva York: New American Library, págs. 47–48
- ^ Heath, T. 1956. Los trece libros de los elementos de Euclides. Nueva York: Dover. pág 200
- ↑ Aristóteles, Metafísica Bk IV, Capítulo 3, 1005b "La física también es una especie de Sabiduría, pero no es la primera. Y los intentos de algunos de los que discuten los términos en los que la verdad debe aceptarse se deben a falta de entrenamiento en lógica, porque deben saber estas cosas ya cuando vengan a un estudio especial, y no estar investigando sobre ellas mientras escuchan conferencias al respecto ". Traducción de WD Ross, en Las obras básicas de Aristóteles, ed. Richard McKeon, (Random House, Nueva York, 1941)
- ^ Para obtener más información, consulte los axiomas de Hilbert .
- ^ Raatikainen, Panu (2018), "Gödel's Incompleteness Theorems" , en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de otoño de 2018), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 19 de octubre de 2019
- ^ Koellner, Peter (2019), "The Continuum Hypothesis" , en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2019), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 19 de octubre de 2019
- ^ Mendelson, "6. Otras axiomatizaciones" del cap. 1
- ^ Mendelson, "3. Teorías de primer orden" del cap. 2
- ^ Mendelson, "3. Teorías de primer orden: axiomas propios" del cap. 2
- ^ Mendelson, "5. El teorema del punto fijo. Teorema de incompletitud de Gödel" del cap. 2
Otras lecturas
- Mendelson, Elliot (1987). Introducción a la lógica matemática. Belmont, California: Wadsworth y Brooks. ISBN 0-534-06624-0
- Wilson, John Cook (1889). . Oxford: Clarendon Press.
enlaces externos
- Axiom en PhilPapers
- Axiom en PlanetMath .
- Página de axiomas de metamath