En la teoría de conjuntos , el axioma de limitación de tamaño fue propuesto por John von Neumann en su sistema de axiomas de 1925 para conjuntos y clases . [1] Formaliza el principio de limitación de tamaño , que evita las paradojas encontradas en formulaciones anteriores de la teoría de conjuntos al reconocer que algunas clases son demasiado grandes para ser conjuntos. Von Neumann se dio cuenta de que las paradojas se producen al permitir que estas grandes clases sean miembros de una clase. [2] Una clase que es miembro de una clase es un conjunto; una clase que no es un conjunto es una clase propiamente dicha . Cada clase es una subclasede V , la clase de todos los conjuntos. [a] El axioma de limitación de tamaño dice que una clase es un conjunto si y sólo si es más pequeño que V , esto es, no hay correlación de funciones que en V . Por lo general, este axioma se afirma en el equivalente formulario: Una clase es una clase apropiada si y sólo si existe una función que mapea en V .
El axioma de Von Neumann implica los axiomas de reemplazo , separación , unión y elección global . Es equivalente a la combinación de reemplazo, unión y elección global en la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . Las exposiciones posteriores de las teorías de clase, como las de Paul Bernays , Kurt Gödel y John L. Kelley, utilizan el axioma de sustitución, unión y elección equivalente a la elección global en lugar del axioma de von Neumann. [3] En 1930, Ernst Zermelo definió modelos de teoría de conjuntos que satisfacían el axioma de limitación de tamaño. [4]
Abraham Fraenkel y Azriel Lévy han declarado que el axioma de limitación de tamaño no captura toda la "doctrina de limitación de tamaño" porque no implica el axioma del conjunto de poder . [5] Michael Hallett ha argumentado que la doctrina de la limitación del tamaño no justifica el axioma del conjunto de poder y que "la suposición explícita de von Neumann [de la pequeñez de los conjuntos de poder] parece preferible a la suposición implícita oscuramente oculta de Zermelo, Fraenkel y Lévy de la pequeñez de los conjuntos de poder ". [6]
Declaración formal
La versión habitual del axioma de limitación de tamaño (una clase es una clase adecuada si y solo si hay una función que la asigna a V) se expresa en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos como:
Gödel introdujo la convención de que las variables en mayúsculas abarcan todas las clases, mientras que las variables en minúsculas abarcan todos los conjuntos. [7] Esta convención nos permite escribir:
- en vez de
- en vez de
Con la convención de Gödel, el axioma de limitación de tamaño se puede escribir:
Implicaciones del axioma
Von Neumann demostró que el axioma de limitación de tamaño implica el axioma de reemplazo , que se puede expresar como: Si F es una función y A es un conjunto, entonces F ( A ) es un conjunto. Esto se prueba por contradicción . Sea F una función y A un conjunto. Suponga que F ( A ) es una clase adecuada. Entonces hay una función G que mapea F ( A ) en V . Dado que la función compuesta G ∘ F mapea A sobre V , el axioma de limitación de tamaño implica que A es una clase propia, lo que contradice que A sea un conjunto. Por tanto, F ( A ) es un conjunto. Dado que el axioma de reemplazo implica el axioma de separación , el axioma de limitación de tamaño implica el axioma de separación . [B]
Von Neumann también demostró que su axioma implica que V puede estar bien ordenado . La prueba comienza probando por contradicción que Ord , la clase de todos los ordinales , es una clase adecuada. Suponga que Ord es un conjunto. Dado que es un conjunto transitivo que está bien ordenado por ∈, es un ordinal. Entonces Ord ∈ Ord , lo que contradice que Ord esté bien ordenado por ∈. Por lo tanto, Ord es una clase adecuada. Así axioma de Von Neumann implica que existe una función F que asigna Ord en V . Para definir un buen ordenamiento de V , sea G la subclase de F que consta de los pares ordenados (α, x ) donde α es el menor β tal que (β, x ) ∈ F ; es decir, G = {(α, x ) ∈ F : ∀β ((β, x ) ∈ F ⇒ α ≤ β)}. La función G es una correspondencia uno-a-uno entre un subconjunto de Ord y V . Por lo tanto, x < y si G -1 (x) < G -1 (y) define una buena ordenación de V . Este buen orden define una función de elección global : Sea Inf ( x ) el elemento mínimo de un conjunto x no vacío . Dado que Inf ( x ) ∈ x , esta función elige un elemento de x para cada conjunto x no vacío . Por lo tanto, Inf ( x ) es una función de elección global, por lo que el axioma de Von Neumann implica el axioma de elección global .
En 1968, Azriel Lévy demostró que el axioma de von Neumann implica el axioma de unión . Primero, demostró sin usar el axioma de unión que todo conjunto de ordinales tiene un límite superior. Luego usó una función que mapea Ord en V para probar que si A es un conjunto, entonces ∪ A es un conjunto. [8]
Los axiomas de reemplazo, elección global y unión (con los otros axiomas de NBG ) implican el axioma de limitación de tamaño. [c] Por lo tanto, este axioma es equivalente a la combinación de reemplazo, elección global y unión en NBG o la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . Estas teorías de conjuntos solo sustituyeron el axioma de reemplazo y una forma del axioma de elección por el axioma de limitación de tamaño porque el sistema de axiomas de von Neumann contiene el axioma de unión. La prueba de Lévy de que este axioma es redundante llegó muchos años después. [9]
Los axiomas de NBG con el axioma de elección global reemplazado por el axioma habitual de elección no implican el axioma de limitación de tamaño. En 1964, William B. Easton utilizó la fuerza para construir un modelo de NBG con la elección global reemplazada por el axioma de la elección. [10] En el modelo de Easton, V no se puede ordenar linealmente , por lo que no se puede ordenar bien. Por tanto, el axioma de limitación de tamaño falla en este modelo. Ord es un ejemplo de una clase adecuada que no se puede mapear en V porque (como se demostró anteriormente) si hay una función que mapea Ord en V , entonces V puede estar bien ordenado.
Los axiomas de NBG con el axioma de reemplazo reemplazado por el axioma más débil de separación no implican el axioma de limitación de tamaño. Definir como el -th infinito ordinal inicial , que también es el cardinal ; la numeración comienza en, entonces En 1939, Gödel señaló que L ω ω , un subconjunto del universo construible , es un modelo de ZFC con reemplazo reemplazado por separación. [11] Para expandirlo a un modelo de NBG con reemplazo reemplazado por separación, sean sus clases los conjuntos de L ω ω + 1 , que son los subconjuntos construibles de L ω ω . Este modelo satisface los axiomas de existencia de clase de NBG porque restringir el conjunto de variables de estos axiomas a L ω ω produce instancias del axioma de separación, que se cumple en L. [d] Satisface el axioma de elección global porque hay una función que pertenece a L ω ω + 1 que mapea ω ω en L ω ω , lo que implica que L ω ω está bien ordenado. [e] El axioma de limitación de tamaño falla porque la clase adecuada {ω n : n ∈ ω} tiene cardinalidad ℵ 0 {\ Displaystyle \ aleph _ {0}} , por lo que no se puede asignar a L ω ω , que tiene cardinalidad. [F]
En una carta de 1923 hasta Zermelo, von Neumann declaró la primera versión de su axioma: Clase A es una clase apropiada si y sólo si existe una correspondencia uno a uno entre él y V . [2] El axioma de limitación de tamaño implica el axioma de 1923 de von Neumann. Por lo tanto, también implica que todas las clases apropiadas son equinumerous con V .
Para probar el dirección, deja ser una clase y ser una correspondencia uno a uno de a Desde mapas sobre el axioma de limitación de tamaño implica que es una clase adecuada.
Para probar el dirección, deja ser una clase adecuada. Definiremos clases bien ordenadas y y construir isomorfismos de orden entre y Entonces el orden isomorfismo de a es una correspondencia uno a uno entre y
Se demostró anteriormente que el axioma de limitación de tamaño implica que hay una función que mapas sobre También, se definió como una subclase de que es una correspondencia uno a uno entre y Define un buen orden en Si Por lo tanto, es un isomorfismo de orden de a
Si es una clase bien ordenada, sus segmentos iniciales adecuados son las clases dónde Ahora tiene la propiedad de que todos sus segmentos iniciales adecuados son conjuntos. Desde esta propiedad es válida para El orden isomorfismo implica que esta propiedad es válida para Desde esta propiedad es válida para
Para obtener un isomorfismo de orden de a se utiliza el siguiente teorema: Si es una clase adecuada y los segmentos iniciales adecuados de son conjuntos, entonces hay un isomorfismo de orden de a [g] Desde y satisfacen la hipótesis del teorema, hay isomorfismos de orden y Por tanto, el orden isomorfismo es una correspondencia uno a uno entre y
Los modelos de Zermelo y el axioma de limitación de tamaño
En 1930, Zermelo publicó un artículo sobre modelos de teoría de conjuntos, en el que demostró que algunos de sus modelos satisfacen el axioma de limitación de tamaño. [4] Estos modelos se construyen en ZFC utilizando la jerarquía acumulativa V α , que se define por recursividad transfinita :
- V 0 = ∅ . [h]
- V α + 1 = V α ∪ P ( V α ). Es decir, la unión de V α y su conjunto de potencias . [I]
- Para el límite β: V β = ∪ α <β V α . Es decir, V β es la unión del V α anterior .
Zermelo trabajó con modelos de la forma V κ donde κ es un cardenal . Las clases del modelo son los subconjuntos de V κ , y la relación ∈ del modelo es la relación ∈ estándar. Los conjuntos del modelo son las clases X tales que X ∈ V κ . [j] Zermelo identificó a los cardenales κ de modo que V κ satisface: [12]
- Teorema 1. Una clase X es un conjunto si y solo si | X | <κ.
- Teorema 2. | V κ | = κ.
Dado que cada clase es un subconjunto de V κ , el teorema 2 implica que cada clase X tiene cardinalidad ≤ κ. La combinación de esto con el Teorema 1 demuestra: toda clase propia tiene cardinalidad κ. Por lo tanto, cada clase propiamente dicha se puede poner en correspondencia uno a uno con V κ . Esta correspondencia es un subconjunto de V κ , por lo que es una clase del modelo. Por lo tanto, el axioma de limitación de tamaño es válido para el modelo V κ .
El teorema que establece que V κ tiene un buen orden se puede demostrar directamente . Dado que κ es un ordinal de cardinalidad κ y | V κ | = κ, existe una correspondencia biunívoca entre κ y V κ . Esta correspondencia produce un buen ordenamiento de V κ . La demostración de Von Neumann es indirecta . Utiliza la paradoja de Burali-Forti para probar por contradicción que la clase de todos los ordinales es una clase adecuada. Por tanto, el axioma de limitación de tamaño implica que existe una función que mapea la clase de todos los ordinales en la clase de todos los conjuntos. Esta función produce un buen ordenamiento de V κ . [13]
El modelo V ω
Para demostrar que los teoremas 1 y 2 son válidos para algunos V κ , primero probamos que si un conjunto pertenece a V α, entonces pertenece a todos los V β posteriores , o de manera equivalente: V α ⊆ V β para α ≤ β. Esto se demuestra por inducción transfinita en β:
- β = 0: V 0 ⊆ V 0 .
- Para β + 1: Por hipótesis inductiva, V α ⊆ V β . Por lo tanto, V α ⊆ V β ⊆ V β ∪ P ( V β ) = V β + 1 .
- Para el límite β: Si α <β, entonces V α ⊆ ∪ ξ <β V ξ = V β . Si α = β, entonces V α ⊆ V β .
Los conjuntos entran en la jerarquía acumulativa a través del conjunto de potencia P ( V β ) en el paso β + 1. Se necesitarán las siguientes definiciones:
- Si x es un conjunto, el rango ( x ) es el menos ordinal β tal que x ∈ V β + 1 . [14]
- El supremo de un conjunto de ordinales A, denotado por sup A, es el menos ordinal β tal que α ≤ β para todo α ∈ A.
El modelo más pequeño de Zermelo es V ω . La inducción matemática demuestra que V n es finito para todo n <ω:
- | V 0 | = 0.
- | V n +1 | = | V n ∪ P ( V n ) | ≤ | V n | + 2 | V n | , que es finito ya que V n es finito por hipótesis inductiva.
Prueba del teorema 1: Un conjunto X entra V ω a través de P ( V n ) para algún n <ω, entonces X ⊆ V n . Dado que V n es finito, X es finito. A la inversa : si una clase X es finita, sea N = sup {rango ( x ): x ∈ X }. Desde rango ( x ) ≤ N para todos x ∈ X , tenemos X ⊆ V N 1 , por lo que X ∈ V N 2 ⊆ V ω . Por lo tanto, X ∈ V ω .
Demostración del teorema 2: V ω es la unión de un número infinito de conjuntos finitos de tamaño creciente. Por tanto, tiene cardinalidad, que es igual a ω por asignación cardinal de von Neumann .
Los conjuntos y clases de V ω satisfacen todos los axiomas de NBG excepto el axioma de infinito . [k]
Los modelos V κ donde κ es un cardenal fuertemente inaccesible
Se utilizaron dos propiedades de finitud para demostrar los Teoremas 1 y 2 para V ω :
- Si λ es un cardinal finito, entonces 2 λ es finito.
- Si A es un conjunto de ordinales tales que | A | es finito, y α es finito para todo α ∈ A , entonces sup A es finito.
Para encontrar modelos que satisfagan el axioma de infinito, reemplace "finito" por "<κ" para producir las propiedades que definen a los cardenales fuertemente inaccesibles . Un cardinal κ es muy inaccesible si κ> ω y:
- Si λ es un cardinal tal que λ <κ, entonces 2 λ <κ.
- Si A es un conjunto de ordinales tales que | A | <κ, y α <κ para todo α ∈ A , entonces sup A <κ.
Estas propiedades afirman que κ no se puede alcanzar desde abajo. La primera propiedad dice que κ no se puede alcanzar mediante conjuntos de potencias; el segundo dice que κ no puede alcanzarse mediante el axioma de reemplazo. [l] Así como se requiere el axioma de infinito para obtener ω, se necesita un axioma para obtener cardenales fuertemente inaccesibles. Zermelo postuló la existencia de una secuencia ilimitada de cardenales fuertemente inaccesibles. [metro]
Si κ es un cardenal fuertemente inaccesible, entonces la inducción transfinita demuestra | V α | <κ para todo α <κ:
- α = 0: | V 0 | = 0.
- Para α + 1: | V α + 1 | = | V α ∪ P ( V α ) | ≤ | V α | + 2 | V α | = 2 | V α | <κ. La última desigualdad usa hipótesis inductivas y κ es fuertemente inaccesible.
- Para el límite α: | V α | = | ∪ ξ <α V ξ | ≤ sup {| V ξ | : ξ <α} <κ. La última desigualdad usa hipótesis inductivas y κ es fuertemente inaccesible.
Prueba del teorema 1: Un conjunto X ingresa V κ a P ( V α ) para algún α <κ, por lo que X ⊆ V α . Desde | V α | <κ, obtenemos | X | <κ. A la inversa: si una clase X tiene | X | <κ, sea β = sup {rango ( x ): x ∈ X }. Dado que κ es muy inaccesible, | X | <κ y rango ( x ) <κ para todo x ∈ X implican β = sup {rango ( x ): x ∈ X } <κ. Dado que el rango ( x ) ≤ β para todo x ∈ X , tenemos X ⊆ V β + 1 , entonces X ∈ V β + 2 ⊆ V κ . Por lo tanto, X ∈ V κ .
Prueba del teorema 2: | V κ | = | ∪ α <κ V α | ≤ sup {| V α | : α <κ}. Sea β este supremo. Dado que cada ordinal en el supremum es menor que κ, tenemos β ≤ κ. Suponga que β <κ. Entonces hay un cardinal λ tal que β <λ <κ; por ejemplo, sea λ = 2 | β | . Dado que λ ⊆ V λ y | V λ | está en el supremo, tenemos λ ≤ | V λ | ≤ β. Esto contradice β <λ. Por lo tanto, | V κ | = β = κ.
Los conjuntos y clases de V κ satisfacen todos los axiomas de NBG. [norte]
Limitación de la doctrina del tamaño
La doctrina de la limitación del tamaño es un principio heurístico que se utiliza para justificar los axiomas de la teoría de conjuntos. Evita las paradojas teóricas establecidas al restringir el esquema del axioma de comprensión completo (contradictorio):
a instancias "que no dan conjuntos 'mucho más grandes' que los que usan". [15]
Si "más grande" significa "más grande en tamaño cardinal", entonces la mayoría de los axiomas pueden justificarse: el axioma de separación produce un subconjunto de x que no es más grande que x . El axioma de reemplazo produce un conjunto de imágenes f ( x ) que no es mayor que x . El axioma de unión produce una unión cuyo tamaño no es mayor que el tamaño del conjunto más grande de la unión multiplicado por el número de conjuntos de la unión. [16] El axioma de elección produce un conjunto de elección cuyo tamaño no es mayor que el tamaño del conjunto dado de conjuntos no vacíos.
La doctrina de la limitación del tamaño no justifica el axioma del infinito:
que usa el conjunto vacío y los conjuntos obtenidos del conjunto vacío iterando la operación sucesora ordinal . Dado que estos conjuntos son finitos, cualquier conjunto que satisfaga este axioma, como ω, es mucho más grande que estos conjuntos. Fraenkel y Lévy consideran el conjunto vacío y el conjunto infinito de números naturales , cuya existencia está implícita en los axiomas del infinito y la separación, como el punto de partida de los conjuntos generadores. [17]
El enfoque de Von Neumann para la limitación de tamaño utiliza el axioma de limitación de tamaño. Como se menciona en § Implicaciones del axioma , el axioma de von Neumann implica los axiomas de separación, reemplazo, unión y elección. Como Fraenkel y Lévy, von Neumann tuvo que agregar el axioma del infinito a su sistema, ya que no se puede probar a partir de sus otros axiomas. [o] Las diferencias entre el enfoque de von Neumann sobre la limitación de tamaño y el enfoque de Fraenkel y Lévy son:
- El axioma de Von Neumann coloca la limitación de tamaño en un sistema de axiomas, lo que hace posible probar la mayoría de los axiomas de existencia establecidos. La doctrina de la limitación del tamaño justifica los axiomas utilizando argumentos informales que están más abiertos al desacuerdo que a la prueba.
- Von Neumann asumió el axioma del conjunto de potencias ya que no se puede probar a partir de sus otros axiomas. [p] Fraenkel y Lévy afirman que la doctrina de la limitación del tamaño justifica el axioma del conjunto de poder. [18]
Existe un desacuerdo sobre si la doctrina de la limitación del tamaño justifica el axioma del conjunto de poder. Michael Hallett ha analizado los argumentos de Fraenkel y Lévy. Algunos de sus argumentos miden el tamaño por criterios distintos al tamaño cardinal; por ejemplo, Fraenkel introduce "amplitud" y "extensibilidad". Hallett señala lo que él considera fallas en sus argumentos. [19]
Hallett luego argumenta que los resultados en la teoría de conjuntos parecen implicar que no existe un vínculo entre el tamaño de un conjunto infinito y el tamaño de su conjunto de potencias. Esto implicaría que la doctrina de la limitación del tamaño es incapaz de justificar el axioma del conjunto de potencias porque requiere que el conjunto de potencias de x no sea "mucho mayor" que x . Para el caso en el que el tamaño se mide por el tamaño cardinal, Hallett menciona el trabajo de Paul Cohen . [20] Comenzando con un modelo de ZFC y, Cohen construyó un modelo en el que la cardinalidad del conjunto de potencias de ω es si la cofinalidad deno es ω; de lo contrario, su cardinalidad es. [21] Dado que la cardinalidad del conjunto de potencias de ω no tiene límite, no existe un vínculo entre el tamaño cardinal de ω y el tamaño cardinal de P (ω). [22]
Hallett también analiza el caso en el que el tamaño se mide por "exhaustividad", que considera una colección "demasiado grande" si es de "comprensión ilimitada" o "extensión ilimitada". [23] Señala que para un conjunto infinito, no podemos estar seguros de tener todos sus subconjuntos sin pasar por la extensión ilimitada del universo. También cita a John L. Bell y Moshé Machover : "... el conjunto de poder P ( u ) de un conjunto [infinito] dado u es proporcional no solo al tamaño de u sino también a la 'riqueza' del universo entero ..." [24] Después de hacer estas observaciones, Hallett afirma: 'Uno se llevó a sospechar que hay simplemente ningún vínculo entre el tamaño (amplitud) de un infinito una y el tamaño de P ( un )'. [20]
Hallett considera que la doctrina de la limitación del tamaño es valiosa para justificar la mayoría de los axiomas de la teoría de conjuntos. Sus argumentos solo indican que no puede justificar los axiomas de infinito y conjunto de poder. [25] Concluye que "la suposición explícita de von Neumann [de la pequeñez de los conjuntos de poder] parece preferible a la suposición implícita oscuramente oculta de Zermelo, Fraenkel y Lévy de la pequeñez de los conjuntos de poder". [6]
Historia
Von Neumann desarrolló el axioma de limitación de tamaño como un nuevo método para identificar conjuntos. ZFC identifica conjuntos a través de sus axiomas de construcción de conjuntos. Sin embargo, como señaló Abraham Fraenkel : "El carácter bastante arbitrario de los procesos que se eligen en los axiomas de Z [ZFC] como base de la teoría, está justificado por el desarrollo histórico de la teoría de conjuntos más que por argumentos lógicos. " [26]
El desarrollo histórico de los axiomas ZFC comenzó en 1908 cuando Zermelo eligió axiomas para eliminar las paradojas y apoyar su demostración del teorema del buen orden . [q] En 1922, Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem señalaron que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { Z 0 , Z 1 , Z 2 , ...} donde Z 0 es el conjunto de números naturales y Z n +1 es el conjunto de potencias de Z n . [27] También introdujeron el axioma de reemplazo, que garantiza la existencia de este conjunto. [28] Sin embargo, agregar axiomas cuando son necesarios no garantiza la existencia de todos los conjuntos razonables ni aclara la diferencia entre conjuntos que son seguros de usar y colecciones que conducen a contradicciones.
En una carta de 1923 a Zermelo, von Neumann esbozó un enfoque de la teoría de conjuntos que identifica conjuntos que son "demasiado grandes" y pueden conducir a contradicciones. [r] Von Neumann identificó estos conjuntos usando el criterio: "Un conjunto es 'demasiado grande' si y sólo si es equivalente al conjunto de todas las cosas". Luego restringió cómo se pueden usar estos conjuntos: "... para evitar las paradojas, los [conjuntos] que son 'demasiado grandes' se declaran no permitidos como elementos ". [29] Mediante la combinación de esta restricción con su criterio, von Neumann obtuvo su primera versión del axioma de limitación de tamaño, que en el lenguaje de las clases de estados: la clase A es una clase adecuada si y sólo si es equinumerous con V . [2] Hacia 1925, Von Neumann modificó su axioma cambiando "es equinumérico con V " por "se puede mapear en V ", lo que produce el axioma de limitación de tamaño. Esta modificación permitió a von Neumann dar una prueba simple del axioma de reemplazo. [1] conjuntos identifica axioma de Von Neumann como clases que no pueden ser mapeadas a V . Von Neumann se dio cuenta de que, incluso con este axioma, su teoría de conjuntos no los caracteriza por completo. [s]
Gödel encontró que el axioma de von Neumann era "de gran interés":
- "En particular, creo que su condición necesaria y suficiente [de von Neumann] que una propiedad debe satisfacer, para definir un conjunto, es de gran interés, porque aclara la relación de la teoría axiomática de conjuntos con las paradojas. Que esta condición realmente llega a la esencia de las cosas se ve por el hecho de que implica el axioma de la elección, que antiguamente estaba bastante apartado de otros principios existenciales.Las inferencias, que bordean las paradojas, que son posibles por esta forma de ver las cosas, parecen para mí, no sólo muy elegante, sino también muy interesante desde el punto de vista lógico. [t] Además, creo que sólo yendo más allá en esta dirección, es decir, en la dirección opuesta al constructivismo , los problemas básicos del conjunto abstracto la teoría se resuelva ". [30]
Notas
- ^ Demostración: Sea A sea una clase y X ∈ A . Entonces X es un conjunto, por lo que X ∈ V . Por lo tanto, A ⊆ V .
- ^ Prueba que utiliza el axioma de von Neumann: Sea A un conjunto y B la subclase producida por el axioma de separación. Usando prueba por contradicción, suponga que B es una clase adecuada. Entonces existe una función F de mapeo B en V . Defina la función G mapeando A a V : si x ∈ B entonces G ( x ) = F ( x ); si x ∈ A \ B entonces G ( x ) = ∅ . Desde F mapas de A a V , G mapas de A a V . Entonces, el axioma de limitación de tamaño implica que A es una clase adecuada, lo que contradice que A sea un conjunto. Por tanto, B es un conjunto.
- ^ Esto se puede reformular como: NBG implica el axioma de limitación de tamaño. En 1929, von Neumann demostró que el sistema de axiomas que luego evolucionó a NBG implica el axioma de limitación de tamaño. ( Ferreirós 2007 , p. 380.)
- ^ La variable de conjunto de un axioma está restringida en el lado derecho de "si y sólo si". Además, las variables de clase de un axioma se convierten en variables de conjunto. Por ejemplo, el axioma de existencia de clase se convierte en Los axiomas de existencia de clase se encuentran en Gödel 1940 , p. 5.
- ^ Gödel definió una función que mapea la clase de ordinales en . La función(que es la restricción de a ) mapas sobre , y pertenece a porque es un subconjunto construible de . Gödel usa la notación por . ( Gödel 1940 , págs. 37–38, 54.)
- ^ Prueba por contradicción quees una clase adecuada : suponga que es un conjunto. Por el axioma de unión,es un conjunto. Esta unión es igual, la clase adecuada del modelo de todos los ordinales, lo que contradice que la unión sea un conjunto. Por lo tanto,es una clase adecuada.
Prueba de que La función mapas sobre , entonces También, implica Por lo tanto, - ↑ Esta es la primera mitad del teorema 7.7 en Gödel 1940 , p. 27. Gödel define el orden isomorfismopor recursividad transfinita :
- ^ Ésta es la definición estándar de V 0 . Zermelo dejó que V 0 sea un conjunto de elementos y demostró que si este conjunto contiene un solo elemento, el modelo resultante satisface el axioma de limitación de tamaño (su demostración también funciona para V 0 = ∅). Zermelo afirmó que el axioma no es cierto para todos los modelos construidos a partir de un conjunto de elementos. ( Zermelo 1930 , p. 38; traducción al inglés: Ewald 1996 , p. 1227.)
- ↑ Esta es la definición de Zermelo ( Zermelo 1930 , p. 36; traducción al inglés: Ewald 1996 , p. 1225.). Si V 0 = ∅, esta definición es equivalente a la definición estándar V α + 1 = P ( V α ) ya que V α ⊆ P ( V α ) ( Kunen 1980 , p. 95; Kunen usa la notación R (α) en su lugar de V α ). Si V 0 es un conjunto de urelementos, la definición estándar elimina los urelementos en V 1 .
- ^ Si X es un conjunto, a continuación, hay una clase Y de tal manera que X ∈ Y . Dado que Y ⊆ V κ , tenemos X ∈ V κ . A la inversa: si X ∈ V κ , entonces X pertenece a una clase, por lo que X es un conjunto.
- ^ Zermelo demostró que V ω satisface ZFC sin el axioma de infinito. Los axiomas de existencia de clase de NBG ( Gödel 1940 , p. 5) son verdaderos porque V ω es un conjunto cuando se ve desde la teoría de conjuntos que lo construye (a saber, ZFC). Por lo tanto, el axioma de separación produce subconjuntos de V ω que satisfacen los axiomas de existencia de clase.
- ^ Zermelo introdujo cardenales fuertemente inaccesibles κ para que V κ satisficiera a ZFC. Los axiomas de poder establecido y reemplazo lo llevaron a las propiedades de los cardenales fuertemente inaccesibles. ( Zermelo 1930 , págs. 31–35; traducción al inglés: Ewald 1996 , págs. 1221–1224.) Independientemente, Wacław Sierpiński y Alfred Tarski introdujeron a estos cardenales en 1930 ( Sierpiński y Tarski 1930 ).
- ↑ Zermelo usó esta secuencia de cardinales para obtener una secuencia de modelos que explica las paradojas de la teoría de conjuntos, como la paradoja de Burali-Forti y la paradoja de Russell . Afirmó que las paradojas "dependen únicamente de confundir la teoría de conjuntos en sí ... con modelos individuales que la representan. Lo que aparece como un 'no o superconjunto ultrafinito' en un modelo es, en el modelo siguiente, un modelo perfectamente bueno y válido. establecido con un número cardinal y un tipo ordinal, y es en sí mismo una piedra angular para la construcción de un nuevo dominio [modelo] ". ( Zermelo 1930 , págs. 46–47; traducción al inglés: Ewald 1996 , pág. 1223.)
- ^ Zermelo demostró que V κ satisface ZFC si κ es un cardenal fuertemente inaccesible. Los axiomas de existencia de clase de NBG ( Gödel 1940 , p. 5) son verdaderos porque V κ es un conjunto cuando se ve desde la teoría de conjuntos que lo construye (es decir, ZFC + existen infinitos cardenales fuertemente inaccesibles). Por lo tanto, el axioma de separación produce subconjuntos de V κ que satisfacen los axiomas de existencia de clase.
- ^ El modelo cuyos conjuntos son los elementos de y cuyas clases son los subconjuntos de satisface todos sus axiomas excepto el axioma del infinito, que falla porque todos los conjuntos son finitos.
- ^ El modelo cuyos conjuntos son los elementos de y cuyas clases son los elementos de satisface todos sus axiomas excepto el axioma del conjunto de potencias. Este axioma falla porque todos los conjuntos son contables.
- ^ "... debemos, por un lado, restringir estos principios [axiomas] lo suficiente para excluir todas las contradicciones y, por otro lado, tomarlos lo suficientemente amplios como para retener todo lo que es valioso en esta teoría". ( Zermelo 1908 , p. 261; traducción al inglés: van Heijenoort 1967a , p. 200). Gregory Moore sostiene que la "axiomatización de Zermelo fue motivada principalmente por el deseo de asegurar su demostración del Teorema del Buen Orden ..." (Moore 1982, pp. 158-160).
- ↑ Von Neumann publicó un artículo introductorio sobre su sistema de axiomas en 1925 ( von Neumann 1925 ; traducción al inglés: van Heijenoort 1967c ). En 1928, proporcionó un tratamiento detallado de su sistema ( von Neumann 1928 ).
- ↑ Von Neumann investigó si su teoría de conjuntos es categórica ; es decir, si determina de forma única conjuntos en el sentido de que dos de sus modelos son isomórficos . Demostró que no es categórico debido a una debilidad en el axioma de regularidad : este axioma sólo excluye las secuencias ∈ descendentes de existir en el modelo; Es posible que aún existan secuencias descendentes fuera del modelo. Un modelo que tiene secuencias descendentes "externas" no es isomórfico a un modelo que no tiene tales secuencias, ya que este último modelo carece de imágenes isomórficas para los conjuntos que pertenecen a secuencias descendentes externas. Esto llevó a von Neumann a concluir "que no parece existir ninguna axiomatización categórica de la teoría de conjuntos" ( von Neumann 1925 , p. 239; traducción al inglés: van Heijenoort 1967c , p. 412).
- ↑ Por ejemplo, la prueba de von Neumann de que su axioma implica el teorema del buen orden utiliza la paradoja de Burali-Forte ( von Neumann 1925 , p. 223; traducción al inglés: van Heijenoort 1967c , p. 398).
Referencias
- ↑ a b von Neumann , 1925 , pág. 223; Traducción al inglés: van Heijenoort 1967c , págs. 397–398.
- ↑ a b c Hallett , 1984 , p. 290.
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