En matemáticas , la serie binomial es la serie de Taylor para la función dada por dónde es un número complejo arbitrario y | x | <1. Explícitamente,
( 1 )
y la serie binomial es la serie de potencias en el lado derecho de ( 1 ), expresada en términos de los coeficientes binomiales (generalizados)
Casos especiales
Si α es un número entero no negativo n , entonces el término ( n + 2) nd y todos los términos posteriores de la serie son 0, ya que cada uno contiene un factor ( n - n ); por tanto, en este caso la serie es finita y da la fórmula binomial algebraica .
La siguiente variante es válida para el complejo β arbitrario , pero es especialmente útil para manejar exponentes enteros negativos en ( 1 ):
Para demostrarlo, sustituya x = - z en ( 1 ) y aplique el coeficiente binomial identidad
Convergencia
Condiciones de convergencia
Si ( 1 ) converge depende de los valores de los números complejos α y x . Más precisamente:
- Si | x | <1 , la serie converge absolutamente para cualquier número complejo α .
- Si | x | = 1 , los serie converge absolutamente si y sólo si , ya sea Re ( α )> 0 o α = 0 , donde Re ( α ) denota la parte real de α .
- Si | x | = 1 y x ≠ -1 , los serie converge si y sólo si Re ( α )> -1 .
- Si x = −1 , la serie converge si y solo si Re ( α )> 0 o α = 0 .
- Si | x | > 1 , la serie diverge , a menos que α sea un número entero no negativo (en cuyo caso la serie es una suma finita).
En particular, si no es un número entero no negativo, la situación en el límite del disco de convergencia ,, se resume de la siguiente manera:
- Si Re ( α )> 0 , la serie converge absolutamente.
- Si −1
α ) ≤ 0 , la serie converge condicionalmente si x ≠ −1 y diverge si x = −1 . - Si Re ( α ) ≤ −1 , la serie diverge.
Identidades que se utilizarán en la prueba.
Lo siguiente es válido para cualquier número complejo α :
( 2 )
( 3 )
A no ser que es un número entero no negativo (en cuyo caso los coeficientes binomiales desaparecen cuando Es mas grande que ), una relación asintótica útil para los coeficientes binomiales es, en notación de Landau :
( 4 )
Esto es esencialmente equivalente a la definición de Euler de la función Gamma :
e implica inmediatamente los límites más gruesos
( 5 )
para algunas constantes positivas m y M .
La fórmula ( 2 ) para el coeficiente binomial generalizado se puede reescribir como
( 6 )
Prueba
Para demostrar (i) y (v), aplique la prueba de razón y use la fórmula ( 2 ) anterior para mostrar que siempre queno es un entero no negativo, el radio de convergencia es exactamente 1. La parte (ii) se sigue de la fórmula ( 5 ), en comparación con los p -series
con . Para probar (iii), primero use la fórmula ( 3 ) para obtener
( 7 )
y luego use (ii) y la fórmula ( 5 ) nuevamente para probar la convergencia del lado derecho cuandose supone. Por otro lado, la serie no converge si y , nuevamente por la fórmula ( 5 ). Alternativamente, podemos observar que para todos, . Así, por la fórmula ( 6 ), para todos. Esto completa la prueba de (iii). Pasando a (iv), usamos la identidad ( 7 ) arriba con y en lugar de , junto con la fórmula ( 4 ), para obtener
como . La afirmación (iv) ahora se sigue del comportamiento asintótico de la secuencia. (Precisamente, ciertamente converge a Si y diverge a Si . Si, luego converge si y solo si la secuencia converge , lo cual es ciertamente cierto si pero falso si : en el último caso la secuencia es densa , Debido al hecho de que diverge y converge a cero).
Suma de la serie binomial
El argumento habitual para calcular la suma de la serie binomial es el siguiente. Diferenciar trimestralmente la serie binomial dentro del disco de convergencia | x | <1 y usando la fórmula ( 1 ), se tiene que la suma de la serie es una función analítica que resuelve la ecuación diferencial ordinaria (1 + x ) u '( x ) = αu ( x ) con datos iniciales u (0) = 1 La única solución de este problema es la función u ( x ) = (1 + x ) α , que es, por tanto, la suma de las series binomiales, al menos para | x | <1. La igualdad se extiende a | x | = 1 siempre que la serie converja, como consecuencia del teorema de Abel y por la continuidad de (1 + x ) α .
Historia
Los primeros resultados relativos a series binomiales para exponentes distintos de los enteros positivos fueron dados por Sir Isaac Newton en el estudio de áreas encerradas bajo ciertas curvas. John Wallis se basó en este trabajo considerando expresiones de la forma y = (1 - x 2 ) m donde m es una fracción. Encontró que (escrito en términos modernos) los coeficientes sucesivos c k de (- x 2 ) k deben calcularse multiplicando el coeficiente anterior porm - ( k - 1)/k(como en el caso de exponentes enteros), dando así implícitamente una fórmula para estos coeficientes. Escribe explícitamente las siguientes instancias [a]
Por lo tanto, la serie binomial a veces se denomina teorema binomial de Newton . Newton no da ninguna prueba y no es explícito sobre la naturaleza de la serie. Más tarde, en 1826, Niels Henrik Abel discutió el tema en un artículo publicado en Crelle's Journal , tratando en particular cuestiones de convergencia. [2]
Ver también
- Aproximación binomial
- Teorema binomial
- Tabla de series newtonianas
Notas al pie
Notas
- ^ [1] De hecho, esta fuente da todos los términos no constantes con un signo negativo, que no es correcto para la segunda ecuación; hay que asumir que se trata de un error de transcripción.
Citas
- ^ Coolidge, 1949 .
- ^ Abel 1826 .
Referencias
- Abel, Niels (1826), "Recherches sur la série 1 + (m / 1) x + (m (m-1) /1.2) x 2 + (m (m-1) (m-2) /1.2.3 ) x 3 + ... " , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 311–339
- Coolidge, JL (1949), "La historia del teorema del binomio", The American Mathematical Monthly , 56 (3): 147-157, doi : 10.2307 / 2305028 , JSTOR 2305028
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Serie binomial" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teorema del binomio" . MathWorld .
- fórmula binomial en PlanetMath .
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Serie binomial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press