En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de Bernoulli , llamada así por el matemático suizo Jacob Bernoulli , [1] es la distribución de probabilidad discreta de una variable aleatoria que toma el valor 1 con probabilidad. y el valor 0 con probabilidad . De manera menos formal, se puede considerar como un modelo para el conjunto de posibles resultados de cualquier experimento individual que haga una pregunta de sí o no . Tales preguntas conducen a resultados que tienen un valor booleano : un solo bit cuyo valor es éxito / sí / verdadero / uno con probabilidad p y falla / no / falso / cero con probabilidad q . Se puede usar para representar un lanzamiento de moneda (posiblemente sesgado) donde 1 y 0 representarían "cara" y "cruz" (o viceversa), respectivamente, y psería la probabilidad de que la moneda caiga en cara o cruz, respectivamente. En particular, las monedas injustas habrían
Función de probabilidad Tres ejemplos de distribución de Bernoulli: y y y | |||
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Información de Fisher |
La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial donde se realiza un único ensayo (por lo que n sería 1 para tal distribución binomial). También es un caso especial de la distribución de dos puntos , para el cual los posibles resultados no necesitan ser 0 y 1.
Propiedades
Si es una variable aleatoria con esta distribución, entonces:
La función de masa de probabilidad de esta distribución, sobre los posibles resultados k , es
Esto también se puede expresar como
o como
La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con[3]
La curtosis llega al infinito para valores altos y bajos de pero para las distribuciones de dos puntos, incluida la distribución de Bernoulli, tienen un exceso de curtosis menor que cualquier otra distribución de probabilidad, a saber, -2.
Las distribuciones de Bernoulli para forman una familia exponencial .
El estimador de máxima verosimilitud debasado en una muestra aleatoria es la media muestral .
Significar
El valor esperado de una variable aleatoria de Bernoulli es
Esto se debe al hecho de que para una variable aleatoria distribuida de Bernoulli con y encontramos
Diferencia
La varianza de un Bernoulli distribuido es
Primero encontramos
De esto se sigue
Con este resultado es fácil demostrar que, para cualquier distribución de Bernoulli, su varianza tendrá un valor dentro .
Oblicuidad
La asimetría es. Cuando tomamos la variable aleatoria distribuida de Bernoulli estandarizada encontramos que esta variable aleatoria alcanza con probabilidad y alcanza con probabilidad . Así obtenemos
Momentos superiores y acumulados
Los momentos crudos son todos iguales debido al hecho de que y .
El momento central del orden es dado por
Los primeros seis momentos centrales son
Los momentos centrales superiores se pueden expresar de forma más compacta en términos de y
Los primeros seis acumulados son
Distribuciones relacionadas
- Si son variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas ( iid ), todos los ensayos de Bernoulli con probabilidad de éxito p , luego su suma se distribuye de acuerdo con una distribución binomial con parámetros n y p :
- ( distribución binomial ). [2]
- La distribución de Bernoulli es simplemente , también escrito como
- La distribución categórica es la generalización de la distribución de Bernoulli para variables con cualquier número constante de valores discretos.
- La distribución Beta es el conjugado previo a la distribución de Bernoulli.
- La distribución geométrica modela el número de ensayos de Bernoulli independientes e idénticos necesarios para obtener un éxito.
- Si , luego tiene una distribución de Rademacher .
Ver también
- Proceso de Bernoulli , un proceso aleatorio que consta de una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes
- Muestreo de Bernoulli
- Función de entropía binaria
- Diagrama de decisión binaria
Referencias
- ^ James Victor Uspensky: Introducción a la probabilidad matemática , McGraw-Hill, Nueva York 1937, página 45
- ↑ a b c d Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introducción a la probabilidad . Tsitsiklis, John N. , Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass .: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829 .
- ^ McCullagh, Peter ; Nelder, John (1989). Modelos lineales generalizados, segunda edición . Boca Raton: Chapman y Hall / CRC. Sección 4.2.2. ISBN 0-412-31760-5.
Otras lecturas
- Johnson, NL; Kotz, S .; Kemp, A. (1993). Distribuciones discretas univariadas (2ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-54897-9.
- Peatman, John G. (1963). Introducción a la estadística aplicada . Nueva York: Harper & Row. págs. 162-171.
enlaces externos
- "Distribución binomial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Distribución de Bernoulli" . MathWorld .
- Gráfico interactivo: relaciones de distribución univariadas