En la física , específicamente electromagnetismo , la ley de Biot-Savart ( / b i oʊ s ə v ɑr / o / b j oʊ s ə v ɑr / ) [1] es una ecuación que describe el campo magnético generado por una constante corriente electrica . Relaciona el campo magnético con la magnitud, dirección, longitud y proximidad de la corriente eléctrica. La ley de Biot-Savart es fundamental para la magnetostática, desempeñando un papel similar al de la ley de Coulomb en electrostática . Cuando no se aplica la magnetostática, la ley de Biot-Savart debe reemplazarse por las ecuaciones de Jefimenko . La ley es válida en la aproximación magnetoestática y consistente tanto con Ley de Ampère y la ley de Gauss para el magnetismo . [2] Lleva el nombre de Jean-Baptiste Biot y Félix Savart , quienes descubrieron esta relación en 1820.
Ecuación
Corrientes eléctricas (a lo largo de una curva / cable cerrado)
La ley de Biot-Savart se utiliza para calcular el campo magnético resultante B en la posición r en el espacio 3D generado por una corriente flexible I (por ejemplo, debido a un cable). Una corriente constante (o estacionaria) es un flujo continuo de cargas que no cambia con el tiempo y la carga no se acumula ni se agota en ningún momento. La ley es un ejemplo físico de una integral de línea , que se evalúa sobre la ruta C en la que fluyen las corrientes eléctricas (por ejemplo, el cable). La ecuación en unidades SI es [3]
dónde es un vector a lo largo del camino cuya magnitud es la longitud del elemento diferencial del hilo en la dirección de la corriente convencional . es un punto en el camino . es el vector de desplazamiento completo del elemento de alambre () en el punto hasta el punto en el que se calcula el campo (), y μ 0 es la constante magnética . Alternativamente:
dónde es el vector unitario de. Los símbolos en negrita indican cantidades vectoriales .
La integral suele estar alrededor de una curva cerrada , ya que las corrientes eléctricas estacionarias solo pueden fluir alrededor de trayectorias cerradas cuando están limitadas. Sin embargo, la ley también se aplica a cables infinitamente largos (este concepto se utilizó en la definición de la unidad SI de corriente eléctrica, el amperio, hasta el 20 de mayo de 2019).
Para aplicar la ecuación, el punto en el espacio donde se va a calcular el campo magnético se elige arbitrariamente (). Manteniendo ese punto fijo, se calcula la integral de línea sobre la trayectoria de la corriente eléctrica para encontrar el campo magnético total en ese punto. La aplicación de esta ley se basa implícitamente en el principio de superposición de campos magnéticos, es decir, el hecho de que el campo magnético es una suma vectorial del campo creado por cada sección infinitesimal del cable individualmente. [4]
También existe una versión 2D de la ecuación de Biot-Savart, que se utiliza cuando las fuentes son invariantes en una dirección. En general, la corriente no necesita fluir solo en un plano normal a la dirección invariante y está dada por( densidad de corriente ). La fórmula resultante es:
Densidad de corriente eléctrica (en todo el volumen del conductor)
Las formulaciones dadas arriba funcionan bien cuando la corriente se puede aproximar a través de un cable infinitamente estrecho. Si el conductor tiene algún grosor, la formulación adecuada de la ley de Biot-Savart (nuevamente en unidades SI ) es:
dónde es el vector de dV al punto de observación , es el elemento de volumen , yes el vector de densidad de corriente en ese volumen (en SI en unidades de A / m 2 ).
En términos de vector unitario
Corriente uniforme constante
En el caso especial de una corriente constante uniforme I , el campo magnético es
es decir, la corriente se puede sacar de la integral.
Carga puntual a velocidad constante
En el caso de una partícula con carga puntual q se mueve a una velocidad constante v , las ecuaciones de Maxwell dan la siguiente expresión para el campo eléctrico y el campo magnético: [5]
dónde es el vector unitario que apunta desde la posición actual (no retardada) de la partícula hasta el punto en el que se mide el campo, y θ es el ángulo entre y .
Cuando v 2 ≪ c 2 , el campo eléctrico y el campo magnético se pueden aproximar como [5]
Estas ecuaciones fueron derivadas por primera vez por Oliver Heaviside en 1888. Algunos autores [6] [7] llaman a la ecuación anterior parala "ley de Biot-Savart para una carga puntual" debido a su gran parecido con la ley estándar de Biot-Savart. Sin embargo, este lenguaje es engañoso ya que la ley de Biot-Savart se aplica solo a corrientes estables y una carga puntual que se mueve en el espacio no constituye una corriente constante. [8]
Aplicaciones de respuestas magnéticas
La ley de Biot-Savart se puede utilizar en el cálculo de respuestas magnéticas incluso a nivel atómico o molecular, por ejemplo, blindajes químicos o susceptibilidades magnéticas , siempre que la densidad de corriente se pueda obtener a partir de un cálculo o teoría de la mecánica cuántica.
Aplicaciones aerodinámicas
La ley de Biot-Savart también se utiliza en la teoría aerodinámica para calcular la velocidad inducida por las líneas de vórtice .
En la aplicación aerodinámica , los roles de la vorticidad y la corriente se invierten en comparación con la aplicación magnética.
En el artículo de Maxwell de 1861 "On Physical Lines of Force", [9] la intensidad del campo magnético H se equiparó directamente con la vorticidad pura (espín), mientras que B era una vorticidad ponderada que se ponderaba por la densidad del mar de vórtices. Maxwell consideró que la permeabilidad magnética μ era una medida de la densidad del mar de vórtices. De ahí la relación,
- Corriente de inducción magnética
- Corriente de convección eléctrica
La ecuación de la corriente eléctrica puede verse como una corriente convectiva de carga eléctrica que implica un movimiento lineal. Por analogía, la ecuación magnética es una corriente inductiva que involucra espín. No hay movimiento lineal en la corriente inductiva a lo largo de la dirección del vector B. La corriente inductiva magnética representa líneas de fuerza. En particular, representa líneas de fuerza de la ley del inverso del cuadrado.
En aerodinámica, las corrientes de aire inducidas forman anillos solenoides alrededor de un eje de vórtice. Se puede hacer una analogía de que el eje del vórtice está desempeñando el papel que desempeña la corriente eléctrica en el magnetismo. Esto coloca a las corrientes de aire de la aerodinámica (campo de velocidad del fluido) en el papel equivalente del vector de inducción magnética B en el electromagnetismo.
En el electromagnetismo, las líneas B forman anillos solenoides alrededor de la fuente de corriente eléctrica, mientras que en aerodinámica, las corrientes de aire (velocidad) forman anillos solenoidales alrededor del eje del vórtice de la fuente.
Por lo tanto, en el electromagnetismo, el vórtice juega el papel de "efecto", mientras que en la aerodinámica, el vórtice juega el papel de "causa". Sin embargo, cuando miramos las líneas B de forma aislada, vemos exactamente el escenario aerodinámico en la medida en que B es el eje del vórtice y H es la velocidad circunferencial como en el artículo de 1861 de Maxwell.
En dos dimensiones , para una línea de vórtice de longitud infinita, la velocidad inducida en un punto está dada por
donde Γ es la fuerza del vórtice y r es la distancia perpendicular entre el punto y la línea del vórtice. Esto es similar al campo magnético producido en un plano por un alambre delgado y recto infinitamente largo normal al plano.
Este es un caso límite de la fórmula para segmentos de vórtice de longitud finita (similar a un cable finito):
donde A y B son los ángulos (con signo) entre la línea y los dos extremos del segmento.
La ley de Biot-Savart, la ley circuital de Ampère y la ley de Gauss para el magnetismo
En una situación magnetostática , el campo magnético B calculado a partir de la ley de Biot-Savart siempre satisfará la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Ampère : [10]
Esquema de la prueba [10] (Haga clic en "mostrar" a la derecha). Comenzando con la ley de Biot-Savart: Sustituyendo la relación
y el uso de la regla del producto para rizos , así como el hecho de que J no depende de, esta ecuación se puede reescribir como [10]
Dado que la divergencia de un rizo es siempre cero, esto establece la ley de Gauss para el magnetismo . Luego, tomando el rizo de ambos lados, usando la fórmula para el rizo de un rizo , y nuevamente usando el hecho de que J no depende de, finalmente obtenemos el resultado [10]
Finalmente, conectando las relaciones [10]
(donde δ es la función delta de Dirac ), utilizando el hecho de que la divergencia de J es cero (debido al supuesto de magnetostática ), y realizando una integración por partes , el resultado resulta ser [10]
es decir, la ley de Ampère . (Debido a la suposición de magnetostática ,, por lo que no hay un término actual de desplazamiento adicional en la ley de Ampère).
En una situación no magnetostática, la ley de Biot-Savart deja de ser cierta (es reemplazada por las ecuaciones de Jefimenko ), mientras que la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Maxwell-Ampère siguen siendo verdaderas.
Ver también
Personas
- Jean-Baptiste Biot
- Félix Savart
- André-Marie Ampère
- James Clerk Maxwell
Electromagnetismo
- Ecuaciones de Maxwell
- Ley de Ampère
- Magnetismo
- ley de Coulomb
- Darwin Lagrangiano
Notas
- ^ "Ley de Biot-Savart" . Diccionario íntegro de Random House Webster .
- ^ Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. Capítulo 5. ISBN 0-471-30932-X.
- ^ Electromagnetismo (segunda edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9
- ^ El principio de superposición se aplica a los campos eléctrico y magnético porque son la solución a un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales , a saber, las ecuaciones de Maxwell , donde la corriente es uno de los "términos fuente".
- ^ a b Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.) . Prentice Hall. págs. 222–224, 435–440 . ISBN 0-13-805326-X.
- ^ Caballero, Randall (2017). Física para científicos e ingenieros (4ª ed.). Pearson Higher Ed. pag. 800.
- ^ "Copia archivada" . Archivado desde el original el 19 de junio de 2009 . Consultado el 30 de septiembre de 2009 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )
- ^ Véase la nota de advertencia al pie de página en Griffiths p. 219 o la discusión en Jackson p. 175-176.
- ^ Maxwell, JC "Sobre líneas físicas de fuerza" (PDF) . Común de Wikimedia . Consultado el 25 de diciembre de 2011 .
- ^ a b c d e f Véase Jackson, págs. 178–79 o Griffiths, pág. 222-24. La presentación en Griffiths es particularmente completa, con todos los detalles detallados.
Referencias
- Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
- Feynman, Richard (2005). Las conferencias de Física de Feynman (2ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-9045-2.
Otras lecturas
- Electricidad y física moderna (segunda edición), GAG Bennet, Edward Arnold (Reino Unido), 1974, ISBN 0-7131-2459-8
- Principios Esenciales de Física, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2da edición, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
- The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
- Física para científicos e ingenieros - con la física moderna (sexta edición), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
- Encyclopaedia of Physics (2.a edición), RG Lerner , GL Trigg, editores de VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
- Enciclopedia de Física de McGraw Hill (segunda edición), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
enlaces externos
- Medios relacionados con la ley Biot-Savart en Wikimedia Commons
- Electromagnetismo , B. Crowell, Fullerton College
- MISN-0-125 La ley Ampère-Laplace-Biot-Savart por Orilla McHarris y Peter Signell para el Proyecto PHYSNET .
- Campo magnético de un bucle circular con corriente eléctrica , Ilustración de la ley de Biot-Savart