Relación binaria

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Relaciones binarias

	Simétrico	Antisimétrico	Conectado	Bien fundado	Tiene uniones	Tiene cumple
Relación de equivalencia	✓	✗	✗	✗	✗	✗
Preorder (Quasiorder)	✗	✗	✗	✗	✗	✗
Orden parcial	✗	✓	✗	✗	✗	✗
Reserva total	✗	✗	✓	✗	✗	✗
Orden total	✗	✓	✓	✗	✗	✗
Ordenamiento previo	✗	✗	✓	✓	✗	✗
Bien casi ordenado	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Bien ordenado	✗	✓	✓	✓	✗	✗
Enrejado	✗	✓	✗	✗	✓	✓
Unión-semirrejilla	✗	✓	✗	✗	✓	✗
Encuentro-semilattice	✗	✓	✗	✗	✗	✓

Un " ✓ " indica que la propiedad de la columna es necesaria en la definición de la fila.
Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica.
Todas las definiciones requieren tácitamente transitividad y reflexividad .

En matemáticas , una relación binaria sobre los conjuntos $X$ e $Y$ es un subconjunto del producto cartesiano $X \times Y$ ; es decir, que es un conjunto de pares ordenados $(x, Y)$ que consisten de elementos de $x$ en $X$ y $Y$ en $Y$ . ^[1] Codifica el concepto común de relación: un elemento $x$ está relacionado con un elemento $y$ , si y solo si el par $(x, y)$ pertenece al conjunto de pares ordenados que define la relación binaria . Una relación binaria es el caso especial más estudiado $n = 2$ de una relación $n$ -aria sobre conjuntos $X 1, ..., X n$ , que es un subconjunto del producto cartesiano $X 1 \times ... \times X n$ .^[1]^[2]

Un ejemplo de una relación binaria es la relación " divide " entre el conjunto de números primos y el conjunto de enteros , en la que cada primo $p$ está relacionado con cada entero $z$ que es un múltiplo de $p$ , pero no con un entero que no es un múltiplo de $p$ . En esta relación, por ejemplo, el número primo 2 está relacionado con números como -4, 0, 6, 10, pero no con 1 o 9, al igual que el número primo 3 está relacionado con 0, 6 y 9, pero no a 4 o 13. $\mathbb {P}$ $\mathbb {Z}$

Las relaciones binarias se utilizan en muchas ramas de las matemáticas para modelar una amplia variedad de conceptos. Estos incluyen, entre otros:

el " es mayor que ", " es igual a " y "divide" las relaciones en aritmética ;
la relación " es congruente con " en geometría ;
la relación "es adyacente a" en la teoría de grafos ;
la relación "es ortogonal a" en álgebra lineal .

Una función puede definirse como un tipo especial de relación binaria. ^[3] Las relaciones binarias también se utilizan mucho en informática .

Una relación binaria sobre conjuntos $X$ y $Y$ es un elemento del conjunto potencia de $X \times Y$ . Dado que el último conjunto se ordena por inclusión (⊆), cada relación tiene un lugar en el enrejado de subconjuntos de $X \times Y$ .

Dado que las relaciones son conjuntos, pueden manipularse utilizando operaciones de conjuntos, incluidas la unión , la intersección y la complementación , y satisfaciendo las leyes de un álgebra de conjuntos . Más allá de eso, se encuentran disponibles operaciones como el recíproco de una relación y la composición de relaciones , satisfaciendo las leyes de un cálculo de relaciones , para lo cual existen libros de texto de Ernst Schröder , ^[4] Clarence Lewis , ^[5] y Gunther Schmidt . ^[6] Un análisis más profundo de las relaciones implica descomponerlas en subconjuntos llamados conceptos., y colocándolos en una celosía completa .

En algunos sistemas de teoría axiomática de conjuntos , las relaciones se extienden a clases , que son generalizaciones de conjuntos. Esta extensión es necesaria para, entre otras cosas, modelar los conceptos de "es un elemento de" o "es un subconjunto de" en la teoría de conjuntos, sin encontrar inconsistencias lógicas como la paradoja de Russell .

Los términos correspondencia , ^[7] relación diádica y relación de dos lugares son sinónimos de relación binaria, aunque algunos autores usan el término "relación binaria" para cualquier subconjunto de un producto cartesiano $X \times Y$ sin referencia a $X$ e $Y$ , y se reservan el término "correspondencia" para una relación binaria con referencia a $X$ y $y$ .

Definición [ editar ]

Dados los conjuntos X e Y , el producto cartesiano $X \times Y$ se define como ${(x, y) | x \in X e y \in Y}$ , y sus elementos se denominan pares ordenados.

Una relación binaria R sobre conjuntos X y Y es un subconjunto de $X \times Y$ . ^[1]^[8] El conjunto X se llama el dominio ^[1] o conjunto de salida de R , y el conjunto Y la codomain o conjunto de destino de R . Para especificar las opciones de los conjuntos X e Y , algunos autores definen una relación o correspondencia binaria como un triple ordenado $(X, Y, G)$ , donde G es un subconjunto de $X \times Y$ llamado gráfico de la relación binaria. El enunciado $(x, y) ads R$ dice " x está R -relacionado con y " y se denota por xRy . ^[4]^[5]^[6]^{[nota 1]} El dominio de definición o dominio activo ^[1] de R es el conjunto de todo x tal que xRy para al menos unoy . El codominio de definición , codominio activo , ^[1] imagen o rango de R es el conjunto de todo y tal que xRy para al menos una x . El campo de R es la unión de su dominio de definición y su codominio de definición. ^[10]^[11]^[12]

Cuando $X = Y$ , una relación binaria se llama relación homogénea (o endorrelación ). Para enfatizar el hecho de que se permite que X e Y sean diferentes, una relación binaria también se llama relación heterogénea . ^[13]^[14]^[15]

En una relación binaria, el orden de los elementos es importante; si $x \neq y$ entonces yRx puede ser verdadero o falso independientemente de xRy . Por ejemplo, 3 divide a 9, pero 9 no divide a 3.

Ejemplo [ editar ]

2do ejemplo de relación
$A$ $B'$	bola	carro	muñeca	taza
John	+	-	-	-
María	-	-	+	-
Venus	-	+	-	-

1er ejemplo de relación
$A$ $B$	bola	carro	muñeca	taza
John	+	-	-	-
María	-	-	+	-
Ian	-	-	-	-
Venus	-	+	-	-

El siguiente ejemplo muestra que la elección del codominio es importante. Suponga que hay cuatro objetos $A = {pelota, coche, muñeca, taza}$ y cuatro personas $B = {John, Mary, Ian, Venus}$ . Una posible relación entre A y B es la relación "es propiedad de", dada por $R = {(pelota, Juan), (muñeca, María), (automóvil, Venus)}$ . Es decir, John es dueño de la pelota, Mary es dueña de la muñeca y Venus es dueña del auto. Nadie es dueño de la taza e Ian no es dueño de nada, vea el primer ejemplo. Como conjunto, R no involucra a Ian y, por lo tanto, R podría haber sido visto como un subconjunto de $A \times {John, Mary, Venus}$ , es decir, una relación sobre Ay {John, Mary, Venus}, ver el segundo ejemplo. Mientras que la segunda relación de ejemplo es sobreyectiva (ver más abajo ), la primera no lo es.

Tipos especiales de relaciones binarias [ editar ]

Ejemplos de cuatro tipos de relaciones binarias sobre los números reales : uno a uno (en verde), uno a muchos (en azul), muchos a uno (en rojo), muchos a muchos (en negro) ).

Algunos tipos importantes de relaciones binarias R sobre los conjuntos X e Y se enumeran a continuación.

Propiedades de singularidad:

Inyectivo (también llamado único por la izquierda ): ^[16] para todo $x, z \in X$ y todo $y \in Y$ , si $xRy$ y $zRy$ entonces $x = z$ . Para una relación tal, { Y } se llama una clave primaria de R . ^[1] Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son inyectivas, pero la roja no lo es (ya que relaciona −1 y 1 a 1), ni la negra (ya que relaciona −1 y 1 a 0).
Funcional (también llamado único por la derecha , ^[16] definido por la derecha ^[17] o univalente ): ^[6] para todo $x \in X$ y todo $y, z \in Y$ , si $xRy$ y $xRz$ entonces $y = z$ . Esta relación binaria se llama función parcial . Para una relación tal, { X } se llama una clave primaria de R . ^[1] Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son funcionales, pero la azul no lo es (ya que relaciona 1 con −1 y 1), ni la negra (ya que se relaciona 0 con −1 y 1) .
Uno a uno : inyectivo y funcional. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es uno a uno, pero las rojas, azules y negras no lo son.
Uno a muchos : inyectivo y no funcional. Por ejemplo, la relación binaria azul en el diagrama es de uno a muchos, pero las rojas, verdes y negras no lo son.
Muchos a uno : funcional y no inyectable. Por ejemplo, la relación binaria roja en el diagrama es de muchos a uno, pero las verde, azul y negra no lo son.
Muchos a muchos : no inyectable ni funcional. Por ejemplo, la relación binaria negra en el diagrama es de muchos a muchos, pero las rojas, verdes y azules no lo son.

Propiedades de totalidad (solo definibles si se especifican el dominio X y el codominio Y ):

Serial (también llamado left-total ): ^[16] para todo x en X existe una y en Y tal que $xRy$ . En otras palabras, el dominio de la definición de R es igual a X . Esta propiedad, aunque algunos autores también la denominan total , ^{[ cita requerida ]} es diferente de la definición de conectado (también llamado total por algunos autores) ^{[ cita requerida ]} en la sección Propiedades. Esta relación binaria se denomina función multivalor . Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son seriales, pero la azul no lo es (ya que no se relaciona −1 con ningún número real), ni la negra (ya que no se relaciona 2 con ningún número real). ).
Sobreyectiva (también llamada derecha-total ^[16] o sobre ): para todo y en Y , existe una x en X tal que xRy . En otras palabras, la codomain de definición de R es igual a Y . Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son sobreyectivas, pero la roja no lo es (ya que no relaciona ningún número real con -1), ni la negra (ya que no relaciona ningún número real con 2 ).

Propiedades de unicidad y totalidad (solo definibles si se especifican el dominio X y el codominio Y ):

Una función : una relación binaria que es funcional y serial. Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son funciones, pero las azul y negra no lo son.
Una inyección : una función que es inyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una inyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.
Una sobreyección : una función que es sobreyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una sobreyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.
Una biyección : una función inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una biyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.

Operaciones sobre relaciones binarias [ editar ]

Unión [ editar ]

Si R y S son relaciones binarias sobre los conjuntos X e Y, entonces $R \cup S = {(x, y) | xRy o XSY}$ es la relación unión de R y S sobre X y Y .

El elemento de identidad es la relación vacía. Por ejemplo, ≤ es la unión de <y =, y ≥ es la unión de> y =.

Intersección [ editar ]

Si R y S son relaciones binarias sobre los conjuntos X e Y, entonces $R \cap S = {(x, y) | xRy y XSY}$ es la relación de intersección de R y S sobre X y Y .

El elemento de identidad es la relación universal. Por ejemplo, la relación "es divisible por 6" es la intersección de las relaciones "es divisible por 3" y "es divisible por 2".

Composición [ editar ]

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y , y S es una relación binaria sobre los conjuntos Y y Z, entonces $S \circ R = {(x, z) | existe y \in Y tal que xRy y YSZ}$ (también denotada por $R; S$ ) es la relación composición de R y S sobre X y Z .

El elemento de identidad es la relación de identidad. El orden de R y S en la notación $S \circ R$ , que se utiliza aquí, concuerda con el orden de notación estándar para la composición de funciones . Por ejemplo, la composición "es madre de" ∘ "es padre de" rendimiento "es abuelo materno de", mientras que la composición "es padre de" ∘ "es madre de" rendimiento "es abuela de". Para el primer caso, si x es el padre de y e y es la madre de z , entonces x es el abuelo materno de z .

Converse [ editar ]

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y, entonces $R T = {(y, x) | xRy}$ es la relación inversa de R sobre Y y X .

Por ejemplo, = es el inverso de sí mismo, al igual que ≠, y <y> son recíprocos, al igual que ≤ y ≥. Una relación binaria es igual a su recíproca si y solo si es simétrica .

Complemento [ editar ]

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y, entonces $R = {(x, y) | no xRy}$ (también denotada por R o $\neg R$ ) es la relación complementaria de R sobre X y Y .

Por ejemplo, = y ≠ son complementarios entre sí, al igual que ⊆ y ⊈, ⊇ y ⊉, y ∈ y ∉, y, para órdenes totales , también <y ≥, y> y ≤.

El complemento de la relación inversa $R T$ es el inverso del complemento: ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$

Si $X = Y$ , el complemento tiene las siguientes propiedades:

Si una relación es simétrica, también lo es el complemento.
El complemento de una relación reflexiva es irreflexivo y viceversa.
El complemento de una orden estrictamente débil es una preorden total, y viceversa.

Restricción [ editar ]

Si R es una relación binaria sobre un conjunto X y S es un subconjunto de X, entonces $R | S = {(x, y) | xRy y x \in S y y \in S}$ es la relación de restricción de R a S sobre X .

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y y S es un subconjunto de X, entonces $R | S = {(x, y) | xRy y x \in S}$ es la relación de restricción de la izquierda de R a S más de X y Y .

Si R es una relación binaria sobre los conjuntos X e Y y S es un subconjunto de Y, entonces $R | S = {(x, y) | xRy y y \in S}$ es la relación correcta-restricción de R a S más de X y Y .

Si una relación es reflexiva , irreflexive, simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , total de , tricotómica , un orden parcial , orden total , estricto orden débil , preorden total de (orden débil), o un relación de equivalencia , entonces también lo son sus restricciones también.

Sin embargo, el cierre transitivo de una restricción es un subconjunto de la restricción del cierre transitivo, es decir, en general no es igual. Por ejemplo, al restringir la relación " x es madre de y " a las mujeres, se obtiene la relación " x es madre de la mujer y "; su cierre transitivo no relaciona a una mujer con su abuela paterna. Por otro lado, la clausura transitiva de "es padre de" es "es antepasado de"; su restricción a las mujeres relaciona a una mujer con su abuela paterna.

Además, los diversos conceptos de completitud (que no debe confundirse con ser "total") no se transfieren a las restricciones. Por ejemplo, en los números reales de una propiedad de la relación ≤ es que cada no vacío subconjunto S de R con un límite superior en R tiene un extremo superior (también llamado supremo) en R . Sin embargo, para los números racionales este supremo no es necesariamente racional, por lo que la misma propiedad no se aplica a la restricción de la relación ≤ a los números racionales.

Se dice que una relación binaria R sobre conjuntos X e Y está contenida en una relación S sobre X e Y , escrita $R \subseteq S$ , si R es un subconjunto de S , es decir, para todo $x \in X e y \in Y$ , si xRy , luego xSy . Si R está contenido en S y S está contenido en R , entonces R y Sse llaman igual escrito R = S . Si R está contenido en S pero S no está contenido en R , entonces R se dice que es más pequeño que S , escrito $R ⊊ S$ . Por ejemplo, en los números racionales , la relación> es menor que ≥, e igual a la composición $> \circ>.$

Representación matricial [ editar ]

Las relaciones binarias sobre los conjuntos X e Y se pueden representar algebraicamente mediante matrices lógicas indexadas por X e Y con entradas en el semiringuito booleano (la suma corresponde a OR y la multiplicación a AND) donde la suma de matrices corresponde a la unión de relaciones, la multiplicación de matrices corresponde a la composición de relaciones (de una relación sobre X e Y y una relación sobre Y y Z ), ^[18] el producto de Hadamard corresponde a la intersección de relaciones, la matriz cerocorresponde a la relación vacía, y la matriz de unos corresponde a la relación universal. Las relaciones homogéneas (cuando $X = Y$ ) forman una matriz semiring (de hecho, una matriz semialgebra sobre la semiring booleana) donde la matriz identidad corresponde a la relación identidad. ^[19]

Conjuntos versus clases [ editar ]

Ciertas "relaciones" matemáticas, como "igual a", "subconjunto de" y "miembro de", no pueden entenderse como relaciones binarias como se definen anteriormente, porque sus dominios y codominios no pueden tomarse como conjuntos en los sistemas habituales. de la teoría axiomática de conjuntos . Por ejemplo, si intentamos modelar el concepto general de "igualdad" como una relación binaria =, debemos tomar el dominio y el codominio como la "clase de todos los conjuntos", que no es un conjunto en la teoría de conjuntos habitual.

En la mayoría de los contextos matemáticos, las referencias a las relaciones de igualdad, pertenencia y subconjunto son inofensivas porque pueden entenderse implícitamente como restringidas a algún conjunto en el contexto. La solución habitual a este problema es seleccionar un conjunto A "suficientemente grande" , que contenga todos los objetos de interés, y trabajar con la restricción = _{A en} lugar de =. Del mismo modo, el "subconjunto de las" necesidades de relación ⊆ estar restringida a tener dominio y codomain P ( A ) (el conjunto potencia de un conjunto específico A ): la relación conjunto resultante puede ser denotado por ⊆ _A . Además, la relación "miembro de" debe restringirse para tener dominio A y codominio P ( A ) para obtener una relación binaria ∈_Eso es un conjunto. Bertrand Russell ha demostrado que suponer que be se define sobre todos los conjuntos conduce a una contradicción en la teoría de conjuntos ingenua.

Otra solución a este problema es utilizar una teoría de conjuntos con clases adecuadas, como NBG o teoría de conjuntos de Morse-Kelley , y permitir que el dominio y el codominio (y por tanto el gráfico) sean clases adecuadas : en tal teoría, igualdad, pertenencia , y subconjunto son relaciones binarias sin comentarios especiales. (Es necesario hacer una modificación menor al concepto de triple ordenado $(X, Y, G)$ , ya que normalmente una clase adecuada no puede ser miembro de una tupla ordenada; o, por supuesto, se puede identificar la relación binaria con su gráfico en este contexto.) ^[20] Con esta definición se puede, por ejemplo, definir una relación binaria sobre cada conjunto y su conjunto de potencias.

Relación homogénea [ editar ]

Una relación homogénea (también llamado endorelation ) sobre un conjunto X es una relación binaria sobre X y ella misma, es decir, es un subconjunto del producto cartesiano $X \times X$ . ^[15]^[21]^[22] es también llamado simplemente una relación (binario) sobre X . Un ejemplo de relación homogénea es la relación de parentesco , donde la relación es sobre personas.

Una relación homogénea R sobre un conjunto X puede identificarse con un gráfico simple dirigido que permite bucles , o si es simétrico , con un gráfico simple no dirigido que permite bucles , donde X es el conjunto de vértices y R es el conjunto de bordes (hay un borde desde un vértice x hasta un vértice y si y solo si $xRy$ ). Se llama relación de adyacencia del gráfico.

El conjunto de todas las relaciones homogéneas sobre un conjunto X es el conjunto $2$ $X$ $\times$ $X$ que es un álgebra booleana aumentada con la involución del mapeo de una relación a su relación inversa . Considerando la composición de relaciones como una operación binaria sobre , forma un semigrupo con involución . ${\mathcal {B}}(X)$ ${\mathcal {B}}(X)$

Relaciones particulares homogéneas [ editar ]

Algunas relaciones homogéneas particulares importantes sobre un conjunto X son:

la relación vacía $E = \emptyset \subseteq X \times X$ ;
la relación universal $U = X \times X$ ;
la relación de identidad $I = {(x, x) | x \in X}$ .

Para los elementos arbitrarios x y y de X :

$xEy$ no se sostiene nunca;
$xUy se$ mantiene siempre;
$xIy se$ cumple si y solo si $x = y$ .

Propiedades [ editar ]

Algunas propiedades importantes que puede tener una relación homogénea $R$ sobre un conjunto $X$ son:

Reflexivo: para todo $x \in X$ , $xRx$ . Por ejemplo, ≥ es una relación reflexiva pero> no lo es.
Irreflexivo (o estricto ): para todo $x \in X$ , no $xRx$ . Por ejemplo,> es una relación irreflexiva, pero ≥ no lo es.
Coreflexivo: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces $x = y$ . ^[23] Por ejemplo, la relación sobre los enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo es una relación coreflexiva. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación tanto reflexiva como coreflexiva, y cualquier relación coreflexiva es un subconjunto de la relación de identidad.
Cuasi reflexivo izquierdo: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces $xRx$ .
Cuasi reflexivo derecho: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces $yRy$ .
Cuasi reflexivo: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces $xRx$ e $yRy$ . Una relación es cuasi reflexiva si, y solo si, es cuasi reflexiva tanto a la izquierda como a la derecha.

Las 6 alternativas anteriores están lejos de ser exhaustivas; Por ejemplo, la relación binaria roja $y = x 2$ dada en la sección Tipos especiales de relaciones binarias no es irreflexiva, ni coreflexiva, ni reflexiva, ya que contiene el par $(0, 0)$ y $(2, 4)$ , pero no $( 2, 2)$ , respectivamente. Los dos últimos hechos también descartan (cualquier tipo de) cuasi-reflexividad.

Simétrico: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces $yRx$ . Por ejemplo, "es un pariente consanguíneo de" es una relación simétrica, porque $x$ es un pariente consanguíneo de $y$ si y sólo si $y$ es un pariente consanguíneo de $x$ .
Antisimétrico: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ y $yRx$ entonces $x = y$ . Por ejemplo, ≥ es una relación antisimétrica; también lo es>, pero de forma vacía (la condición en la definición es siempre falsa). ^[24]
Asimétrico: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces no $yRx$ . Una relación es asimétrica si y solo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva. ^[25] Por ejemplo,> es una relación asimétrica, pero ≥ no lo es.

Nuevamente, las 3 alternativas anteriores están lejos de ser exhaustivas; como ejemplo sobre los números naturales, la relación $xRy$ definida por $x > 2$ no es simétrica ni antisimétrica, y mucho menos asimétrica.

Transitivo: para todos $x, y, z \in X$ , si $xRy$ y $yRz$ entonces $xRz$ . Una relación transitiva es irreflexiva si y solo si es asimétrica. ^[26] Por ejemplo, "es antepasado de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.
Antitransitivo: para todo $x, y, z \in X$ , si $xRy$ y $yRz$ entonces nunca $xRz$ .
Co-transitivo: si el complemento de R es transitivo. Es decir, para todo $x, y, z \in X$ , si $xRz$ , entonces $xRy$ o $yRz$ . Esto se usa en pseudoórdenes en matemáticas constructivas.
Cuasitransitivo: para todo $x, y, z \in X$ , si $xRy$ e $yRz$ pero ni $yRx$ ni $zRy$ , entonces $xRz$ pero no $zRx$ .
Transitividad de la incomparabilidad: para todos $x, y, z \in X$ , si $X$ y $Y$ son incomparable con respecto a $R$ y si el mismo es cierto de $y$ y $z$ , entonces $x$ y $z$ también son incomparable con respecto a $R$ . Esto se usa en pedidos débiles .

Nuevamente, las 5 alternativas anteriores no son exhaustivas. Por ejemplo, la relación $xRy$ if ( $y = 0$ o $y = x +1$ ) no satisface ninguna de estas propiedades. Por otro lado, la relación vacía los satisface trivialmente a todos.

Denso: para todo $x, y \in X$ tal que $xRy$ , existe algo de $z \in X$ tal que $xRz$ y $zRy$ . Esto se usa en órdenes densas .
Conectado: para todo $x, y \in X$ , si $x \neq y$ entonces $xRy$ o $yRx$ . Esta propiedad a veces se denomina "total", que es distinta de las definiciones de "total" dadas en la sección Tipos especiales de relaciones binarias .
Fuertemente conectado: para todo $x, y \in X$ , $xRy$ o $yRx$ . Esta propiedad a veces se denomina "total", que es distinta de las definiciones de "total" dadas en la sección Tipos especiales de relaciones binarias .
Tricotómico: para todos $x, y \in X$ , exactamente uno de $xRy$ , $yRx$ o $x = y$ sostiene. Por ejemplo,> es una relación tricotómica, mientras que la relación "divide" sobre los números naturales no lo es. ^[27]
Euclidiana derecha (o simplemente euclidiana ): para todos $x, y, z \in X$ , si $xRy$ y $xRz$ entonces $yRz$ . Por ejemplo, = es una relación euclidiana porque si $x = y$ y $x = z$ entonces $y = z$ .
Euclidiana izquierda: para todos $x, y, z \in X$ , si $yRx$ y $ZRX$ entonces $yRz$ .
Serie (o total a la izquierda ): para todo $x \in X$ , existe algo de $y \in X$ tal que $xRy$ . Por ejemplo,> es una relación serial sobre los enteros. Pero no es una relación serial sobre los enteros positivos, porque no hay $y$ en los enteros positivos tal que $1> y$ . ^[28] Sin embargo, <es una relación serial sobre los enteros positivos, los números racionales y los números reales. Toda relación reflexiva es serial: para una $x$ dada , elija $y = x$ .
Como un set^{[ cita requerida ]} (o local ): ^{[ cita requerida ]} para todo $x \in X$ , la clase de todo $y$ tal que $yRx$ es un conjunto. (Esto tiene sentido sólo si se permiten relaciones sobre clases adecuadas). Por ejemplo, el orden habitual <sobre la clase de números ordinales es una relación de tipo conjunto, mientras que su inversa> no lo es.
Bien fundado: cada subconjunto no vacío $S$ de $X$ contiene un elemento mínimo con respecto a $R$ . El estar bien fundado implica la condición de cadena descendente (es decir, no puede existir una cadena infinita ... $x n R ... Rx 3 Rx 2 Rx 1$ ). Si se asume el axioma de elección dependiente , ambas condiciones son equivalentes. ^[29]^[30]

Un preorden es una relación reflexiva y transitiva. Un preorden total , también llamado preorden lineal u orden débil , es una relación que es reflexiva, transitiva y conectada.

Un orden parcial , también llamado orden , ^{[ cita requerida ]} es una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un orden parcial estricto , también llamado orden estricto , ^{[ cita requerida ]} es una relación que es irreflexiva, antisimétrica y transitiva. Un orden total , también llamado orden lineal , orden simple o cadena , es una relación que es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conectada. ^[31] Un orden total estricto , también llamado orden lineal estricto ,El orden estricto simple , o cadena estricta , es una relación que es irreflexiva, antisimétrica, transitiva y conectada.

Una relación de equivalencia parcial es una relación simétrica y transitiva. Una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. También es una relación simétrica, transitiva y serial, ya que estas propiedades implican reflexividad.

Implicaciones y conflictos entre propiedades de relaciones binarias homogéneas
Implicaciones (azul) y conflictos (rojo) entre propiedades (amarillo) de relaciones binarias homogéneas. Por ejemplo, cada relación asimétrica es irreflexive ( " ASYM ⇒ Irrefl " ), y no hay relación en un conjunto no vacío puede ser tanto irreflexive y reflexiva ( " Irrefl # Refl " ). Omitir los bordes rojos da como resultado un diagrama de Hasse .

Operaciones [ editar ]

Si R es una relación homogénea sobre un conjunto X, entonces cada uno de los siguientes es una relación homogénea sobre X :

Cierre reflexivo : R ⁼ , definido como $R = = {(x, x) | x \in X} \cup R$ o la relación reflexiva más pequeño sobre X que contiene R . Esto puede ser demostrado ser igual a la intersección de todas las relaciones reflexivas que contienen R .
Reducción reflexiva : R ^≠ , definida como $R ≠ = R \ {( x , x ) | x ∈ X }$ o el más grande irreflexive relación sobre X contenido en R .
Cierre transitivo : R ⁺ , definida como la relación transitiva más pequeño sobre X que contiene R . Esto puede ser visto a ser igual a la intersección de todas las relaciones transitivos que contienen R .
Reflexive transitivo cierre : R *, definida como $R * = (R +) =$ , el más pequeño orden previo que contiene R .
Reflexive transitivo simétrica cierre : R ^≡ , definida como la más pequeña relación de equivalencia sobre X que contiene R .

Todas las operaciones definidas en la sección Operaciones sobre relaciones binarias también se aplican a relaciones homogéneas.

Relaciones homogéneas por propiedad
	Reflexividad	Simetría	Transitividad	Conectividad	Símbolo	Ejemplo
Gráfico dirigido					→
Gráfico no dirigido		Simétrico
Dependencia	Reflexivo	Simétrico
Torneo	Irreflexivo	Antisimétrico				Orden jerárquico
Hacer un pedido	Reflexivo		sí		≤	Preferencia
Reserva total	Reflexivo		sí	sí	≤
Orden parcial	Reflexivo	Antisimétrico	sí		≤	Subconjunto
Orden parcial estricto	Irreflexivo	Antisimétrico	sí		<	Subconjunto estricto
Orden total	Reflexivo	Antisimétrico	sí	sí	≤	Orden alfabetico
Orden total estricto	Irreflexivo	Antisimétrico	sí	sí	<	Orden alfabético estricto
Relación de equivalencia parcial		Simétrico	sí
Relación de equivalencia	Reflexivo	Simétrico	sí		∼, ≡	Igualdad

Enumeración [ editar ]

El número de relaciones homogéneas distintas sobre un conjunto de n elementos es $2 n 2$ (secuencia A002416 en la OEIS ):

Número de relaciones binarias de n elementos de diferentes tipos
Elementos	Alguna	Transitivo	Reflexivo	Hacer un pedido	Orden parcial	Reserva total	Orden total	Relación de equivalencia
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	dieciséis	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3.994	4.096	355	219	75	24	15
norte	2 ^{n ²}		2 ^{n ² - n}			$\sum n k = 0 k! S (n, k)$	n !	$\sum n k = 0 S (n, k)$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Notas:

El número de relaciones irreflexivas es el mismo que el de relaciones reflexivas.
El número de órdenes parciales estrictos (relaciones transitivas irreflexivas) es el mismo que el de órdenes parciales.
El número de pedidos débiles estrictos es el mismo que el de pedidos por adelantado totales.
Los pedidos totales son los pedidos parciales que también son pedidos por adelantado totales. El número de pedidos por adelantado que no son ni un pedido parcial ni un pedido por adelantado total es, por tanto, el número de pedidos por adelantado, menos el número de pedidos parciales, menos el número de pedidos por adelantado totales, más el número de pedidos totales: 0, 0, 0, 3 y 85, respectivamente.
El número de relaciones de equivalencia es el número de particiones , que es el número de Bell .

Las relaciones homogéneas se pueden agrupar en pares (relación, complemento ), excepto que para $n = 0$ la relación es su propio complemento. Los no simétricos se pueden agrupar en cuádruples (relación, complemento, inverso , complemento inverso).

Ejemplos [ editar ]

Relaciones de pedidos , incluidas las órdenes estrictas :
- Mas grande que
- Mayor qué o igual a
- Menos que
- Menos que o igual a
- Divide (uniformemente)
- Subconjunto de
Relaciones de equivalencia :
- Igualdad
- Paralelo con (para espacios afines )
- Está en biyección con
- Isomorfo
Relación de tolerancia , una relación reflexiva y simétrica:
- Relación de dependencia , una relación de tolerancia finita
- Relación de independencia , el complemento de alguna relación de dependencia
Relaciones de parentesco

Ver también [ editar ]

Sistema de reescritura abstracta
Relación aditiva , un homomorfismo multivaluado entre módulos
Categoría de relaciones , una categoría que tiene conjuntos como objetos y relaciones binarias heterogéneas como morfismos
Confluencia (reescritura de términos) , analiza varias propiedades inusuales pero fundamentales de las relaciones binarias
Correspondencia (geometría algebraica) , una relación binaria definida por ecuaciones algebraicas
Diagrama de Hasse , un medio gráfico para mostrar una relación de orden
Estructura de incidencia , una relación heterogénea entre un conjunto de puntos y líneas.
Lógica de los parientes , una teoría de las relaciones por Charles Sanders Peirce
Teoría del orden , investiga las propiedades de las relaciones de orden.

Notas [ editar ]

^ Los autores que se ocupan de las relaciones binarias sólo como un caso especial derelaciones n -arias para n arbitrariossuelen escribir Rxy como un caso especial de Rx ₁ ... x _n ( notación de prefijo ). ^[9]

Referencias [ editar ]

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Bibliografía [ editar ]

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Enlaces externos [ editar ]

Medios relacionados con las relaciones binarias en Wikimedia Commons
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