En matemáticas , la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer describe el conjunto de soluciones racionales a las ecuaciones que definen una curva elíptica . Es un problema abierto en el campo de la teoría de números y es ampliamente reconocido como uno de los problemas matemáticos más desafiantes. La conjetura fue elegida como uno de los siete Problemas del Premio del Milenio enumerados por el Clay Mathematics Institute , que ha ofrecido un premio de $ 1,000,000 por la primera prueba correcta. [1] Lleva el nombre de los matemáticos Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer., quien desarrolló la conjetura durante la primera mitad de la década de 1960 con la ayuda de la computación mecánica. A partir de 2021 [actualizar], solo se han probado casos especiales de la conjetura.
La formulación moderna de la conjetura refiere datos aritméticos asociados con una curva elíptica E sobre un campo de número de K para el comportamiento de la Hasse-Weil L -Función L ( E , S ) de E en s = 1. Más específicamente, se conjetura que el rango del grupo abeliano E ( K ) de puntos de E es el orden del cero de L ( E , s ) en s = 1, y el primer coeficiente distinto de cero en la expansión de Taylor de L ( E , s ) en s = 1 viene dado por datos aritméticos más refinados adjuntos a E sobre K ( Wiles 2006 ).
Fondo
Mordell (1922) demostró el teorema de Mordell : el grupo de puntos racionales en una curva elíptica tiene una base finita . Esto significa que para cualquier curva elíptica hay un subconjunto finito de puntos racionales en la curva, a partir de los cuales se pueden generar todos los puntos racionales adicionales.
Si el número de puntos racionales en una curva es infinito, entonces algún punto en una base finita debe tener un orden infinito. El número de puntos básicos independientes con orden infinito se denomina rango de la curva y es una propiedad invariante importante de una curva elíptica.
Si el rango de una curva elíptica es 0, entonces la curva solo tiene un número finito de puntos racionales. Por otro lado, si el rango de la curva es mayor que 0, entonces la curva tiene un número infinito de puntos racionales.
Aunque el teorema de Mordell muestra que el rango de una curva elíptica es siempre finito, no proporciona un método eficaz para calcular el rango de cada curva. El rango de ciertas curvas elípticas se puede calcular usando métodos numéricos pero (en el estado actual de conocimiento) se desconoce si estos métodos manejan todas las curvas.
Un L -Función L ( E , s ) se puede definir para una curva elíptica E mediante la construcción de un producto Euler a partir del número de puntos de la curva modulo cada primer p . Esta función L es análoga a la función zeta de Riemann y la serie L de Dirichlet que se define para una forma cuadrática binaria . Es un caso especial de función L de Hasse-Weil .
La definición natural de L ( E , s ) solo converge para los valores de s en el plano complejo con Re ( s )> 3/2. Helmut Hasse conjeturó que L ( E , s ) podría extenderse mediante la continuación analítica a todo el plano complejo. Esta conjetura fue probada por primera vez por Deuring (1941) para curvas elípticas con multiplicación compleja . Posteriormente se demostró que era cierto para todas las curvas elípticas sobre Q , como consecuencia del teorema de modularidad .
Encontrar puntos racionales en una curva elíptica general es un problema difícil. Encontrar los puntos en una curva elíptica módulo un primo p dado es conceptualmente sencillo, ya que solo hay un número finito de posibilidades para verificar. Sin embargo, para números primos grandes, es computacionalmente intensivo.
Historia
A principios de la década de 1960, Peter Swinnerton-Dyer utilizó la computadora EDSAC-2 en el Laboratorio de Computación de la Universidad de Cambridge para calcular el número de puntos módulo p (denotado por N p ) para un gran número de primos p en curvas elípticas cuyo rango era conocido. A partir de estos resultados numéricos, Birch y Swinnerton-Dyer (1965) conjeturaron que N p para una curva E con rango r obedece a una ley asintótica
donde C es una constante.
Inicialmente, esto se basó en tendencias algo tenues en los gráficos gráficos; esto indujo una medida de escepticismo en JWS Cassels (asesor de doctorado de Birch). [2] Con el tiempo, la evidencia numérica se acumuló.
Esto, a su vez, los llevó a hacer una conjetura general sobre el comportamiento de la función L de una curva L ( E , s ) en s = 1, es decir, que tendría un cero de orden r en este punto. Ésta era una conjetura con visión de futuro para la época, dado que la continuación analítica de L ( E , s ) allí solo se estableció para curvas con multiplicación compleja, que también eran la principal fuente de ejemplos numéricos. (Tenga en cuenta que el recíproco de la función L es desde algunos puntos de vista un objeto de estudio más natural; en ocasiones esto significa que se deben considerar polos en lugar de ceros).
La conjetura se amplió posteriormente para incluir la predicción del coeficiente de Taylor principal preciso de la función L en s = 1. Está dado conjeturalmente por
donde las cantidades en el lado derecho son invariantes de la curva, estudiadas por Cassels, Tate , Shafarevich y otros: estos incluyen el orden del grupo de torsión , el orden del grupo Tate-Shafarevich y las alturas canónicas de una base de puntos racionales ( Wiles 2006 ).
Estado actual
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se ha probado solo en casos especiales:
- Coates y Wiles (1977) demostraron que si E es una curva sobre un campo numérico F con multiplicación compleja por un campo cuadrático imaginario K de clase número 1, F = K o Q , y L ( E , 1) no es 0, entonces E ( F ) es un grupo finito. Esto se extendió al caso en el que F es cualquier extensión abeliana finita de K por Arthaud (1978) .
- Gross y Zagier (1986) demostraron que si una curva elíptica modular tiene un cero de primer orden en s = 1, entonces tiene un punto racional de orden infinito; consulte el teorema de Gross-Zagier .
- Kolyvagin (1989) mostró que una curva elíptica modular E para la cual L ( E , 1) no es cero tiene rango 0, y una curva elíptica modular E para la cual L ( E , 1) tiene un cero de primer orden en s = 1 tiene rango 1.
- Rubin (1991) mostró que para curvas elípticas definidas sobre un campo cuadrático imaginario K con multiplicación compleja por K , si la serie L de la curva elíptica no era cero en s = 1, entonces la parte p del grupo Tate-Shafarevich tenía el orden predicho por la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, para todos los primos p > 7.
- Breuil y col. (2001) , ampliando el trabajo de Wiles (1995) , demostró que todas las curvas elípticas definidas sobre los números racionales son modulares , lo que extiende los resultados # 2 y # 3 a todas las curvas elípticas sobre los racionales, y muestra que las funciones L de todas las Las curvas elípticas sobre Q se definen en s = 1.
- Bhargava y Shankar (2015) demostraron que el rango promedio del grupo de Mordell-Weil de una curva elíptica sobre Q está limitado por encima de 7/6. Combinando esto con el teorema de paridad p de Nekovář (2009) y Dokchitser & Dokchitser (2010) y con la prueba de la principal conjetura de la teoría de Iwasawa para GL (2) de Skinner & Urban (2014) , concluyen que una proporción positiva de curvas elípticas sobre Q tienen rango analítico cero y, por lo tanto, según Kolyvagin (1989) , satisfacen la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
No se ha probado nada para las curvas con rango superior a 1, aunque existe una amplia evidencia numérica de la veracidad de la conjetura. [3]
Consecuencias
Al igual que la hipótesis de Riemann , esta conjetura tiene múltiples consecuencias, incluidas las dos siguientes:
- Sea n un número entero impar sin cuadrados . Suponiendo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, n es el área de un triángulo rectángulo con longitudes racionales de los lados (un número congruente ) si y solo si el número de tripletes de enteros ( x , y , z ) satisface 2 x 2 + y 2 + 8 z 2 = n es el doble del número de tripletes que satisfacen 2 x 2 + y 2 + 32 z 2 = n . Este enunciado, debido al teorema de Tunnell ( Tunnell 1983 ), está relacionado con el hecho de que n es un número congruente si y solo si la curva elíptica y 2 = x 3 - n 2 x tiene un punto racional de orden infinito (por lo tanto, bajo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, su función L tiene un cero en 1 ). El interés de esta afirmación es que la condición se verifica fácilmente. [4]
- En una dirección diferente, ciertos métodos analíticos permiten una estimación del orden de cero en el centro de la franja crítica de familias de funciones L. Admitiendo la conjetura BSD, estas estimaciones corresponden a información sobre el rango de familias de curvas elípticas en cuestión. Por ejemplo: suponga que la hipótesis generalizada de Riemann y la conjetura BSD, el rango promedio de curvas dado por y 2 = x 3 + ax + b es menor que 2 . [5]
Notas
- ^ Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer en Clay Mathematics Institute
- ^ Stewart, Ian (2013), Visiones del infinito: los grandes problemas matemáticos , libros básicos, p. 253, ISBN 9780465022403,
Cassels era muy escéptico al principio
. - ^ Cremona, John (2011). "Evidencia numérica de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer" (PDF) . Charla en la BSD 50th Anniversary Conference, mayo de 2011 .
- ^ Koblitz, Neal (1993). Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares . Textos de Posgrado en Matemáticas. 97 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2.
- ^ Heath-Brown, DR (2004). "El rango analítico promedio de curvas elípticas". Diario de matemáticas de Duke . 122 (3): 591–623. arXiv : matemáticas / 0305114 . doi : 10.1215 / S0012-7094-04-12235-3 . Señor 2057019 .
Referencias
- Arthaud, Nicole (1978). "Sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer para curvas elípticas con multiplicación compleja". Compositio Mathematica . 37 (2): 209–232. Señor 0504632 .
- Bhargava, Manjul ; Shankar, Arul (2015). "Formas cúbicas ternarias con invariantes acotadas y existencia de una proporción positiva de curvas elípticas de rango 0". Annals of Mathematics . 181 (2): 587–621. arXiv : 1007.0052 . doi : 10.4007 / annals.2015.181.2.4 .
- Birch, Bryan ; Swinnerton-Dyer, Peter (1965). "Notas sobre curvas elípticas (II)". J. Reine Angew. Matemáticas. 165 (218): 79–108. doi : 10.1515 / crll.1965.218.79 .
- Breuil, Christophe ; Conrad, Brian ; Diamond, Fred ; Taylor, Richard (2001). "Sobre la modularidad de las curvas elípticas sobre Q: Wild 3-Adic Exercises" . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 14 (4): 843–939. doi : 10.1090 / S0894-0347-01-00370-8 .
- Coates, JH ; Greenberg, R .; Ribet, KA ; Rubin, K. (1999). Teoría aritmética de curvas elípticas . Apuntes de clase en matemáticas. 1716 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-66546-3.
- Coates, J .; Wiles, A. (1977). "Sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer". Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223-251. Código bibliográfico : 1977InMat..39..223C . doi : 10.1007 / BF01402975 . Zbl 0359.14009 .
- Deuring, Max (1941). "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 14 (1): 197–272. doi : 10.1007 / BF02940746 .
- Dokchitser, Tim ; Dokchitser, Vladimir (2010). "En los cuadrados módulo de cocientes de Birch-Swinnerton-Dyer". Annals of Mathematics . 172 (1): 567–596. arXiv : matemáticas / 0610290 . doi : 10.4007 / annals.2010.172.567 . Señor 2680426 .
- Gross, Benedict H .; Zagier, Don B. (1986). "Puntos de Heegner y derivadas de la serie L". Inventiones Mathematicae . 84 (2): 225–320. Código Bibliográfico : 1986InMat..84..225G . doi : 10.1007 / BF01388809 . Señor 0833192 .
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- Mordell, Louis (1922). "Sobre las soluciones racionales de las ecuaciones indeterminadas de tercer y cuarto grados". Proc. Camb. Phil. Soc. 21 : 179-192.
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- Skinner, Christopher ; Urbano, Éric (2014). "Las principales conjeturas de Iwasawa para GL 2 ". Inventiones Mathematicae . 195 (1): 1–277. Código Bibliográfico : 2014InMat.195 .... 1S . doi : 10.1007 / s00222-013-0448-1 .
- Tunnell, Jerrold B. (1983). "Un problema diofántico clásico y formas modulares de peso 3/2" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 72 (2): 323–334. Código bibliográfico : 1983InMat..72..323T . doi : 10.1007 / BF01389327 . hdl : 10338.dmlcz / 137483 . Zbl 0515.10013 .
- Wiles, Andrew (1995). "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 141 (3): 443–551. doi : 10.2307 / 2118559 . ISSN 0003-486X . JSTOR 2118559 . Señor 1333035 .
- Wiles, Andrew (2006). "La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer" (PDF) . En Carlson, James; Jaffe, Arthur ; Wiles, Andrew (eds.). Los problemas del premio Millennium . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8. Señor 2238272 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de Swinnerton-Dyer" . MathWorld .
- "Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer" . PlanetMath .
- La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer : una entrevista con el profesor Henri Darmon por Agnes F. Beaudry
- ¿Qué es la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer? conferencia de Manjul Bhargava (septiembre de 2016) pronunciada durante la Clay Research Conference celebrada en la Universidad de Oxford