Axioma de elección

axioma de la teoría de conjuntos

Este artículo trata sobre el concepto matemático. Para la banda, consulte Axiom of Choice (banda) .

Ilustración del axioma de elección, con cada S _i y x _i representados como un frasco y una canica de color, respectivamente

(S _i ) es una familia infinita de conjuntos indexados sobre los números reales R ; es decir, hay un conjunto S _i para cada número real i , con una pequeña muestra mostrada arriba. Cada conjunto contiene al menos uno, y posiblemente infinitos elementos. El axioma de elección nos permite seleccionar arbitrariamente un solo elemento de cada conjunto, formando una familia correspondiente de elementos ( x _i ) también indexados sobre los números reales, con x _i extraído de S _i . En general, las colecciones pueden ser indexados por encima de cualquier conjunto que , no sólo R .

En matemáticas , el axioma de elección , o AC , es un axioma de la teoría de conjuntos equivalente al enunciado de que un producto cartesiano de una colección de conjuntos no vacíos no es vacío . Dicho de manera informal, el axioma de elección dice que dada cualquier colección de contenedores, cada uno de los cuales contiene al menos un objeto, es posible hacer una selección de exactamente un objeto de cada contenedor, incluso si la colección es infinita . Formalmente, establece que para cada familia indexada de conjuntos no vacíos existe una familia indexada de elementos tal que para cada${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle x_{i}\in S_{i}}$${\displaystyle i\in I}$. El axioma de elección fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo para formalizar su demostración del teorema del buen orden . ^[1]

En muchos casos, esta selección puede realizarse sin invocar el axioma de elección; este es en particular el caso si el número de conjuntos es finito, o si hay una regla de selección disponible, alguna propiedad distintiva que se cumple exactamente para un elemento de cada conjunto. Un ejemplo ilustrativo son los conjuntos tomados de los números naturales. De tales conjuntos, siempre se puede seleccionar el número más pequeño, por ejemplo, dados los conjuntos {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}} el conjunto que contiene cada elemento más pequeño es {4 , 10, 1}. En este caso, "seleccionar el número más pequeño" es una función de elección. Incluso si se recopilaron infinitos conjuntos de los números naturales, siempre será posible elegir el elemento más pequeño de cada conjunto para producir un conjunto. Es decir, la función de elección proporciona el conjunto de elementos elegidos. Sin embargo, no se conoce una función de elección para la colección de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales (si hay reales no construibles ). En ese caso, debe invocarse el axioma de elección.

Bertrand Russell acuñó una analogía: para cualquier colección (incluso infinita) de pares de zapatos, uno puede elegir el zapato izquierdo de cada par para obtener una selección apropiada; esto hace posible definir directamente una función de elección. Para una colección infinita de pares de calcetines (se supone que no tienen características distintivas), no hay una forma obvia de hacer una función que seleccione un calcetín de cada par, sin invocar el axioma de elección. ^[2]

Aunque originalmente controvertido, el axioma de elección ahora es usado sin reservas por la mayoría de los matemáticos, ^[3] y está incluido en la forma estándar de teoría de conjuntos axiomática, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ( ZFC ). Una motivación para este uso es que varios resultados matemáticos generalmente aceptados, como el teorema de Tychonoff , requieren el axioma de elección para sus demostraciones. Los teóricos de conjuntos contemporáneos también estudian axiomas que no son compatibles con el axioma de elección, como el axioma de determinación . El axioma de elección se evita en algunas variedades de matemáticas constructivas., aunque existen variedades de matemáticas constructivas en las que se adopta el axioma de la elección.

Declaración

Una función de elección es una función f , que se define en una colección X de conjuntos no vacíos, de manera que para cada conjunto A en X , f ( A ) es un elemento de A . Con este concepto se puede enunciar el axioma:

Axioma  -  Para cualquier conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección f definida en X .

Formalmente, esto puede expresarse de la siguiente manera:

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.}$

Por tanto, la negación del axioma de elección establece que existe una colección de conjuntos no vacíos que no tiene función de elección.

Cada función de elección en una colección X de conjuntos no vacíos es un elemento del producto cartesiano de los sistemas en X . Ésta no es la situación más general de un producto cartesiano de una familia de conjuntos, donde un conjunto dado puede aparecer más de una vez como factor; sin embargo, uno puede enfocarse en elementos de tal producto que seleccionan el mismo elemento cada vez que un conjunto dado aparece como factor, y tales elementos corresponden a un elemento del producto cartesiano de todos los conjuntos distintos de la familia. El axioma de elección afirma la existencia de tales elementos; por tanto, es equivalente a:

Dada cualquier familia de conjuntos no vacíos, su producto cartesiano es un conjunto no vacío.

Nomenclatura ZF, AC y ZFC

En este artículo y en otras discusiones sobre el axioma de elección, las siguientes abreviaturas son comunes:

• AC: el axioma de la elección.
• ZF - Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel omitiendo el axioma de elección.
• ZFC: teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ampliada para incluir el axioma de elección.

Variantes

Hay muchas otras declaraciones equivalentes del axioma de elección. Estos son equivalentes en el sentido de que, en presencia de otros axiomas básicos de la teoría de conjuntos, implican el axioma de elección y están implícitos en él.

Una variación evita el uso de funciones de elección reemplazando, en efecto, cada función de elección con su rango.

Dado cualquier conjunto X de pairwise disjuntos conjuntos no vacíos, existe al menos un conjunto C que contiene exactamente un elemento en común con cada uno de los sistemas en X . ^[4]

Esto garantiza para cualquier partición de un conjunto X la existencia de un subconjunto C de X que contiene exactamente un elemento de cada parte de la partición.

Otro axioma equivalente solo considera las colecciones X que son esencialmente conjuntos de potencia de otros conjuntos:

Para cualquier conjunto A, el conjunto de potencia de A (con el conjunto vacío eliminado) tiene una función de elección.

Los autores que utilizan esta formulación a menudo hablan de la función de elección en A , pero esta es una noción ligeramente diferente de función de elección. Su dominio es el conjunto de potencias de A (con el conjunto vacío eliminado), por lo que tiene sentido para cualquier conjunto A , mientras que con la definición utilizada en otra parte de este artículo, el dominio de una función de elección en una colección de conjuntos es esa colección, y por eso solo tiene sentido para conjuntos de conjuntos. Con esta noción alternativa de función de elección, el axioma de elección puede expresarse de forma compacta como

Cada conjunto tiene una función de elección. ^[5]

que es equivalente a

Para cualquier conjunto A hay una función f tal que para cualquier subconjunto B no vacía de A , f ( B ) se encuentra en B .

Por tanto, la negación del axioma se puede expresar como:

Hay un conjunto A de tal manera que para todas las funciones f (en el conjunto de subconjuntos no vacíos de A ), hay una B tal que f ( B ) no está en B .

Restricción a conjuntos finitos

El enunciado del axioma de elección no especifica si la colección de conjuntos no vacíos es finita o infinita y, por tanto, implica que toda colección finita de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, ese caso particular es un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF); se prueba fácilmente por inducción matemática . ^[6] En el caso aún más simple de una colección de un conjunto, una función de elección solo corresponde a un elemento, por lo que esta instancia del axioma de elección dice que todo conjunto no vacío tiene un elemento; esto se sostiene trivialmente. El axioma de elección puede verse como una afirmación de la generalización de esta propiedad, ya evidente para colecciones finitas, a colecciones arbitrarias.

Uso

Hasta finales del siglo XIX, el axioma de elección se usaba a menudo de manera implícita, aunque aún no se había establecido formalmente. Por ejemplo, después de haber establecido que el conjunto X contiene sólo conjuntos no vacíos, un matemático podría haber dicho "dejar que F (s) es uno de los miembros de s para todos los s en X " para definir una función F . En general, es imposible probar que F existe sin el axioma de elección, pero esto parece haber pasado desapercibido hasta Zermelo .

No todas las situaciones requieren el axioma de elección. Para los conjuntos finitos X , el axioma de elección se deriva de los otros axiomas de la teoría de conjuntos. En ese caso, es equivalente a decir que si tenemos varias (un número finito de) cajas, cada una de las cuales contiene al menos un elemento, entonces podemos elegir exactamente un elemento de cada caja. Claramente podemos hacer esto: comenzamos en el primer cuadro, elegimos un artículo; vaya al segundo cuadro, elija un artículo; y así. El número de cajas es finito, por lo que finalmente nuestro procedimiento de elección llega a su fin. El resultado es una función de elección explícita: una función que lleva el primer cuadro al primer elemento que elegimos, el segundo cuadro al segundo elemento que elegimos, y así sucesivamente. (Una prueba formal para todos los conjuntos finitos usaría el principio de inducción matemáticapara demostrar "para cada número natural k , cada familia de k conjuntos no vacíos tiene una función de elección"). Sin embargo, este método no puede usarse para demostrar que cada familia contable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección, como lo afirma el axioma de elección contable . Si el método se aplica a una secuencia infinita ( X _i  : i ∈ω) de conjuntos no vacíos, se obtiene una función en cada etapa finita, pero no hay una etapa en la que se construya una función de elección para toda la familia, y no " La función de elección limitante se puede construir, en general, en ZF sin el axioma de elección.

Ejemplos

La naturaleza de los conjuntos no vacíos individuales de la colección puede hacer posible evitar el axioma de elección incluso para ciertas colecciones infinitas. Por ejemplo, suponga que cada miembro de la colección X es un subconjunto no vacío de los números naturales. Cada subconjunto tiene un elemento más pequeño, por lo que para especificar nuestra función de elección, podemos simplemente decir que asigna cada conjunto al elemento menor de ese conjunto. Esto nos da una opción definida de un elemento de cada conjunto y hace innecesario aplicar el axioma de elección.

La dificultad aparece cuando no hay una elección natural de elementos de cada conjunto. Si no podemos hacer elecciones explícitas, ¿cómo sabemos que nuestro conjunto existe? Por ejemplo, suponga que X es el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales . Primero, podríamos intentar proceder como si X fuera finito. Si tratamos de elegir un elemento de cada conjunto, entonces, porque X es infinito, nuestro procedimiento de elección será nunca llegan a su fin, y por lo tanto, nunca será capaz de producir una función de elección para todos X . A continuación, podríamos intentar especificar el elemento mínimo de cada conjunto. Pero algunos subconjuntos de los números reales no tienen los mínimos elementos. Por ejemplo, el intervalo abierto(0,1) no tiene un elemento mínimo: si x está en (0,1), entonces también lo es x / 2, y x / 2 siempre es estrictamente menor que x . Entonces este intento también falla.

Además, considere, por ejemplo, el círculo unitario S y la acción sobre S de un grupo G que consta de todas las rotaciones racionales. Es decir, se trata de rotaciones de ángulos que son múltiplos racionales de  π . Aquí G es contable mientras que S es incontable. Por lo tanto S se rompe en uncountably muchas órbitas bajo  G . Usando el axioma de elección, podríamos elegir un solo punto de cada órbita, obteniendo un subconjunto incontable X de S con la propiedad de que todas sus traducciones por G son disjuntas de  X. El conjunto de esos traduce particiones del círculo en una colección contable de conjuntos disjuntos, que son todos congruentes por pares. Dado que X no es medible para ninguna medida finita aditiva contable invariante en rotación en S , encontrar un algoritmo para seleccionar un punto en cada órbita requiere el axioma de elección. Consulte el conjunto no medible para obtener más detalles.

La razón por la que podemos elegir los elementos mínimos de los subconjuntos de los números naturales es el hecho de que los números naturales están bien ordenados : cada subconjunto no vacío de los números naturales tiene un elemento mínimo único bajo el orden natural. Se podría decir: "Aunque el orden habitual de los números reales no funciona, puede ser posible encontrar un orden diferente de los números reales, lo cual es un buen orden. Entonces nuestra función de elección puede elegir el menor elemento de cada conjunto. bajo nuestro pedido inusual ". El problema pasa entonces a ser el de construir un buen ordenamiento, que resulta requerir el axioma de elección para su existencia; cada conjunto puede estar bien ordenado si y solo si se cumple el axioma de elección.

Crítica y aceptación

Una prueba que requiera el axioma de elección puede establecer la existencia de un objeto sin definir explícitamente el objeto en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, mientras que el axioma de elección implica que hay un buen orden de los números reales, existen modelos de teoría de conjuntos con el axioma de elección en los que no se puede definir un buen orden de los números reales. De manera similar, aunque se puede probar que existe un subconjunto de los números reales que no es medible según Lebesgue usando el axioma de elección, es consistente que tal conjunto no es definible. ^[7]

El axioma de elección prueba la existencia de estos intangibles (objetos cuya existencia se demuestra, pero que no pueden construirse explícitamente), que pueden entrar en conflicto con algunos principios filosóficos. ^[8] Debido a que no hay un buen ordenamiento canónico de todos los conjuntos, una construcción que se basa en un buen ordenamiento puede no producir un resultado canónico, incluso si se desea un resultado canónico (como suele ser el caso en la teoría de categorías ). Esto se ha utilizado como argumento en contra del uso del axioma de elección.

Otro argumento en contra del axioma de elección es que implica la existencia de objetos que pueden parecer contradictorios. ^[9] Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski, que dice que es posible descomponer la bola unitaria sólida tridimensional en un número finito de piezas y, utilizando solo rotaciones y traslaciones, volver a montar las piezas en dos bolas sólidas, cada una con el mismo volumen. como el original. Las piezas de esta descomposición, construidas utilizando el axioma de elección, son conjuntos no medibles .

A pesar de estos hechos aparentemente paradójicos , la mayoría de los matemáticos aceptan el axioma de la elección como un principio válido para probar nuevos resultados en matemáticas. El debate es lo suficientemente interesante, sin embargo, que se considera de interés cuando un teorema en ZFC (ZF más AC) es lógicamente equivalente (con solo los axiomas de ZF) al axioma de elección, y los matemáticos buscan resultados que requieren el axioma de elección sea falsa, aunque este tipo de deducción es menos común que el tipo que requiere que el axioma de elección sea verdadero.

Es posible probar muchos teoremas sin utilizar el axioma de elección ni su negación; tales afirmaciones serán verdaderas en cualquier modelo de ZF, independientemente de la verdad o falsedad del axioma de elección en ese modelo en particular. La restricción a ZF hace que cualquier afirmación que se base en el axioma de elección o en su negación sea indemostrable. Por ejemplo, la paradoja de Banach-Tarski no puede demostrarse ni refutarse únicamente a partir de ZF: es imposible construir la descomposición requerida de la bola unitaria en ZF, pero también es imposible probar que no existe tal descomposición. Del mismo modo, todas las declaraciones que se enumeran a continuación ^{[ aclaración necesaria ]}que requieren elección o alguna versión más débil de la misma para su demostración no se pueden demostrar en ZF, pero dado que cada una es demostrable en ZF más el axioma de elección, hay modelos de ZF en los que cada afirmación es verdadera. Enunciados como la paradoja de Banach-Tarski pueden reformularse como enunciados condicionales, por ejemplo, "Si AC se cumple, entonces existe la descomposición en la paradoja de Banach-Tarski". Tales declaraciones condicionales se pueden demostrar en ZF cuando las declaraciones originales se pueden demostrar a partir de ZF y el axioma de elección.

En matemáticas constructivas

Como se discutió anteriormente, en ZFC, el axioma de elección es capaz de proporcionar " pruebas no constructivas " en las que se prueba la existencia de un objeto aunque no se construye un ejemplo explícito. ZFC, sin embargo, todavía está formalizado en la lógica clásica. El axioma de elección también se ha estudiado a fondo en el contexto de las matemáticas constructivas, donde se emplea la lógica no clásica. El estatus del axioma de elección varía entre diferentes variedades de matemáticas constructivas.

En la teoría de tipos de Martin-Löf y la aritmética de Heyting de orden superior , el enunciado apropiado del axioma de elección se incluye (según el enfoque) como axioma o se puede demostrar como teorema. ^[10] Errett Bishop argumentó que el axioma de elección era constructivamente aceptable, diciendo

Una función de elección existe en las matemáticas constructivas, porque una elección está implícita en el significado mismo de la existencia. ^[11]

En la teoría de conjuntos constructiva , sin embargo, el teorema de Diaconescu muestra que el axioma de elección implica la ley del medio excluido (a diferencia de la teoría de tipos de Martin-Löf, donde no lo hace). Por tanto, el axioma de elección no está generalmente disponible en la teoría de conjuntos constructiva. Una causa de esta diferencia es que el axioma de elección en la teoría de tipos no tiene las propiedades de extensionalidad que tiene el axioma de elección en la teoría de conjuntos constructiva. ^[12]

Algunos resultados de la teoría de conjuntos constructiva utilizan el axioma de elección contable o el axioma de elección dependiente , que no implican la ley del medio excluido en la teoría de conjuntos constructiva. Aunque el axioma de elección contable en particular se usa comúnmente en matemáticas constructivas, también se ha cuestionado su uso. ^[13]

Independencia

Ver también: Lista de declaraciones independientes de ZFC

En 1938, ^[14] Kurt Gödel demostró que la negación del axioma de elección no es un teorema de ZF al construir un modelo interno (el universo construible ) que satisface ZFC y así demostrar que ZFC es consistente si ZF en sí mismo es consistente. En 1963, Paul Cohen empleó la técnica de forzar , desarrollada para este propósito, para mostrar que, asumiendo que ZF es consistente, el axioma de elección en sí mismo no es un teorema de ZF. Lo hizo construyendo un modelo mucho más complejo que satisface ZF¬C (ZF con la negación de AC añadida como axioma) y, por lo tanto, muestra que ZF¬C es consistente. ^[15]

Juntos, estos resultados establecen que el axioma de elección es lógicamente independiente de ZF. La suposición de que ZF es consistente es inofensiva porque agregar otro axioma a un sistema ya inconsistente no puede empeorar la situación. Debido a la independencia, la decisión de utilizar el axioma de elección (o su negación) en una prueba no puede tomarse apelando a otros axiomas de la teoría de conjuntos. La decisión debe tomarse por otros motivos.

Un argumento dado a favor de usar el axioma de elección es que es conveniente usarlo porque permite probar algunas proposiciones simplificadoras que de otra manera no podrían probarse. Muchos teoremas que pueden demostrarse mediante la elección son de un elegante carácter general: todo ideal de un anillo está contenido en un ideal máximo , todo espacio vectorial tiene una base y todo producto de espacios compactos es compacto. Sin el axioma de elección, estos teoremas pueden no ser válidos para objetos matemáticos de cardinalidad grande.

El resultado de la prueba de independencia también muestra que una amplia clase de enunciados matemáticos, incluidos todos los enunciados que pueden expresarse en el lenguaje de la aritmética de Peano , se pueden demostrar en ZF si y solo si se pueden demostrar en ZFC. ^{[16] Los} enunciados de esta clase incluyen el enunciado de que P = NP , la hipótesis de Riemann y muchos otros problemas matemáticos sin resolver. Cuando uno intenta resolver problemas en esta clase, no importa si se emplea ZF o ZFC si la única pregunta es la existencia de una prueba. Sin embargo, es posible que haya una prueba más corta de un teorema de ZFC que de ZF.

El axioma de elección no es el único enunciado significativo que es independiente de ZF. Por ejemplo, la hipótesis del continuo generalizado (GCH) no solo es independiente de ZF, sino también independiente de ZFC. Sin embargo, ZF más GCH implica AC, lo que hace que GCH sea un reclamo estrictamente más fuerte que AC, a pesar de que ambos son independientes de ZF.

Axiomas más fuertes

El axioma de constructibilidad y la hipótesis del continuo generalizado implican cada uno el axioma de elección y, por lo tanto, son estrictamente más fuertes que él. En las teorías de clases como la teoría de conjuntos de Von Neumann – Bernays – Gödel y la teoría de conjuntos de Morse – Kelley , existe un axioma llamado axioma de elección global que es más fuerte que el axioma de elección para conjuntos porque también se aplica a clases adecuadas. El axioma de elección global se deriva del axioma de limitación de tamaño . El axioma de Tarski, que se usa en la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck y establece (en la lengua vernácula) que cada conjunto pertenece a algún universo de Grothendieck, es más fuerte que el axioma de elección.

Equivalentes

Hay afirmaciones importantes que, asumiendo los axiomas de ZF pero ni AC ni ¬AC, son equivalentes al axioma de elección. ^[17] Los más importantes son el lema de Zorn y el teorema del buen orden . De hecho, Zermelo introdujo inicialmente el axioma de elección para formalizar su demostración del teorema del buen orden.

• Teoría de conjuntos
  • Teorema del buen orden : todos los conjuntos pueden estar bien ordenados. En consecuencia, todo cardenal tiene un ordinal inicial .
  • El teorema de Tarski sobre la elección : Por cada conjunto infinito A , hay un mapa biyectiva entre los conjuntos A y A × A .
  • Tricotomía : si se dan dos conjuntos, entonces o tienen la misma cardinalidad o uno tiene una cardinalidad menor que el otro.
  • Dados dos conjuntos no vacíos, uno tiene una sobreyección al otro.
  • El producto cartesiano de cualquier familia de conjuntos no vacíos es no vacío.
  • Teorema de König : coloquialmente, la suma de una secuencia de cardinales es estrictamente menor que el producto de una secuencia de cardinales más grandes. (La razón del término "coloquialmente" es que la suma o el producto de una "secuencia" de cardinales no se puede definir sin algún aspecto del axioma de elección).
  • Toda función sobreyectiva tiene una inversa correcta .
• Teoría del orden
  • Lema de Zorn : Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que cada cadena ( es decir , subconjunto totalmente ordenado) tiene un límite superior contiene al menos un elemento máximo.
  • Principio máximo de Hausdorff : En cualquier conjunto parcialmente ordenado, cada subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado. El principio restringido "Todo conjunto parcialmente ordenado tiene un subconjunto máximo totalmente ordenado" también es equivalente a AC sobre ZF.
  • Lema de Tukey : Toda colección no vacía de carácter finito tiene un elemento máximo con respecto a la inclusión.
  • Principio antichain : cada conjunto parcialmente ordenado tiene un antichain máximo .
• Álgebra abstracta
  • Todo espacio vectorial tiene una base . ^[18]
  • Teorema de Krull : Todo anillo unital que no sea el anillo trivial contiene un ideal máximo .
  • Para cada conjunto no vacío S hay una operación binaria definida en S que le da una estructura de grupo . ^[19] (Una operación binaria canceladora es suficiente, consulte la estructura del grupo y el axioma de elección ).
  • Cada conjunto es un objeto proyectivo en la categoría Conjunto de conjuntos. ^{[20] [21]}
• Análisis funcional
  • La bola unitaria cerrada del dual de un espacio vectorial normalizado sobre los reales tiene un punto extremo .
• Topología de conjunto de puntos
  • Tychonoff es el teorema : Cada producto de compactos espacios topológicos es compacto.
  • En la topología del producto, el cierre de un producto de subconjuntos es igual al producto de los cierres.
• Lógica matemática
  • Si S es un conjunto de sentencias de lógica de primer orden y B es un subconjunto consistente de S , entonces B se incluye en un conjunto que es máxima entre los subconjuntos consistentes de S . El caso especial donde S es el conjunto de todas las oraciones de primer orden en una firma dada es más débil, equivalente al teorema del ideal booleano ; consulte la sección "Formas más débiles" a continuación.
• Teoría de grafos
  • Cada gráfico conectado tiene un árbol de expansión . ^[22]

Teoría de categorías

Hay varios resultados en la teoría de categorías que invocan el axioma de elección para su demostración. Estos resultados pueden ser más débiles, equivalentes o más fuertes que el axioma de elección, dependiendo de la solidez de los fundamentos técnicos. Por ejemplo, si uno define categorías en términos de conjuntos, es decir, como conjuntos de objetos y morfismos (generalmente llamados categorías pequeñas ), o incluso categorías localmente pequeñas, cuyos hom-objetos son conjuntos, entonces no existe una categoría de todos los conjuntos., por lo que es difícil que una formulación de teoría de categorías se aplique a todos los conjuntos. Por otro lado, otras descripciones fundamentales de la teoría de categorías son considerablemente más sólidas, y un enunciado de elección teórico de categorías idéntico puede ser más fuerte que la formulación estándar, al estilo de la teoría de clases, mencionada anteriormente.

Ejemplos de declaraciones de teoría de categorías que requieren elección incluyen:

• Cada pequeña categoría tiene un esqueleto .
• Si dos categorías pequeñas son débilmente equivalentes, entonces son equivalentes .
• Cada funtor continuo en una categoría pequeña-completa que satisface la condición apropiada del conjunto de soluciones tiene un adjunto izquierdo (el teorema del functor adjunto de Freyd).

Formas más débiles

Hay varios enunciados más débiles que no son equivalentes al axioma de elección, pero están estrechamente relacionados. Un ejemplo es el axioma de elección dependiente (DC). Un ejemplo aún más débil es el axioma de elección contable (AC _ω o CC), que establece que existe una función de elección para cualquier conjunto contable de conjuntos no vacíos. Estos axiomas son suficientes para muchas demostraciones en el análisis matemático elemental y son consistentes con algunos principios, como la mensurabilidad de Lebesgue de todos los conjuntos de reales, que son refutables a partir del axioma completo de elección.

Otros axiomas de elección más débiles que el axioma de elección incluyen el teorema del ideal primo de Boole y el axioma de uniformización . El primero es equivalente en ZF al lema del ultrafiltro de 1930 de Tarski : cada filtro es un subconjunto de algún ultrafiltro .

Resultados que requieren AC (o formas más débiles) pero más débiles

Uno de los aspectos más interesantes del axioma de elección es la gran cantidad de lugares en matemáticas que aparece. Aquí hay algunas afirmaciones que requieren el axioma de elección en el sentido de que no se pueden demostrar a partir de ZF, pero sí a partir de ZFC (ZF más AC). De manera equivalente, estas afirmaciones son verdaderas en todos los modelos de ZFC pero falsas en algunos modelos de ZF.

• Teoría de conjuntos
  • El lema del ultrafiltro (con ZF) se puede utilizar para probar el axioma de elección para conjuntos finitos: dado y una colección de conjuntos finitos no vacíos , su producto no está vacío. ^[23]${\displaystyle I\neq \varnothing }$${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$
  • Cualquier unión de muchos conjuntos contables es en sí misma contable (porque es necesario elegir un orden particular para cada uno de los numerosos conjuntos contables).
  • Si el conjunto A es infinito , entonces existe una inyección de los números naturales N a A (ver Dedekind infinito ). ^[24]
  • Ocho definiciones de un conjunto finito son equivalentes. ^[25]
  • Cada juego infinito en el que hay un subconjunto Borel del espacio Baire está determinado .${\displaystyle G_{S}}$${\displaystyle S}$
• Teoría de la medida
  • El teorema de Vitali sobre la existencia de conjuntos no medibles que establece que hay un subconjunto de números reales que no es medible en Lebesgue .
  • La paradoja de Hausdorff .
  • La paradoja de Banach-Tarski .
  • La medida de Lebesgue de una unión disjunta contable de conjuntos mensurables es igual a la suma de las medidas de los conjuntos individuales.
• Álgebra
  • Cada campo tiene un cierre algebraico .
  • Cada extensión de campo tiene una base de trascendencia .
  • El teorema de representación de Stone para las álgebras de Boole necesita el teorema del ideal de los primos de Boole .
  • El teorema de Nielsen-Schreier , que todo subgrupo de un grupo libre es libre.
  • Los grupos aditivos de R y C son isomorfos. ^{[26] [27]}
• Análisis funcional
  • El teorema de Hahn-Banach en el análisis funcional , que permite la extensión de funcionales lineales
  • El teorema de que todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal.
  • El teorema de Banach-Alaoglu sobre la compacidad de conjuntos de funcionales.
  • El teorema de la categoría de Baire sobre espacios métricos completos y sus consecuencias, como el teorema de mapeo abierto y el teorema de grafo cerrado .
  • En cada espacio vectorial topológico de dimensión infinita hay un mapa lineal discontinuo .
• Topología general
  • Un espacio uniforme es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado.
  • Cada espacio de Tychonoff tiene una compactación Stone-Čech .
• Lógica matemática
  • Teorema de completitud de Gödel para la lógica de primer orden: todo conjunto consistente de oraciones de primer orden tiene una terminación. Es decir, todo conjunto coherente de oraciones de primer orden puede extenderse a un conjunto coherente máximo.

Posiblemente implicaciones equivalentes de AC

Hay varios enunciados de la teoría de conjuntos históricamente importantes implícitos en AC cuya equivalencia con AC está abierta. El principio de partición, que fue formulado antes que el propio AC, fue citado por Zermelo como una justificación para creer en AC. En 1906 Russell declaró que PP era equivalente, pero si el principio de partición implica AC sigue siendo el problema abierto más antiguo en la teoría de conjuntos, y las equivalencias de los otros enunciados son problemas abiertos igualmente difíciles. En todos los modelos conocidos de ZF donde la elección falla, estas declaraciones también fallan, pero se desconoce si pueden mantenerse sin elección.

• Teoría de conjuntos
  • Principio de partición: si hay un surjection de A a B , hay una inyección de B a A . De manera equivalente, cada partición P de un conjunto S es menor o igual que S en tamaño.
  • Teorema inverso de Schröder-Bernstein : si dos conjuntos tienen sobreyecciones entre sí, son equinumeros.
  • Principio de partición débil: Una partición de un conjunto S no puede ser estrictamente mayor que S . Si WPP se cumple, esto ya implica la existencia de un conjunto no medible. Cada una de las tres declaraciones anteriores está implícita en la anterior, pero se desconoce si alguna de estas implicaciones puede revertirse.
  • No hay una secuencia infinita decreciente de cardenales. La equivalencia fue conjeturada por Schoenflies en 1905.
• Álgebra abstracta
  • Teorema de incrustación de Hahn : cada orden abeliano ordenado del grupo G se incrusta como un subgrupo del grupo aditivo dotado de un orden lexicográfico , donde Ω es el conjunto de clases de equivalencia de Arquímedes de Ω. Esta equivalencia fue conjeturada por Hahn en 1907.${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$

Formas más fuertes de la negación de AC

Si abreviamos con BP la afirmación de que todo conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire , entonces BP es más fuerte que ¬AC, lo que afirma la inexistencia de ninguna función de elección en quizás solo un conjunto único de conjuntos no vacíos. Las negaciones reforzadas pueden ser compatibles con formas debilitadas de CA. Por ejemplo, ZF + DC ^[28] + BP es consistente, si ZF lo es.

También es coherente con ZF + DC que cada conjunto de reales es medible según Lebesgue ; sin embargo, este resultado de consistencia, debido a Robert M. Solovay , no se puede probar en la propia ZFC, pero requiere una suposición cardinal leve y grande (la existencia de un cardenal inaccesible ). El axioma de determinación mucho más fuerte , o AD, implica que todo conjunto de reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de Baire y tiene la propiedad del conjunto perfecto (los tres resultados son refutados por el propio AC). ZF + DC + AD es consistente siempre que un axioma cardinal grande suficientemente fuerte sea consistente (la existencia de infinitos cardenales Woodin ).

El sistema de Quine de teoría de conjuntos axiomáticos, "Nuevos fundamentos" (NF), toma su nombre del título ("Nuevos fundamentos para la lógica matemática") del artículo de 1937 que lo presentó. En el sistema axiomático NF, el axioma de elección puede refutarse. ^[29]

Declaraciones consistentes con la negación de AC

Hay modelos de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en los que el axioma de elección es falso. Abreviaremos "teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más la negación del axioma de elección" por ZF¬C. Para ciertos modelos de ZF¬C, es posible probar la negación de algunos hechos estándar. Cualquier modelo de ZF¬C es también un modelo de ZF, por lo que para cada uno de los siguientes enunciados, existe un modelo de ZF en el que ese enunciado es verdadero.

• En algunos modelos, hay un conjunto que puede dividirse en estrictamente más clases de equivalencia de las que tiene el conjunto original, y una función cuyo dominio es estrictamente menor que su rango. De hecho, este es el caso de todos los modelos conocidos .
• Hay una función f de los números reales a los números reales tales que f no es continua en una , pero f es secuencialmente continua en una , es decir, para cualquier secuencia { x _n } converge a una , lim _n f ( x _n ) = f (a).
• En algún modelo, hay un conjunto infinito de números reales sin un subconjunto infinito numerable.
• En algunos modelos, los números reales son una unión contable de conjuntos contables. ^[30] Esto no implica que los números reales sean contables: como se señaló anteriormente, para mostrar que una unión contable de conjuntos contables es en sí misma contable se requiere el axioma de elección contable .
• En algunos modelos, hay un campo sin cierre algebraico.
• En todos los modelos de ZF¬C hay un espacio vectorial sin base.
• En algún modelo, hay un espacio vectorial con dos bases de cardinalidades diferentes.
• En algunos modelos hay un álgebra booleana completa libre en innumerables generadores. ^[31]
• En algunos modelos hay un conjunto que no se puede ordenar linealmente .
• Existe un modelo de ZF¬C en el que cada conjunto en R ⁿ es medible . Por lo tanto, es posible excluir resultados contrarios a la intuición como la paradoja de Banach-Tarski que se pueden demostrar en ZFC. Además, esto es posible asumiendo el axioma de elección dependiente , que es más débil que AC pero suficiente para desarrollar la mayor parte del análisis real .
• En todos los modelos de ZF¬C, la hipótesis del continuo generalizado no se cumple.

Para obtener pruebas, consulte Jech (2008) .

Además, al imponer condiciones de definibilidad a conjuntos (en el sentido de la teoría descriptiva de conjuntos ), a menudo se pueden probar versiones restringidas del axioma de elección a partir de axiomas incompatibles con la elección general. Esto aparece, por ejemplo, en el lema de codificación Moschovakis .

Axioma de elección en la teoría de tipos

En la teoría de tipos , un tipo diferente de enunciado se conoce como axioma de elección. Esta forma comienza con dos tipos, σ y τ, y una relación R entre objetos de tipo σ y objetos de tipo τ. El axioma de elección establece que si para cada x de tipo σ existe una y de tipo τ tal que R ( x , y ), entonces hay una función f de objetos de tipo σ a objetos de tipo τ tal que R ( x , f ( x )) se cumple para todo x de tipo σ:

${\displaystyle (\forall x^{\sigma })(\exists y^{\tau })R(x,y)\to (\exists f^{\sigma \to \tau })(\forall x^{\sigma })R(x,f(x)).}$

A diferencia de la teoría de conjuntos, el axioma de elección en la teoría de tipos se establece típicamente como un esquema de axiomas , en el que R varía en todas las fórmulas o en todas las fórmulas de una forma lógica particular.

Citas

El axioma de la elección es obviamente cierto, el principio del buen orden obviamente falso, y ¿quién puede hablar del lema de Zorn ?

-  Jerry Bona ^[32]

Esto es una broma: aunque los tres son matemáticamente equivalentes, muchos matemáticos encuentran que el axioma de elección es intuitivo, que el principio del buen orden es contrario a la intuición y que el lema de Zorn es demasiado complejo para cualquier intuición.

El axioma de elección es necesario para seleccionar un conjunto de un número infinito de pares de calcetines, pero no un número infinito de pares de zapatos.

-  Bertrand Russell ^[33]

La observación aquí es que se puede definir una función para seleccionar entre un número infinito de pares de zapatos indicando, por ejemplo, elegir un zapato izquierdo. Sin el axioma de elección, no se puede afirmar que tal función exista para pares de calcetines, porque los calcetines izquierdo y derecho son (presumiblemente) indistinguibles.

Tarski intentó publicar su teorema [la equivalencia entre AC y "todo conjunto infinito A tiene la misma cardinalidad que A × A ", ver arriba] en Comptes Rendus , pero Fréchet y Lebesgue se negaron a presentarlo. Fréchet escribió que una implicación entre dos proposiciones [verdaderas] bien conocidas no es un resultado nuevo, y Lebesgue escribió que una implicación entre dos proposiciones falsas no tiene interés.

El matemático polaco-estadounidense Jan Mycielski relata esta anécdota en un artículo de 2006 en Notices of the AMS. ^[34]

El axioma recibe su nombre no porque los matemáticos lo prefieran a otros axiomas.

-  AK Dewdney

Esta cita proviene del famoso artículo del Día de los Inocentes en la columna de recreaciones por computadora de Scientific American , abril de 1989.

Notas

1. Zermelo 1904 .
2. Jech , 1977 , p. 351
3. Jech, 1977, p. 348 ff ; Martin-Löf 2008, pág. 210. Según Mendelson 1964 , p. 201:

   El estado del axioma de elección se ha vuelto menos controvertido en los últimos años. A la mayoría de los matemáticos les parece bastante plausible y tiene tantas aplicaciones importantes en prácticamente todas las ramas de las matemáticas que no aceptarlo parecería una obstinación deliberada del matemático en ejercicio.

4. Herrlich , 2006 , p. 9. Según Suppes 1972 , p. 243, esta fue la formulación del axioma de elección que originalmente fue dado por Zermelo 1904 . Véase también Halmos 1960 , p. 60 para esta formulación.
5. Suppes 1972 , p. 240.
6. Tourlakis (2003), págs. 209-210, 215-216.
7. Fraenkel, Abraham A .; Bar-Hillel, Yehoshua ; Lévy, Azriel (1973), Fundamentos de la teoría de conjuntos (2ª ed.), Amsterdam-Londres: North-Holland Publishing Co., págs. 69–70, ISBN 9780080887050, MR  0345816.
8. Rosenbloom, Paul C. (2005), Los elementos de la lógica matemática , Publicaciones de Courier Dover, p. 147, ISBN 9780486446172.
9. Dawson, JW (agosto de 2006), "¿Fundamentos sacudidos o realineamiento innovador? Una evaluación centenaria del impacto de Kurt Gödel en la lógica, las matemáticas y la informática", Proc. 21º Simposio Anual de IEEE sobre Lógica en Ciencias de la Computación (LICS 2006) , págs. 339–341, doi : 10.1109 / LICS.2006.47 , ISBN 978-0-7695-2631-7, S2CID  15526447 , El axioma de elección, aunque había sido empleado inconscientemente en muchos argumentos en el análisis, se volvió controvertido una vez que se hizo explícito, no solo por su carácter no constructivo, sino porque implicaba consecuencias tan extremadamente poco intuitivas como el caso de Banach-Tarski. paradoja..
10. Por Martin-Löf , Teoría de tipos intuicionistas , 1980. Anne Sjerp Troelstra , Investigación metamatemática de aritmética y análisis intuicionistas , Springer, 1973.
11. Errett Bishop y Douglas S. Bridges , Análisis constructivo , Springer-Verlag, 1985.
12. Martin-Löf, Per (2006). "100 años del axioma de elección de Zermelo: ¿Cuál fue el problema?". The Computer Journal . 49 (3): 345–350. Código Bibliográfico : 1980CompJ..23..262L . doi : 10.1093 / comjnl / bxh162 .
13. Fred Richman, "Matemáticas constructivas sin elección", en: Reuniendo las antípodas: vistas constructivas y no estándar del continuo (P. Schuster et al., Eds), Synthèse Library 306, 199-205, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam, 2001 .
14. Gödel, Kurt (9 de noviembre de 1938). "La coherencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 24 (12): 556–557. Código Bibliográfico : 1938PNAS ... 24..556G . doi : 10.1073 / pnas.24.12.556 . PMC 1077160 . PMID 16577857 .  
15. Cohen, Paul (2019). "La independencia del axioma de elección" (PDF) . Bibliotecas de la Universidad de Stanford . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
16. Esto se debe a enunciados aritméticos son absoluta al universo construible L . El teorema de absolutidad de Shoenfield da un resultado más general.
17. Véase Moore 2013 , págs. 330–334, para obtener una lista estructurada de 74 equivalentes. Ver Howard y Rubin 1998 , págs. 11-16, para 86 equivalentes con referencias de fuentes.
18. Blass, Andreas (1984). "La existencia de bases implica el axioma de elección". Teoría de conjuntos axiomáticos (Boulder, Colorado, 1983) . Matemáticas contemporáneas. 31 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 31–33. doi : 10.1090 / conm / 031/763890 . Señor 0763890 . 
19. A. Hajnal , A. Kertész: Algunos nuevos equivalentes algebraicos del axioma de elección, Publ. Matemáticas. Debrecen , 19 (1972), 339-340, ver también H. Rubin, J. Rubin , Equivalents of the axioma of choice, II , North-Holland , 1985, p. 111.
20. Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías (2ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. pp.  20 -24. ISBN 978-0199237180. OCLC  740446073 .
21. objeto proyectivo en nLab
22. Serre, Jean-Pierre (2003), Árboles , Monografías de Springer en matemáticas, Springer, p. 23; Soukup, Lajos (2008), "Combinatoria infinita: de finito a infinito", Horizontes de combinatoria , Bolyai Society Mathematical Studies, 17 , Berlín: Springer, págs. 189–213, CiteSeerX 10.1.1.222.5699 , doi : 10.1007 / 978 -3-540-77200-2_10 , ISBN  978-3-540-77199-9, MR  2432534. Véase en particular el Teorema 2.1, págs. 192-193 .
23. Muger, Michael (2020). Topología para el matemático que trabaja .
24. Se muestra por Jech 2008 , pp. 119-131, que el axioma de elección contable implica la equivalencia de conjuntos infinitos y Dedekind-infinito, pero que la equivalencia de conjuntos infinitos y Dedekind-infinito no implica el axioma de elección contable en ZF.
25. Lévy 1958 y otrosdemostraron,utilizando modelos de Mostowski, que ocho definiciones de un conjunto finito son independientes en ZF sin AC, aunque son equivalentes cuando se supone AC. Las definiciones son I-finito, Ia-finito, II-finito, III-finito, IV-finito, V-finito, VI-finito y VII-finito. I-finitud es lo mismo que finitud normal. IV-finitud es lo mismo que Dedekind-finitud.
26. "[FOM] Son (C, +) y (R, +) isomorfos" .
27. Ash, CJ "Una consecuencia del axioma de elección" . Revista de la Sociedad Matemática Australiana . Consultado el 27 de marzo de 2018 .
28. Axioma de elección dependiente
29. "Nuevos cimientos de Quine" . Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Consultado el 10 de noviembre de 2017 .
30. Jech 2008 , págs. 142-144, Teorema 10.6 con demostración.
31. Stavi, Jonathan (1974). "Un modelo de ZF con un álgebra booleana completa libre infinita". Revista de Matemáticas de Israel . 20 (2): 149-163. doi : 10.1007 / BF02757883 . S2CID 119543439 . 
32. Krantz, Steven G. (2002), "El axioma de la elección", Manual de técnicas de lógica y prueba para la informática , Springer, págs. 121-126, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0115-1_9 , ISBN 978-1-4612-6619-8.
33. La metáfora de las botas y calcetines fue dada en 1919 por Russell 1993 , págs. 125-127. Sugirió que un millonario podría tener ℵ ₀ pares de botas y ℵ ₀ pares de calcetines.

    Entre botas podemos distinguir derecha e izquierda, y por tanto podemos hacer una selección de una de cada par, es decir, podemos elegir todas las botas adecuadas o todas las botas izquierdas; pero con los calcetines no se sugiere tal principio de selección, y no podemos estar seguros, a menos que asumamos el axioma multiplicativo, de que haya una clase que consista en un calcetín de cada par.

    Russell generalmente usó el término "axioma multiplicativo" para el axioma de elección. Refiriéndose al orden de un conjunto infinito numerable de pares de objetos, escribió:

    No hay ninguna dificultad para hacer esto con las botas. Los pares se dan como formando un ℵ ₀ y, por lo tanto, como el campo de una progresión. Dentro de cada par, tome la bota izquierda primero y la derecha en segundo lugar, manteniendo el orden del par sin cambios; de esta forma obtenemos una progresión de todas las botas. Pero con los calcetines tendremos que elegir arbitrariamente, con cada par, cuál poner primero; y un número infinito de elecciones arbitrarias es imposible. A menos que podamos encontrar una regla para seleccionar, es decir, una relación que sea un selector, no sabemos si una selección es incluso teóricamente posible.

    Russell luego sugiere usar la ubicación del centro de masa de cada calcetín como selector.

34. Mycielski, Jan (2006), "Un sistema de axiomas de teoría de conjuntos para los racionalistas" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 53 (2): 206-213, MR 2208445  .

Referencias

• Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . La Serie Universitaria en Matemáticas de Pregrado. Princeton, Nueva Jersey: van Nostrand Company. Zbl  0087.04403 .
• Herrlich, Horst (2006). Axioma de elección . Notas de clase en matemáticas. 1876. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-30989-5.
• Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Consecuencias del axioma de elección . Encuestas y Monografías Matemáticas. 59 . Providence, Rhode Island: Sociedad Americana de Matemáticas . ISBN 9780821809778.
• Jech, Thomas (2008) [1973]. El axioma de la elección . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-46624-8.
• Jech, Thomas (1977). "Sobre el axioma de elección". En John Barwise (ed.). Manual de lógica matemática .
• Lévy, Azriel (1958). "La independencia de varias definiciones de finitud" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 46 : 1-13. doi : 10.4064 / fm-46-1-1-13 .
• Según Martin-Löf, "100 años del axioma de elección de Zermelo: ¿Cuál fue el problema?", En Logicismo, intuicionismo y formalismo: ¿qué ha sido de ellos? , Sten Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg y Viggo Stoltenberg-Hansen, editores (2008). ISBN 1-4020-8925-2 
• Mendelson, Elliott (1964). Introducción a la lógica matemática . Nueva York: Van Nostrand Reinhold.
• Moore, Gregory H. (1982). El axioma de elección de Zermelo, sus orígenes, desarrollo e influencia . Springer . ISBN 978-0-387-90670-6., disponible como reimpresión de Publicaciones de Dover , 2013, ISBN 0-486-48841-1 . 
• Moore, Gregory H (2013) [1982]. El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-48841-7.
• Herman Rubin , Jean E. Rubin : Equivalentes del axioma de elección. North Holland, 1963. Publicado nuevamente por Elsevier , abril de 1970. ISBN 0-7204-2225-6 . 
• Herman Rubin, Jean E. Rubin: Equivalentes del axioma de elección II. Holanda Septentrional / Elsevier, julio de 1985, ISBN 0-444-87708-8 . 
• Russell, Bertrand (1993) [1919]. Introducción a la filosofía matemática . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-27724-0.
• Suppes, Patrick (1972) [1960]. Teoría de conjuntos axiomáticos . Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-61630-8.
• George Tourlakis, Conferencias de lógica y teoría de conjuntos. Vol. II: Teoría de conjuntos , Cambridge University Press , 2003. ISBN 0-511-06659-7 
• Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann" (reimpresión) . Mathematische Annalen . 59 (4): 514–16. doi : 10.1007 / BF01445300 . S2CID  124189935 .
• Ernst Zermelo , "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen 65 : (1908) págs. 261–81. Descarga de PDF a través de digizeitschriften.de

Traducido en: Jean van Heijenoort , 2002. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 . Nueva edición. Prensa de la Universidad de Harvard . ISBN 0-674-32449-8 

• 1904. "Prueba de que cada juego puede estar bien ordenado", 139-41.
• 1908. "Investigaciones en los fundamentos de la teoría de conjuntos I", 199-215.

Enlaces externos

• Entrada de Axiom of Choice en la Springer Encyclopedia of Mathematics .
• Entrada de Axiom of Choice y sus equivalentes en ProvenMath. Incluye una declaración formal del axioma de elección, el principio máximo de Hausdorff, el lema de Zorn y pruebas formales de su equivalencia hasta el más mínimo detalle.
• Consecuencias del axioma de la elección , basado en el libro de Paul Howard y Jean Rubin.
• Entrada "El axioma de la elección" de John Lane Bell en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford .