Número binario

Número expresado mediante los símbolos 0 y 1

Sistemas de numeración
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Sistemas posicionales por base
2 3 4 5 6 8 10 12 dieciséis 20 60
Sistemas de numeración posicional no estándar
Numeración biyectiva ( 1 ) Representación de dígitos con signo ( ternario equilibrado ) mixto ( factorial ) negativo Sistema de base compleja ( 2 i ) Base de numeración no entera ( φ ) Sistemas de numeración asimétrica
Lista de sistemas de numeración
v t mi

En matemáticas y electrónica digital , un número binario es un número expresado en el sistema numérico de base 2 o sistema numérico binario , que usa solo dos símbolos: típicamente "0" ( cero ) y "1" ( uno ).

El sistema numérico de base 2 es una notación posicional con una base de 2. Cada dígito se denomina bit o dígito binario. Debido a su sencilla implementación en circuitos electrónicos digitales que utilizan puertas lógicas , el sistema binario es utilizado por casi todas las computadoras modernas y dispositivos basados ​​en computadora , como un sistema de uso preferido, sobre varias otras técnicas humanas de comunicación, debido a la simplicidad del sistema. idioma.

Historia

El sistema numérico binario moderno fue estudiado en Europa en los siglos XVI y XVII por Thomas Harriot , Juan Caramuel y Lobkowitz y Gottfried Leibniz . Sin embargo, los sistemas relacionados con los números binarios han aparecido antes en múltiples culturas, incluido el antiguo Egipto, China y la India. Leibniz se inspiró específicamente en el I Ching chino .

Egipto

Ver también: Matemáticas del Antiguo Egipto

Valores aritméticos que se cree que han sido representados por partes del Ojo de Horus.

Los escribas del antiguo Egipto usaban dos sistemas diferentes para sus fracciones, las fracciones egipcias (no relacionadas con el sistema numérico binario) y las fracciones del ojo de Horus (llamadas así porque muchos historiadores de las matemáticas creen que los símbolos usados ​​para este sistema podrían ordenarse para formar el ojo de Horus , aunque esto ha sido discutido). ^[1] Las fracciones de Horus-Eye son un sistema de numeración binario para cantidades fraccionarias de granos, líquidos u otras medidas, en el que una fracción de un hekat se expresa como una suma de las fracciones binarias 1/2, 1/4, 1 / 8, 1/16, 1/32 y 1/64. Las primeras formas de este sistema se pueden encontrar en documentos de la Quinta Dinastía de Egipto., aproximadamente 2400 aC, y su forma jeroglífica completamente desarrollada data de la XIX Dinastía de Egipto , aproximadamente 1200 aC. ^[2]

El método utilizado para la multiplicación del antiguo Egipto también está estrechamente relacionado con los números binarios. En este método, la multiplicación de un número por un segundo se realiza mediante una secuencia de pasos en los que un valor (inicialmente el primero de los dos números) se duplica o se vuelve a agregar el primer número; el orden en el que deben realizarse estos pasos viene dado por la representación binaria del segundo número. Este método se puede ver en uso, por ejemplo, en el Papiro matemático de Rhind , que data alrededor del 1650 a. C. ^[3]

China

Daoísta Bagua

El I Ching data del siglo IX a. C. en China. ^[4] La notación binaria en el I Ching se utiliza para interpretar su técnica de adivinación cuaternaria . ^[5]

Se basa en la dualidad taoísta del yin y el yang . ^[6] Ocho trigramas (Bagua) y un conjunto de 64 hexagramas ("sesenta y cuatro" gua) , análogos a los números binarios de tres y seis bits, estaban en uso al menos desde la dinastía Zhou de la antigua China. . ^[4]

El erudito de la dinastía Song Shao Yong (1011-1077) reorganizó los hexagramas en un formato que se asemeja a los números binarios modernos, aunque no tenía la intención de que su disposición se usara matemáticamente. ^[5] Ver el bit menos significativo en la parte superior de los hexagramas individuales en el cuadrado de Shao Yong y leer a lo largo de las filas desde la parte inferior derecha hasta la parte superior izquierda con líneas continuas como 0 y líneas discontinuas como 1 o de arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha con líneas continuas como 1 y las líneas discontinuas como 0 hexagramas se pueden interpretar como una secuencia de 0 a 63. ^[7]

India

El erudito indio Pingala (c. Siglo II a. C.) desarrolló un sistema binario para describir la prosodia . ^{[8] [9]} Usó números binarios en forma de sílabas cortas y largas (esta última de igual longitud a dos sílabas cortas), haciéndolo similar al código Morse . ^{[10] [11]} Se les conocía como sílabas laghu (ligero) y guru (pesado).

El clásico hindú de Pingala titulado Chandaḥśāstra (8.23) describe la formación de una matriz para dar un valor único a cada metro. "Chandaḥśāstra" se traduce literalmente como ciencia de metros en sánscrito. Las representaciones binarias en el sistema de Pingala aumentan hacia la derecha y no hacia la izquierda como en los números binarios de la notación posicional moderna . ^{[10] [12]} En el sistema de Pingala, los números comienzan desde el número uno y no desde el cero. Cuatro sílabas cortas "0000" es el primer patrón y corresponde al valor uno. El valor numérico se obtiene sumando uno a la suma de los valores posicionales . ^[13]

Otras culturas

Los residentes de la isla de Mangareva en la Polinesia Francesa usaban un sistema híbrido binario- decimal antes de 1450. ^[14] Los tambores de hendidura con tonos binarios se utilizan para codificar mensajes en África y Asia. ^{[6] Los} conjuntos de combinaciones binarias similares al I Ching también se han utilizado en los sistemas tradicionales de adivinación africanos como Ifá , así como en la geomancia occidental medieval .

Precursores occidentales de Leibniz

A finales del siglo XIII Ramon Llull tenía la ambición de dar cuenta de toda la sabiduría en todas las ramas del conocimiento humano de la época. Para ello desarrolló un método general o 'Ars generalis' basado en combinaciones binarias de una serie de principios básicos o categorías simples, por lo que ha sido considerado un antecesor de la ciencia de la computación y la inteligencia artificial. ^[15]

En 1605 Francis Bacon discutió un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, que luego podrían codificarse como variaciones apenas visibles en la fuente en cualquier texto aleatorio. ^[16] Es importante destacar que para la teoría general de la codificación binaria, agregó que este método podría usarse con cualquier objeto: "siempre que esos objetos sean capaces de una diferencia doble solamente; como por Bells, por Trompetas, por Luces y Antorchas, por el informe de mosquetes, y cualquier instrumento de naturaleza similar ". ^[16] (Ver el cifrado de Bacon ).

John Napier en 1617 describió un sistema que llamó aritmética de ubicación para hacer cálculos binarios usando una representación no posicional por letras. Thomas Harriot investigó varios sistemas de numeración posicional, incluido el binario, pero no publicó sus resultados; fueron encontrados más tarde entre sus papeles. ^[17] Posiblemente la primera publicación del sistema en Europa fue de Juan Caramuel y Lobkowitz , en 1700. ^[18]

Leibniz y el I Ching

Gottfried Leibniz

Leibniz estudió la numeración binaria en 1679; su trabajo aparece en su artículo Explication de l'Arithmétique Binaire (publicado en 1703). El título completo del artículo de Leibniz está traducido al inglés como "Explicación de la aritmética binaria, que utiliza solo los caracteres 1 y 0, con algunas observaciones sobre su utilidad y sobre la luz que arroja sobre las antiguas figuras chinas de Fu Xi " . ^[19] El sistema de Leibniz usa 0 y 1, como el sistema numérico binario moderno. Un ejemplo del sistema numérico binario de Leibniz es el siguiente: ^[19]

0 0 0 1 valor numérico 2 ⁰

0 0 1 0 valor numérico 2 ¹

0 1 0 0 valor numérico 2 ²

1 0 0 0 valor numérico 2 ³

Leibniz interpretó los hexagramas del I Ching como evidencia del cálculo binario. ^[20] Como sinófilo , Leibniz era consciente del I Ching, notó con fascinación cómo sus hexagramas corresponden a los números binarios del 0 al 111111, y concluyó que este mapeo era evidencia de los principales logros chinos en el tipo de matemáticas filosóficas que admiraba. . La relación era una idea central de su concepto universal de un lenguaje o characteristica universalis , una idea popular que sería seguida de cerca por sus sucesores como Gottlob Frege y George Boole en la formación de la lógica simbólica moderna . ^[21] Leibniz conoció por primera vez laI Ching a través de su contacto con el jesuita francés Joachim Bouvet , quien visitó China en 1685 como misionero. Leibniz vio loshexagramasdel I Ching como una afirmación de la universalidad de sus propias creencias religiosas como cristiano. ^[20] Los números binarios fueron fundamentales para la teología de Leibniz. Creía que los números binarios eran un símbolo de la idea cristiana de creatio ex nihilo o creación de la nada. ^[22]

[Un concepto que] no es fácil de impartir a los paganos, es la creación ex nihilo a través del poder omnipotente de Dios. Ahora se puede decir que nada en el mundo puede presentar y demostrar mejor este poder que el origen de los números, como se presenta aquí a través de la presentación simple y sin adornos de Uno y Cero o Nada.

-  Carta de Leibniz al duque de Brunswick adjunta con los hexagramas del I Ching ^[20]

Desarrollos posteriores

George Boole

En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo histórico que detallaba un sistema algebraico de lógica que se conocería como álgebra de Boole . Su cálculo lógico se convertiría en fundamental en el diseño de circuitos electrónicos digitales. ^[23]

En 1937, Claude Shannon produjo su tesis de maestría en el MIT que implementó el álgebra booleana y la aritmética binaria utilizando relés e interruptores electrónicos por primera vez en la historia. Titulada Un análisis simbólico de circuitos de conmutación y relés , la tesis de Shannon fundamentó esencialmente el diseño práctico de circuitos digitales . ^[24]

En noviembre de 1937, George Stibitz , que entonces trabajaba en Bell Labs , completó una computadora basada en relés que apodó el "Modelo K" (por " K itchen", donde lo había ensamblado), que calculó usando la suma binaria. ^[25] Bell Labs autorizó un programa de investigación completo a finales de 1938 con Stibitz a la cabeza. Su Computadora de Números Complejos, terminada el 8 de enero de 1940, pudo calcular números complejos . En una demostración en la conferencia de la American Mathematical Society en Dartmouth College el 11 de septiembre de 1940, Stibitz pudo enviar los comandos remotos de la Calculadora de números complejos a través de líneas telefónicas mediante un teletipo. Fue la primera máquina informática que se utilizó de forma remota a través de una línea telefónica. Algunos de los participantes de la conferencia que presenciaron la manifestación fueron John von Neumann , John Mauchly y Norbert Wiener , quien escribió al respecto en sus memorias. ^{[26] [27] [28]}

La computadora Z1 , que fue diseñada y construida por Konrad Zuse entre 1935 y 1938, usaba lógica booleana y números de coma flotante binaria . ^[29]

Representación

Cualquier número puede ser representado por una secuencia de bits (dígitos binarios), que a su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente excluyentes. Cualquiera de las siguientes filas de símbolos se puede interpretar como el valor numérico binario de 667:

1	0	1	0	0	1	1	0	1	1
|	-	|	-	-	|	|	-	|	|
☒	☐	☒	☐	☐	☒	☒	☐	☒	☒
y	norte	y	norte	norte	y	y	norte	y	y

Un reloj binario puede usar LED para expresar valores binarios. En este reloj, cada columna de LED muestra un número decimal codificado en binario del tiempo sexagesimal tradicional .

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En los primeros días de la informática, se usaban interruptores, orificios perforados y cintas de papel perforadas para representar valores binarios. ^[30] En una computadora moderna, los valores numéricos pueden estar representados por dos voltajes diferentes ; en un disco magnético , se pueden utilizar polaridades magnéticas . Un estado "positivo", " sí " o "activado" no es necesariamente equivalente al valor numérico de uno; depende de la arquitectura en uso.

De acuerdo con la representación habitual de números que usan números arábigos , los números binarios se escriben comúnmente usando los símbolos 0 y 1 . Cuando se escriben, los números binarios a menudo se subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base o raíz. Las siguientes notaciones son equivalentes:

• 100101 binario (declaración explícita de formato)
• 100101b (un sufijo que indica formato binario; también conocido como convención de Intel ^{[31] [32]} )
• 100101B (un sufijo que indica formato binario)
• bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
• 100101 ₂ (un subíndice que indica notación base 2 (binaria))
• % 100101 (un prefijo que indica formato binario; también conocido como convención de Motorola ^{[31] [32]} )
• 0b100101 (un prefijo que indica el formato binario, común en los lenguajes de programación)
• 6b100101 (un prefijo que indica el número de bits en formato binario, común en los lenguajes de programación)
• # b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en los lenguajes de programación Lisp)

Cuando se hablan, los números binarios generalmente se leen dígito por dígito para distinguirlos de los números decimales. Por ejemplo, el número binario 100 se pronuncia un cero cero , en lugar de cien , para hacer explícita su naturaleza binaria y para fines de corrección. Dado que el número binario 100 representa el valor cuatro, sería confuso referirse al número como cien (una palabra que representa un valor o cantidad completamente diferente). Alternativamente, el número binario 100 se puede leer como "cuatro" (el valor correcto ), pero esto no hace explícita su naturaleza binaria.

Contando en binario

Número decimal	Número binario
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111

Contar en binario es similar a contar en cualquier otro sistema numérico. Comenzando con un solo dígito, el conteo avanza a través de cada símbolo, en orden creciente. Antes de examinar el conteo binario, es útil discutir brevemente el sistema de conteo decimal más familiar como marco de referencia.

Conteo decimal

El conteo decimal usa los diez símbolos del 0 al 9 . El conteo comienza con la sustitución incremental del dígito menos significativo (dígito más a la derecha), que a menudo se denomina primer dígito . Cuando se agotan los símbolos disponibles para esta posición, el dígito menos significativo se restablece a 0 , y el siguiente dígito de mayor importancia (una posición a la izquierda) se incrementa ( desbordamiento ) y se reanuda la sustitución incremental del dígito de orden inferior. Este método de reinicio y desbordamiento se repite para cada dígito de importancia. El conteo progresa de la siguiente manera:

000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (el dígito más a la derecha se restablece a cero y el dígito de la izquierda se incrementa)

0 1 0, 011, 012, ...

   ...

090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (los dos dígitos más a la derecha se restablecen a ceros y el siguiente dígito se incrementa)

1 00, 101, 102, ...

Conteo binario

Este contador muestra cómo contar en binario desde el cero hasta el treinta y uno.

Un truco de fiesta para adivinar un número a partir de qué tarjetas está impreso utiliza los bits de la representación binaria del número. En el archivo SVG, haga clic en una tarjeta para alternarla

El conteo binario sigue el mismo procedimiento, excepto que solo están disponibles los dos símbolos 0 y 1 . Por lo tanto, después de que un dígito llega a 1 en binario, un incremento lo restablece a 0 pero también provoca un incremento del siguiente dígito a la izquierda:

0000,

000 1 , (el dígito más a la derecha comienza de nuevo y el siguiente dígito se incrementa)

00 1 0, 0011, (los dos dígitos más a la derecha comienzan de nuevo y el siguiente dígito se incrementa)

0 1 00, 0101, 0110, 0111, (los tres dígitos del extremo derecho comienzan de nuevo y el siguiente dígito se incrementa)

1 000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...

En el sistema binario, cada dígito representa una potencia creciente de 2, con el dígito más a la derecha representando 2 ⁰ , el siguiente representando 2 ¹ , luego 2 ² , y así sucesivamente. El valor de un número binario es la suma de las potencias de 2 representadas por cada dígito "1". Por ejemplo, el número binario 100101 se convierte a forma decimal de la siguiente manera:

100101 ₂ = [( 1 ) × 2 ⁵ ] + [( 0 ) × 2 ⁴ ] + [( 0 ) × 2 ³ ] + [( 1 ) × 2 ² ] + [( 0 ) × 2 ¹ ] + [( 1 ) × 2 ⁰ ]

100101 ₂ = [ 1 × 32] + [ 0 × 16] + [ 0 × 8] + [ 1 × 4] + [ 0 × 2] + [ 1 × 1]

100101 ₂ = 37 ₁₀

Fracciones

Las fracciones en aritmética binaria terminan solo si 2 es el único factor primo en el denominador . Como resultado, 1/10 no tiene una representación binaria finita ( 10 tiene factores primos 2 y 5 ). Esto hace que 10 × 0,1 no sea exactamente igual a 1 en aritmética de punto flotante . Como ejemplo, para interpretar la expresión binaria para 1/3 = .010101 ..., esto significa: 1/3 = 0 × 2 ⁻¹ + 1 × 2 ⁻² + 0 × 2 ⁻³ + 1 × 2 ⁻⁴ + ... = 0.3125 + ... No se puede encontrar un valor exacto con la suma de un número finito de potencias inversas de dos, los ceros y unos en la representación binaria de 1/3 se alternan para siempre.

Fracción	Decimal	Binario	Aproximación fraccionada
1/1	1  o  0,999 ...	1  o  0,111 ...	1/2 + 1/4 + 1/8 ...
1/2	0,5  o  0,4999 ...	0,1  o  0,0111 ...	1/4 + 1/8 + 1/16. . .
1/3	0,333 ...	0,010101 ...	1/4 + 1/16 + 1/64. . .
1/4	0,25  o  0,24999 ...	0.01  o  0.00111 ...	1/8 + 1/16 + 1/32. . .
1/5	0,2  o  0,1999 ...	0,00110011 ...	1/8 + 1/16 + 1/128. . .
1/6	0,1666 ...	0,0010101 ...	1/8 + 1/32 + 1/128. . .
1/7	0,142857142857 ...	0,001001 ...	1/8 + 1/64 + 1/512. . .
1/8	0,125  o  0,124999 ...	0,001  o  0,000111 ...	1/16 + 1/32 + 1/64. . .
1/9	0,111 ...	0.000111000111 ...	1/16 + 1/32 + 1/64. . .
1/10	0,1  o  0,0999 ...	0.000110011 ...	1/16 + 1/32 + 1/256. . .
1/11	0,090909 ...	0.00010111010001011101 ...	1/16 + 1/64 + 1/128. . .
1/12	0,08333 ...	0.00010101 ...	1/16 + 1/64 + 1/256. . .
1/13	0,076923076923 ...	0.000100111011000100111011 ...	1/16 + 1/128 + 1/256. . .
14/1	0,0714285714285 ...	0.0001001001 ...	1/16 + 1/128 + 1/1024. . .
15/1	0,0666 ...	0.00010001 ...	1/16 + 1/256. . .
1/16	0.0625  o  0,0624999 ...	0,0001  o  0,0000111 ...	1/32 + 1/64 + 1/128. . .

Aritmética binaria

La aritmética en binario es muy parecida a la aritmética en otros sistemas numéricos. La suma, resta, multiplicación y división se pueden realizar en números binarios.

Adición

Artículo principal: Adder (electrónica)

El diagrama de circuito para un medio sumador binario , que suma dos bits, produciendo bits de suma y acarreo

La operación aritmética más simple en binario es la suma. Sumar dos números binarios de un solo dígito es relativamente simple, usando una forma de llevar:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, lleva 1 (ya que 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ ))

Agregar dos dígitos "1" produce un dígito "0", mientras que 1 deberá agregarse a la siguiente columna. Esto es similar a lo que sucede en decimal cuando se suman ciertos números de un solo dígito; si el resultado es igual o superior al valor de la base (10), el dígito de la izquierda se incrementa:

5 + 5 → 0, lleva 1 (ya que 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ ))

7 + 9 → 6, lleva 1 (ya que 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ))

Esto se conoce como llevar . Cuando el resultado de una suma excede el valor de un dígito, el procedimiento consiste en "llevar" la cantidad excedente dividida por la base (es decir, 10/10) a la izquierda, sumándola al siguiente valor posicional. Esto es correcto ya que la siguiente posición tiene un peso mayor en un factor igual a la base. El transporte funciona de la misma manera en binario:

 1 1 1 1 1 (dígitos llevados) 0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1-------------= 1 0 0 1 0 0 = 36

En este ejemplo, se suman dos números: 01101 ₂ (13 ₁₀ ) y 10111 ₂ (23 ₁₀ ). La fila superior muestra los bits de acarreo utilizados. Comenzando en la columna de la derecha, 1 + 1 = 10 ₂ . El 1 se lleva a la izquierda y el 0 se escribe en la parte inferior de la columna más a la derecha. Se agrega la segunda columna de la derecha: 1 + 0 + 1 = 10 ₂ nuevamente; se lleva el 1 y se escribe 0 en la parte inferior. La tercera columna: 1 + 1 + 1 = 11 ₂ . Esta vez, se lleva un 1 y se escribe un 1 en la fila inferior. Proceder así da la respuesta final 100100 ₂ (36 decimal).

Cuando las computadoras deben sumar dos números, la regla de que: x xor y = (x + y) mod 2 para dos bits cualesquiera xey también permite un cálculo muy rápido.

Método de transporte largo

Una simplificación para muchos problemas de suma binaria es el método de transferencia larga o el método Brookhouse de suma binaria . Este método es generalmente útil en cualquier suma binaria en la que uno de los números contiene una larga "cadena" de unos. Se basa en la premisa simple de que bajo el sistema binario, cuando se le da una "cadena" de dígitos compuesta completamente por n unos (donde n es cualquier longitud entera), sumar 1 dará como resultado el número 1 seguido de una cadena de n ceros. . Ese concepto sigue, lógicamente, al igual que en el sistema decimal, donde agregar 1 a una cadena de n 9 dará como resultado el número 1 seguido de una cadena de n 0:

 Decimal binario 1 1 1 1 1 igualmente 9 9 9 9 9 + 1 + 1 ——————————— ——————————— 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Estas cadenas largas son bastante comunes en el sistema binario. A partir de eso, se encuentra que se pueden sumar números binarios grandes usando dos pasos simples, sin operaciones de acarreo excesivas. En el siguiente ejemplo, se suman dos números: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 ₂ (958 ₁₀ ) y 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 ₂ (691 ₁₀ ), utilizando el método tradicional de acarreo en el método de transporte largo a la izquierda y el de la derecha:

Método de transporte tradicional Método de transporte largo vs. 1 1 1 1 1 1 1 1 (dígitos llevados) 1 ← 1 ← lleva el 1 hasta que esté un dígito más allá de la "cadena" de abajo 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 tacha la "cadena",+ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 y tacha el dígito que se le agregó——————————————————————— —————————————————————= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

La fila superior muestra los bits de acarreo utilizados. En lugar del acarreo estándar de una columna a la siguiente, se puede agregar el "1" de orden más bajo con un "1" en el valor posicional correspondiente debajo y se puede llevar un "1" a un dígito más allá del final del serie. Los números "usados" deben tacharse, ya que ya están agregados. También se pueden cancelar otras cadenas largas utilizando la misma técnica. Luego, simplemente sume los dígitos restantes normalmente. Proceder de esta manera da la respuesta final de 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 ₂ (1649 ₁₀ ). En nuestro ejemplo simple con números pequeños, el método de acarreo tradicional requería ocho operaciones de acarreo, sin embargo, el método de acarreo largo requería solo dos, lo que representa una reducción sustancial del esfuerzo.

Tabla de adición

	0	1	2
0	0	1
1	1	10

La tabla de suma binaria es similar, pero no igual, que la tabla de verdad de la operación de disyunción lógica . La diferencia es que , mientras .${\displaystyle \lor }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle 1=1}$${\displaystyle 1+1=10}$

Resta

Más información: representaciones numéricas firmadas y complemento a dos

La resta funciona de la misma manera:

0-0 → 0

0-1 → 1, pedir prestado 1

1 - 0 → 1

1 - 1 → 0

Restar un dígito "1" de un dígito "0" produce el dígito "1", mientras que 1 tendrá que restarse de la siguiente columna. Esto se conoce como pedir prestado . El principio es el mismo que para el transporte. Cuando el resultado de una resta es menor que 0, el menor valor posible de un dígito, el procedimiento consiste en "tomar prestado" el déficit dividido por la base (es decir, 10/10) de la izquierda, restándolo del siguiente posicional valor.

 * * * * (las columnas marcadas con asterisco se toman prestadas de) 1 1 0 1 1 1 0- 1 0 1 1 1----------------= 1 0 1 0 1 1 1

 * (las columnas destacadas se toman prestadas de) 1 0 1 1 1 1 1- 1 0 1 0 1 1----------------= 0 1 1 0 1 0 0

Restar un número positivo equivale a sumar un número negativo de igual valor absoluto . Las computadoras usan representaciones de números con signo para manejar números negativos, más comúnmente la notación en complemento a dos . Tales representaciones eliminan la necesidad de una operación de "resta" separada. El uso de la resta de notación en complemento a dos se puede resumir mediante la siguiente fórmula:

A - B = A + no B + 1

Multiplicación

La multiplicación en binario es similar a su contraparte decimal. Dos números A y B se pueden multiplicar por productos parciales: para cada dígito en B , el producto de ese dígito en A se calcula y se escribe en una nueva línea, desplazada hacia la izquierda para que su dígito más a la derecha se alinee con el dígito en B que estaba usó. La suma de todos estos productos parciales da el resultado final.

Dado que solo hay dos dígitos en binario, solo hay dos resultados posibles de cada multiplicación parcial:

• Si el dígito en B es 0, el producto parcial también es 0
• Si el dígito en B es 1, el producto parcial es igual a A

Por ejemplo, los números binarios 1011 y 1010 se multiplican de la siguiente manera:

 1 0 1 1 ( A ) × 1 0 1 0 ( B ) --------- 0 0 0 0 ← Corresponde al 'cero' más a la derecha en B + 1 0 1 1 ← Corresponde al siguiente 'uno' en B + 0 0 0 0 + 1 0 1 1 --------------- = 1 1 0 1 1 1 0

Los números binarios también se pueden multiplicar por bits después de un punto binario :

 1 0 1. 1 0 1 A (5.625 en decimal) × 1 1 0. 0 1 B (6.25 en decimal) ------------------- 1. 0 1 1 0 1 ← Corresponde a un 'uno' en B + 0 0. 0 0 0 0 ← Corresponde a un 'cero' en B + 0 0 0. 0 0 0 + 1 0 1 1. 0 1 + 1 0 1 1 0. 1 --------------------------- = 1 0 0 0 1 1. 0 0 1 0 1 (35.15625 en decimal)

Consulte también el algoritmo de multiplicación de Booth .

Tabla de multiplicar

	0	1
0	0	0
1	0	1

La tabla de multiplicar binaria es la misma que la tabla de verdad de la operación de conjunción lógica .${\displaystyle \land }$

División

Artículo principal: División larga § División binaria

Ver también: Algoritmo de división § División de enteros (sin signo) con resto

La división larga en binario es nuevamente similar a su contraparte decimal.

En el siguiente ejemplo, el divisor es 101 ₂ o 5 en decimal, mientras que el dividendo es 11011 ₂ o 27 en decimal. El procedimiento es el mismo que el de la división decimal larga ; aquí, el divisor 101 ₂ entra en los primeros tres dígitos 110 ₂ del dividendo una vez, por lo que se escribe un "1" en la línea superior. Este resultado se multiplica por el divisor y se resta de los primeros tres dígitos del dividendo; se incluye el siguiente dígito (un "1") para obtener una nueva secuencia de tres dígitos:

 1 ___________1 0 1) 1 1 0 1 1 - 1 0 1 ----- 0 0 1

Luego, el procedimiento se repite con la nueva secuencia, continuando hasta que se hayan agotado los dígitos del dividendo:

 1 0 1 ___________1 0 1) 1 1 0 1 1 - 1 0 1 ----- 1 1 1 - 1 0 1 ----- 0 1 0

Por lo tanto, el cociente de 11011 ₂ dividido por 101 ₂ es 101 ₂ , como se muestra en la línea superior, mientras que el resto, que se muestra en la línea inferior, es 10 ₂ . En decimal, esto corresponde al hecho de que 27 dividido entre 5 es 5, con un resto de 2.

Aparte de la división larga, también se puede diseñar el procedimiento para permitir restar en exceso del resto parcial en cada iteración, lo que conduce a métodos alternativos que son menos sistemáticos, pero como resultado, más flexibles. ^[33]

Raíz cuadrada

El proceso de sacar una raíz cuadrada binaria dígito por dígito es el mismo que para una raíz cuadrada decimal y se explica aquí . Un ejemplo es:

 1 0 0 1 --------- √ 1010001 1 --------- 101 01  0 -------- 1001100 0 -------- 10001 10001 10001 ------- 0

Operaciones bit a bit

Artículo principal: operación bit a bit

Aunque no está directamente relacionado con la interpretación numérica de símbolos binarios, las secuencias de bits pueden manipularse utilizando operadores lógicos booleanos . Cuando una cadena de símbolos binarios se manipula de esta forma, se denomina operación bit a bit ; los operadores lógicos Y , O y XOR pueden realizarse en los bits correspondientes en dos números binarios proporcionados como entrada. La operación lógica NOT puede realizarse en bits individuales en un solo número binario proporcionado como entrada. A veces, estas operaciones se pueden utilizar como atajos aritméticos y también pueden tener otros beneficios computacionales. Por ejemplo, un cambio aritmético a la izquierda de un número binario es el equivalente a la multiplicación por una potencia (positiva, integral) de 2.

Conversión hacia y desde otros sistemas numéricos

Decimal

La conversión de (357) ₁₀ a notación binaria da como resultado (101100101)

Para convertir de un número entero en base 10 a su equivalente en base 2 (binario), el número se divide por dos . El resto es el bit menos significativo . El cociente se vuelve a dividir por dos; su resto se convierte en el siguiente bit menos significativo. Este proceso se repite hasta que se alcanza un cociente de uno. La secuencia de residuos (incluido el cociente final de uno) forma el valor binario, ya que cada residuo debe ser cero o uno cuando se divide por dos. Por ejemplo, (357) ₁₀ se expresa como (101100101) _2. ^[34]

La conversión de base-2 a base-10 simplemente invierte el algoritmo anterior. Los bits del número binario se utilizan uno por uno, comenzando con el bit más significativo (más a la izquierda). Comenzando con el valor 0, el valor anterior se duplica y luego se agrega el siguiente bit para producir el siguiente valor. Esto se puede organizar en una tabla de varias columnas. Por ejemplo, para convertir 10010101101 ₂ a decimal:

Valor previo	× 2 +	Siguiente bit	Siguiente valor
0	× 2 +	1	= 1
1	× 2 +	0	= 2
2	× 2 +	0	= 4
4	× 2 +	1	= 9
9	× 2 +	0	= 18
18	× 2 +	1	= 37
37	× 2 +	0	= 74
74	× 2 +	1	= 149
149	× 2 +	1	= 299
299	× 2 +	0	= 598
598	× 2 +	1	= 1197

El resultado es 1197 ₁₀ . El primer valor previo de 0 es simplemente un valor decimal inicial. Este método es una aplicación del esquema de Horner .

Binario	1	0	0	1	0	1	0	1	1	0	1
Decimal	1 × 2 10 +	0 × 2 9 +	0 × 2 8 +	1 × 2 7 +	0 × 2 6 +	1 × 2 5 +	0 × 2 4 +	1 × 2 3 +	1 × 2 2 +	0 × 2 1 +	1 × 2 0 =	1197

Las partes fraccionarias de un número se convierten con métodos similares. De nuevo, se basan en la equivalencia de cambiar con duplicar o reducir a la mitad.

En un número binario fraccionario como 0.11010110101 ₂ , el primer dígito es , el segundo , etc. Entonces, si hay un 1 en el primer lugar después del decimal, entonces el número es al menos , y viceversa. El doble de ese número es al menos 1. Esto sugiere el algoritmo: Duplique repetidamente el número a convertir, registre si el resultado es al menos 1 y luego deseche la parte entera.${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}$${\displaystyle {\begin{matrix}({\frac {1}{2}})^{2}={\frac {1}{4}}\end{matrix}}}$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}$

Por ejemplo, ₁₀ , en binario, es:${\displaystyle {\begin{matrix}({\frac {1}{3}})\end{matrix}}}$

Mudado	Resultado
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}}$	0.
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}$	0.0
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1\end{matrix}}}$	0,01
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}$	0,010
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1\end{matrix}}}$	0.0101

Por lo tanto, la fracción decimal repetida 0. 3 ... es equivalente a la fracción binaria repetida 0. 01 ....

O, por ejemplo, 0,1 ₁₀ , en binario, es:

Mudado	Resultado
0,1	0.
0,1 × 2 = 0,2 <1	0.0
0,2 × 2 = 0,4 <1	0,00
0,4 × 2 = 0,8 <1	0.000
0,8 × 2 = 1,6 ≥ 1	0,0001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1	0,00011
0,2 × 2 = 0,4 <1	0,000110
0,4 × 2 = 0,8 <1	0,0001100
0,8 × 2 = 1,6 ≥ 1	0.00011001
0,6 × 2 = 1,2 ≥ 1	0.000110011
0,2 × 2 = 0,4 <1	0.0001100110

Esta es también una fracción binaria repetida 0.0 0011 .... Puede resultar sorprendente que las fracciones decimales finales puedan tener expansiones repetidas en binario. Es por esta razón que muchos se sorprenden al descubrir que 0.1 + ... + 0.1, (10 adiciones) difiere de 1 en aritmética de coma flotante . De hecho, las únicas fracciones binarias con expansiones terminales tienen la forma de un número entero dividido por una potencia de 2, que 1/10 no lo es.

La conversión final es de fracciones binarias a decimales. La única dificultad surge con la repetición de fracciones, pero de lo contrario, el método es cambiar la fracción a un número entero, convertirla como se indicó anteriormente y luego dividir por la potencia apropiada de dos en la base decimal. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=&1100&.1{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2^{6}&=&1100101110&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2&=&11001&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times (2^{6}-2)&=&1100010101\\x&=&1100010101/111110\\x&=&(789/62)_{10}\end{aligned}}}$

Otra forma de convertir de binario a decimal, a menudo más rápido para una persona familiarizada con el hexadecimal , es hacerlo indirectamente, primero convirtiendo ( en binario) en ( en hexadecimal) y luego convirtiendo ( en hexadecimal) en ( en decimal).${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Para números muy grandes, estos métodos simples son ineficaces porque realizan una gran cantidad de multiplicaciones o divisiones donde un operando es muy grande. Un algoritmo simple de divide y vencerás es más efectivo asintóticamente: dado un número binario, se divide por 10 ^k , donde k se elige de modo que el cociente sea aproximadamente igual al resto; luego, cada una de estas piezas se convierte a decimal y las dos se concatenan . Dado un número decimal, se puede dividir en dos piezas de aproximadamente el mismo tamaño, cada una de las cuales se convierte a binaria, después de lo cual la primera pieza convertida se multiplica por 10 ^{ky se} suma a la segunda pieza convertida, donde k es el número de dígitos decimales en la segunda pieza menos significativa antes de la conversión.

Hexadecimal

Artículo principal: Hexadecimal

0 hexadecimal	=	0 dic	=	0 oct		0	0	0	0
1 hexadecimal	=	1 dic	=	1 de oct		0	0	0	1
2 hexadecimales	=	2 dic	=	2 de oct		0	0	1	0
3 hexadecimales	=	3 dic	=	3 de oct		0	0	1	1
4 hexadecimales	=	4 dic	=	4 de oct	0	1	0	0
5 hexadecimales	=	5 dic	=	5 de oct	0	1	0	1
6 hexadecimales	=	6 dic	=	6 de oct	0	1	1	0
7 hexadecimales	=	7 dic	=	7 de oct	0	1	1	1
8 hexadecimales	=	8 dic	=	10 de oct	1	0	0	0
9 hexadecimales	=	9 dic	=	11 de oct	1	0	0	1
Un maleficio	=	10 dic	=	12 de oct	1	0	1	0
B hex	=	11 dic	=	13 de oct	1	0	1	1
C hex	=	12 dic	=	14 de oct	1	1	0	0
D hex	=	13 dic	=	15 de oct	1	1	0	1
E hex	=	14 dic	=	16 de oct	1	1	1	0
F hexadecimal	=	15 dic	=	17 de oct	1	1	1	1

El binario se puede convertir ay desde hexadecimal más fácilmente. Esto se debe a que la base del sistema hexadecimal (16) es una potencia de la base del sistema binario (2). Más específicamente, 16 = 2 ⁴ , por lo que se necesitan cuatro dígitos binarios para representar un dígito hexadecimal, como se muestra en la tabla adyacente.

Para convertir un número hexadecimal en su equivalente binario, simplemente sustituya los dígitos binarios correspondientes:

3A ₁₆ = 0011 1010 ₂

E7 ₁₆ = 1110 0111 ₂

Para convertir un número binario en su equivalente hexadecimal, divídalo en grupos de cuatro bits. Si el número de bits no es múltiplo de cuatro, simplemente inserte 0 bits adicionales a la izquierda (llamado relleno ). Por ejemplo:

1010010 ₂ = 0101 0010 agrupados con relleno = 52 ₁₆

11011101 ₂ = 1101 1101 agrupado = DD ₁₆

Para convertir un número hexadecimal en su equivalente decimal, multiplique el equivalente decimal de cada dígito hexadecimal por la potencia correspondiente de 16 y sume los valores resultantes:

C0E7 ₁₆ = (12 × 16 ³ ) + (0 × 16 ² ) + (14 × 16 ¹ ) + (7 × 16 ⁰ ) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + ( 7 × 1) = 49.383 ₁₀

Octal

Artículo principal: Octal

El binario también se convierte fácilmente al sistema de numeración octal , ya que octal usa una raíz de 8, que es una potencia de dos (es decir, 2 ³ , por lo que se necesitan exactamente tres dígitos binarios para representar un dígito octal). La correspondencia entre los números octales y binarios es la misma que para los primeros ocho dígitos del hexadecimal en la tabla anterior. El 000 binario es equivalente al dígito octal 0, el 111 binario es equivalente al 7 octal, y así sucesivamente.

Octal	Binario
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

La conversión de octal a binario procede de la misma manera que para hexadecimal :

65 ₈ = 110 101 ₂

17 ₈ = 001111 ₂

Y de binario a octal:

101.100 ₂ = 101 100 ₂ Agrupado = 54 ₈

10011 ₂ = 010 011 ₂ agrupados con relleno = 23 ₈

Y de octal a decimal:

65 ₈ = (6 × 8 ¹ ) + (5 × 8 ⁰ ) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53 ₁₀

127 ₈ = (1 × 8 ² ) + (2 × 8 ¹ ) + (7 × 8 ⁰ ) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87 ₁₀

Representando números reales

Los números no enteros se pueden representar usando potencias negativas, que se separan de los otros dígitos por medio de un punto de base (llamado punto decimal en el sistema decimal). Por ejemplo, el número binario 11.01 ₂ significa:

1 × 2 1	(1 × 2 = 2 )	más
1 × 2 0	(1 × 1 = 1 )	más
0 × 2 −1	(0 × 1 ⁄ 2 = 0 )	más
1 × 2 −2	(1 × 1 ⁄ 4 = 0,25 )

Para un total de 3,25 decimal.

Todos los números racionales diádicos tienen un numeral binario de terminación ; la representación binaria tiene un número finito de términos después del punto de la base. Otros números racionales tienen representación binaria, pero en lugar de terminar, se repiten , con una secuencia finita de dígitos que se repiten indefinidamente. Por ejemplo${\displaystyle {\frac {p}{2^{a}}}}$

${\displaystyle {\frac {1_{10}}{3_{10}}}={\frac {1_{2}}{11_{2}}}=0.01010101{\overline {01}}\ldots \,_{2}}$

${\displaystyle {\frac {12_{10}}{17_{10}}}={\frac {1100_{2}}{10001_{2}}}=0.1011010010110100{\overline {10110100}}\ldots \,_{2}}$

El fenómeno de que la representación binaria de cualquier racional es terminante o recurrente también ocurre en otros sistemas numéricos basados ​​en radix. Vea, por ejemplo, la explicación en decimal . Otra similitud es la existencia de representaciones alternativas para cualquier representación de terminación, basándose en el hecho de que 0.111111 ... es la suma de la serie geométrica 2 ⁻¹ + 2 ⁻² + 2 ⁻³ + ... que es 1.

Los números binarios que no terminan ni se repiten representan números irracionales . Por ejemplo,

• 0.10100100010000100000100 ... tiene un patrón, pero no es un patrón recurrente de longitud fija, por lo que el número es irracional
• 1.0110101000001001111001100110011111110 ... es la representación binaria de , la raíz cuadrada de 2 , otro irracional. No tiene un patrón discernible.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Ver también

• Ternario equilibrado
• Código binario
• Decimal codificado en binario
• Binario de dedo
• Código gris
• IEEE 754
• Registro de desplazamiento de retroalimentación lineal
• Binario de compensación
• Quibinario
• Reducción de sumandos
• Representación binaria redundante
• Decimal repetido
• Complemento a dos

Referencias

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34. "Sistema base" . Consultado el 31 de agosto de 2016 .

Lectura adicional

• Sánchez, Julio; Cantón, Maria P. (2007). Programación del microcontrolador: el microchip PIC . Boca Raton, FL: CRC Press. pag. 37. ISBN 978-0-8493-7189-9.
• Redmond, Geoffrey; Hon, Tze-Ki (2014). Enseñando el I Ching . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-976681-9.

Enlaces externos

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Fractales / Matemáticas / binario

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el sistema de numeración binario .

• Sistema binario al cortar el nudo
• Conversión de fracciones al cortar el nudo
• El sistema de cifrado biLiteral de Sir Francis Bacon es anterior al sistema de números binarios.