Potencial cuántico

El potencial cuántico o potencialidad cuántica es un concepto central de la formulación de De Broglie-Bohm de la mecánica cuántica , introducida por David Bohm en 1952.

Inicialmente presentado bajo el nombre de potencial mecánico-cuántico , posteriormente potencial cuántico , fue posteriormente elaborado por Bohm y Basil Hiley en su interpretación como un potencial de información que actúa sobre una partícula cuántica. También se conoce como quantum de energía potencial , potencial Bohm , cuántica potencial Bohm o potencial cuántico de Bohm .

Potencial cuántico

${\displaystyle \quad Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}}$

En el marco de la teoría de De Broglie-Bohm, el potencial cuántico es un término dentro de la ecuación de Schrödinger que actúa para guiar el movimiento de partículas cuánticas. El enfoque del potencial cuántico introducido por Bohm ^{[1] [2]} proporciona una exposición formalmente más completa de la idea presentada por Louis de Broglie : de Broglie había postulado en 1926 que la función de onda representa una onda piloto que guía una partícula cuántica, pero tenía Posteriormente abandonó su enfoque debido a las objeciones planteadas por Wolfgang Pauli . Los artículos seminales de Bohm en 1952 introdujeron el potencial cuántico e incluyeron respuestas a las objeciones que se habían planteado contra la teoría de la onda piloto.

El potencial cuántico de Bohm está estrechamente relacionado con los resultados de otros enfoques, en particular los relacionados con el trabajo de Erwin Madelung de 1927 y el trabajo de Carl Friedrich von Weizsäcker de 1935 .

Sobre la base de la interpretación de la teoría cuántica introducida por Bohm en 1952, David Bohm y Basil Hiley en 1975 presentaron cómo el concepto de potencial cuántico conduce a la noción de una "totalidad ininterrumpida de todo el universo", proponiendo que la nueva cualidad fundamental introducido por la física cuántica es la no localidad . ^[3]

El potencial cuántico como parte de la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }$

se reescribe utilizando la forma polar para la función de onda con funciones de valor real y , donde es la amplitud ( valor absoluto ) de la función de onda y su fase. Esto produce dos ecuaciones: de la parte imaginaria y real de la ecuación de Schrödinger, siga la ecuación de continuidad y la ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi, respectivamente. ^{[1] [4]}${\displaystyle \psi =R\exp(iS/\hbar )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle S/\hbar }$

Ecuación de continuidad

La parte imaginaria de la ecuación de Schrödinger en forma polar produce

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right],}$

que, siempre que se pueda interpretar como la ecuación de continuidad para la densidad de probabilidad y el campo de velocidad${\displaystyle \rho =R^{2}}$ ${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v={\frac {1}{m}}\nabla S}$

Ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi

La parte real de la ecuación de Schrödinger en forma polar produce una ecuación de Hamilton-Jacobi modificada

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=-\left[{\frac {\left|\nabla S\right|^{2}}{2m}}+V+Q\right],}$

también conocida como ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi . ^[5] Se diferencia de la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi solo por el término

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}.}$

Este término , llamado potencial cuántico , depende así de la curvatura de la amplitud de la función de onda. ^{[6] [7]}${\displaystyle Q}$

En el límite , la función es una solución de la ecuación (clásica) de Hamilton-Jacobi; ^[1] por lo tanto, la función también se denomina función de Hamilton-Jacobi, o acción , extendida a la física cuántica.${\displaystyle \hbar \to 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Propiedades

Trayectorias de Bohm bajo la influencia del potencial cuántico, en el ejemplo de un electrón que pasa por el experimento de dos rendijas .

Hiley enfatizó varios aspectos ^[8] relacionados con el potencial cuántico de una partícula cuántica:

• se deriva matemáticamente de la parte real de la ecuación de Schrödinger bajo la descomposición polar de la función de onda, ^[9] no se deriva de un hamiltoniano ^[10] u otra fuente externa, y podría decirse que está involucrado en un proceso de autoorganización involucrando un campo subyacente básico;
• no cambia si se multiplica por una constante, ya que este término también está presente en el denominador, por lo que es independiente de la magnitud y por tanto de la intensidad del campo; por lo tanto, el potencial cuántico cumple una condición previa para la no localidad: no necesita disminuir a medida que aumenta la distancia;${\displaystyle R}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \psi }$
• lleva información sobre todo el arreglo experimental en el que se encuentra la partícula.

En 1979, Hiley y sus colaboradores Philippidis y Dewdney presentaron un cálculo completo sobre la explicación del experimento de dos rendijas en términos de trayectorias bohmianas que surgen para cada partícula que se mueve bajo la influencia del potencial cuántico, dando como resultado el conocido patrones de interferencia . ^[11]

Esquema del experimento de doble rendija en el que se puede observar el efecto Aharonov-Bohm: los electrones pasan a través de dos rendijas, interfiriendo en una pantalla de observación, y el patrón de interferencia sufre un cambio cuando se activa un campo magnético B en el solenoide cilíndrico.

Además, el cambio del patrón de interferencia que se produce en presencia de un campo magnético en el efecto Aharonov-Bohm podría explicarse como derivado del potencial cuántico. ^[12]

Relación con el proceso de medición

El colapso de la función de onda de la interpretación de Copenhague de la teoría cuántica se explica en el enfoque del potencial cuántico mediante la demostración de que, después de una medición, "todos los paquetes de la función de onda multidimensional que no corresponden al resultado real de la medición no tendrá ningún efecto sobre la partícula "a partir de ese momento. ^[13] Bohm y Hiley señalaron que

El potencial cuántico puede desarrollar puntos de bifurcación inestables, que separan clases de trayectorias de partículas según los "canales" en los que finalmente entran y dentro de los cuales permanecen. Esto explica cómo la medición es posible sin el "colapso" de la función de onda, y cómo todo tipo de procesos cuánticos, como las transiciones entre estados, la fusión de dos estados en uno y la fisión de un sistema en dos, pueden tener lugar sin la necesidad de un observador humano. ^[14]

La medición entonces "implica una transformación participativa en la que tanto el sistema bajo observación como el aparato de observación experimentan una participación mutua de modo que las trayectorias se comportan de manera correlacionada, volviéndose correlacionadas y separadas en diferentes conjuntos no superpuestos (que llamamos 'canales' '). ) ". ^[15]

Potencial cuántico de un sistema de n partículas

La función de onda de Schrödinger de un sistema cuántico de muchas partículas no se puede representar en un espacio tridimensional ordinario . Más bien, se representa en el espacio de configuración , con tres dimensiones por partícula. Por tanto, un solo punto en el espacio de configuración representa la configuración de todo el sistema de n partículas como un todo.

Una función de onda de dos partículas de partículas idénticas de masa tiene el potencial cuántico ^[16]${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \quad Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}}}$

donde y se refieren a la partícula 1 y la partícula 2 respectivamente. Esta expresión se generaliza de manera directa a las partículas:${\displaystyle \nabla _{1}^{2}}$${\displaystyle \nabla _{2}^{2}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \quad Q(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}$

En caso de que la función de onda de dos o más partículas sea separable, el potencial cuántico total del sistema se convierte en la suma de los potenciales cuánticos de las dos partículas. La separabilidad exacta es extremadamente poco física dado que las interacciones entre el sistema y su entorno destruyen la factorización; sin embargo, una función de onda que sea una superposición de varias funciones de onda de soporte aproximadamente disjunto se factorizará aproximadamente. ^[17]

Derivación de un sistema cuántico separable

Que la función de onda sea separable significa que factoriza en la forma . Luego se deduce que también factoriza, y el potencial cuántico total del sistema se convierte en la suma de los potenciales cuánticos de las dos partículas. ^[18]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\frac {\nabla _{1}^{2}R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}{R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}})=Q_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)+Q_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$

En caso de que la función de onda sea separable, es decir, si se factoriza en la forma , los dos sistemas de una partícula se comportan de forma independiente. De manera más general, el potencial cuántico de un sistema de partículas con función de onda separable es la suma de los potenciales cuánticos, separando el sistema en sistemas independientes de una sola partícula. ^[19]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Formulación en términos de densidad de probabilidad

Potencial cuántico en términos de la función de densidad de probabilidad

Bohm, así como otros físicos posteriores a él, han tratado de proporcionar evidencia de que la regla de Born se vincula con la función de densidad de probabilidad${\displaystyle R}$

${\displaystyle \rho =R^{2}\quad }$

puede entenderse, en una formulación de onda piloto, que no representa una ley básica, sino más bien un teorema (llamado hipótesis de equilibrio cuántico ) que se aplica cuando se alcanza un equilibrio cuántico durante el curso del desarrollo del tiempo según la ecuación de Schrödinger. Con la regla de Born y la sencilla aplicación de la cadena y las reglas del producto.

${\displaystyle \nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}=\nabla \nabla \rho ^{1/2}=\nabla ({\frac {1}{2}}\rho ^{-1/2}\nabla \rho )={\frac {1}{2}}\nabla (\rho ^{-1/2}\nabla \rho )={\frac {1}{2}}\left[(\nabla \rho ^{-1/2})\nabla \rho +\rho ^{-1/2}\nabla ^{2}\rho \right]}$

el potencial cuántico, expresado en términos de la función de densidad de probabilidad, se convierte en: ^[20]

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{2}}{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho ^{2}}}\right]}$

Fuerza cuántica

La fuerza cuántica , expresada en términos de distribución de probabilidad, equivale a: ^[21]${\displaystyle F_{Q}=-\nabla Q}$

${\displaystyle F_{Q}={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla (\nabla ^{2}\rho )}{\rho }}-{\frac {\nabla (\nabla \rho \cdot \nabla \rho )}{2\rho ^{2}}}-\left({\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right){\frac {\nabla \rho }{\rho }}\right]}$

Formulación en el espacio de configuración y en el espacio de momento, como resultado de proyecciones

M. R. Brown y B. Hiley demostraron que, como alternativa a sus términos de formulación de espacio de configuración ( -espacio), el potencial cuántico también se puede formular en términos de espacio de momento ( -espacio). ^{[22] [23]}${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

De acuerdo con el enfoque de David Bohm, Basil Hiley y el matemático Maurice de Gosson demostraron que el potencial cuántico puede verse como una consecuencia de la proyección de una estructura subyacente, más específicamente de una estructura algebraica no conmutativa , en un subespacio como el espacio ordinario. ( -espacio). En términos algebraicos, se puede considerar que el potencial cuántico surge de la relación entre los órdenes implicado y explicado : si se emplea un álgebra no conmutativa para describir la estructura no conmutativa del formalismo cuántico, resulta que es imposible definir un espacio subyacente, sino que más bien " espacios de sombra${\displaystyle x}$"(espacios homomórficos) se pueden construir y que al hacerlo aparece el potencial cuántico. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} El enfoque del potencial cuántico puede verse como una forma de construir los espacios de sombra. ^{[ 25]} El potencial cuántico resulta así como una distorsión debido a la proyección del espacio subyacente en el espacio , de manera similar a como una proyección de Mercator inevitablemente resulta en una distorsión en un mapa geográfico. ^{[28] [29]} Existe una simetría completa entre la representación -y el potencial cuántico tal como aparece en el espacio de configuración puede verse como surgiendo de la dispersión de la representación- momento . ^[30]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

El enfoque se ha aplicado al espacio de fase extendido , ^{[30] [31]} también en términos de un enfoque de álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau . ^{[32] [33]}

Relación con otras cantidades y teorías

Relación con la información de Fisher

Se puede demostrar ^[34] que el valor medio del potencial cuántico es proporcional a la información de Fisher de la densidad de probabilidad sobre el observable${\displaystyle Q=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}/(2m{\sqrt {\rho }})}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \rho \cdot (\nabla \ln \rho )^{2}\,d^{3}x=-\int \rho \nabla ^{2}(\ln \rho )\,d^{3}x.}$

Usando esta definición para la información de Fisher, podemos escribir: ^[35]

${\displaystyle \langle Q\rangle =\int \psi ^{*}Q\psi \,d^{3}x=\int \rho Q\,d^{3}x={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}{\mathcal {I}}.}$

Relación con el tensor de presión de Madelung

En las ecuaciones de Madelung presentadas por Erwin Madelung en 1927, el tensor de presión cuántica no local tiene la misma forma matemática que el potencial cuántico. La teoría subyacente es diferente en que el enfoque de Bohm describe las trayectorias de las partículas, mientras que las ecuaciones de la hidrodinámica cuántica de Madelung son las ecuaciones de Euler de un fluido que describen sus características estadísticas promediadas. ^[36]

Relación con la corrección de von Weizsäcker

En 1935, ^[37] Carl Friedrich von Weizsäcker propuso la adición de un término de inhomogeneidad (a veces denominado corrección de von Weizsäcker ) a la energía cinética de la teoría de los átomos de Thomas-Fermi (TF) . ^[38]

El término de corrección de von Weizsäcker es ^[39]

${\displaystyle E_{W}[\rho ]=\int dr\,{\frac {\rho \hbar ^{2}(\nabla \ln \rho )^{2}}{8m}}={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}\int dr\,{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho }}=\int dr\,\rho \,Q.}$

El término de corrección también se ha derivado como la corrección de primer orden de la energía cinética TF en una corrección semiclásica de la teoría de Hartree-Fock . ^[40]

Se ha señalado ^[39] que el término de corrección de von Weizsäcker a baja densidad adopta la misma forma que el potencial cuántico.

Artículo principal: Modelo de Thomas-Fermi § Inexactitudes y mejoras

Potencial cuántico como energía del movimiento interno asociado con el giro

Giovanni Salesi, Erasmo Recami y colaboradores demostraron en 1998 que, de acuerdo con el teorema de König , el potencial cuántico se puede identificar con la energía cinética del movimiento interno (" zitterbewegung ") asociado con el espín de una partícula de espín ½. observado en un marco de centro de masa. Más específicamente, demostraron que la velocidad interna de zitterbewegung para una partícula no relativista giratoria de giro constante sin precesión, y en ausencia de un campo externo, tiene el valor al cuadrado: ^[41]

${\displaystyle \mathbf {V} ^{2}={\frac {(\nabla \rho \land \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}={\frac {(\nabla \rho )^{2}\mathbf {s} ^{2}-(\nabla \rho \cdot \mathbf {s} )}{(m\rho )^{2}}}}$

de donde se muestra que el segundo término es de tamaño insignificante; entonces con eso se sigue que${\displaystyle |\mathbf {s} |=\hbar /2}$

${\displaystyle |\mathbf {V} |={\frac {\hbar }{2}}{\frac {\nabla \rho }{m\rho }}}$

Salesi dio más detalles sobre este trabajo en 2009. ^[42]

En 1999, Salvatore Esposito generalizó su resultado de partículas de espín ½ a partículas de espín arbitrario, confirmando la interpretación del potencial cuántico como energía cinética para un movimiento interno. Esposito mostró que (usando la notación = 1) el potencial cuántico se puede escribir como: ^[43]${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2}}m\mathbf {v} _{S}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \mathbf {v} _{S}}$

y que la interpretación causal de la mecánica cuántica puede reformularse en términos de la velocidad de una partícula

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{B}+\mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

donde la "velocidad de deriva" es

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}={\frac {\nabla S}{m}}}$

y la "velocidad relativa" es , con${\displaystyle \mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{S}={\frac {\nabla R^{2}}{2mR^{2}}}}$

y que representa la dirección de giro de la partícula. En esta formulación, según Esposito, la mecánica cuántica debe interpretarse necesariamente en términos probabilísticos, por la razón de que la condición de movimiento inicial de un sistema no se puede determinar con exactitud. ^[43] Esposito explicó que "los efectos cuánticos presentes en la ecuación de Schrödinger se deben a la presencia de una peculiar dirección espacial asociada a la partícula que, asumiendo la isotropía del espacio, puede identificarse con el giro de la propia partícula". ^[44] Esposito lo generalizó a partir de partículas de materia para medir partículas , en particular fotones , para lo cual demostró que, si se modela como , con función de probabilidad${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \psi =(\mathbf {E} -i\mathbf {B} )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \psi ^{*}\cdot \psi =(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2})/2}$, pueden entenderse en un enfoque de potencial cuántico. ^[45]

James R. Bogan, en 2002, publicó la derivación de una transformación recíproca de la ecuación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo de la mecánica cuántica que surge de una transformación de gauge que representa el espín, bajo el simple requisito de conservación de probabilidad . Esta transformación dependiente de espín es función del potencial cuántico. ^[46]

EP mecánica cuántica con potencial cuántico como derivada de Schwarzian

En un enfoque diferente, la mecánica cuántica EP formula sobre la base de un principio de equivalencia (EP), un potencial cuántico se escribe como: ^{[47] [48]}

${\displaystyle Q(q)={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\{S;q\}}$

donde es el derivado Schwarzian , es decir, . Sin embargo, incluso en los casos en que esto pueda igualar${\displaystyle \{\,;\,\}}$${\displaystyle \{S;q\}=(S\,'''/S\,')-(3/2)(S\,''/S\,')^{2}}$

${\displaystyle Q(q)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta R}{R}}}$

E. Faraggi y M. Matone enfatizan que esto no se corresponde con el potencial cuántico habitual, ya que en su enfoque es una solución a la ecuación de Schrödinger pero no corresponde a la función de onda. ^[47] Esto ha sido investigado más a fondo por ER Floyd para el límite clásico → 0, ^[49] así como por Robert Carroll. ^[50]${\displaystyle R\,exp(iS/\hbar )}$${\displaystyle \hbar }$

Reinterpretación en términos de álgebras de Clifford

B. Hiley y RE Callaghan reinterpretan el papel del modelo de Bohm y su noción de potencial cuántico en el marco del álgebra de Clifford , teniendo en cuenta los avances recientes que incluyen el trabajo de David Hestenes sobre álgebra espaciotemporal . Muestran cómo, dentro de una jerarquía anidada de álgebras de Clifford , para cada álgebra de Clifford se puede construir un elemento de un ideal mínimo izquierdo y un elemento de un ideal derecho que representa su conjugación de Clifford , y a partir de él, el elemento de densidad de Clifford (CDE) , un elemento del álgebra de Clifford que es isomorfo a la matriz de densidad estándar${\displaystyle C\ell _{i,j}}$ ${\displaystyle \Phi _{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \Phi _{R}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \rho _{c}(\mathbf {r} ,t)=\Phi _{L}(\mathbf {r} ,t){\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$pero independiente de cualquier representación específica. ^[51] Sobre esta base, se pueden formar invariantes bilineales que representan propiedades del sistema. Hiley y Callaghan distinguen invariantes bilineales de un primer tipo, de los cuales cada uno representa el valor esperado de un elemento del álgebra que puede formarse como invariantes bilineales de un segundo tipo que se construyen con derivadas y representan el momento y la energía. Usando estos términos, reconstruyen los resultados de la mecánica cuántica sin depender de una representación particular en términos de una función de onda ni requerir referencia a un espacio externo de Hilbert. De acuerdo con resultados anteriores, el potencial cuántico de una partícula no relativista con espín ( partícula de Pauli${\displaystyle B}$${\displaystyle {\rm {Tr}}B\rho _{c}}$) se muestra que tiene un término adicional dependiente de espín, y se muestra que el momento de una partícula relativista con espín ( partícula de Dirac ) consiste en un movimiento lineal y una parte rotacional. ^[52] Las dos ecuaciones dinámicas que gobiernan la evolución del tiempo se reinterpretan como ecuaciones de conservación. Uno de ellos representa la conservación de la energía ; el otro representa la conservación de la probabilidad y el giro . ^[53] El potencial cuántico juega el papel de una energía interna ^[54] que asegura la conservación de la energía total. ^[53]

Extensiones relativistas y teóricas de campo

Potencial cuántico y relatividad

Bohm y Hiley demostraron que la no-localidad de la teoría cuántica puede entenderse como un caso límite de una teoría puramente local, siempre que se permita que la transmisión de información activa sea ​​mayor que la velocidad de la luz, y que este caso límite arroje aproximaciones a ambos. teoría cuántica y relatividad. ^[55]

El enfoque del potencial cuántico fue extendido por Hiley y colaboradores a la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo de Minkowski ^{[56] [57] [58] [59]} y al espacio-tiempo curvo. ^[60]

Carlo Castro y Jorge Mahecha derivaron la ecuación de Schrödinger a partir de la ecuación de Hamilton-Jacobi junto con la ecuación de continuidad, y demostraron que las propiedades del potencial cuántico relativista de Bohm en términos de la densidad del conjunto pueden describirse mediante las propiedades de Weyl del espacio. En el espacio plano de Riemann, se muestra que el potencial de Bohm es igual a la curvatura de Weyl . Según Castro y Mahecha, en el caso relativista , el potencial cuántico (usando el operador de d'Alembert  y en la notación ) toma la forma${\displaystyle \scriptstyle \Box }$${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2m}}{\frac {\quad \Box {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}}$

y se muestra que la fuerza cuántica ejercida por el potencial cuántico relativista depende del potencial gauge de Weyl y sus derivados. Además, la relación entre el potencial de Bohm y la curvatura de Weyl en el espacio-tiempo plano corresponde a una relación similar entre la información de Fisher y la geometría de Weyl después de la introducción de un momento complejo . ^[61]

Diego L. Rapoport, por su parte, asocia el potencial cuántico relativista con la curvatura escalar métrica (curvatura de Riemann). ^[62]

En relación con la ecuación de Klein-Gordon para una partícula con masa y carga, Peter R. Holland habló en su libro de 1993 de un "término parecido al potencial cuántico" que es proporcional . Sin embargo, enfatizó que dar a la teoría de Klein-Gordon una interpretación de una sola partícula en términos de trayectorias, como se puede hacer para la mecánica cuántica de Schrödinger no relativista, conduciría a inconsistencias inaceptables. Por ejemplo, las funciones de onda que son soluciones a la ecuación de Klein-Gordon o Dirac no se pueden interpretar como la amplitud de probabilidad de que una partícula se encuentre en un volumen dado en el tiempo${\displaystyle \Box R/R}$${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle d^{3}x}$${\displaystyle t}$de acuerdo con los axiomas habituales de la mecánica cuántica, y de manera similar en la interpretación causal, no se puede interpretar como la probabilidad de que la partícula esté en ese volumen en ese momento. Holland señaló que, si bien se han realizado esfuerzos para determinar un operador de posición hermitiano que permitiría una interpretación de la teoría del campo cuántico del espacio de configuración, en particular utilizando el enfoque de localización de Newton-Wigner , sin conexión con las posibilidades de una determinación empírica de la posición en términos de una teoría de medición relativista o para una interpretación de la trayectoria hasta ahora se ha establecido. Sin embargo, según Holland, esto no significa que el concepto de trayectoria deba descartarse de las consideraciones de la mecánica cuántica relativista. ^[63]

Hrvoje Nikolić derivó como expresión del potencial cuántico y propuso una formulación covariante de Lorentz de la interpretación bohmiana de las funciones de onda de muchas partículas. ^[64] También desarrolló una interpretación probabilística relativista-invariante generalizada de la teoría cuántica, ^{[65] [66] [67]} en la que ya no hay una densidad de probabilidad en el espacio sino una densidad de probabilidad en el espacio-tiempo. ^{[68] [69]}${\displaystyle Q=-(1/2m)\,\Box R/R}$${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Potencial cuántico en la teoría cuántica de campos

A partir de la representación espacial de la coordenada de campo, se ha construido una interpretación causal de la imagen de Schrödinger de la teoría cuántica relativista. Se puede mostrar ^[70] que la imagen de Schrödinger para un campo sin masa neutro, de espín 0, con funcionales de valor real ^[70] conduce a${\displaystyle \Psi \left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]e^{S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}}$${\displaystyle R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right],S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}$

${\displaystyle Q\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=-(1/2R)\int d^{3}x\,\delta ^{2}R/\delta \psi ^{2}}$

Esto ha sido llamado el potencial supercuántico por Bohm y sus compañeros de trabajo. ^[71]

Basil Hiley demostró que las relaciones energía-momento en el modelo de Bohm pueden obtenerse directamente del tensor energía-momento de la teoría cuántica de campos y que el potencial cuántico es un término de energía que se requiere para la conservación local de energía-momento. ^[72] También ha insinuado que para partículas con energías iguales o superiores al umbral de creación de pares , el modelo de Bohm constituye una teoría de muchas partículas que describe también los procesos de creación y aniquilación de pares. ^[73]

Interpretación y denominación del potencial cuántico

En su artículo de 1952, que proporciona una interpretación alternativa de la mecánica cuántica , Bohm ya habló de un potencial "mecánico-cuántico". ^[74]

Bohm y Basil Hiley también llamaron al potencial cuántico un potencial de información , dado que influye en la forma de los procesos y es él mismo moldeado por el entorno. ^[10] Bohm indicó "El barco o avión (con su piloto automático) es un sistema autoactivo , es decir, tiene su propia energía. Pero la forma de su actividad está determinada por el contenido de información sobre su entorno que es transportado por el ondas de radar. Esto es independiente de la intensidad de las ondas. De manera similar, podemos considerar que el potencial cuántico contiene información activa . Es potencialmente activo en todas partes, pero en realidad está activo sólo donde y cuando hay una partícula ". (cursiva en el original). ^[75]

Hiley se refiere al potencial cuántico como energía interna ^[25] y como "una nueva calidad de energía que solo desempeña un papel en los procesos cuánticos". ^[76] Explica que el potencial cuántico es un término energético adicional al margen de la bien conocida energía cinética y la energía potencial (clásica) y que es un término de energía no local que surge necesariamente en vista del requisito de conservación de energía; Añadió que gran parte de la resistencia de la comunidad física contra la noción del potencial cuántico puede deberse a las expectativas de los científicos de que la energía debería ser local. ^[77]

Hiley ha enfatizado que el potencial cuántico, para Bohm, era "un elemento clave para obtener información sobre lo que podría subyacer al formalismo cuántico. Bohm estaba convencido por su análisis más profundo de este aspecto del enfoque de que la teoría no podía ser mecánica. Más bien, es orgánico en el sentido de Whitehead . Es decir, que fue el todo lo que determinó las propiedades de las partículas individuales y su relación, no al revés ". ^{[78] [79]}

Peter R. Holland , en su extenso libro de texto, también se refiere a ella como energía potencial cuántica . ^[80] El potencial cuántico también se conoce en asociación con el nombre de Bohm como potencial de Bohm , potencial cuántico de Bohm o potencial cuántico de Bohm .

Aplicaciones

El enfoque del potencial cuántico se puede usar para modelar efectos cuánticos sin requerir que la ecuación de Schrödinger se resuelva explícitamente, y se puede integrar en simulaciones, como las simulaciones de Monte Carlo utilizando las ecuaciones hidrodinámicas y de difusión por deriva . ^[81] Esto se hace en forma de un cálculo "hidrodinámico" de trayectorias: a partir de la densidad en cada "elemento fluido", la aceleración de cada "elemento fluido" se calcula a partir del gradiente de y , y la divergencia resultante del El campo de velocidad determina el cambio en la densidad. ^[82]${\displaystyle V}$${\displaystyle Q}$

El enfoque que utiliza trayectorias bohmianas y el potencial cuántico se utiliza para calcular las propiedades de los sistemas cuánticos que no se pueden resolver con exactitud, que a menudo se aproximan mediante enfoques semiclásicos. Mientras que en los enfoques de campo medio el potencial para el movimiento clásico resulta de un promedio sobre funciones de onda, este enfoque no requiere el cálculo de una integral sobre funciones de onda. ^[83]

La expresión de la fuerza cuántica se ha utilizado, junto con el análisis estadístico bayesiano y los métodos de maximización de expectativas , para calcular conjuntos de trayectorias que surgen bajo la influencia de fuerzas clásicas y cuánticas. ^[21]

Otras lecturas

Artículos fundamentales

• Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de" variables ocultas "I". Revisión física . 85 (2): 166-179. Código Bibliográfico : 1952PhRv ... 85..166B . doi : 10.1103 / PhysRev.85.166 .( texto completo )
• Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de" variables ocultas ", II". Revisión física . 85 (2): 180-193. Código Bibliográfico : 1952PhRv ... 85..180B . doi : 10.1103 / PhysRev.85.180 .( texto completo )
• D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Una base ontológica para la teoría cuántica , Physics Reports (sección de revisión de Physics Letters), volumen 144, número 6, págs. 321–375, 1987 ( texto completo ), en el mismo: D. Bohm, BJ Hiley: I. Sistemas de partículas no relativistas , págs. 321–348, y D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: II. Una interpretación causal de los campos cuánticos , págs. 349–375

Artículos Recientes

• Creación espontánea del universo a partir de la nada , arXiv: 1404.1207v1 , 4 de abril de 2014
• Maurice de Gosson, Basil Hiley: Propagador cuántico de tiempo corto y trayectorias bohmianas , arXiv: 1304.4771v1 (enviado el 17 de abril de 2013)
• Robert Carroll: fluctuaciones, gravedad y potencial cuántico , 13 de enero de 2005, asXiv: gr-qc / 0501045v1

Visión general

• Davide Fiscaletti: Acerca de los diferentes enfoques del potencial cuántico de Bohm en la mecánica cuántica no relativista , materia cuántica, volumen 3, número 3, junio de 2014, págs. 177-199 (23), doi : 10.1166 / qm.2014.1113 .
• Ignazio Licata , Davide Fiscaletti (con un prólogo de BJ Hiley ): Potencial cuántico: Física, geometría y álgebra , AMC, Springer, 2013, ISBN 978-3-319-00332-0 (impreso) / ISBN 978-3-319- 00333-7 (en línea)  
• Peter R. Holland : The Quantum Theory of Motion: An Account of the De Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics , Cambridge University Press, Cambridge (publicado por primera vez el 25 de junio de 1993), ISBN 0-521-35404-8 tapa dura, ISBN 0-521-48543-6 libro de bolsillo, transferido a impresión digital 2004  
• David Bohm , Basil Hiley : El universo indiviso: una interpretación ontológica de la teoría cuántica , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 
• David Bohm, F. David Peat : Ciencia, orden y creatividad , 1987, Routledge, 2ª ed. 2000 (transferido a impresión digital 2008, Routledge), ISBN 0-415-17182-2 

Referencias

1. Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de" variables ocultas "I". Revisión física . 85 (2): 166-179. Código Bibliográfico : 1952PhRv ... 85..166B . doi : 10.1103 / PhysRev.85.166 .( texto completo archivado el 18 de octubre de 2012 en la Wayback Machine )
2. Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de" variables ocultas ", II". Revisión física . 85 (2): 180-193. Código Bibliográfico : 1952PhRv ... 85..180B . doi : 10.1103 / PhysRev.85.180 .( texto completo archivado el 18 de octubre de 2012 en la Wayback Machine )
3. D. Bohm, BJ Hiley: Sobre la comprensión intuitiva de la no localidad implícita en la teoría cuántica , Foundations of Physics, Volumen 5, Número 1, págs. 93-109, 1975, doi : 10.1007 / BF01100319 ( resumen )
4. David Bohm, Basil Hiley: The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , en el mismo Capítulo 3.1. Los puntos principales de la interpretación causal , p. 22- 23 . 
5. David Bohm, Basil Hiley: The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , también citado en: BJ Hiley y RE Callaghan: Clifford Algebras and the Dirac-Bohm Quantum Ecuación de Hamilton-Jacobi , Foundations of Physics, enero de 2012, volumen 42, número 1, págs.192-208 (publicado en línea el 20 de mayo de 2011), doi : 10.1007 / s10701-011-9558-z ( resumen , preimpresión de 2010 de B. Hiley ) 
6. Ver por ej. Robert E. Wyatt , Eric R. Bittner : Dinámica cuántica de paquetes de ondas con trayectorias: implementación con cuadrículas adaptativas de Lagrange de la amplitud de la función de onda , Journal of Chemical Physics, vol. 113, no. 20, 22 de noviembre de 2000, pág. 8898 Archivado el 2 de octubre de 2011 en la Wayback Machine.
7. Ver también: Onda piloto # Formulación matemática para una sola partícula
8. BJ Hiley: Información activa y teletransportación , p. 7 ; apareció en: Epistemological and Experimental Perspectives on Quantum Physics, D. Greenberger et al. (eds.), páginas 113-126, Kluwer, Países Bajos, 1999
9. BJ Hiley: De la imagen de Heisenberg a Bohm: una nueva perspectiva sobre la información activa y su relación con la información de Shannon , págs. 2 y 5. Publicado en: A. Khrennikov (ed.): Proc. Conf. Teoría cuántica: reconsideración de los fundamentos , págs. 141-162, Vaxjö University Press, Suecia, 2002
10. B. J. Hiley: Información, teoría cuántica y el cerebro . En: Gordon G. Globus (ed.), Karl H. Pribram (ed.), Giuseppe Vitiello (ed.): Cerebro y ser: en la frontera entre ciencia, filosofía, lenguaje y artes, Avances en la investigación de la conciencia, John Benjamins BV, 2004, ISBN 90-272-5194-0 , págs. 197-214, pág. 207 
11. C. Philippidis, C. Dewdney, BJ Hiley: Interferencia cuántica y potencial cuántico , Il nuovo cimento B, vol. 52, no. 1, 1979, págs. 15-28, doi : 10.1007 / BF02743566
12. C. Philippidis, D. Bohm, RD Kaye: El efecto Aharonov-Bohm y el potencial cuántico , Il nuovo cimento B, vol. 71, no. 1, págs. 75-88, 1982, doi : 10.1007 / BF02721695
13. Basil J. Hiley: El papel del potencial cuántico . En: G. Tarozzi, Alwyn Van der Merwe: Preguntas abiertas en física cuántica: artículos invitados sobre los fundamentos de la microfísica , Springer, 1985, páginas 237 y siguientes, página 239
14. D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Una base ontológica para la teoría cuántica , Physics Reports (sección de revisión de Physics Letters), volumen 144, número 6, págs. 323–348, 1987 ( resumen)
15. BJ Hiley: La estructura conceptual de la interpretación de Bohm de la mecánica cuántica , En: KV Laurikainen  [ fi ] , C. Montonen, K. Sunnarborg (eds.): Simposio sobre los fundamentos de la física moderna 1994 - 70 años de Matter Waves, Editions Frontières, págs. 99-118, ISBN 2-86332-169-2 , pág. 106 
16. BJ Hiley: Información activa y teletransportación , p. 10 ; apareció en: Epistemological and Experimental Perspectives on Quantum Physics, D. Greenberger et al. (eds.), páginas 113-126, Kluwer, Países Bajos, 1999
17. Ver, por ejemplo, Detlef Dürr et al: Quantum equilibrium and the origin of absoluta incertidumbre , arXiv: quant-ph / 0308039v1 6 de agosto de 2003, p. 23 y sigs.
18. David Bohm, Basil Hiley: The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , transferido a la impresión digital 2005, en el mismo Capítulo 4.1. La interpretación ontológica del sistema de muchos cuerpos , p. 59 
19. D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Una base ontológica para la teoría cuántica , Physics Reports (sección de revisión de Physics Letters), volumen 144, número 6, págs. 323–348, 1987 ( pág. 351, eq. ( 12) <- page = 31 p. 351 no es (!) Un error tipográfico ->
20. Ver, por ejemplo, lasección de Introducción de: Fernando Ogiba: derivación fenomenológica de la ecuación de Schrödinger Archivado 2011-10-11 en Wayback Machine , Progress in Physics (fecha indicada: octubre de 2011, pero recuperado en línea antes: 31 de julio de 2011)
21. Jeremy B. Maddox, Eric R. Bittner: Estimación de la fuerza cuántica de Bohm utilizando estadísticas bayesianas. Archivado 2011-11-20 en Wayback Machine , Journal of Chemical Physics, octubre de 2003, vol. 119, no. 13, pág. 6465–6474, allí pág. 6472, ecuación (38)
22. MR Brown: El potencial cuántico: la ruptura de la simetría simpléctica clásica y la energía de localización y dispersión , arXiv.org (enviado el 6 de marzo de 1997, versión del 5 de febrero de 2002, consultado el 24 de julio de 2011) ( resumen )
23. M. R. Brown, BJ Hiley: Schrodinger revisited: an algebraic approach , arXiv.org (enviado el 4 de mayo de 2000, versión del 19 de julio de 2004, consultado el 3 de junio de 2011) ( resumen )
24. Maurice A. de Gosson: "Los principios de la mecánica cuántica y newtoniana: la necesidad de la constante de Planck, h" , Imperial College Press, World Scientific Publishing, 2001, ISBN 1-86094-274-1 
25. B. J. Hiley: Geometría cuántica no conmutativa: Una reevaluación del enfoque de Bohm a la teoría cuántica , en: A. Elitzur et al. (eds.): Mecánica cuántica Quo vadis , Springer, 2005, ISBN 3-540-22188-3 , p. 299–324 
26. BJ Hiley: Geometría cuántica no conmutativa: una reevaluación del enfoque de Bohm a la teoría cuántica . En: Avshalom C. Elitzur, Shahar Dolev, Nancy Kolenda (eds.): Quo Vadis Quantum Mechanics? The Frontiers Collection , 2005, págs. 299-324 , doi : 10.1007 / 3-540-26669-0_16 ( resumen , preimpresión )
27. BJ Hiley: Descripción del espacio de fase de la mecánica cuántica y la geometría no conmutativa: Wigner-Moyal y Bohm en un contexto más amplio , en: Theo M. Nieuwenhuizen et al (eds.): Beyond the quantum , World Scientific Publishing, 2007, ISBN 978-981-277-117-9 , págs. 203-211, allí pág. 204 
28. Basil J. Hiley: Towards a Dynamics of Moments: The Role of Algebraic Deformation and Inequivalent Vacuum States , publicado en: Correlations ed. KG Bowden, Proc. ANPA 23, 104-134, 2001 ( PDF )
29. BJ Hiley, RE Callaghan: The Clifford Algebra approach to Quantum Mechanics A: The Schroedinger and Pauli Particles , arXiv.org (enviado el 17 de noviembre de 2010 - resumen )
30. B. Hiley: Descripción del espacio de fase de la mecánica cuántica y la geometría no conmutativa: Wigner-Moyal y Bohm en un contexto más amplio , en: Th. M. Nieuwenhuizen y col. (eds.): Beyond the Quantum , World Scientific, 2007, ISBN 978-981-277-117-9 , p. 203–211, en él: pág. 207 y sigs. 
31. S. Nasiri : potencial cuántico y simetrías en el espacio de fase extendido , SIGMA 2 (2006), 062, quant-ph / 0511125
32. Marco Cezar B. Fernandes, J. David M. Vianna: Sobre el enfoque de espacio de fase generalizado para partículas de Duffin-Kemmer-Petiau , Revista Brasileña de Física, vol. 28, no. 4. Diciembre de 1998, doi : 10.1590 / S0103-97331998000400024
33. MCB Fernandes, JDM Vianna: Sobre el álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau y el espacio de fases generalizado , Fundamentos de la física, vol. 29, no. 2, 1999 ( resumen )
34. M. Reginatto, Phys. Rev. A 58, 1775 (1998), citado después: Roumen Tsekov: Towards nonlinear quantum ecations Fokker ‐ Planck , Int. J. Theor. Phys. 48 (2009) 1431–1435 (arXiv 0808.0326, pág. 4 ).
35. Robert Carroll: Sobre el tema emergente de la física , World Scientific, 2010, ISBN 981-4291-79-X , Capítulo 1 Algunos antecedentes cuánticos , p. 1 . 
36. Tsekov, R. (2012) Mecánica de Bohmian versus hidrodinámica cuántica de Madelung doi : 10.13140 / RG.2.1.3663.8245
37. C. F. von Weizsäcker: Zur Theorie der Kernmassen , Zeitschrift für Physik, Volumen 96, págs. 431–458 (1935).
38. Véase también la sección "Introducción" de: Rafael Benguria, Haim Brezis, Elliott H. Lieb: La teoría de Thomas-Fermi-von Weizsäcker de átomos y moléculas , Commun. Matemáticas. Phys., Volumen 79, págs. 167-180 (1981), doi : 10.1007 / BF01942059 .
39. Véase también Roumen Tsekov: Teoría funcional de densidad dependiente del tiempo disipativo , Int. J. Theor. Phys., Vol. 48, págs. 2660–2664 (2009), arXiv : 0903.3644 .
40. Kompaneets, A. S., Pavlovskii, E. S .: Sov. Phys. JETP, Volumen 4, págs. 328–336 (1957). Citado en la sección "Introducción" de: Rafael Benguria, Haim Brezis, Elliott H. Lieb: La teoría de Thomas-Fermi-von Weizsäcker de átomos y moléculas , Commun. Matemáticas. Phys., Volumen 79, págs. 167-180 (1981), doi : 10.1007 / BF01942059 .
41. G. Salesi, E. Recami, HE Hernández F., Luis C. Kretly: Hydrodynamics of Spinning Partículas , presentado el 15 de febrero de 1998, arXiv.org, arXiv: hep-th / 9802106v1
42. G. Salesi: Spin and Madelung fluid , enviado el 23 de junio de 2009, arXiv: quant-ph / 0906.4147v1
43. Salvatore Esposito: Sobre el papel del espín en la mecánica cuántica , enviado el 5 de febrero de 1999, arXiv: quant-ph / 9902019v1
44. p. 7
45. S. Esposito: Mecánica de ondas de fotones: un enfoque de De Broglie-Bohm , p. 8 y sigs.
46. James R. Bogan: Spin: la conexión clásica a cuántica , arXiv.org, enviado el 19 de diciembre de 2002, arXiv: quant-ph / 0212110
47. Alon E. Faraggi, M. Matone: El postulado de equivalencia de la mecánica cuántica , Revista internacional de física moderna A, vol. 15, no. 13, págs. 1869–2017. arXiv hep-th / 9809127 de 6 de agosto de 1999
48. Robert Carroll: Aspectos de grupos cuánticos y sistemas integrables , Actas del Instituto de Matemáticas de NAS de Ucrania, vo. 50, parte 1, 2004, págs. 356–367, pág. 357
49. Edward R. Floyd: Límite clásico de la representación de la trayectoria de la mecánica cuántica, pérdida de información e indeterminación residual , arXiv: quant-ph / 9907092v3
50. R. Carroll: Algunas observaciones sobre el tiempo, la incertidumbre y el giro , arXiv: quant-ph / 9903081v1
51. B. Hiley, RE Callaghan: El enfoque del álgebra de Clifford para la mecánica cuántica A: Las partículas de Schrödinger y Pauli , 14 de marzo de 2010, p. 6
52. B. Hiley, RE Callaghan: El enfoque del álgebra de Clifford para la mecánica cuántica A: Las partículas de Schrödinger y Pauli , 14 de marzo de 2010, p. 1-29
53. B. Hiley: Álgebras de Clifford y la ecuación de Dirac-Bohm Hamilton-Jacobi , 2 de marzo de 2010, p. 22
54. BJ Hiley: Geometría no conmutativa, la interpretación de Bohm y la relación mente-materia , p. 14
55. D. Bohm, BJ Hiley: No localidad y localidad en la interpretación estocástica de la mecánica cuántica , Physics Reports, volumen 172, número 3, enero de 1989, páginas 93-122, doi : 10.1016 / 0370-1573 (89) 90160- 9 ( resumen )
56. PN Kaloyerou, Investigación del potencial cuántico en el dominio relativista , PhD. Tesis, Birkbeck College, Londres (1985)
57. PN Kaloyerou, Phys. Rep. 244, 288 (1994).
58. PN Kaloyerou, en "Mecánica bohmiana y teoría cuántica: una evaluación", eds. JT Cushing, A. Fine y S. Goldstein, Kluwer, Dordrecht, 155 (1996).
59. D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Una base ontológica para la teoría cuántica , Physics Reports (sección de revisión de Physics Letters), volumen 144, número 6, págs. 323–348, 1987 ( PDF)
60. BJ Hiley, AH Aziz Muft: La interpretación ontológica de la teoría cuántica de campos aplicada en un contexto cosmológico . En: Miguel Ferrero, Alwyn Van der Merwe (eds.): Problemas fundamentales en física cuántica , Teorías fundamentales de la física, Kluwer Academic Publishers, 1995, ISBN 0-7923-3670-4 , páginas 141-156 
61. Carlo Castro, Jorge Mahecha: Sobre mecánica cuántica no lineal, movimiento browniano, geometría de Weyl e información de Fisher , presentado en febrero de 2005, en: F. Smarandache y V. Christianto (Eds.): Quantization in Astrophysics, Brownian Motion, and Supersymmetry , págs. .73–87, MathTiger, 2007, Chennai, Tamil Nadu, ISBN 81-902190-9-X , página 82, eq. (37) y sigs. 
62. Rapoport, Diego L. (2007). "Campos de torsión, espacio-tiempo de Cartan-Weyl y geometrías cuánticas de espacio de estado, movimiento browniano y su dimensión topológica". En Smarandache, F .; Christianto, V. (eds.). Cuantización en Astrofísica, Movimiento Browniano y Supersimetría . Chennai, Tamil Nadu: MathTiger. pp.  276 -328. CiteSeerX 10.1.1.75.6580 . ISBN  978-81-902190-9-9.
63. Peter R. Holland: La teoría cuántica del movimiento , Cambridge University Press, 1993 (reimpreso en 2000, transferido a impresión digital en 2004), ISBN 0-521-48543-6 , p. 498 ff. 
64. Hrvoje Nikolić: Mecánica cuántica relativista y la interpretación de Bohm , Fundamentos de las letras de la física, vol. 18, no. 6, noviembre de 2005, págs. 549-561, doi : 10.1007 / s10702-005-1128-1
65. Hrvoje Nikolić: Tiempo en mecánica cuántica relativista y no relativista , arXiv : 0811 / 0811.1905 (enviado el 12 de noviembre de 2008 (v1), revisado el 12 de enero de 2009)
66. Nikolic, H. 2010 "QFT como teoría de onda piloto de creación y destrucción de partículas" , Int. J. Mod. Phys. A 25 de 1477 (2010)
67. Hrvoje Nikolić: Haciendo compatible la realidad no local con la relatividad , arXiv : 1002.3226v2 [quant-ph] (enviado el 17 de febrero de 2010, versión del 31 de mayo de 2010)
68. Hrvoje Nikolić: Mecánica bohmiana en mecánica cuántica relativista, teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas , 2007 J. Phys .: Conf. Ser. 67 012035
69. Ver también: Teoría de De Broglie-Bohm # Relatividad
70. Peter R. Holland: La teoría cuántica del movimiento , Cambridge University Press, 1993 (reimpreso en 2000, transferido a impresión digital en 2004), ISBN 0-521-48543-6 , p. 520 ff. 
71. Basil Hiley: La estructura conceptual de la interpretación de Bohm de la mecánica cuántica , Kalervo Vihtori Laurikainen et al (ed.): Simposio sobre los fundamentos de la física moderna 1994: 70 años de ondas de materia , Editions Frontières, ISBN 2-86332-169- 2 , pág. 99-117, pág. 144 
72. BJ Hiley: El enfoque de Bohm reevaluado ( preimpresión de 2010 ), p. 6
73. BJ Hiley (25 de marzo de 2013). "Dinámica no conmutativa de Bohm: historia y nuevos desarrollos" .Pre-print arXiv: 1303.6057 (enviado el 25 de marzo de 2013)
74. Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de" variables ocultas "I". Revisión física . 85 (2): 166-179. Código Bibliográfico : 1952PhRv ... 85..166B . doi : 10.1103 / PhysRev.85.166 . pag. 170 Archivado el 18 de octubre de 2012 en la Wayback Machine.
75. David Bohm: Significado e información Archivado 2011-10-09 en archive.today , en: P. Pylkkänen (ed.): La búsqueda del significado: El nuevo espíritu en ciencia y filosofía , Crucible, The Aquarian Press, 1989, ISBN 978-1-85274-061-0 
76. BJ Hiley: Geometría cuántica no conmutativa: una reevaluación del enfoque de Bohm a la teoría cuántica . En: Avshalom C. Elitzur, Shahar Dolev, Nancy Kolenda (es.): ¿ Quo vadis cuántica? Springer, 2005, ISBN 3-540-22188-3 , págs. 299 y sigs., En el mismo pág. 310 
77. Basil Hiley & Taher Gozel, episodio 5 , YouTube (descargado el 8 de septiembre de 2013)
78. BJ Hiley: Algunas observaciones sobre la evolución de las propuestas de Bohm para una alternativa a la mecánica cuántica , 30 de enero de 2010
79. Ver también: Basil Hiley # Potencial cuántico e información activa
80. Peter R. Holland : La teoría cuántica del movimiento , Cambridge University Press, 1993 (reimpreso en 2000, transferido a impresión digital en 2004), ISBN 0-521-48543-6 , p. 72 
81. G. Iannaccone, G. Curatola, G. Fiori: Potencial cuántico de Bohm efectivo para simuladores de dispositivos basados ​​en la deriva-difusión y el transporte de energía , Simulación de procesos y dispositivos de semiconductores, 2004, vol. 2004, págs. 275–278
82. Eric R. Bittner: Dinámica de túneles cuánticos usando trayectorias hidrodinámicas , arXiv: quant-ph / 0001119v2, 18 de febrero de 2000, p. 3 .
83. E. Gindensberger, C. Meier, JA Beswick: Mezcla cuántica y la dinámica clásica utilizando trayectorias de Bohm archivado 2012-03-28 en la Wayback Machine , Journal of Chemical Physics, vol. 113, no. 21, 1º de diciembre de 2000, págs. 9369–9372