En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Bernstein es un polinomio que es una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein . La idea lleva el nombre de Sergei Natanovich Bernstein .
Una forma numéricamente estable de evaluar polinomios en forma de Bernstein es el algoritmo de Casteljau .
Los polinomios en forma de Bernstein fueron utilizados por primera vez por Bernstein en una demostración constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass . Con el advenimiento de los gráficos por computadora, los polinomios de Bernstein, restringidos al intervalo [0, 1], cobraron importancia en forma de curvas de Bézier .
Definición
Los polinomios de base de Bernstein n +1 de grado n se definen como
dónde es un coeficiente binomial . Así por ejemplo,
Los primeros polinomios de base de Bernstein para mezclar 1, 2, 3 o 4 valores juntos son:
Los polinomios de base de Bernstein de grado n forman una base para el espacio vectorial de polinomios de grado como máximo n con coeficientes reales. Una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein
se llama polinomio de Bernstein o polinomio en forma de Bernstein de grado n . [1] Los coeficientesse denominan coeficientes de Bernstein o coeficientes de Bézier .
Los primeros polinomios de base de Bernstein de arriba en forma monomial son:
Propiedades
Los polinomios de base de Bernstein tienen las siguientes propiedades:
- , Si o
- por
- y dónde es la función delta de Kronecker :
- tiene una raíz con multiplicidad en el punto (nota: si , no hay raíz en 0).
- tiene una raíz con multiplicidad en el punto (nota: si , no hay raíz en 1).
- La derivada se puede escribir como una combinación de dos polinomios de menor grado:
- La transformación del polinomio de Bernstein en monomios es
- y por la transformación binomial inversa , la transformación inversa es [2]
- La integral indefinida está dada por
- La integral definida es constante para un n dado :
- Si , luego tiene un máximo local único en el intervalo a . Este máximo toma el valor
- Los polinomios de base de Bernstein de grado formar una partición de unidad :
- Tomando la primera -derivado de , tratando como constante, luego sustituyendo el valor , se puede demostrar que
- Del mismo modo, el segundo -derivado de , con de nuevo y luego sustituido , muestra que
- Un polinomio de Bernstein siempre se puede escribir como una combinación lineal de polinomios de mayor grado:
- La expansión de los polinomios de Chebyshev del primer tipo en la base de Bernstein es [3]
Aproximación de funciones continuas
Sea f una función continua en el intervalo [0, 1]. Considere el polinomio de Bernstein
Se puede demostrar que
uniformemente en el intervalo [0, 1]. [4] [1] [5] [6]
Por tanto, los polinomios de Bernstein proporcionan una forma de demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass de que toda función continua de valor real en un intervalo real [ a , b ] puede aproximarse uniformemente mediante funciones polinomiales sobre . [7]
Un enunciado más general para una función con k- ésima derivada continua es
donde además
es un valor propio de B n ; la función propia correspondiente es un polinomio de grado k .
Prueba probabilística
Esta prueba sigue la prueba original de Bernstein de 1912. [8] Ver también Feller (1966) o Koralov & Sinai (2007). [9] [10]
Suponga que K es una variable aleatoria distribuida como el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad x de éxito en cada ensayo; en otras palabras, K tiene una distribución binomial con parámetros n y x . Entonces tenemos el valor esperado y
Por la ley débil de un gran número de teoría de la probabilidad ,
para todo δ > 0. Además, esta relación se mantiene uniformemente en x , lo que puede verse en su demostración a través de la desigualdad de Chebyshev , teniendo en cuenta que la varianza de 1 ⁄ n K , igual a 1 ⁄ n x (1− x ), está acotado desde arriba por 1 ⁄ (4 n ) independientemente de x .
Dado que f , al ser continuo en un intervalo acotado cerrado, debe ser uniformemente continuo en ese intervalo, se infiere un enunciado de la forma
uniformemente en x . Teniendo en cuenta que ƒ está acotada (en el intervalo dado) se obtiene la expectativa
uniformemente en x . Con este fin, se divide la suma de la expectativa en dos partes. Por una parte, la diferencia no excede de ε ; esta parte no puede contribuir más que ε . Por otra parte, la diferencia excede ε , pero no excede 2 M , donde M es un límite superior para | ƒ (x) |; esta parte no puede contribuir más de 2 M veces la pequeña probabilidad de que la diferencia exceda ε .
Finalmente, se observa que el valor absoluto de la diferencia entre expectativas nunca excede la expectativa del valor absoluto de la diferencia, y
Prueba elemental
La prueba probabilística también se puede reformular de una manera elemental, utilizando las ideas probabilísticas subyacentes pero procediendo mediante verificación directa: [11] [12] [13] [14] [15]
Se pueden verificar las siguientes identidades:
(1)
- ("probabilidad")
(2)
- ("significar")
(3)
- ("diferencia")
De hecho, según el teorema del binomio
y esta ecuación se puede aplicar dos veces a . Las identidades (1), (2) y (3) siguen fácilmente usando la sustitución.
Dentro de estas tres identidades, use la notación polinomial de base anterior
y deja
Así, por identidad (1)
así que eso
Dado que f es uniformemente continua, dado, hay un tal que cuando sea . Además, por continuidad,. Pero entonces
La primera suma es menor que ε. Por otro lado, por la identidad (3) anterior, y desde, la segunda suma está limitada por 2 M veces
De ello se deduce que los polinomios f n tienden a f uniformemente.
Generalizaciones a una dimensión superior
Los polinomios de Bernstein se pueden generalizar a k dimensiones. Los polinomios resultantes tienen la forma P i 1 ( x 1 ) P i 2 ( x 2 ) ... P i k ( x k ) . [16] En el caso más simple, solo se consideran los productos del intervalo unitario [0,1] ; pero, usando transformaciones afines de la línea, los polinomios de Bernstein también se pueden definir para los productos [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × ... × [ a k , b k ] . Para una función continua f sobre el producto k- veces del intervalo unitario, la prueba de que f ( x 1 , x 2 , ..., x k ) se puede aproximar uniformemente por
es una sencilla extensión de la demostración de Bernstein en una dimensión. [17]
Ver también
- Interpolación polinomial
- Forma de Newton
- Forma de Lagrange
- QMF binomial (también conocido como wavelet de Daubechies )
Notas
- ^ a b Lorentz 1953
- ↑ Mathar, RJ (2018). "Función de base ortogonal sobre el círculo unitario con la propiedad minimax". Apéndice B. arXiv : 1802.09518 .
- ^ Rababah, Abedallah (2003). "Transformación de la base del polinomio de Chebyshev-Bernstein". Comp. Meth. Apl. Matemáticas . 3 (4): 608–622. doi : 10.2478 / cmam-2003-0038 .
- ^ Natanson (1964) p. 6
- ^ Feller 1966
- ^ Beals 2004
- ^ Natanson (1964) p. 3
- ↑ Bernstein, 1912
- ^ Koralov, L .; Sinaí, Y. (2007). " " Prueba probabilística del teorema de Weierstrass " ". Teoría de la probabilidad y procesos aleatorios (2ª ed.). Saltador. pag. 29.
- ^ Feller 1966
- ^ Lorentz 1953 , págs. 5-6
- ^ Beals 2004
- ↑ Goldberg, 1964
- ↑ Akhiezer, 1956
- ^ Burkill 1959
- ^ Lorentz 1953
- ^ Hildebrandt, TH ; Schoenberg, IJ (1933), "Sobre operaciones funcionales lineales y el problema de momento para un intervalo finito en una o varias dimensiones" , Annals of Mathematics , 34 : 327
Referencias
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- Lorentz, GG (1953), Polinomios de Bernstein , University of Toronto Press
- Akhiezer, NI (1956), Teoría de la aproximación (en ruso), traducido por Charles J. Hyman, Frederick Ungar, págs. 30–31, Edición rusa publicada por primera vez en 1940
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- Korovkin, PP (2001) [1994], "Polinomios de Bernstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Natanson, IP (1964). Teoría de la función constructiva. Volumen I: Aproximación uniforme . Traducido por Alexis N. Obolensky. Nueva York: Frederick Ungar. Señor 0196340 . Zbl 0133.31101 .
- Feller, William (1966), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, Vol. II , John Wiley & Sons, págs. 149-150, 218-222
- Beals, Richard (2004), Análisis. Una introducción , Cambridge University Press , págs. 95–98, ISBN 0521600472
enlaces externos
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- Weisstein, Eric W. "Polinomio de Bernstein" . MathWorld .
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