En matemáticas , el teorema de Bauer-Fike es un resultado estándar en la teoría de perturbación del valor propio de una matriz diagonalizable de valores complejos . En esencia, establece un límite superior absoluto para la desviación de un valor propio de la matriz perturbada de un valor propio elegido correctamente de la matriz exacta. Hablando informalmente, lo que dice es que la sensibilidad de los autovalores es estimada por el número de condición de la matriz de autovectores .
V ∈ C n , n es la matriz de vector propio no singulartal que A = V Λ V −1 , donde Λ es una matriz diagonal.
Si X ∈ C n , n es invertible, su número de condición en p -norm se denota por κ p ( X ) y se define por:
El teorema de Bauer-Fike
Teorema de Bauer-Fike. Sea μ un valor propio de A + δA . Entonces existe λ ∈ Λ ( A ) tal que:
Prueba. Podemos suponer μ ∉ Λ ( A ) , de lo contrario tome λ = μ y el resultado es trivialmente cierto ya que κ p ( V ) ≥ 1 . Dado que μ es un valor propio de A + δA , tenemos det ( A + δA - μI ) = 0 y así
Sin embargo, nuestra suposición, μ ∉ Λ ( A ) , implica que: det (Λ - μI ) ≠ 0 y por lo tanto podemos escribir:
Esto revela que −1 es un valor propio de
Dado que todas las p -normas son normas matriciales consistentes , tenemos | λ | ≤ || A || p , donde λ es un valor propio de A . En este caso, esto nos da:
Pero (Λ - μI ) −1 es una matriz diagonal, cuya p -norm se calcula fácilmente:
De dónde:
Una formulación alternativa
El teorema también puede reformularse para adaptarse mejor a los métodos numéricos. De hecho, al tratar con problemas reales del sistema propio, a menudo se tiene una matriz A exacta , pero solo se conoce un par aproximado valor propio-vector propio, ( λ a , v a ) y es necesario limitar el error. La siguiente versión viene como ayuda.
Teorema de Bauer-Fike (formulación alternativa). Sea ( λ a , v a ) un par aproximado valor propio-vector propio, y r = A v a - λ a v a . Entonces existe λ ∈ Λ ( A ) tal que:
Prueba. Podemos suponer λ a ∉ Λ ( A ) , de lo contrario tomar λ = λ a y el resultado es trivialmente cierto ya que κ p ( V ) ≥ 1 . Entonces ( A - λ a I ) −1 existe, entonces podemos escribir:
ya que A es diagonalizable; tomando la p -norm de ambos lados, obtenemos:
sin emabargo
es una matriz diagonal y su p -norm se calcula fácilmente:
De dónde:
Un vínculo relativo
Ambas formulaciones del teorema de Bauer-Fike producen un límite absoluto. El siguiente corolario es útil siempre que se necesita un límite relativo:
Corolario. Suponga que A es invertible y que μ es un valor propio de A + δA . Entonces existe λ ∈ Λ ( A ) tal que:
Nota. || A −1 δA || formalmente puede verse como la variación relativa de A , al igual que| λ - μ |/| λ |es la variación relativa de λ .
Prueba. Dado que μ es un valor propio de A + δA y det ( A ) ≠ 0 , al multiplicar por - A −1 desde la izquierda tenemos:
Si establecemos:
entonces nosotros tenemos:
lo que significa que 1 es un valor propio de A a + ( δA ) a , con v como un vector propio. Ahora, los valores propios de A a sonμ/λ yo, Mientras que tiene la misma matriz de autovectores como A . Aplicando el teorema de Bauer-Fike a A a + ( δA ) a con valor propio 1 , obtenemos:
de modo que κ 2 ( V ) = 1 . El teorema de Bauer-Fike se convierte entonces en:
O en formulación alternativa:
lo que obviamente sigue siendo cierto si A es una matriz hermitiana . En este caso, sin embargo, se cumple un resultado mucho más fuerte, conocido como el teorema de Weyl sobre valores propios . En el caso hermitiano también se puede reformular el teorema de Bauer-Fike en la forma que el mapa A ↦ Λ ( A ) que mapea una matriz a su espectro es una función no expansiva con respecto a la distancia de Hausdorff en el conjunto de subconjuntos compactos de C .
Referencias
Bauer, FL; Fike, CT (1960). "Normas y teoremas de exclusión". Numer. Matemáticas . 2 (1): 137-141. doi : 10.1007 / BF01386217 .
Eisenstat, SC; Ipsen, ICF (1998). "Tres límites absolutos de perturbación para los valores propios de la matriz implican límites relativos". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones Matriciales . 20 (1): 149-158. CiteSeerX 10.1.1.45.3999 . doi : 10.1137 / S0895479897323282 .