Transferencia bielíptica

Una transferencia bielíptica desde una órbita inicial circular baja (azul) a una órbita circular más alta (rojo). Un aumento en 1 hace que la nave siga la media elipse verde. Otro impulso en 2 lo lleva a la media elipse naranja. Un impulso negativo en 3 hace que siga la órbita roja.

En astronáutica e ingeniería aeroespacial , la transferencia bielíptica es una maniobra orbital que mueve una nave espacial de una órbita a otra y puede, en ciertas situaciones, requerir menos delta-v que una maniobra de transferencia de Hohmann .

Parte de una serie sobre
Astrodinámica
Mecánica orbital
Elementos orbitales Ápside Argumento de periapsis Excentricidad Inclinación Anomalía media Ganglios orbitarios Semieje mayor Verdadera anomalía
Tipos de órbitas de dos cuerpos , por excentricidad Órbita circular Órbita elíptica Transferencia de órbita ( Órbita de transferencia de Hohmann Órbita de transferencia bielíptica ) Órbita parabólica Órbita hiperbólica Órbita radial Órbita decadente
Ecuaciones Fricción dinámica Velocidad de escape Ecuación de Kepler Leyes de Kepler del movimiento planetario Periodo orbital Velocidad orbital Gravedad superficial Energía orbital específica Ecuación vis-viva
Mecánica celeste
Influencias gravitacionales Baricentro Esfera de colina Perturbaciones Esfera de influencia
Órbitas de N cuerpos Puntos lagrangianos ( Órbitas de halo ) Órbitas de Lissajous Órbitas de Lyapunov
Ingeniería y eficiencia
Ingeniería previa al vuelo Relación de masa Fracción de carga útil Fracción de masa de propulsor Ecuación del cohete Tsiolkovsky
Medidas de eficiencia Asistencia de gravedad Efecto Oberth
v t mi

La transferencia bielíptica consta de dos órbitas semielípticas . Desde la órbita inicial, una primera combustión gasta delta-v para impulsar la nave espacial a la primera órbita de transferencia con una apoapsis en algún punto alejado del cuerpo central . En este punto, una segunda combustión envía la nave espacial a la segunda órbita elíptica con periapsis en el radio de la órbita final deseada, donde se realiza una tercera combustión, inyectando la nave espacial en la órbita deseada. ^[1]${\displaystyle r_{b}}$

Si bien requieren una combustión de motor más que una transferencia de Hohmann y generalmente requieren un mayor tiempo de viaje, algunas transferencias bielípticas requieren una cantidad menor de delta-v total que una transferencia de Hohmann cuando la relación entre el eje semi-mayor final e inicial es 11.94 o mayor, dependiendo del eje semi-mayor intermedio elegido. ^[2]

La idea de la trayectoria de transferencia bi-elíptica fue publicada por primera vez ^{[ cita requerida ]} por Ary Sternfeld en 1934. ^[3]

Cálculo

Delta-v

Los tres cambios requeridos en la velocidad se pueden obtener directamente de la ecuación vis-viva

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$

dónde

• ${\displaystyle v}$ es la velocidad de un cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle \mu =GM}$es el parámetro gravitacional estándar del cuerpo primario,
• ${\displaystyle r}$ es la distancia del cuerpo en órbita al primario, es decir, el radio,
• ${\displaystyle a}$es el semi-eje mayor de la órbita del cuerpo.

En lo que sigue,

• ${\displaystyle r_{1}}$ es el radio de la órbita circular inicial,
• ${\displaystyle r_{2}}$ es el radio de la órbita circular final,
• ${\displaystyle r_{b}}$ es el radio de apoapsis común de las dos elipses de transferencia y es un parámetro libre de la maniobra,
• ${\displaystyle a_{1}}$y son los semiejes mayores de las dos órbitas de transferencia elípticas, que están dadas por${\displaystyle a_{2}}$

  ${\displaystyle a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}}}$,

  ${\displaystyle a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}}$.

A partir de la órbita circular inicial con radio (círculo azul oscuro en la figura de la derecha), una quemadura prograda (marca 1 en la figura) coloca a la nave espacial en la primera órbita de transferencia elíptica (media elipse aguamarina). La magnitud del delta-v requerido para esta quemadura es${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.}$

Cuando la apoapsis de la primera elipse de transferencia se alcanza a una distancia de la primaria, una segunda quemadura prograda (marca 2) eleva la periapsis para que coincida con el radio de la órbita circular objetivo, colocando la nave espacial en una segunda trayectoria elíptica (mitad naranja elipse). La magnitud del delta-v requerido para la segunda quema es${\displaystyle r_{b}}$

${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.}$

Por último, cuando se alcanza la órbita circular final con radio , una quemadura retrógrada (marca 3) circulariza la trayectoria hacia la órbita final del objetivo (círculo rojo). La quemadura retrógrada final requiere un delta-v de magnitud${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.}$

Si , entonces la maniobra se reduce a una transferencia de Hohmann (en ese caso se puede verificar que sea cero). Así, la transferencia bielíptica constituye una clase más general de transferencias orbitales, de las cuales la transferencia de Hohmann es un caso especial de dos impulsos.${\displaystyle r_{b}=r_{2}}$${\displaystyle \Delta v_{3}}$

Una transferencia bi-parabólica desde una órbita inicial circular baja (azul oscuro) a una órbita circular más alta (rojo)

Los ahorros máximos posibles se pueden calcular asumiendo que , en cuyo caso el total se simplifica a . En este caso, también se habla de una transferencia bi-parabólica porque las dos trayectorias de transferencia ya no son elipses sino parábolas . El tiempo de transferencia también aumenta hasta el infinito.${\displaystyle r_{b}=\infty }$${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)}$

Tiempo de transferencia

Al igual que la transferencia de Hohmann, ambas órbitas de transferencia utilizadas en la transferencia bielíptica constituyen exactamente la mitad de una órbita elíptica. Esto significa que el tiempo necesario para ejecutar cada fase de la transferencia es la mitad del período orbital de cada elipse de transferencia.

Usando la ecuación para el período orbital y la notación de arriba,

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

El tiempo total de transferencia es la suma de los tiempos necesarios para cada media órbita. Por lo tanto:${\displaystyle t}$

${\displaystyle t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}\quad {\text{and}}\quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$

y finalmente:

${\displaystyle t=t_{1}+t_{2}.}$

Comparación con la transferencia de Hohmann

Delta-v

Delta-v requerido para Hohmann (curva negra gruesa) y transferencias bielípticas (curvas coloreadas) entre dos órbitas circulares en función de la relación de sus radios

La figura muestra el total requerido para transferir de una órbita circular de radio a otra órbita circular de radio . El se muestra normalizado a la velocidad orbital en la órbita inicial , y se traza como una función de la relación de los radios de las órbitas final e inicial ,; esto se hace para que la comparación sea general (es decir, no dependa de los valores específicos de y , solo de su relación). ^[2]${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

La curva negra gruesa indica el para la transferencia de Hohmann, mientras que las curvas de color más delgadas corresponden a transferencias bielípticas con valores variables del parámetro , definido como el radio de apoapsis de la órbita auxiliar elíptica normalizado al radio de la órbita inicial, e indicado junto a las curvas. El recuadro muestra un primer plano de la región donde las curvas bielípticas cruzan la curva de Hohmann por primera vez.${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$${\displaystyle r_{b}}$

Se ve que la transferencia de Hohmann es siempre más eficiente si la relación de radios es menor que 11,94. Por otro lado, si el radio de la órbita final es más de 15,58 veces mayor que el radio de la órbita inicial, entonces cualquier transferencia bielíptica, independientemente de su radio de apoapsis (siempre que sea mayor que el radio de la órbita final órbita), requiere menos de una transferencia de Hohmann. Entre las proporciones de 11,94 y 15,58, qué transferencia es mejor depende de la distancia de apoapsis . Para cualquier dato en este rango, hay un valor por encima del cual la transferencia bielíptica es superior y por debajo del cual la transferencia de Hohmann es mejor. La siguiente tabla enumera el valor de que da como resultado que la transferencia bielíptica sea mejor para algunos casos seleccionados.${\displaystyle R}$${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle r_{b}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r_{b}}$${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$^[4]

Mínimo, de modo que una transferencia bielíptica necesita menos ^[5]${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$${\displaystyle \Delta v}$

Relación de radios, ${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$	Mínimo ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {r_{b}}{r_{1}}}}$	Comentarios
<11,94	N / A	La transferencia de Hohmann siempre es mejor
11,94	${\displaystyle \infty }$	Transferencia bi-parabólica
12	815,81
13	48,90
14	26.10
15	18.19
15.58	15.58
> 15,58	${\displaystyle >{\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$	Cualquier transferencia bielíptica es mejor

Tiempo de transferencia

El largo tiempo de transferencia de la transferencia bielíptica,

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$

es un gran inconveniente para esta maniobra. Incluso se vuelve infinito para el caso límite de transferencia biparabólica.

La transferencia de Hohmann toma menos de la mitad del tiempo porque solo hay una media elipse de transferencia, para ser precisos,

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Versatilidad en maniobras combinadas

Si bien una transferencia bielíptica tiene una pequeña ventana de parámetros en la que es estrictamente superior a una transferencia Hohmann en términos de delta V para una transferencia plana entre órbitas circulares, el ahorro es bastante pequeño y una transferencia bielíptica es una ayuda mucho mayor cuando utilizado en combinación con algunas otras maniobras.

En apoapsis, la nave espacial viaja a baja velocidad orbital y se pueden lograr cambios significativos en la periapsis por un pequeño costo delta V. Las transferencias que se asemejan a un bielíptico pero que incorporan una maniobra de cambio de plano en apoapsis pueden salvar drásticamente delta-V en misiones donde el avión necesita ser ajustado, así como la altitud, en lugar de hacer que el avión cambie en órbita circular baja encima de una transferencia de Hohmann.

Del mismo modo, dejar caer periapsis hasta la atmósfera de un cuerpo planetario para aerobreaking no es costoso en velocidad en apoapsis, pero permite el uso de arrastre "libre" para ayudar en la quema de circularización final para soltar apoapsis; Aunque agrega una etapa de misión adicional de recuperación de la periapsis de la atmósfera, bajo algunos parámetros esto puede costar significativamente menos delta V que simplemente dejar caer la periapsis en una quemadura desde la órbita circular.

Ejemplo

Para transferir desde una órbita terrestre baja circular con r ₀ = 6700 km a una nueva órbita circular con r ₁ = 93800 km utilizando una órbita de transferencia de Hohmann se requiere un Δ v de 2825.02 + 1308.70 = 4133.72 m / s . Sin embargo, debido a que r ₁ = 14 r ₀ > 11,94 r ₀ , es posible hacerlo mejor con una transferencia bielíptica. Si la nave espacial aceleró primero 3061.04 m / s, logrando así una órbita elíptica con apogeo en r ₂ = 40 r ₀ = 268 000 km, luego en el apogeo aceleró otros 608.825 m / s a ​​una nueva órbita con perigeo en r ₁ = 93800 km , y finalmente en el perigeo de esta segunda órbita de transferencia se desaceleró 447.662 m / s, ingresando a la órbita circular final, luego el total Δv sería solo 4117.53 m / s, que es 16.19 m / s (0.4%) menos.

El Δ v ahorro podría mejorarse aún más al aumentar el apogeo intermedia, a expensas del tiempo de transferencia más tiempo. Por ejemplo, un apogeo de 75,8 r ₀ = 507 688 km (1,3 veces la distancia a la Luna) daría como resultado un ahorro de Δ v del 1% sobre una transferencia de Hohmann, pero requeriría un tiempo de tránsito de 17 días. Como ejemplo extremo poco práctico, un apogeo de 1757 r ₀ = 11770 000 km (30 veces la distancia a la Luna) resultaría en un 2% Δ vahorrando sobre una transferencia de Hohmann, pero la transferencia requeriría 4.5 años (y, en la práctica, se vería perturbada por los efectos gravitacionales de otros cuerpos del sistema solar). A modo de comparación, la transferencia de Hohmann requiere 15 horas y 34 minutos.

Δ v para varias transferencias orbitales

Tipo		Hohmann	Bi-elíptica
Apogeo (km)		93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
Quemar (m / s)	1	2825.02	3061.04	3123.62	3191,79	3194,89
	2	1308.70	608.825	351.836	16.9336	0
	3	0	447.662	616.926	842.322	853.870
Total (m / s)		4133.72	4117.53	4092.38	4051.04	4048.76
De Hohmann		100%	99,6%	99,0%	98,0%	97,94%

• Δ v progrado aplicado
• Δ v aplicado retrógrado

Evidentemente, la órbita bielíptica gasta más de su delta-v al principio (en la primera quema). Esto produce una mayor contribución a la energía orbital específica y, debido al efecto Oberth , es responsable de la reducción neta del delta-v requerido.

Ver también

• Presupuesto delta-v
• Efecto Oberth

Referencias

1. Curtis, Howard (2005). Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería . Elsevier . pag. 264. ISBN 0-7506-6169-0.
2. Vallado, David Anthony (2001). Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones . Saltador. pag. 318. ISBN 0-7923-6903-3.
3. Sternfeld, Ary J. [ sic ] (12/02/1934), "Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée" [Sobre las trayectorias permitidas para acercarse a un atractivo central cuerpo de una órbita kepleriana dada], Comptes rendus de l'Académie des sciences (en francés), París, 198 (1): 711–713.
4. Gobetz, FW; Doll, JR (mayo de 1969). "Un estudio de trayectorias impulsivas". Revista AIAA . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica . 7 (5): 801–834. Código bibliográfico : 1969AIAAJ ... 7..801D . doi : 10,2514 / 3,5231 .
5. Escobal, Pedro R. (1968). Métodos de astrodinámica . Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-24528-5.