Un triángulo de Bézier es un tipo especial de superficie de Bézier , que se crea mediante la interpolación ( lineal , cuadrática , cúbica o de mayor grado) de puntos de control.
Triángulo de Bézier de n -ésimo orden
Un triángulo de Bézier general de n -ésimo orden tiene ( n + 1) ( n + 2) / 2 puntos de control α i β j γ k donde i , j , k son números enteros no negativos tales que i + j + k = n . [1] La superficie se define entonces como
para todos los números reales no negativos s + t + u = 1.
Con orden lineal (), el triángulo de Bézier resultante es en realidad un triángulo plano regular , con los vértices del triángulo igualando los tres puntos de control. Un cuadrático () El triángulo de Bézier cuenta con 6 puntos de control, todos ubicados en los bordes. El cúbico () El triángulo de Bézier está definido por 10 puntos de control y es el triángulo de Bézier de orden más bajo que tiene un punto de control interno, no ubicado en los bordes. En todos los casos, las aristas del triángulo serán curvas de Bézier del mismo grado.
Triángulo cúbico de Bézier
Un triángulo de Bézier cúbico es una superficie con la ecuación
donde α 3 , β 3 , γ 3 , α 2 β, αβ 2 , β 2 γ, βγ 2 , αγ 2 , α 2 γ y αβγ son los puntos de control del triángulo y s , t , u (con 0 ≤ s , t , u ≤ 1 y s + t + u = 1) son las coordenadas baricéntricas dentro del triángulo. [2] [1]
Alternativamente, un triángulo de Bézier cúbico se puede expresar como una formulación más generalizada como
de acuerdo con la formulación del triángulo de Bézier de § n -ésimo orden .
Las esquinas del triángulo son los puntos α 3 , β 3 y γ 3 . Los bordes del triángulo son en sí mismos curvas de Bézier , con los mismos puntos de control que el triángulo de Bézier.
Al eliminar el término γ u , se obtiene una curva de Bézier regular. Además, aunque no es muy útil para mostrar en una pantalla de computadora física, al agregar términos adicionales, se obtiene un tetraedro de Bézier o un politopo de Bézier .
Debido a la naturaleza de la ecuación, todo el triángulo estará contenido dentro del volumen rodeado por los puntos de control, y las transformaciones afines de los puntos de control transformarán correctamente todo el triángulo de la misma manera.
Reducir a la mitad un triángulo de Bézier cúbico
Una ventaja de los triángulos de Bézier en los gráficos por computadora es que dividir el triángulo de Bézier en dos triángulos de Bézier separados solo requiere suma y división por dos, en lugar de aritmética de coma flotante. Esto significa que, si bien los triángulos de Bézier son suaves, se pueden aproximar fácilmente usando triángulos regulares dividiendo recursivamente el triángulo en dos hasta que los triángulos resultantes se consideren lo suficientemente pequeños.
A continuación se calculan los nuevos puntos de control para la mitad del triángulo de Bézier completo con la esquina α 3 , una esquina a la mitad de la curva de Bézier entre α 3 y β 3 , y la tercera esquina γ 3 .
- de manera equivalente, usando la suma y la división por dos solamente,
- donde: = significa reemplazar el vector de la izquierda con el vector de la derecha.
- Tenga en cuenta que dividir a la mitad un triángulo de Bézier es similar a dividir a la mitad las curvas de Bézier de todos los órdenes hasta el orden del triángulo de Bézier.
Ver también
- Curva de Bézier
- Superficie Bézier (los parches bicuadráticos son rectángulos Bézier)
- Superficie
Referencias
- ^ a b Farin, Gerald (2002), Curvas y superficies para diseño geométrico asistido por computadora (5 ed.), Academic Press Science & Technology Books, ISBN 978-1-55860-737-8
- ^ Representación de superficies 3D en Postscript
enlaces externos
- Triángulos de Bézier cuadráticos como primitivos de dibujo Contiene más información sobre triángulos de Bézier planos y cuadráticos.
- Documento sobre el uso de parches de Bézier cúbicos en el trazado de rayos (alemán)
- "Ray Tracing Triangular Bézier Patches". CiteSeerX 10.1.1.18.5646 . Falta o vacío
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( ayuda ) - "Triangular Bézier Clipping". CiteSeerX 10.1.1.62.8062 . Falta o vacío
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( ayuda ) - Triángulos PN curvos (un tipo especial de triángulos de Bézier cúbicos)
- Interpolación normal consciente de la forma para el sombreado de superficies curvas a partir de aproximaciones poliédricas
- Triángulos curvos basados en sombreadores de píxeles
- "Construcción de superficie con aceleración casi mínima cuadrada basada en vértices normales en mallas triangulares". CiteSeerX 10.1.1.6.2521 . Falta o vacío
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( ayuda )