Teoría de conjuntos

Rama de las matemáticas que estudia conjuntos

Este artículo trata sobre la rama de las matemáticas. Para otros usos, consulte Teoría de conjuntos (desambiguación) .

Un diagrama de Venn que ilustra la intersección de dos conjuntos .

La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia los conjuntos , que informalmente son colecciones de objetos. Aunque cualquier tipo de objeto puede agruparse en un conjunto, la teoría de conjuntos se aplica con mayor frecuencia a objetos que son relevantes para las matemáticas. El lenguaje de la teoría de conjuntos se puede utilizar para definir casi todos los objetos matemáticos .

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciado por Georg Cantor y Richard Dedekind en la década de 1870. Tras el descubrimiento de paradojas en la teoría de conjuntos ingenua , como la paradoja de Russell , a principios del siglo XX se propusieron numerosos sistemas de axiomas , de los cuales los axiomas de Zermelo-Fraenkel , con o sin el axioma de elección , son los más conocidos.

La teoría de conjuntos se emplea comúnmente como un sistema fundamental para las matemáticas , particularmente en la forma de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. ^[1] Más allá de su papel fundamental, la teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas por derecho propio, con una comunidad de investigación activa. La investigación contemporánea sobre la teoría de conjuntos incluye una colección diversa de temas, que van desde la estructura de la recta numérica real hasta el estudio de la consistencia de los grandes cardenales .

Historia

Georg Cantor .

Los temas matemáticos generalmente surgen y evolucionan a través de interacciones entre muchos investigadores. La teoría de conjuntos, sin embargo, fue fundada por un solo artículo en 1874 por Georg Cantor : " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales ". ^{[2] [3]}

Desde el siglo V a. C., comenzando con el matemático griego Zenón de Elea en Occidente y los primeros matemáticos indios en Oriente, los matemáticos habían luchado con el concepto de infinito . Especialmente notable es la obra de Bernard Bolzano en la primera mitad del siglo XIX. ^[4] La comprensión moderna del infinito comenzó en 1870-1874, y fue motivada por el trabajo de Cantor en análisis real . ^[5] Una reunión de 1872 entre Cantor y Richard Dedekind influyó en el pensamiento de Cantor y culminó en el artículo de Cantor de 1874.

El trabajo de Cantor polarizó inicialmente a los matemáticos de su época. Mientras que Karl Weierstrass y Dedekind apoyaron a Cantor, Leopold Kronecker , ahora visto como uno de los fundadores del constructivismo matemático , no lo hizo. La teoría de conjuntos cantoriana finalmente se generalizó, debido a la utilidad de los conceptos cantorianos, como la correspondencia uno a uno entre conjuntos, su prueba de que hay más números reales que enteros y el "infinito de infinitos" (" paraíso de Cantor ") resultante de la operación del grupo de potencia . Esta utilidad de la teoría de conjuntos llevó al artículo "Mengenlehre", contribuido en 1898 por Arthur Schoenflies a Klein 's enciclopedia.

La siguiente ola de entusiasmo en la teoría de conjuntos se produjo alrededor de 1900, cuando se descubrió que algunas interpretaciones de la teoría de conjuntos cantoriana dieron lugar a varias contradicciones, llamadas antinomias o paradojas . Bertrand Russell y Ernst Zermelo encontraron independientemente la paradoja más simple y mejor conocida, ahora llamada paradoja de Russell : considerar "el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos", lo que lleva a una contradicción ya que debe ser un miembro de sí mismo y no un miembro de sí mismo. En 1899, Cantor mismo había planteado la pregunta "¿Cuál es el número cardinaldel conjunto de todos los conjuntos? ", y obtuvo una paradoja relacionada. Russell usó su paradoja como tema en su revisión de 1903 de las matemáticas continentales en sus Principios de las matemáticas .

En 1906, los lectores ingleses obtuvieron el libro Theory of Sets of Points ^[6] de su esposo y esposa William Henry Young y Grace Chisholm Young , publicado por Cambridge University Press .

El impulso de la teoría de conjuntos fue tal que el debate sobre las paradojas no condujo a su abandono. El trabajo de Zermelo en 1908 y el trabajo de Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem en 1922 dieron como resultado el conjunto de axiomas ZFC , que se convirtió en el conjunto de axiomas más comúnmente utilizado para la teoría de conjuntos. El trabajo de analistas , como el de Henri Lebesgue , demostró la gran utilidad matemática de la teoría de conjuntos, que desde entonces se ha entretejido en el tejido de las matemáticas modernas. La teoría de conjuntos se usa comúnmente como un sistema fundamental, aunque en algunas áreas, como la geometría algebraica y la topología algebraica , la teoría de categorías. se cree que es una base preferida.

Conceptos básicos y notación

Artículos principales: Conjunto (matemáticas) y Álgebra de conjuntos

La teoría de conjuntos comienza con una fundamental relación binaria entre un objeto O y un conjunto A . Si o es un miembro (o elemento ) de A , se usa la notación o ∈ A. ^[7] Un conjunto se describe enumerando elementos separados por comas, o por una propiedad de caracterización de sus elementos, entre llaves {}. ^[8] Dado que los conjuntos son objetos, la relación de pertenencia también puede relacionar conjuntos.

Una relación binaria derivada entre dos conjuntos es la relación de subconjuntos, también llamada inclusión de conjuntos . Si todos los miembros del conjunto A son también miembros del conjunto B , entonces A es un subconjunto de B , denotado A ⊆ B . ^[7] Por ejemplo, {1, 2} es un subconjunto de {1, 2, 3} , y también lo es {2} pero {1, 4} no lo es. Como implica esta definición, un conjunto es un subconjunto de sí mismo. Para los casos en los que esta posibilidad no es adecuada o tendría sentido rechazarla, se define el término subconjunto adecuado . Ase llama un subconjunto propio de B si y sólo si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B . Además, 1, 2 y 3 son miembros (elementos) del conjunto {1, 2, 3} , pero no son subconjuntos del mismo; ya su vez, los subconjuntos, como {1}, no son miembros del conjunto {1, 2, 3}.

Así como la aritmética presenta operaciones binarias en números , la teoría de conjuntos presenta operaciones binarias en conjuntos. ^[9] La siguiente es una lista parcial de ellos:

• Unión de los conjuntos A y B , denotado A ∪ B , ^[7] es el conjunto de todos los objetos que son miembros de A , o B , o ambos. ^[10] Por ejemplo, la unión de {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es el conjunto {1, 2, 3, 4} .
• Intersección de los conjuntos A y B , denotado A ∩ B , ^[7] es el conjunto de todos los objetos que son miembros de ambos A y B . Por ejemplo, la intersección de {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es el conjunto {2, 3} .
• Conjunto diferencia de T y A , denotado T \ A , es el conjunto de todos los miembros de U que no son miembros de una . La diferencia de conjunto {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} es {1} , mientras que, a la inversa, la diferencia de conjunto {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} es {4} . Cuando A es un subconjunto de T , el conjunto diferencia T \ A también se llama el complemento de A en U . En este caso, si la elección de UComo se desprende del contexto, la notación A ^c se usa a veces en lugar de U \ A , particularmente si U es un conjunto universal como en el estudio de los diagramas de Venn .
• La diferencia simétrica de los conjuntos A y B , denotada A △ B o A ⊖ B , ^[7] es el conjunto de todos los objetos que son miembros de exactamente uno de A y B (elementos que están en uno de los conjuntos, pero no en ambas cosas). Por ejemplo, para los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} , el conjunto de diferencias simétricas es {1, 4} . Es la diferencia de conjuntos de la unión y la intersección, ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) o (A \ B ) ∪ ( B \ A ) .
• Producto cartesiano de A y B , denotado A × B , ^[7] es el conjunto cuyos miembros son todos los posibles pares ordenados ( a , b ) , donde una es un miembro de A y B es un miembro de B . Por ejemplo, el producto cartesiano de {1, 2} y {rojo, blanco} es {(1, rojo), (1, blanco), (2, rojo), (2, blanco)}.
• Conjunto potencia de un conjunto A , denotado, ^[7] es el conjunto cuyos miembros son todos los posibles subconjuntos de A . Por ejemplo, el conjunto de potencias de {1, 2} es {{}, {1}, {2}, {1, 2}} .${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$

Algunos conjuntos básicos de importancia central son el conjunto de números naturales , el conjunto de números reales y el conjunto vacío, el conjunto único que no contiene elementos. El conjunto vacío también se denomina ocasionalmente conjunto nulo , ^[11] aunque este nombre es ambiguo y puede dar lugar a varias interpretaciones.

Alguna ontología

Artículo principal: universo de von Neumann

Un segmento inicial de la jerarquía de von Neumann.

Un conjunto es puro si todos sus miembros son conjuntos, todos los miembros de sus miembros son conjuntos, etc. Por ejemplo, el conjunto {{}} que contiene solo el conjunto vacío es un conjunto puro no vacío. En la teoría de conjuntos moderna, es común restringir la atención al universo de conjuntos puros de von Neumann , y muchos sistemas de teoría de conjuntos axiomáticos están diseñados para axiomatizar únicamente los conjuntos puros. Esta restricción tiene muchas ventajas técnicas y se pierde poca generalidad, porque esencialmente todos los conceptos matemáticos pueden modelarse mediante conjuntos puros. Los conjuntos en el universo de von Neumann se organizan en una jerarquía acumulativa , según la profundidad con la que están anidados sus miembros, miembros de miembros, etc. Cada conjunto de esta jerarquía se asigna (porrecursividad transfinita ) un número ordinal , conocido como su rango . El rango de un conjunto puro se define como el límite superior mínimo de todos los sucesores de rangos de miembros de . Por ejemplo, al conjunto vacío se le asigna el rango 0, mientras que al conjunto {{}} que contiene solo el conjunto vacío se le asigna el rango 1. Para cada ordinal , el conjunto se define como todos los conjuntos puros con un rango menor que . Se denota todo el universo de von Neumann  .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle V_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle V}$

Teoría de conjuntos formalizada

La teoría de conjuntos elemental se puede estudiar de manera informal e intuitiva, por lo que se puede enseñar en las escuelas primarias utilizando diagramas de Venn . El enfoque intuitivo asume tácitamente que un conjunto puede formarse a partir de la clase de todos los objetos que satisfacen cualquier condición definitoria particular. Esta hipótesis da lugar a paradojas, el más simple y el más conocido de los cuales son la paradoja de Russell y la paradoja Burali-Forti . La teoría de conjuntos axiomática se concibió originalmente para librar a la teoría de conjuntos de tales paradojas. ^{[nota 1]}

Los sistemas de teoría axiomática de conjuntos más estudiados implican que todos los conjuntos forman una jerarquía acumulativa . Dichos sistemas vienen en dos sabores, aquellos cuya ontología consiste en:

• Se establece solo . Esto incluye la teoría de conjuntos axiomática más común, la teoría de conjuntos de Z ermelo- F raenkel con el Axioma de C hoice (ZFC). Los fragmentos de ZFC incluyen:
  • La teoría de conjuntos de Zermelo , que sustituye el esquema de axioma de sustitución por el de separación ;
  • Teoría de conjuntos general , un pequeño fragmento de la teoría de conjuntos de Zermelo suficiente para los axiomas de Peano y los conjuntos finitos ;
  • La teoría de conjuntos de Kripke-Platek , que omite los axiomas de infinito, conjunto de poder y elección , y debilita los esquemas de axioma de separación y reemplazo .
• Conjuntos y clases propias . Estos incluyen la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel , que tiene la misma fuerza que ZFC para teoremas sobre conjuntos solamente, y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley y la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , las cuales son más fuertes que ZFC.

Los sistemas anteriores pueden modificarse para permitir elementos , objetos que pueden ser miembros de conjuntos pero que no son conjuntos en sí mismos y no tienen ningún miembro.

Los sistemas New Foundations de NFU (que permiten elementos ) y NF (que carecen de ellos) no se basan en una jerarquía acumulativa. NF y NFU incluyen un "conjunto de todo", relativo al cual cada conjunto tiene un complemento. En estos sistemas, los elementos ureterales son importantes, porque NF, pero no NFU, produce conjuntos para los que no se cumple el axioma de elección .

Los sistemas de teoría de conjuntos constructiva , como CST, CZF e IZF, incorporan sus axiomas de conjuntos en lógica intuicionista en lugar de lógica clásica . Sin embargo, otros sistemas aceptan la lógica clásica pero presentan una relación de pertenencia no estándar. Estos incluyen la teoría de conjuntos aproximada y la teoría de conjuntos difusos , en las que el valor de una fórmula atómica que incorpora la relación de pertenencia no es simplemente Verdadero o Falso . Los modelos de ZFC con valores booleanos son un tema relacionado.

Edward Nelson propuso un enriquecimiento de ZFC llamado teoría de conjuntos internos en 1977.

Aplicaciones

Muchos conceptos matemáticos se pueden definir con precisión utilizando solo conceptos teóricos establecidos. Por ejemplo, estructuras matemáticas tan diversas como gráficos , variedades , anillos y espacios vectoriales pueden definirse como conjuntos que satisfacen varias propiedades (axiomáticas). Las relaciones de equivalencia y orden son omnipresentes en matemáticas, y la teoría de las relaciones matemáticas se puede describir en la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos también es un sistema fundamental prometedor para gran parte de las matemáticas. Desde la publicación del primer volumen de Principia Mathematica , se ha afirmado que la mayoría (o incluso todos) los teoremas matemáticos pueden derivarse utilizando un conjunto de axiomas para la teoría de conjuntos adecuadamente diseñado, aumentado con muchas definiciones, utilizando lógica de primer o segundo orden. . Por ejemplo, las propiedades de los números naturales y reales pueden derivarse dentro de la teoría de conjuntos, ya que cada sistema numérico puede identificarse con un conjunto de clases de equivalencia bajo una relación de equivalencia adecuada cuyo campo es un conjunto infinito .

La teoría de conjuntos como base para el análisis matemático , la topología , el álgebra abstracta y las matemáticas discretas tampoco es controvertida; Los matemáticos aceptan (en principio) que los teoremas en estas áreas pueden derivarse de las definiciones relevantes y los axiomas de la teoría de conjuntos. Sin embargo, queda que pocas derivaciones completas de teoremas matemáticos complejos a partir de la teoría de conjuntos se han verificado formalmente, ya que tales derivaciones formales suelen ser mucho más largas que las demostraciones en lenguaje natural que los matemáticos suelen presentar. Un proyecto de verificación, Metamath , incluye derivaciones escritas por humanos y verificadas por computadora de más de 12,000 teoremas a partir de la teoría de conjuntos ZFC ,lógica de primer orden y lógica proposicional .

Áreas de estudio

La teoría de conjuntos es un área importante de investigación en matemáticas, con muchos subcampos interrelacionados.

Teoría combinatoria de conjuntos

Artículo principal: combinatoria infinita

La teoría combinatoria de conjuntos se refiere a extensiones de la combinatoria finita a conjuntos infinitos. Esto incluye el estudio de la aritmética cardinal y el estudio de extensiones del teorema de Ramsey , como el teorema de Erdős-Rado .

Teoría descriptiva de conjuntos

Artículo principal: Teoría de conjuntos descriptiva

La teoría descriptiva de conjuntos es el estudio de subconjuntos de la línea real y, de manera más general, subconjuntos de espacios polacos . Comienza con el estudio de clases puntuales en la jerarquía de Borel y se extiende al estudio de jerarquías más complejas como la jerarquía proyectiva y la jerarquía Wadge . Muchas propiedades de los conjuntos de Borel se pueden establecer en ZFC, pero demostrar que estas propiedades son válidas para conjuntos más complicados requiere axiomas adicionales relacionados con la determinación y los grandes cardinales.

El campo de la teoría de conjuntos descriptiva efectiva se encuentra entre la teoría de conjuntos y la teoría de recursividad . Incluye el estudio de las clases de puntos de Lightface y está estrechamente relacionado con la teoría hiperaritmética . En muchos casos, los resultados de la teoría de conjuntos descriptiva clásica tienen versiones efectivas; en algunos casos, se obtienen nuevos resultados probando primero la versión efectiva y luego extendiéndola ("relativizándola") para hacerla más ampliamente aplicable.

Un área de investigación reciente se refiere a las relaciones de equivalencia de Borel y las relaciones de equivalencia definibles más complicadas . Esto tiene aplicaciones importantes para el estudio de invariantes en muchos campos de las matemáticas.

Teoría de conjuntos difusos

Artículo principal: teoría de conjuntos difusos

En la teoría de conjuntos, como Cantor definió y Zermelo y Fraenkel axiomatizaron, un objeto es miembro de un conjunto o no. En la teoría de conjuntos difusos, Lotfi A. Zadeh relajó esta condición, por lo que un objeto tiene un grado de pertenencia a un conjunto, un número entre 0 y 1. Por ejemplo, el grado de pertenencia de una persona al conjunto de "personas altas" es más flexible que una simple respuesta de sí o no y puede ser un número real como 0,75.

Teoría del modelo interno

Artículo principal: Teoría del modelo interno

Un modelo interno de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) es una clase transitiva que incluye todos los ordinales y satisface todos los axiomas de ZF. El ejemplo canónico es el universo construible L desarrollado por Gödel. Una de las razones por las que el estudio de modelos internos es de interés es que se puede utilizar para demostrar la coherencia de los resultados. Por ejemplo, se puede demostrar que independientemente de si un modelo V de ZF satisface la hipótesis del continuo o el axioma de elección , el modelo interno Lconstruido dentro del modelo original satisfará tanto la hipótesis del continuo generalizado como el axioma de elección. Por lo tanto, la suposición de que ZF es consistente (tiene al menos un modelo) implica que ZF junto con estos dos principios es consistente.

El estudio de modelos internos es común en el estudio de la determinación y los grandes cardinales , especialmente cuando se consideran axiomas como el axioma de determinación que contradicen el axioma de elección. Incluso si un modelo fijo de teoría de conjuntos satisface el axioma de elección, es posible que un modelo interno no satisfaga el axioma de elección. Por ejemplo, la existencia de cardinales suficientemente grandes implica que existe un modelo interno que satisface el axioma de determinación (y por lo tanto no satisface el axioma de elección). ^[12]

Grandes cardenales

Artículo principal: Gran propiedad cardinal

Un cardenal grande es un número cardinal con una propiedad adicional. Se estudian muchas de estas propiedades, incluidos los cardenales inaccesibles , los cardenales medibles y muchos más. Estas propiedades normalmente implican que el número cardinal debe ser muy grande, con la existencia de un cardinal con la propiedad especificada indemostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Determinación

Artículo principal: Determinación

La determinación se refiere al hecho de que, bajo supuestos apropiados, ciertos juegos de dos jugadores con información perfecta se determinan desde el principio en el sentido de que un jugador debe tener una estrategia ganadora. La existencia de estas estrategias tiene consecuencias importantes en la teoría descriptiva de conjuntos, ya que la suposición de que se determina una clase más amplia de juegos a menudo implica que una clase más amplia de conjuntos tendrá una propiedad topológica. El axioma de determinación (AD) es un importante objeto de estudio; aunque incompatible con el axioma de elección, AD implica que todos los subconjuntos de la línea real se comportan bien (en particular, medibles y con la propiedad de conjunto perfecto). AD se puede utilizar para demostrar que los grados Wadge tienen una estructura elegante.

Forzando

Artículo principal: Forzar (matemáticas)

Paul Cohen inventó el método de forzar mientras buscaba un modelo de ZFC en el que falla la hipótesis del continuo , o un modelo de ZF en el que falla el axioma de elección . Forzar adjunta a algún modelo dado de teoría de conjuntos conjuntos adicionales con el fin de crear un modelo más grande con propiedades determinadas (es decir, "forzadas") por la construcción y el modelo original. Por ejemplo, la construcción de Cohen se une a subconjuntos adicionales de los números naturales sin cambiar ninguno de los números cardinales del modelo original. Forzar es también uno de los dos métodos para demostrar la consistencia relativa mediante métodos finitistas, siendo el otro métodoModelos con valores booleanos .

Invariantes cardinales

Artículo principal: Características cardinales del continuo

Un invariante cardinal es una propiedad de la línea real medida por un número cardinal. Por ejemplo, un invariante bien estudiado es la cardinalidad más pequeña de una colección de magros conjuntos de reales cuya unión es la línea real completa. Estos son invariantes en el sentido de que dos modelos isomórficos cualesquiera de la teoría de conjuntos deben dar el mismo cardinal para cada invariante. Se han estudiado muchos invariantes cardinales y las relaciones entre ellos a menudo son complejas y están relacionadas con axiomas de la teoría de conjuntos.

Topología de teoría de conjuntos

Artículo principal: topología de teoría de conjuntos

La topología de teoría de conjuntos estudia cuestiones de topología general que son de naturaleza teórica de conjuntos o que requieren métodos avanzados de teoría de conjuntos para su solución. Muchos de estos teoremas son independientes de ZFC y requieren axiomas más fuertes para su demostración. Un problema famoso es la cuestión del espacio de Moore normal , una cuestión de topología general que fue objeto de una intensa investigación. Finalmente se demostró que la respuesta a la pregunta espacial normal de Moore era independiente de ZFC.

Objeciones a la teoría de conjuntos

Desde el inicio de la teoría de conjuntos, algunos matemáticos se han opuesto a ella como base para las matemáticas . La objeción más común a la teoría de conjuntos, una que Kronecker expresó en los primeros años de la teoría de conjuntos, parte de la visión constructivista de que las matemáticas están vagamente relacionadas con la computación. Si se concede este punto de vista, entonces el tratamiento de los conjuntos infinitos, tanto en la teoría de conjuntos ingenua como en la axiomática, introduce en las matemáticas métodos y objetos que no son computables ni siquiera en principio. La viabilidad del constructivismo como base sustitutiva de las matemáticas aumentó enormemente con el influyente libro de Errett Bishop , Foundations of Constructive Analysis .^[13]

Una objeción diferente planteada por Henri Poincaré es que definir conjuntos utilizando los esquemas de axioma de especificación y reemplazo , así como el axioma de conjunto de poder , introduce la impredicatividad , un tipo de circularidad , en las definiciones de objetos matemáticos. El alcance de las matemáticas fundamentadas predicativamente, aunque menor que el de la teoría de Zermelo-Fraenkel comúnmente aceptada, es mucho mayor que el de las matemáticas constructivas, hasta el punto de que Solomon Feferman ha dicho que "todo el análisis científicamente aplicable se puede desarrollar [utilizando métodos]". ^[14]

Ludwig Wittgenstein condenó filosóficamente la teoría de conjuntos por sus connotaciones de platonismo matemático . ^[15] Escribió que "la teoría de conjuntos es incorrecta", ya que se basa en el "sinsentido" del simbolismo ficticio, tiene "modismos perniciosos" y que no tiene sentido hablar de "todos los números". ^[16] Wittgenstein identificó las matemáticas con la deducción humana algorítmica; ^[17] la necesidad de una base segura para las matemáticas le parecía absurda. ^[18] Además, dado que el esfuerzo humano es necesariamente finito, la filosofía de Wittgenstein requería un compromiso ontológico con el constructivismo radical y el finitismo.. Los enunciados metamatemáticos, que, para Wittgenstein, incluían cualquier enunciado que cuantificara dominios infinitos y, por lo tanto, casi toda la teoría de conjuntos moderna, no son matemáticas. ^[19] Pocos filósofos modernos han adoptado los puntos de vista de Wittgenstein después de un espectacular error en Comentarios sobre los fundamentos de las matemáticas : Wittgenstein intentó refutar los teoremas de incompletitud de Gödel después de haber leído solamente el resumen. Como señalaron los críticos Kreisel , Bernays , Dummett y Goodstein , muchas de sus críticas no se aplicaron al artículo en su totalidad. Sólo recientemente filósofos como Crispin Wrightcomenzó a rehabilitar los argumentos de Wittgenstein. ^[20]

Los teóricos de la categoría han propuesto la teoría topos como una alternativa a la teoría de conjuntos axiomática tradicional. La teoría de Topos puede interpretar varias alternativas a esa teoría, como el constructivismo , la teoría de conjuntos finitos y la teoría de conjuntos computables . ^{[21] [22]} Topoi también proporciona un escenario natural para forzar y discutir la independencia de elección de ZF, además de proporcionar el marco para la topología sin sentido y los espacios de Stone . ^[23]

Un área activa de investigación son los fundamentos univalentes y relacionados con la teoría de tipos de homotopía . Dentro de la teoría de tipos de homotopía, un conjunto puede considerarse como un tipo 0 de homotopía, con propiedades universales de conjuntos que surgen de las propiedades inductivas y recursivas de tipos inductivos superiores . Principios como el axioma de elección y la ley del medio excluidopuede formularse de una manera correspondiente a la formulación clásica en la teoría de conjuntos o quizás en un espectro de formas distintas únicas a la teoría de tipos. Se puede demostrar que algunos de estos principios son una consecuencia de otros principios. La variedad de formulaciones de estos principios axiomáticos permite un análisis detallado de las formulaciones requeridas para derivar varios resultados matemáticos. ^{[24] [25]}

Teoría de conjuntos en la educación matemática

A medida que la teoría de conjuntos ganó popularidad como base para las matemáticas modernas, ha habido apoyo para la idea de introducir la teoría básica, o teoría de conjuntos ingenua , en las primeras etapas de la educación matemática .

En los EE. UU. En la década de 1960, el experimento New Math tenía como objetivo enseñar teoría básica de conjuntos, entre otros conceptos abstractos, a estudiantes de primaria, pero recibió muchas críticas. El plan de estudios de matemáticas en las escuelas europeas siguió esta tendencia y actualmente incluye la asignatura en diferentes niveles en todos los grados.

La teoría de conjuntos se utiliza para presentar a los estudiantes los operadores lógicos (NOT, AND, OR) y la descripción semántica o de reglas ( definición técnicamente intensional ^[26] ) de conjuntos (por ejemplo, "meses que comienzan con la letra A "). Esto puede ser útil cuando se aprende programación de computadoras , ya que los conjuntos y la lógica booleana son bloques de construcción básicos de muchos lenguajes de programación.

Los conjuntos se denominan comúnmente cuando se enseña sobre diferentes tipos de números ( N , Z , R , ...) y cuando se definen funciones matemáticas como una relación entre dos conjuntos.

Ver también

• Glosario de teoría de conjuntos
• Clase (teoría de conjuntos)
• Lista de temas de teoría de conjuntos
• Modelo relacional  : se basa en la teoría de conjuntos

Notas

1. En su artículo de 1925 "Una axiomatización de la teoría de conjuntos", John von Neumann observó que "la teoría de conjuntos en su primera versión" ingenua ", debida a Cantor, conducía a contradicciones. Estas son las antinomias conocidasdel conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos (Russell), del conjunto de todos los números ordinales transfinitos (Burali-Forti) y del conjunto de todos los números reales finitamente definibles (Richard) ". Continúa observando que dos "tendencias" intentaban "rehabilitar" la teoría de conjuntos. Del primer esfuerzo, ejemplificado por Bertrand Russell , Julius König , Hermann Weyl y LEJ Brouwervon Neumann calificó el "efecto general de su actividad ... devastador". Con respecto al método axiomático empleado por el segundo grupo compuesto por Zermelo, Fraenkel y Schoenflies, a von Neumann le preocupaba que "Solo vemos que los modos de inferencia conocidos que conducen a las antinomias fallan, pero ¿quién sabe dónde no hay otros?" y se puso a la tarea, "en el espíritu del segundo grupo", de "producir, mediante un número finito de operaciones puramente formales ... todos los conjuntos que queremos ver formados" pero sin permitir las antinomias . (Todas las citas de von Neumann 1925 reimpresas en van Heijenoort, Jean (1967, tercera edición de 1976), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge MA,ISBN  0-674-32449-8(pbk). Se puede encontrar una sinopsis de la historia, escrita por van Heijenoort, en los comentarios que preceden al artículo de 1925 de von Neumann.

Referencias

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2. Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 1874 (77): 258-262, doi : 10.1515 / crll.1874.77.258 , S2CID 199545885 
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17. Rodych 2018 , §2.1: "Cuando probamos un teorema o decidimos una proposición, operamos de una manera puramente formal y sintáctica. Al hacer matemáticas, no descubrimos verdades preexistentes que 'ya estaban allí sin que uno lo supiera' ( PG 481): inventamos las matemáticas, poco a poco ". Sin embargo, tenga en cuenta que Wittgenstein no identifica tal deducción con la lógica filosófica ; cf. Rodych § 1, párrs. 7-12.
18. Rodych 2018 , §3.4: "Dado que las matemáticas son un ' abigarrado de técnicas de prueba' (RFM III, §46), no requiere una base (RFM VII, §16) y no se le puede dar un fundamento (PR §160; WVC 34 & 62; RFM IV, §3). Dado que la teoría de conjuntos se inventó para proporcionar a las matemáticas una base, es mínimamente innecesaria ".
19. Rodych 2018 , §2.2: "Una expresión que cuantifica sobre un dominio infinito nunca es una proposición significativa, ni siquiera cuando hemos probado, por ejemplo, que un número n particular tiene una propiedad particular".
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22. Cantone, Domenico; Ferro, Alfredo; Omodeo, Eugenio G. (1989), Computable Set Theory , Serie internacional de monografías sobre informática, Oxford Science Publications, Oxford, Reino Unido: Clarendon Press , págs.  Xii, 347 , ISBN 0-19-853807-3
23. Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, leke (1992), Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory , Springer-Verlag, ISBN 9780387977102
24. Teoría del tipo de homotopía en nLab
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26. Frank Ruda (6 de octubre de 2011). La chusma de Hegel: una investigación sobre la filosofía del derecho de Hegel . Publicación de Bloomsbury. pag. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.

Lectura adicional

• Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets (2.a ed.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
• Ferreirós, Jose (2007), Labyrinth of Thought: Una historia de la teoría de conjuntos y su papel en las matemáticas modernas , Basilea: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
• Johnson, Philip (1972), Una historia de la teoría de conjuntos , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Holanda del Norte, ISBN 0-444-85401-0
• Potter, Michael (2004), Teoría de conjuntos y su filosofía: una introducción crítica , Oxford University Press
• Tiles, Mary (2004), La filosofía de la teoría de conjuntos: una introducción histórica al paraíso de Cantor , Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-43520-6
• Smullyan, Raymond M .; Ajuste, Melvin (2010), Teoría de conjuntos y el problema continuo , Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-47484-7
• Monk, J. Donald (1969), Introducción a la teoría de conjuntos , McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066

Enlaces externos

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• Definiciones de Wikcionario
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Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Matemáticas discretas / Teoría de conjuntos

• Daniel Cunningham, artículo de teoría de conjuntos en la Enciclopedia de Filosofía de Internet .
• José Ferreiros, artículo sobre el desarrollo temprano de la teoría de conjuntos en la [Enciclopedia de Filosofía de Stanford] .
• Capataz, Matthew , Akihiro Kanamori , eds. Manual de teoría de conjuntos. 3 vols., 2010. Cada capítulo examina algún aspecto de la investigación contemporánea en la teoría de conjuntos. No cubre la teoría de conjuntos elemental establecida, sobre la cual ver Devlin (1993).
• "Teoría de conjuntos axiomáticos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Teoría de conjuntos" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre en la enciclopedia de Klein .
• Libros en línea y recursos de la biblioteca en su biblioteca y en otras bibliotecas sobre teoría de conjuntos
• Rudin, Walter B. (6 de abril de 1990). "Teoría de conjuntos: una consecuencia del análisis" . Conferencia Marden de Matemáticas . Universidad de Wisconsin-Milwaukee , a través de YouTube .