En 1932, GD Birkhoff creó un conjunto de cuatro postulados de geometría euclidiana en el plano, a veces denominados axiomas de Birkhoff . [1] Todos estos postulados se basan en geometría básica que puede confirmarse experimentalmente con una escala y un transportador . Dado que los postulados se basan en números reales , el enfoque es similar a una introducción basada en modelos a la geometría euclidiana.
El sistema de axiomas de Birkhoff fue utilizado en el libro de texto de la escuela secundaria por Birkhoff y Beatley. [2] Estos axiomas también fueron modificados por el Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares para proporcionar un nuevo estándar para la enseñanza de geometría en la escuela secundaria, conocido como axiomas SMSG . Algunos otros libros de texto sobre los fundamentos de la geometría utilizan variantes de los axiomas de Birkhoff. [3]
Postulados
La distancia entre dos puntos A y B se denota por d ( A, B ) , y el ángulo formado por tres puntos A , B , C se denota por ∠ ABC .
Postulado I: Postulado de la medida lineal . El conjunto de puntos { A , B , ...} en cualquier línea se puede poner en una correspondencia 1: 1 con los números reales { a , b , ...} de modo que | b - a | = D ( A, B ) para todos los puntos A y B .
Postulado II: Postulado de la línea de puntos . Hay una y solo una línea ℓ que contiene dos puntos distintos P y Q dados .
Postulado III: Postulado de la medida del ángulo . El conjunto de rayos { ℓ, m, n , ...} a través de cualquier punto O se puede poner en correspondencia 1: 1 con los números reales a (mod 2 π ) de modo que si A y B son puntos (no iguales a O ) de ℓ y m , respectivamente, la diferencia de un m - un ℓ (2π mod) de los números asociados con las líneas de ℓ y m es ∠ AOB . Además, si el punto B en m varía continuamente en una línea r que no contiene el vértice O , el número a m varía continuamente también.
Postulado IV: Postulado de semejanza . Dados dos triángulos ABC y A'B'C ' y alguna constante k > 0 tal que d ( A', B ' ) = kd ( A, B ), d ( A', C ' ) = kd ( A, C ) y ∠ B'A'C ' = ± ∠ BAC , entonces d ( B', C ' ) = kd ( B, C ), ∠ C'B'A' = ± ∠ CBA , y ∠ A'C'B ' = ± ∠ ACB .
Ver también
Referencias
- ^ Birkhoff, George David (1932), "Un conjunto de postulados para geometría plana (basado en escala y transportadores)", Annals of Mathematics , 33 (2): 329–345, doi : 10.2307 / 1968336 , hdl : 10338.dmlcz / 147209 , JSTOR 1968336
- ^ Birkhoff, George David ; Beatley, Ralph (2000) [primera edición, 1940], Geometría básica (3ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
- ^ Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), El plano hiperbólico no euclidiano: su estructura y consistencia , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9