Moneda justa

Una moneda justa, cuando se lanza, debe tener la misma probabilidad de caer en ambos lados.

En teoría de probabilidad y estadística , una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito de 1/2 en cada ensayo se denomina metafóricamente una moneda justa . Una para la que la probabilidad no es 1/2 se llama moneda sesgada o injusta . En los estudios teóricos, la suposición de que una moneda es justa se hace a menudo refiriéndose a una moneda ideal .

John Edmund Kerrich realizó experimentos de lanzamiento de monedas y descubrió que una moneda hecha de un disco de madera del tamaño de una corona y recubierta en un lado con cabezas de plomo (lado de madera hacia arriba) 679 veces de 1000. ^[1] En este experimento la moneda se lanzaba manteniéndola en equilibrio sobre el dedo índice, volteándola con el pulgar para que girara en el aire alrededor de un pie antes de aterrizar sobre un paño plano extendido sobre una mesa. Edwin Thompson Jaynes afirmó que cuando una moneda es atrapada en la mano, en lugar de permitir que rebote, el sesgo físico de la moneda es insignificante en comparación con el método del lanzamiento, donde con suficiente práctica se puede hacer que una moneda caiga cara 100 % del tiempo.^[2] Explorar el problema de comprobar si una moneda es justa es una herramienta pedagógica bien establecidaen la enseñanza de la estadística .

Papel en la enseñanza y la teoría estadísticas

Las propiedades probabilísticas y estadísticas de los juegos de lanzamiento de monedas se utilizan a menudo como ejemplos tanto en libros de texto introductorios como avanzados y se basan principalmente en suponer que una moneda es justa o "ideal". Por ejemplo, Feller usa esta base para introducir tanto la idea de caminatas aleatorias como para desarrollar pruebas de homogeneidad dentro de una secuencia de observaciones al observar las propiedades de las corridas de valores idénticos dentro de una secuencia. ^[3] Este último da lugar a una prueba de ejecución . Una serie de tiempo que consiste en el resultado de lanzar una moneda justa se llama proceso de Bernoulli .

Resultados justos de una moneda sesgada

Si un tramposo ha alterado una moneda para preferir un lado sobre otro (una moneda sesgada), la moneda aún se puede usar para obtener resultados justos cambiando ligeramente el juego. John von Neumann dio el siguiente procedimiento: ^[4]

1. Lanza la moneda dos veces.
2. Si los resultados coinciden, comience de nuevo, olvidando ambos resultados.
3. Si los resultados difieren, use el primer resultado, olvidándose del segundo.

La razón por la que este proceso produce un resultado justo es que la probabilidad de obtener cara y luego cruz debe ser la misma que la probabilidad de obtener cruz y luego cara, ya que la moneda no cambia su sesgo entre lanzamientos y los dos lanzamientos son independientes. Esto solo funciona si obtener un resultado en una prueba no cambia el sesgo en las pruebas posteriores, que es el caso de la mayoría de las monedas no maleables (pero no de procesos como la urna Pólya ). Al excluir los eventos de dos caras y dos cruces repitiendo el procedimiento, el lanzador de la moneda se queda con los dos únicos resultados restantes que tienen una probabilidad equivalente. Este procedimiento solofunciona si los lanzamientos se emparejan correctamente; si parte de un par se reutiliza en otro par, la equidad puede arruinarse. Además, la moneda no debe estar tan sesgada que un lado tenga una probabilidad de cero .

Este método puede ampliarse considerando también secuencias de cuatro lanzamientos. Es decir, si la moneda se lanza dos veces pero los resultados coinciden, y la moneda se vuelve a lanzar dos veces pero los resultados coinciden ahora en el lado opuesto, entonces se puede usar el primer resultado. Esto se debe a que HHTT y TTHH son igualmente probables. Esto se puede extender a cualquier potencia de 2.

Ver también

• Comprobando si una moneda es justa
• Lanzamiento de monedas
• Constantes de lanzamiento de monedas de Feller

Referencias

1. Kerrich, John Edmund (1946). Una introducción experimental a la teoría de la probabilidad . E. Munksgaard.
2. Jaynes, ET (2003). Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 318. ISBN 9780521592710. Archivado desde el original el 5 de febrero de 2002. Cualquiera que esté familiarizado con la ley de conservación del momento angular puede, después de un poco de práctica, hacer trampa en el juego habitual de tirar una moneda y tomar la decisión con un 100% de precisión. Puede obtener cualquier frecuencia de cabezas que desee; ¡y el sesgo de la moneda no influye en absoluto en los resultados!
3. Feller, W (1968). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Wiley. ISBN 978-0-471-25708-0.
4. von Neumann, John (1951). "Varias técnicas utilizadas en relación con dígitos aleatorios". Serie de matemáticas aplicadas de la Oficina Nacional de Estándares . 12 : 36.

Otras lecturas

• Gelman, Andrew; Deborah Nolan (2002). "Rincón del maestro: se puede cargar un dado, pero no se puede sesgar una moneda". Estadístico estadounidense . 56 (4): 308–311. doi : 10.1198 / 000313002605 . Disponible en el sitio web de Andrew Gelman
• "El detractor de toda la vida se convierte en árbitro de las elecciones neutrales: el mago convertido en matemático descubre el sesgo con un tirón de moneda" . Informe de Stanford . 2004-06-07 . Consultado el 5 de marzo de 2008 .
• John von Neumann, "Varias técnicas utilizadas en relación con dígitos aleatorios", en AS Householder, GE Forsythe y HH Germond, eds., Método Monte Carlo , Serie de Matemáticas Aplicadas de la Oficina Nacional de Estándares, 12 (Washington, DC: Impresión del Gobierno de EE. UU. Office, 1951): 36-38.