Funda de Debye

La vaina de Debye (también vaina electrostática ) es una capa en un plasma que tiene una mayor densidad de iones positivos y, por lo tanto, un exceso de carga positiva general, que equilibra una carga negativa opuesta en la superficie de un material con el que está en contacto. El espesor de dicha capa es de varias longitudes de Debye , un valor cuyo tamaño depende de varias características del plasma (por ejemplo, temperatura, densidad, etc.).

Una vaina de Debye surge en un plasma porque los electrones suelen tener una temperatura del orden de magnitud o mayor que la de los iones y son mucho más ligeros. En consecuencia, son más rápidos que los iones en al menos un factor de . En la interfaz con la superficie de un material, por lo tanto, los electrones saldrán del plasma, cargando la superficie de forma negativa en relación con el plasma a granel. Debido al blindaje de Debye , la longitud de escala de la región de transición será la longitud de Debye . A medida que aumenta el potencial, el potencial de la vaina refleja más y más electrones. Finalmente se alcanza un equilibrio cuando la diferencia de potencial es unas pocas veces la temperatura del electrón.${\displaystyle {\sqrt {m_{\mathrm {i} }/m_{\mathrm {e} }}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {D} }}$

La vaina de Debye es la transición de un plasma a una superficie sólida. Existe una física similar entre dos regiones de plasma que tienen características diferentes; la transición entre estas regiones se conoce como doble capa y presenta una capa positiva y otra negativa.

Descripción

Vainas de iones positivos alrededor de los cables de la rejilla en un tubo de gas termoiónico, donde ⊕ representa una carga positiva (no a escala) (según Langmuir, 1929)

Las vainas fueron descritas por primera vez por el físico estadounidense Irving Langmuir . En 1923 escribió:

"Los electrones son repelidos por el electrodo negativo mientras que los iones positivos son atraídos hacia él. Alrededor de cada electrodo negativo hay una vaina de espesor definido que contiene sólo iones positivos y átomos neutros. [..] Los electrones se reflejan desde la superficie exterior de la vaina. mientras que todos los iones positivos que alcanzan la vaina son atraídos por el electrodo. [..] se sigue directamente que no se produce ningún cambio en la corriente de iones positivos que llega al electrodo. De hecho, el electrodo está perfectamente protegido de la descarga por la vaina de iones positivos, y su potencial no puede influir en los fenómenos que ocurren en el arco, ni en la corriente que fluye hacia el electrodo ". ^[1]

Langmuir y el coautor Albert W. Hull describieron además una vaina formada en una válvula termoiónica :

La figura 1 muestra gráficamente la condición que existe en un tubo de este tipo que contiene vapor de mercurio. El espacio entre el filamento y la placa está lleno de una mezcla de electrones e iones positivos, en números casi iguales, al que se le ha dado el nombre de "plasma". Un alambre sumergido en el plasma, a potencial cero con respecto a él, absorberá todos los iones y electrones que lo golpeen. Dado que los electrones se mueven unas 600 veces más rápido que los iones, 600 veces más electrones chocarán contra el cable que los iones. Si el cable está aislado, debe asumir un potencial tan negativo que reciba el mismo número de electrones e iones, es decir, un potencial tal que repele todos menos 1 de cada 600 de los electrones que se dirigen hacia él ".

"Supongamos que este cable, que podemos tomar como parte de una rejilla, se hace aún más negativo con miras a controlar la corriente a través del tubo. Ahora repelerá todos los electrones que se dirigen hacia él, pero recibirá todos los positivos. iones que vuelan hacia él. Por lo tanto, habrá una región alrededor del cable que contiene iones positivos y no contiene electrones, como se muestra esquemáticamente en la Fig. 1. Los iones se aceleran a medida que se acercan al cable negativo, y existirá un gradiente de potencial en esta vaina, como podemos llamarla, de iones positivos, de modo que el potencial es cada vez menos negativo a medida que nos alejamos del alambre, y a una cierta distancia es igual al potencial del plasma. Esta distancia la definimos como el límite de la vaina. Más allá de esta distancia no hay efecto debido al potencial del alambre. " ^[2]

Tratamiento matemático

La ecuación de la vaina plana

La física cuantitativa de la vaina de Debye está determinada por cuatro fenómenos:

Conservación de energía de los iones: Si asumimos por simplicidad iones fríos de masa que entran a la vaina con una velocidad , con carga opuesta a la del electrón, la conservación de energía en el potencial de la vaina requiere${\displaystyle m_{\mathrm {i} }}$${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u(x)^{2}={\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u_{0}^{2}-e\,\varphi (x)}$,

donde se toma la carga del electrón positivamente, es decir, x .${\displaystyle e}$${\displaystyle e=1.602}$${\displaystyle 10^{-19}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} }$

Continuidad de iones: en el estado estable, los iones no se acumulan en ninguna parte, por lo que el flujo es el mismo en todas partes:

${\displaystyle n_{0}\,u_{0}=n_{\mathrm {i} }(x)\,u(x)}$.

Relación de Boltzmann para los electrones: dado que la mayoría de los electrones se reflejan, su densidad viene dada por

${\displaystyle n_{\mathrm {e} }(x)=n_{0}\exp {\Big (}{\frac {e\,\varphi (x)}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }}}{\Big )}}$.

Ecuación de Poisson : la curvatura del potencial electrostático está relacionada con la densidad de carga neta de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi (x)}{dx^{2}}}={\frac {e(n_{\mathrm {e} }(x)-n_{\mathrm {i} }(x))}{\epsilon _{0}}}}$.

Combinando estas ecuaciones y escribiéndolas en términos de potencial adimensional, posición y velocidad iónica,

${\displaystyle \chi (\xi )=-{\frac {e\varphi (\xi )}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }}}}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x}{\lambda _{\mathrm {D} }}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {M}}={\frac {u_{\mathrm {o} }}{(k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} })^{1/2}}}}$

llegamos a la ecuación de la vaina:

${\displaystyle \chi ''=\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}-e^{-\chi }}$.

El criterio de la vaina de Bohm

La ecuación de la vaina se puede integrar una vez multiplicando por :${\displaystyle \chi '}$

${\displaystyle \int _{0}^{\xi }\chi '\chi ''\,d\xi _{1}=\int _{0}^{\xi }\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}\chi '\,d\xi _{1}-\int _{0}^{\xi }e^{-\chi }\chi '\,d\xi _{1}}$

En el borde de la vaina ( ), podemos definir el potencial como cero ( ) y asumir que el campo eléctrico también es cero ( ). Con estas condiciones de contorno, las integraciones producen${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \chi =0}$${\displaystyle \chi '=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi '^{2}={\mathfrak {M}}^{2}\left[\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{1/2}-1\right]+e^{-\chi }-1}$

Esto se reescribe fácilmente como una integral en forma cerrada, aunque solo se puede resolver numéricamente. No obstante, se puede derivar analíticamente un dato importante. Dado que el lado izquierdo es un cuadrado, el lado derecho también debe ser no negativo para cada valor de , en particular para valores pequeños. Mirando la expansión de Taylor alrededor , vemos que el primer término que no desaparece es el cuadrático, por lo que podemos requerir${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi =0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi ^{2}\left(-{\frac {1}{{\mathfrak {M}}^{2}}}+1\right)\geq 0}$,

o

${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{2}\geq 1}$,

o

${\displaystyle u_{0}\geq (k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} })^{1/2}}$.

Esta desigualdad se conoce como el criterio de la vaina de Bohm en honor a su descubridor, David Bohm . Si los iones entran en la vaina con demasiada lentitud, el potencial de la vaina "comerá" su camino hacia el plasma para acelerarlos. En última instancia, se desarrollará una denominada pre-vaina con una caída de potencial del orden de y una escala determinada por la física de la fuente de iones (a menudo la misma que las dimensiones del plasma). Normalmente, el criterio de Bohm se mantendrá con igualdad, pero hay algunas situaciones en las que los iones entran en la vaina con una velocidad supersónica.${\displaystyle (k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/2e)}$

La ley Child-Langmuir

Aunque la ecuación de envoltura generalmente debe integrarse numéricamente, podemos encontrar una solución aproximada analíticamente si descuidamos el término. Esto equivale a descuidar la densidad de electrones en la vaina, o solo a analizar la parte de la vaina donde no hay electrones. Para una superficie "flotante", es decir, una que no extrae corriente neta del plasma, esta es una aproximación útil aunque aproximada. Para una superficie fuertemente polarizada en negativo para que atraiga la corriente de saturación de iones , la aproximación es muy buena. Es habitual, aunque no estrictamente necesario, simplificar aún más la ecuación asumiendo que es mucho mayor que la unidad. Entonces la ecuación de la vaina toma la forma simple${\displaystyle e^{-\chi }}$${\displaystyle 2\chi /{\mathfrak {M}}^{2}}$

${\displaystyle \chi ''={\frac {\mathfrak {M}}{(2\chi )^{1/2}}}}$.

Como antes, multiplicamos por e integramos para obtener${\displaystyle \chi '}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi '^{2}={\mathfrak {M}}(2\chi )^{1/2}}$,

o

${\displaystyle \chi ^{-1/4}\chi '=2^{3/4}{\mathfrak {M}}^{1/2}}$.

Esto se integra fácilmente sobre ξ para producir

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\chi _{\mathrm {w} }^{3/4}=2^{3/4}{\mathfrak {M}}^{1/2}d}$,

donde es el potencial (normalizado) en la pared (en relación con el borde de la funda), yd es el grosor de la funda. Volviendo a las variables y observando que la corriente de iones en la pared es , tenemos${\displaystyle \chi _{\mathrm {w} }}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle J=e\,n_{0}\,u_{0}}$

${\displaystyle J={\frac {4}{9}}\left({\frac {2e}{m_{i}}}\right)^{1/2}{\frac {|\varphi _{w}|^{3/2}}{4\pi d^{2}}}}$.

Esta ecuación se conoce como ley de Child , en honor a Clement D. Child (1868-1933), quien la publicó por primera vez en 1911, o como ley de Child-Langmuir , en honor también a Irving Langmuir , quien la descubrió de forma independiente y la publicó en 1913. se utilizó por primera vez para dar la corriente de carga espacial limitada en un diodo de vacío con espacio entre electrodos d . También se puede invertir para dar el grosor de la vaina Debye en función de la caída de voltaje configurando :${\displaystyle J=j_{\mathrm {ion} }^{\mathrm {sat} }}$

${\displaystyle d={\frac {2}{3}}\left({\frac {2e}{m_{\mathrm {i} }}}\right)^{1/4}{\frac {|\varphi _{\mathrm {w} }|^{3/4}}{2{\sqrt {\pi j_{\mathrm {ion} }^{\mathrm {sat} }}}}}}$.

En los últimos años, la ley Child-Langmuir (CL) se ha revisado como se informa en dos artículos de revisión.^[3] , ^[4]

Ver también

• Difusión ambipolar
• Doble capa (plasma) , especialmente la sección Doble capa portadora de corriente formada por haces simples de temperatura cero
• Lista de artículos de aplicaciones de plasma (física)

Notas al pie

1. Langmuir, Irving, " Corrientes de iones positivos de la columna positiva de los arcos de mercurio " (1923) Ciencia , volumen 58, número 1502, págs. 290-291
2. Albert W. Hull e Irving Langmuir, " Control de una descarga de arco por medio de una rejilla ", Proc Natl Acad Sci USA . 15 de marzo de 1929; 15 (3): 218–225
3. P. Zhang, A. Valfells, LK Ang, JW Luginsland y YY Lau (2017). "100 años de la física de los diodos" . Revisión de física aplicada . 4 : 011304. doi : 10.1063 / 1.4978231 .
4. P Zhang, YS Ang, AL Garner, A. Valfells, JL Luginsland y LK Ang (2021). "Corriente limitada de carga espacial en nanodiodos: efectos balísticos, de colisión y dinámicos" . Revista de Física Aplicada . 129 (10): 100902. doi : 10.1063 / 5.0042355 . hdl : 20.500.11815 / 2643 .