La escala de Bohlen-Pierce ( escala BP ) es una escala y afinación musical , descrita por primera vez en la década de 1970, que ofrece una alternativa a las escalas de repetición de octavas típicas de la música occidental y otras músicas, [1] específicamente la escala diatónica de temperamento uniforme .
El intervalo 3: 1 (a menudo llamado por un nuevo nombre, tritave ) sirve como la relación armónica fundamental, reemplazando la escala diatónica 2: 1 (la octava). Para cualquier tono que sea parte de la escala BP, todos los tonos uno o más tritaves más altos o más bajos también forman parte del sistema y se consideran equivalentes.
La escala BP divide el tritave en 13 pasos, ya sea con el mismo temperamento (la forma más popular) o en una versión justamente afinada . En comparación con las escalas que se repiten en una octava, los intervalos de la escala BP están más en consonancia con ciertos tipos de espectros acústicos . [ cita requerida ]
La escala fue descrita de forma independiente por Heinz Bohlen , [2] Kees van Prooijen [3] y John R. Pierce . Pierce, quien, con Max Mathews y otros, publicó su descubrimiento en 1984, [4] cambió el nombre de la escala Pierce 3579b y su variante cromática a la escala Bohlen-Pierce después de conocer la publicación anterior de Bohlen. Bohlen había propuesto la misma escala basándose en la consideración de la influencia de la combinación de tonos en la impresión Gestalt de intervalos y acordes. [5]
Los intervalos entre las clases de tono de la escala BP se basan en relaciones de frecuencia de números enteros impares , en contraste con los intervalos en las escalas diatónicas, que emplean relaciones pares e impares que se encuentran en la serie armónica . Específicamente, los pasos de la escala BP se basan en proporciones de números enteros cuyos factores son 3, 5 y 7. Por lo tanto, la escala contiene armonías consonantes basadas en los sobretonos armónicos impares 3: 5: 7: 9 ( reproducir ( ayuda · info ) ). El acorde formado por la proporción 3: 5: 7 ( tocar ( ayuda · info ) ) tiene el mismo papel que el acorde 4: 5: 6 (una obra de tríada mayor ( ayuda · info ) ) en escalas diatónicas (3: 5: 7 = 1: 1 +2/3: 2+1/3y 4: 5: 6 = 2: 2+1/2: 3 = 1: 1+1/4: 1+1/2).
Acordes y modulación
El patrón de sensibilidad de entonación de 3: 5: 7 es similar al de 4: 5: 6 (el acorde mayor justo), más similar que el del acorde menor. [6] Esta similitud sugiere que nuestros oídos también percibirán 3: 5: 7 como armónico.
Por tanto, el acorde 3: 5: 7 puede considerarse la tríada principal de la escala BP. Se aproxima por un intervalo de 6 semitonos BP de temperamento igual (toque un semitono ( ayuda · info ) ) en la parte inferior y un intervalo de 4 semitonos con temperamento igual en la parte superior (semitonos: 0,6,10;jugar ( ayuda · info ) ). Una tríada menor tiene, en consecuencia, 6 semitonos en la parte superior y 4 semitonos en la parte inferior (0,4,10;jugar ( ayuda · info ) ). 5: 7: 9 es la primera inversión de la tríada mayor (0,4,7;jugar ( ayuda · info ) ). [7]
Un estudio de tríadas cromáticas formadas a partir de combinaciones arbitrarias de los 13 tonos de la escala cromática entre doce músicos y doce oyentes no entrenados encontró que 0,1,2 (semitonos) era el acorde más disonante (play ( ayuda · info ) ), pero 0,11,13 (play ( help · info ) ) fue considerado el más consonante por los sujetos entrenados (porque suena como una tríada mayor de octava caída) y 0,7,10 (play ( help · info ) ) fue juzgado más consonante por los sujetos no entrenados. [8]
Cada tono de la escala Pierce 3579b está en una tríada mayor y menor, excepto el tono II de la escala. Hay trece claves posibles. La modulación es posible cambiando una sola nota. Mover la nota II hacia arriba un semitono hace que la tónica suba a lo que era la nota III (semitono: 3), que por lo tanto puede considerarse la dominante . VIII (semitono: 10) puede considerarse subdominante . [7]
Timbre y el tritave
3: 1 sirve como la relación armónica fundamental, reemplazando el 2: 1 de la escala diatónica (la octava ). (play ( ayuda · info ) ) Este intervalo es un duodécimo perfecto ennomenclaturadiatónica(quinto perfectocuando se reduce en una octava), pero como esta terminología se basa en tamaños de paso yfunciones queno se utilizan en la escala de PA, a menudo se denomina mediante un nuevo nombre, tritave (play ( ayuda · info ) ), en contextos BP, refiriéndose a su papel comopseudooctava, y usando el prefijo "tri-" (tres) para distinguirlo de la octava. En las escalas convencionales, si un tono determinado es parte del sistema, entonces todos los tonos una o más octavas más altas o más bajas también forman parte del sistema y, además, se consideranequivalentes. En la escala BP, si un tono determinado está presente, entoncesningunode los tonos una o más octavas más altas o más bajas están presentes, perotodos lostonos uno o más tritaves más altos o más bajos son parte del sistema y se consideran equivalentes.
El uso de proporciones de enteros impares de la escala BP es apropiado para timbres que contienen solo armónicos impares. Debido a que el espectro del clarinete (en el registro chalumeau ) consiste principalmente en los armónicos impares, y el instrumento sobresale en la duodécima (o tritave) en lugar de en la octava como lo hacen la mayoría de los otros instrumentos de viento, existe una afinidad natural entre este y el Escala de Bohlen-Pierce. A principios de 2006, el fabricante de clarinetes Stephen Fox comenzó a ofrecer a la venta clarinetes soprano Bohlen – Pierce. Produjo el primer clarinete tenor BP (seis pasos por debajo de la soprano) en 2010 y el primer clarinete épsilon (cuatro pasos por encima de la soprano) en 2011. Nora toca ahora un clarinete contra (un tritave más bajo que la soprano) (2020) Mueller, Luebeck, Alemania.
Solo afinando
Se puede construir una escala diatónica de Bohlen-Pierce con las siguientes proporciones justas (el gráfico muestra la escala "Lambda" (λ)):
Nota | Nombre | C | D | mi | F | GRAMO | H | J | A | B | C | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
La licenciatura | |||||||||||||||||||||
Proporción | 1: 1 | 25:21 | 9: 7 | 7: 5 | 5: 3 | 9: 5 | 15: 7 | 7: 3 | 25: 9 | 3: 1 | |||||||||||
Centavos | 0 | 301,85 | 435.08 | 582.51 | 884,36 | 1017.60 | 1319.44 | 1466,87 | 1768.72 | 1901.96 | |||||||||||
Midi | C ( ayuda · info ) | D ( ayuda · info ) | E ( ayuda · info ) | F ( ayuda · info ) | G ( ayuda · info ) | H ( ayuda · info ) | J ( ayuda · info ) | A ( ayuda · info ) | B ( ayuda · info ) | C ( ayuda · info ) | |||||||||||
Paso | Nombre | T | s | S | T | s | T | S | T | s | |||||||||||
Proporción | 25:21 | 27:25 | 49:45 | 25:21 | 27:25 | 25:21 | 49:45 | 25:21 | 27:25 | ||||||||||||
Centavos | 301,85 | 133,24 | 147,43 | 301,85 | 133,24 | 301,85 | 147,43 | 301,85 | 133,24 |
reproducir solo la escala "Lambda" de Bohlen-Pierce ( ayuda · info ) contrastar solo con la escala diatónica mayor ( ayuda · info )
Se puede construir una escala BP justa a partir de cuatro acordes superpuestos de 3: 5: 7, por ejemplo, V, II, VI y IV, aunque se pueden elegir diferentes acordes para producir una escala similar: [9]
(5: 3) (7: 5)V IX III | III VII I | VI I IV | IV VIII II
Temperamento de Bohlen-Pierce
Bohlen originalmente expresó la escala BP tanto en entonación justa como en temperamento igual . La forma templada , que divide el tritave en trece pasos iguales, se ha convertido en la forma más popular. Cada paso es 13 √ 3 = 3 1 ⁄ 13 = 1.08818… por encima del siguiente, o 1200 log 2 (31 ⁄ 13 ) = 146,3…centavospor paso. La octava se divide en una fracción de pasos. En12-tetse utilizan doce pasos igualmente templados por octava. La escala de Bohlen-Pierce podría describirse como 8.202087-tet, porque una octava completa (1200 centavos), dividida por 146.3… centavos por paso, da 8.202087 pasos por octava.
Dividir el tritave en 13 pasos iguales atenúa, o reduce al unísono, ambos intervalos 245: 243 (alrededor de 14 centavos, a veces llamado Bohlen-Pierce diesis menor ) y 3125: 3087 (alrededor de 21 centavos, a veces llamado mayor Bohlen-Pierce diesis) de la misma manera que dividir la octava en 12 pasos iguales reduce 81:80 ( coma sintónica ) y 128: 125 ( limma de 5 límites ) a un unísono. Un temperamento lineal de 7 límites templa ambos intervalos; el temperamento resultante de Bohlen-Pierce ya no tiene nada que ver con equivalencias tritave o escalas sin octavas, más allá del hecho de que está bien adaptado para usarlas. Una afinación de 41 pasos iguales a la octava ( 1200 ⁄ 41 = 29,27 centavos por paso) sería bastante lógico para este temperamento. En tal afinación, una doceava perfecta templada (1902.4 cents, aproximadamente medio centavo más grande que una doceava parte) se divide en 65 pasos iguales, lo que resulta en una aparente paradoja: tomar cada quinto grado de esta escala basada en octavas produce una excelente aproximación a la escala BP igualmente templada sin octavas. Además, un intervalo de cinco de estos pasos genera MOS (basados en octavas)con 8, 9 o 17 notas, y la escala de 8 notas (que comprende los grados 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 y 35 de la escala de 41 iguales) podría considerarse la versión equivalente a una octava de la escala de Bohlen-Pierce.
Intervalos y diagramas de escala
Las siguientes son las trece notas en la escala (centavos redondeados al número entero más cercano):
Justamente afinado
Intervalo (centavos) | 133 | 169 | 133 | 148 | 154 | 147 | 134 | 147 | 154 | 148 | 133 | 169 | 133 | |||||||||||||||
Nombre de la nota | C | D ♭ | D | mi | F | G ♭ | GRAMO | H | J ♭ | J | A | B ♭ | B | C | ||||||||||||||
Nota (centavos) | 0 | 133 | 302 | 435 | 583 | 737 | 884 | 1018 | 1165 | 1319 | 1467 | 1600 | 1769 | 1902 |
De temperamento igual
Intervalo (centavos) | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | |||||||||||||||
Nombre de la nota | C | C ♯ / D ♭ | D | mi | F | F ♯ / G ♭ | GRAMO | H | H ♯ / J ♭ | J | A | A ♯ / B ♭ | B | C | ||||||||||||||
Nota (centavos) | 0 | 146 | 293 | 439 | 585 | 732 | 878 | 1024 | 1170 | 1317 | 1463 | 1609 | 1756 | 1902 |
jugar la escala de Bohlen-Pierce de temperamento igual ( ayuda · info )
Pasos | Nombre | Intervalo de ecualización | Céntimos en EQ | Solo intervalo de entonación | Nombre tradicional | Céntimos en entonación justa | Diferencia |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | C | 30 ⁄ 13 = 1,00 | 0,00 | 1: 1 = 1,00 | Unísono | 0,00 | 0,00 |
1 | C♯ / D ♭ | 31 ⁄ 13 = 1.09 | 146,30 | 27:25 = 1.08 | Gran limma | 133,24 | 13.06 |
2 | D | 32 ⁄ 13 = 1,18 | 292,61 | 25:21 = 1,19 | Tercera menor cuasi temperada | 301,85 | −9,24 |
3 | mi | 33 ⁄ 13 = 1,29 | 438,91 | 9: 7 = 1,29 | Séptima tercera mayor | 435,08 | 3,83 |
4 | F | 34 ⁄ 13 = 1,40 | 585,22 | 7: 5 = 1,40 | Tritono septimal menor | 582,51 | 2,71 |
5 | F♯ / G ♭ | 35 ⁄ 13 = 1,53 | 731,52 | 75:49 = 1,53 | BP quinto | 736,93 | −5,41 |
6 | GRAMO | 36 ⁄ 13 = 1,66 | 877,83 | 5: 3 = 1,67 | Solo sexto mayor | 884,36 | −6,53 |
7 | H | 37 ⁄ 13 = 1,81 | 1024.13 | 9: 5 = 1,80 | Mayor solo menor séptima | 1017.60 | 6,53 |
8 | H♯ / J ♭ | 38 ⁄ 13 = 1,97 | 1170.44 | 49:25 = 1,96 | BP octavo | 1165.02 | 5,42 |
9 | J | 39 ⁄ 13 = 2,14 | 1316,74 | 15: 7 | = 2,14Séptima menor novena | 1319.44 | −2,70 |
10 | A | 310 ⁄ 13 = 2,33 | 1463.05 | 7: 3 = 2,33 | Séptima décima mínima | 1466,87 | −3,82 |
11 | A♯ / B ♭ | 311 ⁄ 13 = 2,53 | 1609.35 | 63:25 = 2.52 | Décima mayor cuasi temperada | 1600.11 | 9,24 |
12 | B | 312 ⁄ 13 = 2,76 | 1755,66 | 25: 9 | = 2,78Undécima aumentada clásica | 1768.72 | −13,06 |
13 | C | 313 ⁄ 13 = 3,00 | 1901.96 | 3: 1 = 3,00 | Sólo duodécimo, "tritave" | 1901.96 | 0,00 |
Musica y composicion
¿Cómo suena estéticamente la música que utiliza una escala de Bohlen-Pierce ? Dave Benson sugiere que es útil usar solo sonidos con armónicos extraños, incluidos clarinetes o tonos sintetizados, pero argumenta que debido a que "algunos de los intervalos suenan un poco como intervalos en la escala de doce tonos [más familiar] , pero muy desafinados ", el oyente medio sentirá continuamente" que algo no está del todo bien ", debido al condicionamiento social . [10]
Mathews y Pierce concluyen que se pueden componer melodías claras y memorables en la escala BP, que "el contrapunto suena bien" y que "los pasajes de acordes suenan como armonía", presumiblemente significando progresión , "pero sin gran tensión o sentido de resolución". . [11] En su estudio de 1989 sobre el juicio de consonancia, ambos intervalos de los cinco acordes calificados como más consonantes por músicos entrenados son aproximadamente intervalos diatónicos, lo que sugiere que su entrenamiento influyó en su selección y que una experiencia similar con la escala BP influiría de manera similar en sus elecciones. [8]
Composiciones que utilizan la escala Bohlen-Pierce incluyen "Pureza", el primer movimiento de Curtis Roads ' Clang-Tint . [12] Otros compositores equipo para utilizar la escala BP incluyen Jon Appleton , Richard Boulanger ( Solemn Canción Para la noche (1990)), Georg Hajdu , Juan Reyes PPP (1999-2000), [13] Ami Radunskaya 's "A Wild and Reckless Place "(1990), [14] Charles Carpenter ( Frog à la Pêche (1994) y Splat ), [15] [16] y Elaine Walker ( Stick Men (1991), Love Song y Greater Good (2011) ). [17]
Simposio
Un primer simposio Bohlen-Pierce tuvo lugar en Boston del 7 al 9 de marzo de 2010, producido por el compositor Georg Hajdu ( Hochschule für Musik und Theatre Hamburg ) y la Boston Microtonal Society . Los coorganizadores fueron el Boston Goethe Institute , el Berklee College of Music , la Northeastern University y el New England Conservatory of Music. Los participantes del simposio, que incluían a Heinz Bohlen, Max Mathews, Clarence Barlow , Curtis Roads , David Wessel, Psyche Loui, Richard Boulanger, Georg Hajdu, Paul Erlich , Ron Sword, Julia Werntz, Larry Polansky , Manfred Stahnke, Stephen Fox, Elaine Walker , Todd Harrop, Gayle Young, Johannes Kretz, Arturo Grolimund, Kevin Foster, presentaron 20 artículos sobre la historia y propiedades de la escala Bohlen-Pierce, interpretaron más de 40 composiciones en el sistema novedoso e introdujeron varios instrumentos musicales nuevos. Los artistas incluyeron a los músicos alemanes Nora-Louise Müller y Ákos Hoffman en los clarinetes Bohlen-Pierce y Arturo Grolimund en la flauta de pan Bohlen-Pierce, así como el conjunto canadiense tranSpectra, y la banda estadounidense de xenarmónicos ZIA, dirigida por Elaine Walker.
Otras afinaciones o escalas inusuales
Otras afinaciones sin octava investigadas por Bohlen [18] incluyen doce pasos en el tritave, llamado A12 por Enrique Moreno [19] y basado en el acorde 4: 7:10Reproducir ( ayuda · info ) , siete pasos en la octava (7-tet) o 11 pasos similares en el tritave, y ocho pasos en la octava, basado en 5: 7: 9Play ( ayuda · info ) y del que solo se utilizaría la versión justa. Además, la pentava se puede dividir en ocho pasos que se aproximan a los acordes de la forma 5: 9: 13: 17: 21: 25. [20] Laescala de 833 centavos de Bohlense basa en lasecuencia de Fibonacci, aunque fue creada a partir detonos combinados, y contiene una red compleja de relaciones armónicas debido a la inclusión de armónicos coincidentes de intervalos de 833 centavos apilados. Por ejemplo, "el paso 10 resulta ser idéntico a la octava (1200 centésimas) del tono base, al mismo tiempo que presenta laproporción áureadel paso 3". [21]
Se pueden especificar escalas alternativas indicando el tamaño de los pasos de temperamento igual, por ejemplo, la escala alfa de 78 centavos de Wendy Carlos y la escala de beta de 63.8 centavos , y la escala de 88 centavos de Gary Morrison (13.64 pasos por octava o 14 por 1232 centavos estirada octava). [22] Esto da a la escala alfa 15,39 pasos por octava y la escala beta 18,75 pasos por octava. [23]
Expansiones
División igual de 39 tonos del tritave
Paul Erlich propuso dividir cada paso del Bohlen-Pierce en tercios para que el tritave se divida en 39 pasos iguales en lugar de 13 pasos iguales. La escala, que puede verse como tres escalas de Bohlen-Pierce escalonadas uniformemente, proporciona armónicos extraños adicionales. La escala de 13 pasos alcanza los armónicos impares 3: 1; 5: 3, 7: 3; 7: 5, 9: 5; 9: 7 y 15: 7; mientras que la escala de 39 pasos incluye todos esos y muchos más (11: 5, 13: 5; 11: 7, 13: 7; 11: 9, 13: 9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13 y 35:13), aunque todavía faltan casi todos los armónicos pares (incluidos 2: 1; 3 : 2, 5: 2; 4: 3, 8: 3; 6: 5, 8: 5; 9: 8, 11: 8, 13: 8 y 15: 8). El tamaño de esta escala es de aproximadamente 25 pasos iguales a una proporción ligeramente mayor que una octava, por lo que cada uno de los 39 pasos iguales es un poco más pequeño que la mitad de uno de los 12 pasos iguales de la escala estándar. [24]
Número de pasos igualmente templados | Intervalo igualmente templado | Tamaño del intervalo igualmente templado (centavos) | Intervalo de entonación justa | Tamaño del intervalo de entonación justa (centavos) | Error (centavos) |
---|---|---|---|---|---|
91 | 12.9802 | 4437.90 | 13/1 | 4440.53 | -2,63 |
85 | 10,9617 | 4145.29 | 1/11 | 4151.32 | -6.03 |
69 | 6,9845 | 3365,00 | 7/1 | 3368.83 | -3,83 |
57 | 4.9812 | 2779,78 | 5/1 | 2786,31 | -6,53 |
49 | 3.9761 | 2389,64 | 4/1 | 2400,00 | -10,36 |
39 | 3.0000 | 1901.96 | 3/1 | 1901.96 | 0,00 |
38 | 2.9167 | 1853.19 | 225/77 | 1856,39 | -3,21 |
35/12 | 1853.18 | 0,00 | |||
32/11 | 1848.68 | 4.50 | |||
189/65 | 1847.85 | 5.34 | |||
37 | 2.8357 | 1804.42 | 99/35 | 1800.09 | 4.33 |
36 | 2.7569 | 1755,65 | 36/13 | 1763,38 | -7,73 |
135/49 | 1754.53 | 1.12 | |||
7/11 | 1751,32 | 4.33 | |||
35 | 2.6803 | 1706.88 | 35/13 | 1714.61 | -7,73 |
34 | 2.6059 | 1658.11 | 13/5 | 1654.21 | 3,90 |
33 | 2.5335 | 1609.35 | 63/25 | 1600.11 | 9.24 |
33/13 | 1612,75 | -3,40 | |||
32 | 2.4631 | 1560.58 | 27/11 | 1554,55 | 6.03 |
31 | 2.3947 | 1511.81 | 12/5 | 1515.64 | -3,83 |
117/49 | 1506,79 | 5.02 | |||
30 | 2.3282 | 1463.04 | 7/3 | 1466,87 | -3,83 |
29 | 2.2635 | 1414.27 | 25/11 | 1421.31 | -7,04 |
147/65 | 1412.77 | 1,51 | |||
28 | 2.2006 | 1365.51 | 5/11 | 1365,00 | 0,50 |
27 | 2.1395 | 1316,74 | 15/7 | 1319.44 | -2,70 |
26 | 2.0801 | 1267,97 | 27/13 | 1265.34 | 2,63 |
25 | 2.0223 | 1219.20 | 99/49 | 1217.58 | 1,63 |
24 | 1.9661 | 1170.43 | 49/25 | 1165.02 | 5.41 |
23 | 1.9115 | 1121,67 | 21/11 | 1119.46 | 2,20 |
22 | 1.8584 | 1072,90 | 13/7 | 1071.70 | 1,20 |
21 | 1,8068 | 1024.13 | 9/5 | 1017.60 | 6.53 |
20 | 1,7566 | 975,36 | 135/77 | 972.03 | 3.33 |
7/4 | 968,83 | 6.54 | |||
19 | 1.7078 | 926,59 | 12/7 | 933,13 | -6,54 |
77/45 | 929,92 | -3,33 | |||
18 | 1.6604 | 877,83 | 5/3 | 884,36 | -6,53 |
17 | 1.6143 | 829.06 | 21/13 | 830.25 | -1,20 |
dieciséis | 1.5694 | 780,29 | 7/11 | 782.49 | -2,20 |
15 | 1.5258 | 731,52 | 75/49 | 736,93 | -5,41 |
14 | 1,4835 | 682,75 | 49/33 | 684,38 | -1,63 |
13 | 1,4422 | 633,99 | 13/9 | 636,62 | -2,63 |
12 | 1,4022 | 585.22 | 7/5 | 582.51 | 2,70 |
11 | 1.3632 | 536,45 | 15/11 | 536,95 | -0,50 |
10 | 1.3254 | 487,68 | 65/49 | 489.19 | -1,51 |
33/25 | 480,65 | 7.04 | |||
9 | 1.2886 | 438,91 | 9/7 | 435.08 | 3,83 |
8 | 1,2528 | 390,14 | 49/39 | 395.17 | -5.02 |
5/4 | 386,31 | 3,83 | |||
7 | 1.2180 | 341,38 | 9/11 | 347,41 | -6.03 |
6 | 1,1841 | 292,61 | 13/11 | 289.21 | 3,40 |
25/21 | 301,85 | -9,24 | |||
5 | 1,1512 | 243,84 | 15/13 | 247,74 | -3,90 |
4 | 1.1193 | 195.07 | 39/35 | 187,34 | 7.73 |
3 | 1.0882 | 146.30 | 12/11 | 150,64 | -4,33 |
49/45 | 147,43 | -1,12 | |||
13/12 | 138,57 | 7.73 | |||
2 | 1.0580 | 97,54 | 35/33 | 101,87 | -4,33 |
1 | 1.0286 | 48,77 | 65/63 | 54.11 | -5,34 |
33/32 | 53.27 | -4,50 | |||
36/35 | 48,77 | 0,00 | |||
77/75 | 45,56 | 3,21 | |||
0 | 1,0000 | 0,00 | 1/1 | 0,00 | 0,00 |
División igual de 65 tonos del tritave
Dividir cada paso de la escala de Bohlen-Pierce en quintas (de modo que el tritave se divide en 65 pasos) da como resultado una octava muy precisa (41 pasos) y una quinta perfecta (24 pasos), así como aproximaciones para otros intervalos justos. La escala es prácticamente idéntica a la división igual de 41 tonos de la octava, excepto que cada paso es ligeramente más pequeño (menos de una centésima de centavo por paso).
Número de pasos igualmente templados | Intervalo igualmente templado | Tamaño del intervalo igualmente templado (centavos) | Intervalo de entonación justa | Tamaño del intervalo de entonación justa (centavos) | Error (centavos) |
---|---|---|---|---|---|
sesenta y cinco | 3.0000 | 1901.96 | 3/1 | 1901.9550 | 0,00 |
64 | 2.9497 | 1872.69 | 144/49 | 1866.2582 | 6.44 |
63 | 2.9003 | 1843.43 | 32/11 | 1848.6821 | -5,25 |
62 | 2.8517 | 1814.17 | 20/7 | 1817.4878 | -3,32 |
61 | 2.8039 | 1784,91 | 14/5 | 1782.5122 | 2,40 |
60 | 2.7569 | 1755,65 | 135/49 | 1754.5269 | 1.12 |
4/11 | 1751.3179 | 4.33 | |||
59 | 2.7107 | 1726,39 | 27/10 | 1719.5513 | 6,84 |
58 | 2.6653 | 1697.13 | 8/3 | 1698.0450 | -0,92 |
57 | 2.6206 | 1667,87 | 21/8 | 1670.7809 | -2,91 |
56 | 2.5767 | 1638.61 | 18/7 | 1635.0841 | 3,52 |
55 | 2.5335 | 1609.35 | 81/32 | 1607.8200 | 1,53 |
54 | 2.4910 | 1580.09 | 5/2 | 1586.3137 | -6,23 |
53 | 2.4493 | 1550.82 | 27/11 | 1554.5471 | -3,72 |
52 | 2.4082 | 1521.56 | 12/5 | 1515.6413 | 5,92 |
51 | 2.3679 | 1492.30 | 64/27 | 1494.1350 | -1,83 |
50 | 2.3282 | 1463.04 | 7/3 | 1466.8709 | -3,83 |
49 | 2.2892 | 1433,78 | 16/7 | 1431.1741 | 2,61 |
48 | 2.2508 | 1404.52 | 4/9 | 1403.9100 | 0,61 |
47 | 2.2131 | 1375.26 | 20/9 | 1382.4037 | -7,14 |
46 | 2.1760 | 1346,00 | 24/11 | 1350.6371 | -4,64 |
45 | 2.1395 | 1316,74 | 15/7 | 1319.4428 | -2,70 |
44 | 2.1037 | 1287,48 | 21/10 | 1284.4672 | 3,01 |
43 | 2.0684 | 1258.22 | 33/16 | 1253.2729 | 4,94 |
42 | 2.0337 | 1228,96 | 55/27 | 1231.7667 | -2,81 |
41 | 1.9996 | 1199,69 | 2/1 | 1200.0000 | -0,31 |
40 | 1.9661 | 1170.43 | 49/25 | 1165.0244 | 5.41 |
39 | 1,9332 | 1141.17 | 27/14 | 1137.0391 | 4.13 |
38 | 1.9008 | 1111.91 | 40/21 | 1115.5328 | -3,62 |
37 | 1.8689 | 1082,65 | 15/8 | 1088.2687 | -5,62 |
36 | 1.8376 | 1053,39 | 6/11 | 1049.3629 | 4.03 |
35 | 1,8068 | 1024.13 | 9/5 | 1017.5963 | 6.53 |
34 | 1,7765 | 994,87 | 16/9 | 996.0900 | -1,22 |
33 | 1.7468 | 965,61 | 7/4 | 968.8259 | -3,22 |
32 | 1.7175 | 936,35 | 12/7 | 933.1291 | 3,22 |
31 | 1,6887 | 907.09 | 27/16 | 905.8650 | 1,22 |
30 | 1.6604 | 877,83 | 5/3 | 884.3587 | -6,53 |
29 | 1.6326 | 848,56 | 18/11 | 852.5921 | -4,03 |
28 | 1.6052 | 819.30 | 8/5 | 813.6863 | 5,62 |
27 | 1.5783 | 790.04 | 63/40 | 786.4222 | 3,62 |
26 | 1,5518 | 760,78 | 14/9 | 764.9159 | -4,13 |
25 | 1.5258 | 731,52 | 32/21 | 729.2191 | 2.30 |
24 | 1.5003 | 702.26 | 3/2 | 701.9550 | 0,31 |
23 | 1.4751 | 673,00 | 81/55 | 670.1883 | 2,81 |
72/49 | 666.2582 | 6,74 | |||
22 | 1.4504 | 643,74 | 16/11 | 648.6821 | -4,94 |
21 | 1.4261 | 614,48 | 10/7 | 617.4878 | -3.01 |
20 | 1,4022 | 585.22 | 7/5 | 582.5122 | 2,70 |
19 | 1.3787 | 555,96 | 8/11 | 551.3179 | 4.64 |
18 | 1.3556 | 526,70 | 27/20 | 519.5513 | 7.14 |
17 | 1.3329 | 497,43 | 4/3 | 498.0450 | -0,61 |
dieciséis | 1.3105 | 468.17 | 21/16 | 470.7809 | -2,61 |
15 | 1.2886 | 438,91 | 9/7 | 435.0841 | 3,83 |
14 | 1.2670 | 409,65 | 80/63 | 413.5778 | -3,93 |
81/64 | 407.8200 | 1,83 | |||
13 | 1.2457 | 380,39 | 5/4 | 386.3137 | -5,92 |
12 | 1.2249 | 351.13 | 9/11 | 347.4079 | 3,72 |
11 | 1,2043 | 321,87 | 6/5 | 315.6413 | 6.23 |
10 | 1,1841 | 292,61 | 32/27 | 294.1350 | -1,53 |
9 | 1,1643 | 263,35 | 7/6 | 266.8709 | -3,52 |
8 | 1,1448 | 234.09 | 8/7 | 231.1741 | 2,91 |
7 | 1.1256 | 204,83 | 9/8 | 203,9100 | 0,92 |
6 | 1.1067 | 175,57 | 9/10 | 182.4037 | -6,84 |
5 | 1.0882 | 146.30 | 12/11 | 150.6371 | -4,33 |
49/45 | 147.4281 | -1,12 | |||
4 | 1.0699 | 117.04 | 15/14 | 119.4428 | -2,40 |
16/15 | 111.7313 | 5.31 | |||
3 | 1.0520 | 87,78 | 21/20 | 84.4672 | 3.32 |
2 | 1.0344 | 58,52 | 28/27 | 62.9609 | -4,44 |
33/32 | 53.2729 | 5.25 | |||
1 | 1.0170 | 29,26 | 49/48 | 35.6968 | -6,44 |
50/49 | 34,9756 | -5,71 | |||
55/54 | 31.7667 | -2,51 | |||
56/55 | 31.1943 | -1,93 | |||
64/63 | 27.2641 | 2,00 | |||
0 | 1,0000 | 0,00 | 1/1 | 0,0000 | 0,00 |
Ver también
- Caña doble
- Ola cuadrada
- Stredici
- Otras escalas repetidas que no son de octava:
- Escala delta
- Escala gamma
Fuentes
- ↑ a b Pierce, John R. (2001). "Consonancias y escalas". En Cook, Perry R (ed.). Música, cognición y sonido computarizado: una introducción a la psicoacústica . MIT Press. pag. 183. ISBN 978-0-262-53190-0.
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- ^ "Conciertos" . Bohlen-Pierce-Conference.org . Consultado el 27 de noviembre de 2012 .
- ^ Bohlen (1978). nota al pie 26, página 84.
- ^ "Otras escalas inusuales" . El sitio de Bohlen-Pierce . Consultado el 27 de noviembre de 2012 . Cita: Moreno, Enrique Ignacio (diciembre de 1995). "Incrustación de espacios de tono igual y la cuestión de los cromas expandidos: un enfoque experimental". Disertación . Universidad de Stanford: 12-22.
- ^ " Otras escalas inusuales ", El sitio de Bohlen-Pierce . Consultado el 27 de noviembre de 2012. Citas: Bohlen (1978). págs. 76–86.
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enlaces externos
- " La escala de Bohlen-Pierce " Investigación, ZiaSpace.com .
- " Stephen Fox Clarinets ", clarinetes Bohlen-Pierce y otros instrumentos, SFoxClarinets.com .
- " El sitio de Bohlen-Pierce: sitio web de una escala armónica alternativa ", Huygens-Fokker.org .
- " Kees van Prooijen: 13 tonos en la tercera armónica ", Kees.cc .
- Canción en escala Bohlen Pierce: " 17tppp4 Walker Love Song ", Xenharmonic.Wikispaces.com .
- " El Simposio de Bohlen-Pierce ", Bohlen-Pierce-Conference.org .
- " Simposio de escala de Bohlen-Pierce, Boston 2010 " [lista de reproducción], YouTube.com .