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Estadísticas bayesianas
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Teoría
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La probabilidad bayesiana es una interpretación del concepto de probabilidad , en la que, en lugar de la frecuencia o propensión de algún fenómeno, la probabilidad se interpreta como una expectativa razonable [1] que representa un estado de conocimiento [2] o como una cuantificación de una creencia personal. [3]

La interpretación bayesiana de la probabilidad puede verse como una extensión de la lógica proposicional que permite razonar con hipótesis; [4] es decir, con proposiciones cuya verdad o falsedad se desconoce. En el punto de vista bayesiano, se asigna una probabilidad a una hipótesis, mientras que en la inferencia frecuentista , una hipótesis se prueba típicamente sin que se le asigne una probabilidad.

La probabilidad bayesiana pertenece a la categoría de probabilidades evidenciales; para evaluar la probabilidad de una hipótesis, el probabilista bayesiano especifica una probabilidad previa . Esto, a su vez, se actualiza a una probabilidad posterior a la luz de datos nuevos y relevantes (evidencia). [5] La interpretación bayesiana proporciona un conjunto estándar de procedimientos y fórmulas para realizar este cálculo.

El término bayesiano se deriva del matemático y teólogo del siglo XVIII Thomas Bayes , quien proporcionó el primer tratamiento matemático de un problema no trivial de análisis de datos estadísticos utilizando lo que ahora se conoce como inferencia bayesiana . [6] : 131 El matemático Pierre-Simon Laplace fue pionero y popularizó lo que ahora se llama probabilidad bayesiana. [6] : 97–98

Metodología bayesiana [ editar ]

Los métodos bayesianos se caracterizan por conceptos y procedimientos de la siguiente manera:

  • El uso de variables aleatorias , o cantidades más generalmente desconocidas, [7] para modelar todas las fuentes de incertidumbre en modelos estadísticos, incluida la incertidumbre resultante de la falta de información (ver también incertidumbre aleatoria y epistémica ).
  • La necesidad de determinar la distribución de probabilidad previa teniendo en cuenta la información disponible (previa).
  • El uso secuencial de la fórmula de Bayes : cuando haya más datos disponibles, calcule la distribución posterior utilizando la fórmula de Bayes; posteriormente, la distribución posterior se convierte en la siguiente anterior.
  • Mientras que para el frecuentista, una hipótesis es una proposición (que debe ser verdadera o falsa ) de modo que la probabilidad frecuentista de una hipótesis es 0 o 1, en la estadística bayesiana, la probabilidad que puede asignarse a una hipótesis también puede estar en un rango de 0 a 1 si el valor de verdad es incierto.

Probabilidades bayesianas objetivas y subjetivas [ editar ]

En términos generales, hay dos interpretaciones de la probabilidad bayesiana. Para los objetivistas, que interpretan la probabilidad como una extensión de la lógica , la probabilidad cuantifica la expectativa razonable que todos (incluso un "robot") que comparten el mismo conocimiento deberían compartir de acuerdo con las reglas de la estadística bayesiana, que puede justificarse mediante el teorema de Cox . [2] [8] Para los subjetivistas, la probabilidad corresponde a una creencia personal. [3] La racionalidad y la coherencia permiten una variación sustancial dentro de las limitaciones que plantean; las restricciones están justificadas por el argumento del libro holandés o por la teoría de la decisión yteorema de Finetti . [3] Las variantes objetivas y subjetivas de la probabilidad bayesiana difieren principalmente en su interpretación y construcción de la probabilidad previa.

Historia [ editar ]

Artículo principal: Historia de la estadística § Estadística bayesiana

El término bayesiano se deriva de Thomas Bayes (1702-1761), quien demostró un caso especial de lo que ahora se llama teorema de Bayes en un artículo titulado " Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las oportunidades ". [9] En ese caso especial, las distribuciones anterior y posterior eran distribuciones beta y los datos provenían de ensayos de Bernoulli . Fue Pierre-Simon Laplace (1749-1827) quien introdujo una versión general del teorema y lo utilizó para abordar problemas de mecánica celeste , estadística médica, fiabilidad y jurisprudencia . [10]La inferencia bayesiana temprana, que utilizaba a priori uniformes siguiendo el principio de razón insuficiente de Laplace , se llamaba " probabilidad inversa " (porque infiere hacia atrás de las observaciones a los parámetros, o de los efectos a las causas). [11] Después de la década de 1920, la "probabilidad inversa" fue reemplazada en gran medida por una colección de métodos que se denominaron estadísticas frecuentistas . [11]

En el siglo XX, las ideas de Laplace se desarrollaron en dos direcciones, dando lugar a corrientes objetivas y subjetivas en la práctica bayesiana. La Teoría de la probabilidad de Harold Jeffreys (publicada por primera vez en 1939) jugó un papel importante en el resurgimiento de la visión bayesiana de la probabilidad, seguida por los trabajos de Abraham Wald (1950) y Leonard J. Savage (1954). El adjetivo bayesiano en sí data de la década de 1950; derivado del bayesianismo , el neo-bayesianismo es de acuñación de los años sesenta. [12] [13] [14]En la corriente objetivista, el análisis estadístico depende únicamente del modelo asumido y de los datos analizados. [15] No es necesario que intervengan decisiones subjetivas. En contraste, los estadísticos "subjetivistas" niegan la posibilidad de un análisis completamente objetivo para el caso general.

En la década de 1980, hubo un crecimiento dramático en la investigación y las aplicaciones de los métodos bayesianos, principalmente atribuido al descubrimiento de los métodos de Monte Carlo en cadena de Markov y la consecuente eliminación de muchos de los problemas computacionales, y al creciente interés en aplicaciones complejas no estándar. [16] Si bien las estadísticas frecuentistas siguen siendo sólidas (como se ve por el hecho de que la mayoría de la enseñanza de pregrado todavía se basa en ellas [17] [ cita requerida ] ), los métodos bayesianos son ampliamente aceptados y utilizados, por ejemplo, en el campo del aprendizaje automático . [18]

Justificación de probabilidades bayesianas [ editar ]

El uso de probabilidades bayesianas como base de la inferencia bayesiana ha sido respaldado por varios argumentos, como los axiomas de Cox , el argumento del libro holandés , argumentos basados ​​en la teoría de la decisión y el teorema de De Finetti .

Enfoque axiomático [ editar ]

Richard T. Cox demostró que [8] la actualización bayesiana se deriva de varios axiomas, incluidas dos ecuaciones funcionales y una hipótesis de diferenciabilidad. El supuesto de diferenciabilidad o incluso de continuidad es controvertido; Halpern encontró un contraejemplo basado en su observación de que el álgebra booleana de enunciados puede ser finito. [19] Varios autores han sugerido otras axiomatizaciones con el propósito de hacer la teoría más rigurosa. [7]

Enfoque del libro holandés [ editar ]

El argumento del libro holandés fue propuesto por De Finetti ; se basa en las apuestas. Se hace un libro holandés cuando un jugador inteligente hace una serie de apuestas que garantizan una ganancia, sin importar cuál sea el resultado de las apuestas. Si un corredor de apuestas sigue las reglas del cálculo bayesiano en la construcción de sus probabilidades, no se puede hacer un libro en holandés.

Sin embargo, Ian Hacking señaló que los argumentos tradicionales de los libros holandeses no especificaban la actualización bayesiana: dejaron abierta la posibilidad de que las reglas de actualización no bayesianas pudieran evitar los libros holandeses. Por ejemplo, Hacking escribe [20] [21] "Y ni el argumento del libro holandés, ni ningún otro en el arsenal personalista de pruebas de los axiomas de probabilidad, implica el supuesto dinámico. Ninguno implica el bayesianismo. Así que el personalista requiere el supuesto dinámico ser bayesiano. Es cierto que en coherencia un personalista podría abandonar el modelo bayesiano de aprender de la experiencia. La sal podría perder su sabor ".

De hecho, existen reglas de actualización no bayesianas que también evitan los libros holandeses (como se discute en la literatura sobre " cinemática de probabilidad " [22] después de la publicación de la regla de Richard C. Jeffreys , que a su vez se considera bayesiana [23] ). . Las hipótesis adicionales suficientes para especificar (de forma única) la actualización bayesiana son sustanciales [24] y no se consideran universalmente satisfactorias. [25]

Enfoque de la teoría de la decisión [ editar ]

Una decisión de la teoría de la justificación del uso de Bayesian inferencia (y por tanto de las probabilidades Bayesianas) fue dada por Abraham Wald , que demostró que cada admisible procedimiento estadístico es o bien un procedimiento bayesiano o un límite de los procedimientos bayesianos. [26] Por el contrario, todos los procedimientos bayesianos son admisibles . [27]

Probabilidades personales y métodos objetivos para construir a priori [ editar ]

Siguiendo el trabajo sobre la teoría de la utilidad esperada de Ramsey y von Neumann , los teóricos de la decisión han explicado el comportamiento racional utilizando una distribución de probabilidad para el agente . Johann Pfanzagl completó la Teoría de los juegos y el comportamiento económico proporcionando una axiomatización de la probabilidad subjetiva y la utilidad, una tarea que von Neumann y Oskar Morgenstern dejaron sin completar : su teoría original suponía que todos los agentes tenían la misma distribución de probabilidad, por conveniencia. [28]La axiomatización de Pfanzagl fue respaldada por Oskar Morgenstern: "Von Neumann y yo hemos anticipado ... [la cuestión de si las probabilidades] podrían, quizás más típicamente, ser subjetivas y hemos establecido específicamente que en el último caso se podrían encontrar axiomas a partir de los cuales se podría derivar la utilidad numérica deseada junto con un número para las probabilidades (cf. p. 19 de La Teoría de los Juegos y del Comportamiento Económico ). No lo llevamos a cabo, lo demostró Pfanzagl ... con todo el rigor necesario ". [29]

Ramsey y Savage señalaron que la distribución de probabilidad del agente individual podría estudiarse objetivamente en experimentos. Los procedimientos para probar hipótesis sobre probabilidades (usando muestras finitas) se deben a Ramsey (1931) y de Finetti (1931, 1937, 1964, 1970). Tanto Bruno de Finetti [30] [31] como Frank P. Ramsey [31] [32] reconocen sus deudas con la filosofía pragmática , en particular (para Ramsey) con Charles S. Peirce . [31] [32]

La "prueba de Ramsey" para evaluar distribuciones de probabilidad se puede implementar en teoría y ha mantenido ocupados a los psicólogos experimentales durante medio siglo. [33] Este trabajo demuestra que las proposiciones de probabilidad bayesiana pueden ser falsificadas y, por lo tanto, cumplen con un criterio empírico de Charles S. Peirce , cuyo trabajo inspiró a Ramsey. (Este criterio de falsabilidad fue popularizado por Karl Popper . [34] [35] )

El trabajo moderno sobre la evaluación experimental de probabilidades personales utiliza los procedimientos de aleatorización, cegamiento y decisión booleana del experimento de Peirce-Jastrow. [36] Dado que los individuos actúan de acuerdo con diferentes juicios de probabilidad, las probabilidades de estos agentes son "personales" (pero susceptibles de estudio objetivo).

Las probabilidades personales son problemáticas para la ciencia y para algunas aplicaciones en las que los responsables de la toma de decisiones carecen del conocimiento o del tiempo para especificar una distribución de probabilidad informada (sobre la que están preparados para actuar). Para satisfacer las necesidades de la ciencia y de las limitaciones humanas, los estadísticos bayesianos han desarrollado métodos "objetivos" para especificar probabilidades previas.

De hecho, algunos bayesianos han argumentado que el estado de conocimiento previo define la distribución de probabilidad previa (única) para problemas estadísticos "regulares"; cf. problemas bien planteados . Encontrar el método correcto para construir tales antecedentes "objetivos" (para clases apropiadas de problemas regulares) ha sido la búsqueda de teóricos estadísticos desde Laplace hasta John Maynard Keynes , Harold Jeffreys y Edwin Thompson Jaynes . Estos teóricos y sus sucesores han sugerido varios métodos para construir priores "objetivos" (Desafortunadamente, no está claro cómo evaluar la "objetividad" relativa de los priores propuestos bajo estos métodos):

  • Entropía máxima
  • Análisis de grupos de transformación
  • Análisis de referencia

Cada uno de estos métodos aporta antecedentes útiles para problemas de un parámetro "regulares", y cada uno de ellos puede manejar algunos modelos estadísticos desafiantes (con "irregularidad" o varios parámetros). Cada uno de estos métodos ha sido útil en la práctica bayesiana. De hecho, los métodos para construir antecedentes "objetivos" (alternativamente, "por defecto" o "ignorancia") han sido desarrollados por bayesianos subjetivos (o "personales") reconocidos como James Berger ( Duke University ) y José-Miguel Bernardo ( Universitat de València ). , simplemente porque tales antecedentes son necesarios para la práctica bayesiana, particularmente en la ciencia. [37]La búsqueda del "método universal para construir a priori" sigue atrayendo a los teóricos estadísticos. [37]

Por lo tanto, el estadístico bayesiano necesita utilizar a priori informados (utilizando la experiencia relevante o datos previos) o elegir entre los métodos en competencia para construir a priori "objetivos".

Ver también [ editar ]

  • Paradoja de Bertrand: una paradoja en la probabilidad clásica
  • El juego de De Finetti: un procedimiento para evaluar la probabilidad subjetiva de alguien
  • QBism: una interpretación de la mecánica cuántica basada en la probabilidad subjetiva bayesiana
  • Problema de clase de referencia
  • Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las posibilidades
  • Problema de Monty Hall
  • Epistemología bayesiana

Referencias [ editar ]

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