En la teoría de números elemental , la identidad de Bézout (también llamada lema de Bézout ) es el siguiente teorema :
La identidad de Bézout - Deje una y b sea enteros con máximo común divisor d . Entonces existen números enteros x e y tales que ax + por = d . De manera más general, los números enteros de la forma ax + by son exactamente los múltiplos de d .
Aquí el máximo común divisor de 0 y 0 se toma como 0. Los números enteros x e y son llamados coeficientes de Bézout para ( a , b ); no son únicos. El algoritmo euclidiano extendido puede calcular un par de coeficientes de Bézout , y este par es uno de los dos pares de modo que y . Una igualdad puede ocurrir sólo si uno de una y b es un múltiplo de la otra.
Como ejemplo, el máximo común divisor de 15 y 69 es 3, y se puede escribir 15 × (-9) + 69 × 2 = 3 .
Muchos otros teoremas de la teoría elemental de números, como el lema de Euclides o el teorema del resto chino , son el resultado de la identidad de Bézout.
Un dominio de Bézout es un dominio integral en el que se mantiene la identidad de Bézout. En particular, la identidad de Bézout se mantiene en los principales dominios ideales . Todo teorema que resulta de la identidad de Bézout es, por tanto, verdadero en todos estos dominios.
Estructura de soluciones
Si un y b no son ambos cero y un par de coeficientes de Bézout ( x , Y ) se ha calculado (por ejemplo, usando el algoritmo euclidiano extendido ), todos los pares se pueden representar en la forma
donde k es un número entero arbitrario, d es el máximo común divisor de un y b , y las fracciones simplificar a números enteros.
Si un y b son ambos distintos de cero, a continuación, exactamente dos de estos pares de pares de coeficientes de Bézout satisfacer
y la igualdad se puede producir sólo si uno de unos y b divide los otros.
Esto se basa en una propiedad de la división euclidiana : dado dos números enteros no nulos c y d , si d no divide c , hay exactamente un par ( q , r ) tal que c = dq + r y 0 < r <| d | , y otro tal que c = dq + r y - | d | < r <0 .
Los dos pares de coeficientes de Bézout pequeños se obtienen a partir del dado ( x , y ) eligiendo para k en la fórmula anterior cualquiera de los dos enteros junto a.
El algoritmo euclidiano extendido siempre produce uno de estos dos pares mínimos.
Ejemplo
Sea a = 12 y b = 42 , entonces mcd (12, 42) = 6 . Luego se tienen las siguientes identidades de Bézout, con los coeficientes de Bézout escritos en rojo para los pares mínimos y en azul para los demás.
Si (x, y) = (18, -5) es el par original de coeficientes de Bézout, entoncesproduce los pares mínimos a través de k = 2 , respectivamente k = 3 ; es decir, (18 - 2 ⋅ 7, -5 + 2 ⋅ 2) = (4, -1) , y (18 - 3 ⋅ 7, -5 + 3 ⋅ 2) = (-3, 1) .
Prueba
Dados los números enteros no nulos de un y b , y muchoEl conjunto S no está vacío ya que contiene a o - a (con x = ± 1 e y = 0 ). Dado que S es un conjunto no vacío de enteros positivos, tiene un elemento mínimo, por el principio de ordenación bien . Para probar que d es el máximo común divisor de un y b , se debe probarse que d es un divisor común de un y b , y que para cualquier otro divisor común c , uno tiene c ≤ d .
La división euclidiana de a por d puede escribirse
El resto r está en, porque
Por tanto, r tiene la forma, y por lo tanto . Sin embargo, 0 ≤ r < d , y d es el entero positivo más pequeño en S : el resto r no puede estar en S , lo que hace que r sea necesariamente 0. Esto implica que d es un divisor de a . Del mismo modo d también es un divisor de b y d es un divisor común de una y b .
Ahora, vamos a c ser cualquier común divisor de un y b ; es decir, existen u y v tales que a = cu y b = cv . Uno tiene así
Es decir, c es un divisor de d , y, por lo tanto, c ≤ d.
Generalizaciones
Por tres o más enteros
La identidad de Bézout se puede extender a más de dos enteros: si
entonces hay enteros tal que
tiene las siguientes propiedades:
- d es el entero positivo más pequeño de esta forma
- cada número de esta forma es un múltiplo de d
Para polinomios
La identidad de Bézout funciona para polinomios univariados sobre un campo exactamente de la misma manera que para números enteros. En particular, los coeficientes de Bézout y el máximo común divisor pueden calcularse con el algoritmo euclidiano extendido .
Como las raíces comunes de dos polinomios son las raíces de su máximo común divisor, la identidad de Bézout y el teorema fundamental del álgebra implican el siguiente resultado:
- Para polinomios univariantes f y g con coeficientes en un campo, existen polinomios a y b tal que af + bg = 1 si y sólo si f y g tienen raíz común en cualquier campo algebraicamente cerrado (comúnmente el campo de los números complejos ).
La generalización de este resultado a cualquier número de polinomios e indeterminados es el Nullstellensatz de Hilbert .
Para los principales dominios ideales
Como se señaló en la introducción, la identidad de Bézout funciona no solo en el anillo de los números enteros, sino también en cualquier otro dominio ideal principal (PID). Es decir, si R es un PID, y un y b son elementos de R , y d es un máximo común divisor de un y b , entonces hay elementos x y y en R tal que ax + by = d . La razón es que el ideal Ra + Rb es principal e igual a Rd .
Un dominio integral en el que se mantiene la identidad de Bézout se denomina dominio de Bézout .
Historia
El matemático francés Étienne Bézout (1730-1783) demostró esta identidad para los polinomios. [1] Sin embargo, esta afirmación para números enteros ya se puede encontrar en el trabajo de otro matemático francés, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638). [2] [3] [4]
Ver también
- Teorema AF + BG , un análogo de la identidad de Bézout para polinomios homogéneos en tres indeterminados
- Teorema fundamental de la aritmética
- Lema de Euclides
Notas
- ^ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques . París, Francia: Ph.-D. Pierres.
- ^ Tignol, Jean-Pierre (2001). Teoría de las ecuaciones algebraicas de Galois . Singapur: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.
- ^ Claude Gaspard Bachet (señor de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2ª ed.). Lyon, Francia: Pierre Rigaud & Associates. págs. 18–33.En estas páginas, Bachet prueba (sin ecuaciones) "Proposición XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d'iceux, surpassant de l'unité un multiple de l'autre". (Dados dos números [que son] primos relativamente, encuentre el múltiplo más bajo de cada uno de ellos [tal que] un múltiplo exceda al otro en la unidad (1)). Este problema (es decir, ax - by = 1) es un caso especial de la ecuación de Bézout y fue utilizado por Bachet para resolver los problemas que aparecen en las páginas 199 y sigs.
- ^ Ver también: Maarten Bullynck (febrero de 2009). "Aritmética modular antes de CF Gauss: sistematizaciones y discusiones sobre problemas de resto en la Alemania del siglo XVIII" (PDF) . Historia Mathematica . 36 (1): 48–72. doi : 10.1016 / j.hm.2008.08.009 .
enlaces externos
- Calculadora en línea para la identidad de Bézout.
- Weisstein, Eric W. "Identidad de Bézout" . MathWorld .